Contributions à l'étude de quelques points de la théorie de R. P. Feynman

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Contributions à l’étude de quelques points de la théorie

de R. P. Feynman

A. Visconti

To cite this version:

CONTRIBUTIONS A

L’ÉTUDE

DE

_QUELQUES

POINTS DE LA

THÉORIE

DE R. P. FEYNMAN

Par A. VISCONTI. Institut Henri Poincaré.

Sommaire. 2014 On

généralise certains _points de la théorie de R. P. _{Feynman par l’introduction} systé-matique et l’étude de l’opérateur d’évolution, on _interprète son _{équation intégrale} au moyen des ondes de de _Broglie et _{l’on conclut par des remarques} sur la théorie du _positon et sur _{la formulation par}

l’action.

JOURNAL PHYSIQUE 12, JUILLET-AOUT-SEPTEMBRE

195i,

Introduction. - Dans

ses deux articles sur la

théorie du

_positon

_[1]

et du

_champ

électromagné-tique [2],

M.

_Feynman

définit l’état d’un

_système

par une fonction

_{qu’il appelle amplitude}

de

transi-tion et

_{qui dépend explicitement}

des coordonnées

spatio-temporelles

passées

et _{actuelles des}

corpus-cules

_qui

le constituent. Cette fonction

_remplace

donc la fonction d’ondes et elle aurait sur cette

dernière

l’avantage

de mettre en évidence les

symé-tries entre

_présent,

_passé

et

_futur,

tout en

_jouissant

de l’invariance relativiste.

Or,

on

_peut

_{remarquer que} cette

_amplitude

de transition

_représente

aussi la densité

_spatiale

de

l’opérateur

d’évolution

_classique.

Cet

_aspect

_{n’a pas}

été

_{explicitement}

retenu _{par M.}

_Feynman

et

il

nous a _{paru intéressant} de

_{généraliser}

certains

points

de sa théorie en

_employant

systématique-ment cet

_opérateur

d’évolution. Pour écrire

l’équa-tion fondamentale à

_laquelle

il

_obéit,

nous avons eu recours à

_{l’hypothèse}

d’hérédité de Volterra

[3]

qui

nous a fourni une

_équation

_intégrale

et nous avons

_essayé

de

_préciser

les formes

_possibles

du

noyau. Une transformation de Fourier nous a fourni

les relations fondamentales de la théroie des colli-sions.

Puis,

revenant à

_{l’équation intégrale}

de R. P.

_Feynman,

nous avons montré

_qu’on

_peut

l’interpréter

facilement en

_supposant

_{que les ondes}

de de

_Broglie

subissent certaines diffusions virtuelles

et

_qu’elles

obéissent à une certaine loi du

_type

de Lenz

_{(5, 40).}

_Enfin,

nous avons conclu sur

quelques

remarques relatives à la théorie de R. P.

_Feynman

sur le

_positon

ainsi que sur la

formulation par l’action.

Un

_problème

_que nous ne _{traitons pas}

explici-tement,

mais

_qui

_logiquement

domine tout travail

s’occupant

de

_près

ou de loin de formulation

cova-riante,

c’est celui du rôle de la variable

_temporelle.

Son assimilation aux variables

_spatiales

soulève les mêmes _{difficultés que celles}

_{jadis signalées}

_par M. L. de

_Broglie

_[4]

et l’on sait - _ce

qui

sera vérifié

à nouveau - que les

probabilités

de transition ne

deviennent relativistement invariantes que

lorsque

les intervalles

_temporels

sont infiniment

grands,

c’est-à-dire

_lorsque

toute évolution

_temporelle

a

disparu :

c’est là le

_point

de vue de la matrice S

de

_{Heisenberg auquel}

M.

_Feynman

rattache sa

théorie.

1.

Évolution

d’un

_système

libre. - Nous

définirons,

comme on le fait

habituellement,

l’état

d’un

_système

_par sa fonction

d’ondes 03C8

et nous

supposerons que sa donnée à

_{l’instant to}

la

déter-mine pour tout autre instant t et _{que l’on} a la

rela-tion : 03C8

(1)

= u

(t,

t,) (t,), ’IL

(t,

to)

est

l’opérateur

d’évolution du

_système.

Considérons alors un

système

qui

soit soustrait à toute influence

exté-rieure,

soient

_03C8o

et

_‘uo

sa fonction d’ondes et son

opérateur d’évolution,

il est naturel d’admettre que

uo

possède

les

_propriétés

suivantes :

a.

_u0

_{(to, to)}

== 1 _{pour satisfaire} à la condition

initiale;

b. la forme de

_{’tlc (1,}

_to)

ne

_dépend

_{pas des instants t}

et

_to

de sorte _{que :}

nous déduisons en vertu de a. _que

c.

_{uo (1,}

_tn)

doit être unitaire pour que la norme

de §

(to)

soit

conservée,

c’est-à-dire

en vertu de

b.;

d. le caractère de

_régime

permanent

que l’on

peut

attacher à l’évolution d’un

_système

libre

nous amène à poser que

_lu,

ne

_dépend

_{que de}

l’intervalle 1

_{- to}

Cherchons dès lors à satisfaire à ces

_quatre

condi-tions en

_{représentant}

_uo

au _{moyen d’une}

expres-sion de la forme

727

ce,

étant un certain

_opérateur

_{qui dépend}

de x

et

de t - to

pour satisfaire à d. En introduisant

cette

_expression

en

_b.,

on voit que

_Jeo

est linéaire en

_t-to

’lLo ( t - t 0 ) == e-i (t-to) :Jeo (x)

(1.3 )

et cette

expression

satisfait bien à a. Pour

_préciser

la nature de

_{l’opérateur}

_Jéo

_(x)

nous chercherons à satisfaire à c. : le caractère unitaire de

_uo

se

traduira,

comme il est facile de le

_voir,

_par l’hermi-ticité de Jéo. Ainsi donc nous

prendrons (1 . 3)

comme

opérateur

d’évolution du

_système

libre. Nous n’aurons pas, en

_général,

à

expliciter

_Ho,

mais en

_fait,

nous réduirons l’arbitraire

_{qui préside}

à son choix en lui

imposant

d’avoir

comme _{fonctions propres des ondes}

planes,

normalisées,

l’énergie

et le vecteur _de

propa-gation

étant reliés par la relation relativiste connue.

2.

Évolution

d’un

_système

_{perturbé [5].}

-Supposons

que le

système

subisse à l’instant 1 ==

_to

une

_perturbation

caractérisée par une certaine

fonction

_{R (t),}

nous nous _{proposons de}

déter-miner 1i

_{(t, 1,).}

Nous allons baser cette détermi-nation sur

_{l’hypothèse}

d’hérédité selon Vblterra : la différence LI

_{(t, to)}

-

uo

(t

-

to) dépend

de l’ensemble des valeurs

_prises

_{par u}

_(z,

_{to) lorsque T}

parcourt

l’intervalle

_temporel

_{1,, 1}

ou

_plus

préci-sément,

nous

_envisagerons

un certain

_opérateur

F

qui

transformera

_{Lu (t,}

_to)

en la fonctionnelle F’IL

_{(t, to)}

de l’intervalle

_to,

t. Nous écrirons donc

CUL (t,

t n) = ’ll () ( t - t 0) + Ii’ ’lL ( t, to)

(2.d)

L’hypothèse

ainsi formulée renferme en

parti-culier

_{l’hypothèse}

de la

_dissipation

héréditaire de Volterra

_qui

consiste

précisément

à admettre _que l’hérédité ne s’exerce

_{qu’à partir}

d’un

_{instant to}

qui

n’est pas indéfiniment

éloigné

de l’instant actuel 1. La résolution de cette

_équation

_par

approxi-mations successives -

en

_supposant

_{que l’on ait}

des conditions telles que la méthode soit

légitime

--est immédiate :

La deuxième

_hypothèse,

commune à tous _les

pro-blèmes

_{d’hérédité,}

consiste à admettre

_{que F}

est

fonctionnelle

linéaire,

elle nous

_permet

de

_{l’expliciter}

au _{moyen d’un}

_{noyau 5 (t,}

_T)

d’influence hérédi-taire de Volterra : F

= f 1 3’

(/, r) j . j

}

d=. La suite

10

des

_{approximations}

successives écrites

_{précédemment}

devient

et d’une

_façon

_générale

Si l’on

_envisage

un

_système

_conservatif,

donc une

perturbation

indépendante

du

_temps,

il lui

corres-pond

en

_{mécanique classique}

un

_régime

_{permanent :}

il est

_indiqué

d’admettre alors

_que

_{(t, T)}

ne

_dépend

que de l’intervalle t -

T.

Le

_{noyau J appartient}

au

_cycle

fermé de

_Volterra,

_{l’hypothèse}

faite

géné-ralise

_{l’hypothèse}

d. du

_{paragraphe précédent.}

Il _{faut essayer maintenant de déterminer}

_5,

la

méthode la

_plus

immédiate consiste à

_imposer

à U de

satisfaire à

_{l’équation}

d’ondes

habituelle,

car il y a

certainement raccord entre la formulation donnée et la formulation

_{classique chaque}

fois _{que cette}

équation

est valable. Mais il semble instructif de rechercher à déterminer 5 au _moyen de certaines

hypothèses

faites sur les

_{probabilités}

de transition

et c’est ce _que nous ferons tout d’abord.

Il est _{facile de vérifier que}

_{l’amplitude}

de

proba-babilité de transition

Tn’n"

=

Rn’n"

(Eno -

En’’,)-l,

RI/’n"

étant l’élément n’ n" de la matrice de

pertur-bation,

satisfait - _sans être elle-même _une

proba-bilité - _aux lois des

probabilités

totales et

com-posées,

et que de

_plus

_Tn0n1

et

_Tn0n1

diffèrent entre

eux

_simplement

_par un facteur de module

égal

à

_1,

c’est-à-dire que les

probabilités

de passage no~ _ni ou _ni ~

no sont les mêmes par transition directe et

_qu’il

n’existe pas de flèche dans l’ensemble de

ces transitions. Ces remarques très

_simples

_peuvent

nous

_permettre

de

_{prévoir 5-’}

_{(t, r).}

Évaluons

dans

la formulation

_employée

_Tn0n1;

nous avons

l’échange

des indices _{no et n,} dans le

produit

hermi-tien doit au

_plus

introduire un facteur de module

égal

à i. Or les fonctions de

perturbation

obéissant

à un

principe

de

superposition

à

l’approximation

envisagée,

on doit avoir : J

_(1,

T)

=

F0 (t - -r)R (T),

où

_F0

_{dépend uniquement}

des données du

_système

non

_perturbé.

Le

_produit

hermitien

_peut

donc

s’écrire

La covariance par

rapport

aux indices no, n, sera

respectée

si l’on

_{prend F 0 (l - -r)}

_{= U0(t- T)}

à un

facteur de module

_égal

à i

_près

sans

_importance

d’ailleurs pour le calcul des

approximations

succes-sives. Ce facteur sera

déterminé,

si l’on

_emploie

la

condition de raccord dont nous avons

précédemment

parlé;

en

_effet,

_{l’opérateur}

IL

_{(1, t0)}

satisfait à

l’équation

où

_tu,

et R sont

respectivement

l’hamiltonien et

le terme

_perturbateur

dans les deux cas relativiste

ou non. En

_{posant :}

U -

03A3U(n),

on

_peut

résoudre

cette

_équation

_par

_{approximations}

successives

et _{écrire que} les divers termes de la série 1i sont

identiques

à ceux obtenus par les formules

_(2.3)

résolvant de la même

façon

l’équation (2.1).

Le

terme

_°iLo

= e ’" I0’ H0 satisfait à

l’approximation

d’ordre Ci, pour que le terme

satisfasse à

_{l’approximation}

_première

_{il faut que}

on satisfait a cette relation en

_prenant

D’un

_point

de vue

_purement

_{mathématique,}

la

première

condition

_peut

être

_{remplie presque partout,}

mais il est certainement

_{plus physique}

_{d’envisager}

ces conditions comme déterminant une solution

de

_Ho

- i ~/~t } F

_{t z}

= o

_qui

_{our t}

= _{1 se}

~t

(t,

)

q p

réduise à - i R

(t);

sous cette formule la

_réponse

est immédiate

L’équation intégrale

d’évolution s’écrit donc

il lui

correspond

celle relative à la fonction d’ondes

les

_{approximations}

successives s’obtenant suivant les formules

_{(2.3) [6].}

3.

_Quelques

formes de

_{l’opérateur}

_iio.

--Nous avons donc déterminé une

_première

forme

de

_{Uo : U0 = e}

/ 1 _{101 :lCo(X). Cette}

première

expres-sion dissimule la variance relativiste de

_{qto :}

elle introduit en effet une

_dissymétrie

entre les variahles

spatiales

et

_temporelles,

_{puisqu’elle}

transforme une

fonction donnée à l’instant T et dans tout

_l’espace

en une fonction donnée en t. Il est intéressant d’associer à z des variables

_d’espace

distinctes de x

de sorte _que la fonction du

_point

_{spatio-temporel 03BE,}

T soit transformée en fonction du

_point

_x, 1. Pour

cela,

il nous stifllit d’introduire une fonction 6 eL

(l’écrire

où 4J,1

(x)

est le

_système

orthonormal

_complet

de

l’opérateur

hermitien

_ao

_(x).

Nous retrouvons de

cette

_façon

_{le noyau}

_{K0 (x}

_{2013 03BE, t 2013}

_fo)

de R. P.

Feynman

Pour M.

_{Feynman, Ko}

est

_{l’amplitude}

totale attachée à une

_{particule partie}

du

_point

_{03BE, T}

_pour

arriver au

_point

x, t ; dans le cadre des

_hypothèses

choisie,

Ko

est

_simplement

la densité

_spatiale

de

l’opérateur

d’évolution.

On

_peut

donner une troisième forme

_{[71 dc ’lLo(l-- 7)}

en se

_plaçant

dans le cas où

_ao

est l’hamiltonien relativiste de I)irac. En

_décomposant

el/;Ico(x) en

parties

réelle et

_complexe,

on

_peut

écrire

Or,

comme il est connu

_H2020

= m2 -

p2,

de sorte

que

les

développements

de ces deux fonctions ne

renfer-mant _{que des}

_{puissances paires,}

il s’ensuit

_qu’elles

ont un sens

opératoriel

1 bien défini. On

_peut

donc

729

Et un

développement

en série de Fourier montre _que

par suite

d’où une nouvelle

_expression

de

_K,

Ces mêmes résultats se retruuvent de

_{façon plus}

élémentaire en

_remarquant

_{que le}

_problème

_(2.5)

pour déterminer j--

peut

se résoudre de deux manières : soit _par un

_{développement}

en série de

Taylor

autour du

_point

_T0

_qui

donne la

_première

expression

de

_{’llo (t - 1")}

:

e -i(l-T)(ïeO,

soit par un

développement

en série de Fourier

_qui

donne la

deuxième

_{expression J}

_Ko

_(x

-03BE ,

t -

T) { . } } d303BE.

Sans entrer dans le détail des

calculs,

montrons

en

_quelques

mots comment on

_peut

rattacher la

dernière

expression

de eo à la solution _{donnée par} H. Poincaré de

_{l’équation}

des ondes amorties

_[8].

La méthode utilise les

_{développements}

en

_intégrale

de Fourier et donne

0 tt

u

(03BE,

o)

est la valeur de la dérivée

_temporclle

au

_temps

1 = o. Il est dès lors facile de former à

partir

de

_{l’espression}

_précédente

la solution de

_(2.5)

et l’on retrouve

_après

_quelques

calculs

_simples

le

résultat

précédemment

donné.

Une autre

_{généralisation}

de

l’opérateur

110 (il

to)

va nous

_permettre

de

_{rejoindre quelques}

résultats de J.

_Schwinger.

Nous avons admis

_jusqu’ici

_que les données initiales étaient

_portées

_par

l’hyper-plan

1

_{- 1,}

_(qui

_{n’est pas} comme on le sait une

surface

_covariante)

nous _{allons supposer maintenant}

que ces données sont

_portées

_par une surface 03C30 du _{genre espace}

_qui

est bien covariante. Nous aurons

alors un

_opérateur

de la forme

_Uo

_(x,

1;

03C30)

qui

permet

-

pour

employer

le

langage classique

-de résoudre le

problème

de

_Cauchy

_pour

_{l’équation}

d’ondes,

la surface

porteuse

des données initiales

étant 03C30; la forme habituelle des solutions de ce

problème

nous

_suggère

de poser

où N est un

_{quadrivecteur qui}

_s’écrit

N,

N4

normale à _{03C3o et} S une fonction à déterminer En

_posant

_{NI d7}

=

d03C3u,

la formule

précédente

s’écrit

,()r,

on connaît

_{l’expression (3.2)}

de

_’11,(x,

1;

_03C3o).

lorsque

03C30 devient

l’hyperplan ~ :

1 =

_ta

et _comme

e’esl là une

_expression

déjà

obtenue par 11. P.

Feynman

[9

J

et

_qui

est à

_rapprocher

des for-mules

_(2.23)

_(2.24)

de J.

_{Schwinger [10].}

4.

Étude

des collisions

_[11].

- Considérons

un

_système

_conservatif,

une

_partie

des états de ce

système

caractérisés par les valeurs de

l’énergie E

forment un

_spectre

continu et

_{correspondent}

au cas des collisions. La fonction

_{d’ondes 03C8}

_(x,

_t)

_peut

s’écrire

Cette relation s’inverse par la transformation de Fourier et fournit

_{l’amplitude 0 (x, E)}

de la fonc-tion d’ondes pour les valeurs de

l’énergie

voisines de E à dE

_près

Ces mêmes considérations

_{s’appliquent}

à

l’opé-rateur

_{d’évolution,}

en

appliquant

la transformation

de Fourier

(L =f

_{ciEL! j}

dl)

à

_{l’équation}

fonda-mentale et en

_remarquant

_que son _noyau est de la forme F

_{(t --- z) - perturbation indépendante}

de t - on

_peut

écrire à l’aide de la

_règle

du

_produit

de

_{composition l’équation}

suivante :

cette

_équation

_{n’est pas}

_algébrique,

mais

_intégrale

à cause du caractère

_opératoriel

des

grandeurs qui

y

figurent.

En

désignant

par des lettres

majuscules

les transformées de Fourier des

_opérateurs,

il vient

où

_{Mo représente}

le

_point

courant de la variété

spatiale

portant

les conditions aux limites propres

à déterminer U dans tout

_l’espace.

Pour déter-miner

Fo,

on

_peut

_{écrire que U satisfait à}

elle s’écrit en

_remarquant

_{que E}

apparient

à un

spectre

continu

:

Ho (M)

2013 E}

(,II, P)

U(Il,

110)

+ R

_{( M) U(}

u, M(,)0 On va donc avoir pour F une solution de

{H0 (M) - E

( f ’(-"i (,II,

P) = - Õ( JI, l) R(P», (i. 1)

F4’ol

est la fonction de Green du

_problème.

En

appliquant,

par

exemple,

la transformation de

Fourier à

_{l’équation intégrale}

de la fonction d’ondes

avec _{le noyau}

Ku = 03A303A6n

(03BE)

03A6n

(x) e-lH1(t-T),

on obtient

_{l’équation}

connue

Disons enfin

_quelques

mots sur la

méthodologie

du

_procédé

_{habituel de coupure des}

_énergies

hautes. La

_{présentation}

de ce

_procédé

semble délicate

lorsqu’on

considère

_{l’équation}

d’ondes : en

_effet,

on

_peut

dans ce cas

_parler

difficilement de

solution,

puisque

limiter le

_spectre

des

_énergies,

c’est

trans-former l’ensemble

_complet

des fonctions d’ondes

non

_perturbées

en ensemble

_incomplet.

Ces

diffi-cultés

_{disparaissent}

si l’on

_envisage

_{l’équation}

intégrale

de 03C8,

car _{couper les}

_énergies

hautes revient

à _{choisir le noyau}

_Ko

comme somme finie

d’expres-sions

.pli

(e)

$n

(x)

e iEn(t

r),

donc écrire une

équa-tion

_intégrale

à noyau

dégénéré :

on sait la résoudre

et la ramener à un

_système

d’équations

linéaires.

5.

_{Interprétation}

ondulatoire de

_{l’équation}

fondamentale

_[12].

-

Reprenons l’équation

inté-grale

de la fonction d’ondes en utilisant le noyau

_K0

de R. P.

_Feynman,

elle s’écrit

On

_interprète

habituellement les

_{approximations}

successives de la fonction d’ondes en faisant

inter-venir des transitions aboutissant ou

_partant

d’états

virtuels. M.

_Feynman

y a substitué des «

_scattering

»

virtuels sacrifiant ainsi -

sans le méconnaître d’ailleurs -

l’aspect

ondulatoire du

_phénomène.

Nous nous _proposons

_d’appuyer

sur cet

_aspect

ondulatoire, en

_remplaçant

ces

_scattering

_{par des}

diffusions d’ondes et de

_porter,

en outre, cette

interprétation

dans

_{l’équation intégrale}

elle-même,

au lieu

_{d’interpréter}

_uniquement

les

_{approximation}

successives de la

solution,

selon la méthode habi-tuelle.

_Supposons

donc _que

_l’espace

x, t soit

diffu-sant _{pour les ondes de de}

_Broglie,

le coefticient de diffusion

_{étant x"}

(x

2013 03BE,

r)

par unité de volume

spatio-temporel

entourant le

_point

9,

T, le deuxième terme du

_premier

membre de

_(5.1)

_pourra alors

être considéré comme

_{représentant}

une superpo-sition d’ondes diffusées de

_pulsations

En. Ainsi

donc,

le

_problème

de la détermination de

_{l’onde tf}

_(x,t)

pourrait

se _poser comme suit :

io Antérieurement à toute

_{perturbation,}

_le sys-tème est dans un état stable caractérisé _par un ders

systèmes

d’ondes stationnaires : 03A6nc iEnt. Soit

03C8no

=

03A6no (x) e

0enol _{la fonction d’ondes existant} à l’instant initial 1 =

la.

20 La

_perturbation

R

_{(x, 1)}

débutant à

l’insrtant

initial 1 =

t 0

possède

les deux

_propriétés

suivantes :

a. il lui

_correspond

une onde

_{effective 03C8}

_(x,

_t)

se

propageant (alors

que celles du

système

perturbé

sont

_{stationnaires);}

b. elle modifie les

_propriétés

du domaine

_{spatio-temporel}

où elle

_règne

en le

rendant diffusant.

JO La diffusion virtuelle de

_l’onde

_{(x, 1)}

a

lieu suivant des ondes de

_pulsations

En : En étant

le nil.me niveau

_{énergétique}

du

_système

non

per-turbé. La contribution de l’unité de volume

spatio-temporel

entourant le

_point

_{;, 1"}

à

_{l’amplitude}

de l’onde diffusée L’" est

_{proportionnelle}

à l’onde

incidente 03C8

(x, 1)

le coefficient de

_{proportionalité}

ou

de diffusion étant

_i03A6n

_Ce)

_03A6n

_(x)

_{e’En’ R ( § ,}

_T).

40

Seule

_peut

s’établir une onde

_{effective 03C8}

(x,

t)

telle que par interférences avec le train d’ondes diffusées virtuelles elle donne - virtuellement

-un état stable

_Y;lIo

_(x,

_t).

Les

_{dénoi4inatîons}

« elfective » _et « _virtuelle »

opposent

l’onde

_qui

seule intervient dans les résultats définitifs aux ondes diffusées

_qui

sont virtuelles parce que

simple

instrument de calcul. On

voit,

par

exemple,

que onde effective avant 1 =

_1,,

l’onde

_03C8no

devient virtuelle

_après

l’établissement de la

_perturbation

_(x).

Nous aurons une écriture

_plus

_simple

_{pour le} coefficient de diffusion en

_explicitant

nos fonctions

d’ondes et en

_employant

la notation

quadridimen-(1) On peut penser généraliser l’équation (5.1) en l’écrivant

pour plusieurs diffusions : il est facile de voir que si l’on envisage une _simple et une double _{diffusion, par exemple,} les résultats ne _{différent pas} essentiellement de ceux donnés

ci-dessus : _{l’approximation} du _premier ordre dans ce cas

correspond à _{l’approximation} du 2e ordre habituelle. Il n’en

731

siunnelle

x =

_(x,

_1),

k =

(k, E),

ab =

a4 b4

-

ab,

la

fonction (D

(x)

e-’-l" s’écrit

avec E2 = In2 + k2. Avec ces notations

(5.1)

s’écrit

On

_peut

_expliciter

les diverses

composantes

de la fonction d’ondes par un

_{développement}

en

inté-grale

de Fourier

et 03C8

_(p)

est

_{l’amplitude}

de la

_p"’"’c

_composant

de 03C8 (03BE).

Le deuxième terme de

_{(5.3) prend}

la forme

Or R

_(x)

est

_{identiquement}

nulle en dehors de

l’intervalle

_{temporel to,}

1;

on

_peut

donc étendre

l’intégrale temporelle

de -oo à + 00 et écrire

l’expression

précédente

et r(q)

est la transformée de Fourier de

_{R (x, t) . (5.3)}

va donc

_pouvoir

s’écrire

L’interprétation précédemment

donnée

_subsiste,

on

_peut,

en

_effet,

ou bien raisonner dans

_l’espace

des

_phases,

ou bien introduire un

_léger

change-ment en 30

_remplacé

_{par :}

La diffusion virtuelle a lieu suivant les ondes

planes

du

_système

non

_perturbé

de

_pulsations

_E",

de vecteur de

_propagation

k,,. La contribution la

_pieme

_composante

_(de

vecteur

_{d’impulsion}

d’uni-vers

_p)

de l’onde

_{effective 03C8(x,}

_t)

à

_{l’amplitude}

de

l’onde diffusée

_{E,,, k"}

est

_{proportionnelle}

à

l’ampli-tude

_{11f (p) d4 p}

de cette

_composante,

le coefficient de diffusion étant

Cherchons

_{l’amplitude}

de

_probabilité

de transition

exacte _{no -+ nI}

cette

_expression

ne donne évidemment pas une

valeur effectivement calculable de Cnoll1’ à cause

de l’inconnue

_{qi" (p),}

mais elle

_peut

_permettre

une

discussion des résultats en vue. Les calculs effectifs s’obtiennent en

_employant

les

_{approximations}

successives de

_{T(p). L’approximation}

du

_premier

ordre dans le cas non relativiste par

_exemple

corres-pond

au

remplacement

de

_03C8(p)

_par

_{Wno (p)}

trans-formée de Fourier de

_03C8no(X,

_t)

de sorte _que

Pour calculer

_cnon1,

nous avons à calculer

successi-vement

_03C8(x,

₁₎

et

_{03C8(1) (P)}

et _{ainsi de suite pour les}

_{approximations}

d’ordre

supérieur. L’hypothèse

d’un intervalle

_10,

1

infini-ment

_grand

assure la covariance de

_{r (k,, - p, oo)}

et,

par

suite,

l’invariance relativiste des

amplitudes

de

probabilités

de transition.

6. Problèmes de deux

_particules.

- On

peut

admettre que la même

_{équation intégrale}

_régit

les

problèmes

de deux

_particules,

sans considération de

statistiques.

Le

_{système orthonormal}

_de

fonctions propres est alors

03C8n(xl) 03A6m(xb), a

et b

représentent

les

_particules,

tout le formalisme se

_transpose

sans

difficultés. On est amené à

_{distinguer quatre}

termes dans

_{l’expression}

de la fonction d’ondes : le

_premier

donne la fonction d’ondes de l’ensemble des deux

particules

supposées

libres,

les deuxième et troi-sième

_{représentent}

l’action d’une des

_particules

supposée

libre,

gardant toujours

le même état initial et

_agissant

sur la

deuxième,

tout en excluant

la réaction de celle-ci. Enfin le

_quatrième

terme

est

_{analogue à}

_{celui donné par R. P.}

_{Feynman [13];}

ce terme est

_{multitemporel.}

Nous ne

_reproduisons

pas le détail des calculs et des

interprétations qui

sont

_simples,

sans difficultés

_spéciales.

7.

_Application

à la théorie de R. P.

_Feynman

du

_positon.

- Si l’on

à l’aide d’une densité

_{spatiale K (x,}

t;

03BE,

T),

de

même

_qu’on

a

_{représenté l’opérateur}

’lLo(l--r)

par

Ko,

on vérifie facilement que

l’équation

de

_1i

devient une

_{équation intégrale}

habituelle en K.

En

_employant

les notations de Kneser : i _{pour les}

variables r,

03BE;

2 _pour les variables x, t, ..., , on

obtient la forme de R. P.

_Feynman

₍₂₎

dv3

étant le volume

_{quadridimensionnel}

formé à

l’aide des variables 3.

_{Ko(2, 1)}

est,

selon M.

_Feynman,

l’amplitude

totale attachée à une

_particule

libre

partie

du

_point

i _{pour aller} en 2.

_(Les

_{probabilités}

de transition s’écrivent évidemment

_uniquement

en

fonction de

_Ko

et des fonctions d’ondes initiale

ct

_finale).

Il se _propose, en

_outre,

de

_représenter

à

l’aide de

_{K 0,}

l’électron ainsi que le

positon, envisagé

à la suite de E. C. G.

Stuckelberg,

comme un électron

remontant le cours du

_temps.

Il montre _{que le}

noyau

K+

(2,

1) adapté

à cette

description

s’obtient

en retranchant du noyau

_{Ko (supposé}

nul si t

r)

l’ensemble des termes à

_énergie

_négative

le nouveau _noyau

correspondant

à K est

désigné

par

K_1

(2, 1),

enfin l’étude de K montre

qu’il

permet

de faire

_correspondre

à

_{chaque scattering}

un schéma

approprié.

La fonction d’ondes se déduit de

KA

_par une

intégrale

portant

sur le volume

fondamental,

mais

cette

_expression

ne met _pas en évidence la

_symétrie

entre

_passé

et futur. M.

_Feynman

transforme donc

cette

_intégrale

de volume

_spatiale

en une

_intégrale

de surface

_{spatiotemporelle}

_identique

à

_(3.4),

mais

avec ₇₀

_{représentant}

une surface fermée. Si donc

on

_prend

_{pour (J 0} un

_{hypercylindre}

d’axe

_parallèle

à l’axe

des .1,

dont les bases seraient les

hyper-plans 1

== const. et

qu’on

envoie _sa surface latérale

à

_{l’infini, 03C8}

_{(x, 1)}

ne serait déterminée

_qu’à

la condi-Lion de connaître à la fois son

_passé

et son futur.

Exprimée

sous cette

_forme,

l’affirmation semble un

peu

forcée,

car la donnée

_{de 03C8}

sur une

_hypersurface

du _{genre espace, la détermine dans} tout son domaine d’existence : on aurait donc un

_problème

mal

_posé

selon la

_{terminologie classique}

_[14].

En

fait,

M.

_Feynman

vise les

_{probabilités}

de transition entre

deux états stables : il

est,

en

effet,

évident que la

probabilité

de transition ou son

_amplitude

n’est

(2) Il convient néanmoins _{de noter que si la solution}

pro-posée satisfait_ à un _problème de valeurs _initiales, celle de R. P. Feynman satisfait à un _problème de _comportement asymptotique (d’où les limites _{d’intégration temporelle}

infinies _).

connue _{que si les fonctions} d’ondes initiale

_(passé)

et celle finale

_(futur)

sont

_{spécifiées,}

mais l’énoncé

du

_problème

aux limites

_{correspondant}

ne

paraît

pas

exempt

de difficultés

_[15].

8. La formulation par l’action

(3).

- M.

Feyn-man

_[16]

a

_proposé

_{pour le calcul de}

_{l’amplitude}

de transition K une autre méthode

_{d’après laquelle}

cette fonction est donnée _par l’ensemble des contri-butions de

(où S

est l’action de

_système)

_pour tous les chemins

joignant

le

_{point spatio-temporel 03BE,}

_1,

au

_point

_{x, t.}

Analytiquement,

cette

_règle

se traduit _par une

limite

_{d’intégrales}

_{multiples lorsque}

le nombre de

ces

_intégrales

tend vers l’infini. Il est aisé de montrer comment cette formulation se rattache à celle donnée

ici,

mais il semble utile de montrer

_auparavent

_que, même pour le formalisme

proposé qui

met l’accent

sur le caractère linéaire des

_solutions,

l’introduction de ces limites de

_produits

_{d’intégrales}

est naturelle.

Il

_sufflt,

en

_effet,

de remarquer _que

_{l’égalité}

garde

un sens

_{lorsque x}

est

_remplacé

_par

l’opéra-teur F _{défini par}

_{(2, 1)}

et

_qu’on

_peut

écrire

En introduisant la fonction

_{d’ondes 03C8 (ta),}

l’inter-prétation

par diffusion est évidente : l’introduction de

_chaque

nouveau facteur dans le

_produit

infini

exprimant précisément

l’intervention d’une nouvelle diffusion. On

voit,

en écrivant les deux

_premières

approximations,

par

exemple

733

qu’on

obtient les

_{approximations}

_{(2, 3)}

en ne

_gardant

dans Un que des

intégrales

au

_{plus n-uples.}

Cette remarque

faite,

nous _{pouvons passer à la}

formulation au _moyen de

l’action,

il est facile de

vérifier,

en effectuant les

intégrations indiquées,

compte

tenu des

_propriétés

de la fonction 2

que

Uo

(t

-

10)

peut

s’écrire

où To

= t0, TN

= 1 ;

_{03BEo == g}

variable sur

_laquelle

on

opère

et

_03BEN

= _x. Or

l’opérateur S

= t H satisfait

évidemment à

l’équation ,

,

- H

et,

par

suite,

dt

S est bien

_{l’équivalente}

_quantique

de l’action

classique;

la formule

_précédente

s’écrit donc si l’on fait N =oo

_(ce

_passage à l’infini intervient

uniquement

pour

l’élégance

de

_{l’interprétation}

phy-sique,

les résultats valant pour N

fini)

Cette

_{expression générale}

va nous

_permettre

de

retrouver la forme exacte de R. P.

_Feynman,

nous

allons nous

_placer

_pour

_plus

de facilité dans le cas non relativiste unidimensionnel. Utilisons

l’expres-sion

_{(3. 1)}

de

_Ko

avec

_spectre

continu

k2

or E

=- k2

et,

d’après

la relation connue

2m

En

_portant

ces

_expressions

dans

_{(8. 2),}

on obtient

l’intégration

est à effectuer sur

_{03BE1, ..., 03BEN 1,}

, donc

sur toutes les

_variables,

sauf

_{sur la = 1,}

variable de la fonction sur

_laquelle

on

_opère

et

_03BEN

= _x.

On s’est de

_{plus placé}

dans le cas d’une

_particule

libre,

donc

d’où l’écriture de la formule de

_Feynman

.

Nous renverrons aux articles de cet auteur _pour

l’interprétation

de ce

_résultat,

mais nous remar-querons que les

intégrations

de la formule

_(8.4)

peuvent

s’effectuer d’une

_façon

élémentaire et

qu’après quelques

calculs on obtient

₍₄₎

on _retrouve, ce

_faisant,

la solution fondamentale

(ou

solution de la source unité de

_chaleur)

de

l’équa-tion d’ondes d’une

_particule

non relativiste libre.

Il faut enfin établir la formule

_générale

L’équivalence

est aisée à vérifier si l’on admet la validité du raisonnement

_qui

sert à M.

_{Feynman [ 17]}

pour établir sa méthode de

_{perturbations}

_{pour le}

noyau K,

il suffit alors de

_partir

de la série des itérés de K

_d’après

nos formules

_{(2.3) [Ko}

étant

donné par

(8.5)],

de remarquer

qu’ils

coïncident exactement avec ceux de R. P.

_Feynman

et de

reprendre

ses calculs à rebours. Une étude

_poussée

de

_{l’intégrale}

donnant K a été faite dernièrement

par MUe Morette

(Phys. Rev., 1951,

81,

848).

(4) On reconnaît l’analogie étroite avec la solution :

:t::S(X,t)

_{si l’in dice de r éfract} .

1 ’f = _A(x)

e’ h i S (x, t)

valable si l’indice de réfraction et longueur

’ _{d’onde associés satisfont à}

p

03BB _{n (L.} DE _BROGLIE, Ann. Inst. Henri Poincaré, g33, p. 361; J. _{Phys. Rad., 1948, 11,} 265), M. AL PROCA utilisa jadis cette solution pour l’étude de la distribution des photons à l’intérieur d’une onde _broglienne (J. Physique Rad., 1928, 9, 73).

Je tiens à

_témoigner

toute ma reconnaissance à

M. Louis de

_Broglie

_{pour les} discussions

_qu’il

a

bien voulu m’accorder et

_qui

m’ont aidé à

_préciser

ma

_pensée

sur certains

_points.

Les conseils de M. le

Professeur J. L. Destouches m’ont

_permis

la mise

au

_point

de certaines

_parties

de ce

travail,

qu’il

veuille bien trouver ici mes remerciements les

_plus

vifs.

Manuscrit reçu le 29 janvier 1951.

BIBLIOGRAPHIE.

[1] FEYNMAN R. P. 2014

Phys. Rev., I949, 76, 749.

[2] FEYNMAN R. P. - Loc.

cit., 769. [3] VOLTERRA V. -

Leçons sur les fonctions de lignes (recueillies par J. Pérès). On se _reportera à la Note de Mme P. DESTOUCHES-FÉVRIER (C. R. Acad. Sc.,

I950, 230, I742) pour l’étude de l’aspect philosophique du _problème de l’hérédité.

[4] DE BROGLIE L. 2014 L’électron

magnétique, XII, 30I et Sq.; COSTA DE BEAUREGARD O. 2014

Thèse, I943, 5 et C. R. Acad. Sc., I950, 231, I423.

[5] VISCONTI A. - C. R. Acad.

Sc., I950, 230, I744. [6] DESTOUCHES J. L. - C.

R. Acad. Sc., I950, 230, I747 traitant de _questions voisines.

[7] WENTZEL G. 2014 Quantum theory of field, p. I78.

[8] VISCONTI A. - Diplôme d’études

supérieures, p. 50. [9] FEYNMAN R. P. 2014 Loc.

cit., p. 753, formule (18).

[10] SCHWINGER J. 2014

Phys. Rev., I948, 74, I45I. La déduc-tion que nous _{proposons n’est évidemment pas} rigou-reuse et ne saurait _remplacer la démonstration _plus longue de cet _{article. A remarquer également} que l’opérateur U _{[03C3, 03C30]} de J. _Schwinger est une

généra-lisation de l’opérateur d’évolution _classique utilisé. [11] VISCONTI A. - C. R. Acad.

Sc., I950, 230, I744 et

C. R. Acad. _{Sc., I950, 231,} 333. Dans ces _Notes, la présentation du _problème est différente de celle

adoptée ici.

[12] VISCONTI A. 2014 C.

R. Acad. Sc., I950, 231, 507. La solu-tion étudiée dans cette Note est _approchée et non

exacte _(comme il est dit dans le sommaire la précé-dant) : l’approximation est celle du _premier ordre de la théorie des _{perturbations} et va en s’améliorant

dans la mesure où R _(x) varie lentement. La méthode de ce _{paragraphe généralise} celle de la Note où se

trouve une _expression du coefficient de diffusion différente : on _peut montrer _qu’elle se ramène à celle donnée ici. Une étude plus poussée du calcul montre certaines _{particularités} de la solution _{lorsque R (x)} est discontinue.

[13] FEYNMAN R. P. - Loc.

cit., p. 773, formule _(6). [14] VISCONTI A. - C. R. Acad.

Sc., I950, 230, 928 et

Diplôme d’Études _{Supérieures,} p. 43 et sq. [15] COSTA DE BEAUREGARD 0. a consacré _plusieurs Notes

aux C. R. Acad. Sc. à ces _questions. La dernière (C. R. Acad. Sc., I950, 230, 2073) partant des notions de _prévision et de _postvision donne, entre autres,

un énoncé du _problème en _question. A notre avis, la traduction de cet énoncé en termes de problème

aux valeurs initiales et aux _{limites, mathématiquement}

cohérent, reste difficile. [16] FEYNMAN R. P. - Rev. Mod.

Phys., I948, 20, 367 et Lectures _given at the _California Instilute _of Techno-logy, I950.

[17] FEYNMANN R. P. 2014 Lectures