Oscillations de solides dans l'air ou dans l'eau. Lignes instantanées de courant zones de silence

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Oscillations de solides dans l’air ou dans l’eau. Lignes

instantanées de courant zones de silence

L. Marty

To cite this version:

OSCILLATIONS DE SOLIDES DANS L’AIR OU DANS L’EAU. LIGNES

INSTANTANÉES

DE COURANT ZONES DE SILENCE.

Par L. MARTY. Ecole normale d’Auch.

Sommaire. 2014 L’auteur rappelle d’abord les _propriétés de l’écoulement alternatif d’un fluide incompressible. Il étudie ensuite l’allure du mouvement autour des corps vibrants dans l’air ou dans l’eau et montre qu’il se réduit à un écoulement alternatif du fluide dans lequel la compressibilité n’intervient pas. Une explication de l’existence des zones de silence en résulte.

Introduction. - J’ai

_{précédemment}

étudié,

aux basses

_fréquences,

les

_lignes

instan-tanées de

courant,

les circulations et les forces moyennes pour les oscillations de solides dans l’eau. Pour des

_sphères,

des

_cylindres,

des bandes

_{planes rectangulaires,}

les

_lignes

instantanées de courant ont l’allure

_prévue

_{par les théories de}

_{l’hydrodynamique}

dans

l’hypothèse

où existent un

_potentiel

et une continuité des vitesses. Il en est de même de la distribution des vitesses

autour

_{du corps oscillant.}

J’ai

_répété

mes

_expériences

dans

l’air,

aux basses

_fréquences

_d’abord,

aux

_fréquences

audibles ensuite. Les

_lignes

de vibration conservent leur

_allure,

on retrouve les mêmes

types

de circulation. En ce

_qui

concerne ces

dernières,

_je

renvoie au

_chapitre

III de

_l’ouvrage

que M. Bouasse a

_publié

avec ma collaboration

_{(Tourbillons.}

Tome

_II).

_J’expose

ci-dessous

les résultats de

_{quelques expériences}

exécutées aux

_fréquences

audibles. Elles constituent la

suite naturelle de celles

_rapportées

dans

_l’ouvrage

ci-dessus cité. Je

_rappelle

d’abord les

_propriétés

de l’écoulement alternatif.

Ecoulement alternatif d’un fluide

incompressible. -

a) Déplacements,

vitesses,

- Les éléments du fluide oscillent

sinusoïdalement,

autour d’une

_position

_moyenne

fixe,

selon des arcs de courbe dont les

_enveloppes

constituent les

_lignes

de vibration ou

lignes

instantanées de courant. La vitesse en un

_point

du fluide varie sinusoïdalement en

grandeur,

elle

_garde

une direction constante. Les

_lignes

de vibration sont les

_enveloppes

du vecteur vitesse. Leur forme caractérise celle du

_champ.

On les étudie en observant les

mouvements de fines

_poussières

illuminées et flottant au sein du fluide. L’ensemble des

lignes

de vibration

_s’appuyant

sur un contour fermé d’aire 8 constitue la surface d’un tube de vibrations dont est une des sections.

Les

_{déplacements}

des

_particules

_par

_rapport

à 3 axes

_{rectangulaires}

sont de la forme :

A est un coefficient

_{proportionnel}

à

_{l’amplitude ;}

les fonetions

_{f ,}

_{g, h} caractérisent la forme de l’écoulement. TV est la

_fréquence.

Le mouvement ainsi défini est

_purement

vibratoire. A la vibration

_peut

se _superposer une circulation dont l’intensité croît avec

_{l’amplitude;}

le mouvement résultant est alors très

compliqué

et

_peut

devenir

_pulsatoire.

On trouvera

_quelques

indications sur

_{ces régimes}

dans le volume : Tourbillons de M. Bouasse et dans ma Thèse.

Les

_lignes

de vibration de l’écoulement alternatif

_simple

sont _{définies par les relations :}

_lu _1_- 1

-qui

se ramènent à :

L’équation

F (x.

y.

z)

- 0 de la surface d’un tube de vibrations doit satisfaire à la

relation :

Les différents tubes sont

_{indépendants}

les uns des

autres,

leur

_{paroi pourrait}

être

rigi-difiée sans _{que les}

_phénomènes

à leur intérieur soient modifiés. On

_peut

d’ailleurs vérifier

que l’introduction de cloisons solides

parallèles

aux

_lignes

de vibration n’altère pas sensi-blement ces

_dernières;

les circulations

_peuvent

être modifiées.

Le

_long

d’une

_ligne

de vibration les

_{déplacements}

sont à

_chaque

instant de même sens,

les vitesses sont en

_phase

et cette

_{propriété distingue}

l’écoulement alternatif des ondes stationnaires ou

_{progressives. L’incompressibilité}

du fluide entraîne la relation

si les

_composantes

u, v, w de la vitesse admettent un

_{potentiel ?}

la condition

₍₂₎

s’écrit :

En

_pratique

tous les fluides sont

_plus

ou moins

_{compressibles,}

mais il est bien évident

qu’à

l’intérieur de tout volume dont les dimensions demeurent

_petites

devant la

_longueur

d’onde,

tous les

fluides,

gaz

compris,

se

_comportent

comme

_{incompressibles.}

b)

Pressions.

- La

pression

en un

_point

du fluide à un instant donné est évidemment

unique

et bien

_{déterminée;}

on

_peut

néanmoins

_distinguer

au sein du fluide deux sortes de variations de

_pression.

i)

Les unes sont dues aux variations de la vitesse en un

_point

donné. Elles

_dépendent

des accélérations

_qu’il

faut

_imprimer

aux différents éléments du fluide. Pour toute tranche

c.ylindrique

d’aire 8

_{d’épaisseur}

_dx,

oscillant selon ©.x dans un

_champ

uniforme on a :

Ces

_pressions

s’annulent à l’instant où les vitesses au sein du fluide sont

_maxima;

la

fréquence

de leur variation est celle de l’écoulement.

Leur distribution au sein du fluide

_dépend

au

_premier

chef de la

_façon

dont

l’écoule-ment est

_{mécaniquement}

entretenu : elle caractérise le mode d’entretien. Considérons le fluide contenu dans un tube

_cylindrique

ou non,

fig.

1. A ou

B,

on

_peut

_imposer

à ses

différents éléments la même vibration :

a) par

une oscillation

_{d’amplitude}

xo du

_piston

P,

par

une oscillation

_{d’amplitude}

xos : S du

piston

médian P

Imaginons

un tube recourbé et fermé sur lui-même

_(fig.1

-

C).

Le fluide

_qu’il

contient

peut-être

mis en vibration au _{moyen du}

_piston.

Le

_système

ainsi constitué est

_identique

à

l’un

quelconque

des tubes de _{vibration que} nous serons conduits à considérer dans l’étude

de l’oscillation de solides divers dans l’air ou dans l’eau.

_Lorsque

l’accélération du

_{piston p}

est

_dirigée

vers le

haut,

les éléments du fluide situés en avant de

lui,

dans le

volume Vi

subissent des excès de

_pression,

ceux situés en arrière de

lui,

dans

t~3

subissent des

dépres-sions. La

_pression

demeure constante dans le

_plan

médian ZZ’

_qui

devient un

_plan

de silence.

Fig. i.

2) A

l’instant où les vitesses aux différents

_points

du fluide sont

maxima,

dans un

champ

non

uniforme,

subsistent au sein du

fluide,

des différences de

_pressions

dues aux

inégalités

de la vitesse d’un

_point

à l’autre. A un instant donné. lcs variations de la vitesse le

_long

d’une

_ligne

de vibration se _{traduisent par des variations de}

_{pression proportionnelles}

au carré de la vitesse,

indépendantes

de son sens et dont la

_fréquence

est _{par suite double}

de celle de la vibration. Une

_dépression

_{relative moyenne existe dans les}

_régions

où les vitesses sont maxima et _{où par suite les}

_lignes

de vibration sont

_{plus serrées;}

c’est à l’influence de ces

_{pressions qu’il}

faut attribuer l’existence de l’octave du fondamental

autour des corps

vibrants,

et aussi celle des forces

_{hydrodynamiques}

de vibration si

improprement

dénommées « forces

_{acoustiques ».}

La distribution de ces

_pressions

carac-térise la forme de l’écoulement et est

_{indépendante}

du mode d’entretien. Nous avons vu

qu’au

contraire les

_{pressions auxquelles}

il faut attribuer l’existence du fondamental

dépendent

au

_premier

chef du mode d’entretien du mouvement.

Au

_point

de vue

_théorique,

dans le cas où existent simultanément un

_potentiel

des forces V et un

_potentiel

des vitesses _cp, les variations de

_pression

au sein d’un fluide

incom-pressible

doivent satisfaire à la relation :

_{(voir Hydrodynamique générale}

-

Bouasse).

, "7_" .,

P est la

_pression

au loin, là où la vitesse est

_quasi

nulle et l’on voit

_quelle

est l’influence du terme en lj2. Dans l’étude des mouvements vibratoires on le

_néglige

_{généralement,}

on suppose en outre _{que les} mouvements étant

_petits,

les valeurs u, v, w sont à volonté les

vitesses en un

_point

fixe du

milieu,

ou les vitesses de l’élément

_ayant

ce

_point

_pour

rendre

_compte

ni de l’existence de l’octave du

_fondamental,

ni de celle des forces

acous-tiques.

c)

Il est

_possible

de réaliser des écoulements alternatifs

_possédant

certaines

_propriétés

des ondes stationnaires. Par le

_systèmes

des deux

_pistons

_p1 et _{p2 liés entre eux,} mettons

en vibration l’eau contenue dans le tube B

_(fig.

_i).

Les variations de

_pression

sont maxima et en

_opposition

de

_phase

au

_voisinage

des

_pistons

_{p1 et ~2,} les

_{déplacements}

_y sont

_quasi

nuls

_(noeuds).

Dans la

_région

médiane au

_contraire,

les variations des

_pressions

sont

quasi

nulles et les

_{déplacements}

maxima

_(ventre).

Nous avons ainsi réalisé dans une

certaine mesure une sorte

_{d’équivalent mécanique}

d’une onde stationnaire. Introduisons dans le tube B des

_poudres,

des

_liquides

non miscibles avec celui

_qui

_y est

_déjà

_contenu,

nous observons les

_phénomènes

_{que donnent} ces _{corps dans le tube de Kundt. Les}

pous-sières

_(sable,

_{brique pilée)}

donnent des rides dont la hauteur est maximum dans la

_partie

rétrécie. Le

_liquide

le

_plus

dense se

_porte

dans cette

_partie

où il

_peut

se rassembler en don-nant un « mur » ou une colonne obstruant

_plus

ou moins le tube. Poussières et

_liquides

introduits dans le tube A se rassemblent au

_voisinage

des

pistons

_pi ou _{pZ s’ils sont}

_plus

lourds que le fluide

ambiant,

dans la

_région

médiane dans le cas contraire.

Lignes

de vibration pour un

_disque

oscillant selon son axe. - On fixe le

disque

à l’extrémité d’une

_tige

de fer dont les vibrations sont entrenues _par un fort électro parcouru par le courant alternatif du secteur. e Pour que le

disque puisse

être considéré

comme oscillant selon son axe, il faut

_prendre

une

_tige

assez

_longue.

On

_peut

_également

monter de

_légers

_disques

en aluminium sur l’une des branches d’un

_diapason

entretenu. On

aura soin de compenser sa masse _par une

_surcharge

convenable

_disposée

sur l’autre branche.

Une cage vitrée assez

_{gande (60}

cm X 60 cm X 60

_{cm) protège}

le

_disque

des remous et

courants aériens. On

_répand

à l’intérieur de

_{la cage}

des

_poussières

diverses et au _{moyen d’une}

lentille

_cylindrique

on éclaire violemment un

_plan

mince

_passant

_{par l’axe.}

Les

_lignes

de vibration ont l’allure

_indiquée

_{par la}

_figure

2. Elles ressemblent aux

_lignes

de

force,

du

_{champ magnétique}

créé par un courant circulaire et aboutissent

_quasi

norma-lement au

_plan

du

_disque.

Elles sont toutefois

_légèrement

inclinées vers l’extérieur surtout

au

_voisinage

du bord. Il est _{vrai que dans cette}

_région

les

_poussières

ne _{donnent pas les}

lignes

instantanées de courant

_{(entraînées}

_{par le}

_corps)

mais des

_{portions plus}

ou moins étendues de

_{trajectoires.}

La forme des

_lignes

de vibration

_{paraît indépendante}

de la

_fréquence

, du moins

si,

comme dans mes

_{expériences,}

le diamètre du

disque

demeure

_petit

devant la

longueur

d’onde. Elle ne

_peut

être déterminée avec

_précision

_{que pour des}

_fréquences

n’excédant _{pas 150. Aux}

_{fréquences supérieures}

les

_poussières

cessent d’être visibles sur la

totalité de leur parcours et la circulation

_{s’exagère.}

Lignes

de vibration pour une

_{sphères. -}

Elles ont l’allure de celles

_{prévues par la}

théorie. Leur

_aspect

aux

_fréquences

audibles est

_analogue

_{à celui que} l’on

_peut

observer

aux basses

_fréquences

_{et que M. Bouasse} et moi avons

_{déjà indiqué}

dans

_{l’ouvrage :}

Tour-billons - Tome

11,

page 51. Dans ce _{même ouvrage} on trouvera

_{exposée aux §}

32 et 33 la manière dont la viscosité modifie 1 allure des

_{phénomènes.}

Phénomènes sonores. -

a)

Disque. -

Que

le

disque

oscille dans l’air ou dans

l’eau,

en

_déplaçant

l’orifice d’une sonde dans son

_voisinage,

on

_perçoit

un son dont la

fréquence

est celle de l’oscillation.

L’intensité,

maximum au centre des deux

_faces,

décroît lentement et

_{régulièrement quand}

on

_s’éloigne

axialement. Sur les faces du

_disque,

elle

décroît radialement et s’annule à la

_périphérie

à une

_petite

distance du bord. Elle demeure nulle dans le

_plan

du

_disque,

en dehors de ce dernier. Maintenons l’orifice de la sonde sur une

_sphère

_{de rayon r,} l’intensité du son décroît

_légèrement

à mesure

_qu’on

s’écarte de l’axe et s’annule assez

_brusquement

dans le

_plan

_équatorial.

Celui-ci constitue donc une

nappe de silence s’étendant fort loin du

_disque.

_Küsling

a

_également

constaté l’existence

L’octave

_masquée

par le fondamental sur les faces du

_disque

est nettement perçue dans le

plan équatorial.

Elle subsiste alors que le

régime

est

_purement

_{vibratoire et par suite} son existence ne

peut

àtre

_expliquée

_par l’influence de tourbillons nés sur les arêtes.

A basse

_fréquence

_{(iV 1 100)}

_{la nappe de silence} est mal déterminée en ce sens _{que le} son très faible de

_part

et d’autre du

_{plan équatorial}

ne

_parait

_{pas s’annuler}

_brusquement

dans ce

_plan.

Aux

_fréquences

_{supérieures,}

la zone de silence s’amincit et se réduit à un

quasi-plan.

Elle est dans tous les cas

_plus

nette _{dans l’eau que dans l’air.}

Aux

_grandes

_{amplitudes (a}

> 3 mm _{pour N} =

_100),

le bord du

_disque

est le

_siège

de

phénomènes

tourbillonnaires intenses que l’on

peut

étudier en enduisant le

_disque

d’une solution concentrée de

_phosphore

dans du sulfure de carbone

_(méthode

de

l’abbé Carrière).

Des enroulements se détachent du

_disque

et If’, circulation est violente. Les

_lignes

de vibra-tion ne sont

_cependant

_{pas sensiblement modifiés à}

_quelque

distance du

_disque.

Sur ses faces l’intensité du son

_croit;

dans le

_{plan équatorial}

on observe de curieux

_{phénomènes,}

Il existe autour du

disque

une sorte de tore à l’intérieur

_duquel

le son est

_intense,

et l’on y entend l’octave du fondamental.

L’épaisseur

de ce tore est

_légèrement

_supérieure

au double de

_{l’amplitude.}

Il est entouré vers

_{l’extérieur,}

_toujours

dans le

_{plan équatorial,}

d’une zone

de faible étendue dans

_laquelle

on

_perçoit

en

_{s’éloignant}

radialement d’abord un roule-ment,

_puis

des

_{crépitements}

isolés. On atteint enfin la zone de silence clans

_laquelle

on

continue d’entendre faiblement l’octave.

Pour étudier les variations de

_pression

sur les faces du

_disque,

relions le tube-sonde à une

_capsule

de

_Koenig"

examinons la flamme au miroir tournant. I,isse

_lorsque

l’orifice du tube est dans lé

_{plan équatorial,}

_{elle devient dentelée pour} toutes les autres

_positions.

Utilisons deux

_{capsules identiques}

et des tubes de même

longueur,

dont les orifices sont

symétriquement disposés

par

rapport

au

_plan

du

_disque.

L’examen des flammes montre

que les variations de

pression

sur les deux faces du

_disque

ont _{à peu}

_près

la même

ampli-tude et sont en

_opposition

de

_pllase.

Pour vérifier simultanément

_{l’égalité}

des

_amplitudes

et

_{l’opposition}

des

_phases,

on

_peut

relier

_{symétriquement}

_{les deux sondes à l’oreille par}

un tube

_unique,

on ne

_{perçoit plus}

le

fondamental,

mais on entend nettement l’octave.

b)

Sphère. -

On observe les mêmes

_{phénomènes.}

Le

_fondamental,

intense au

voisi-nage des

pôles,

s’éteint dans le

_plan

_équatorial

où l’on

_perçoit

l’octave.

Origine

des nappes de silence. -

Comme de telles nappes existent au

_voisinage

de tous _{les corps vibrant dans l’air} ou dans

l’eau,

il

_{importe d’expliquer}

leur existence. Trois

_hypothèses

_peuvent

à

_priori

être

émises,

la

_première

seule est nouvelle.

a)

On

_peut

se demander si ces _nappes ne résultent pas de la forme et des

_propriétés

de l’écoulement alternatif du fluide autour du corps en vibration.

b)

On

_peut

être tenté de les considérer comme les surfaces ventrales d’une onde sta-tionnaire existant autour _{du corps.}

c)

Elles

_peuvent

enfin résulter de l’interférence d’ondes

_progressives

_{émises par le} corps considéré comme « source double o.

a)

L’existence des nappes de silence

peut

être

_expliquée

_par l’écoulement alternatif du fluide autour _{du corps. -} Il est évident

_{qu’au voisinage}

_{immédiat du corps, dans} son

domaine,

la

_{compressibilité}

ne

_peut

_guère

modifier les

_{phénomènes;}

tout se _passe

vraisem-blablement comme si le fluide était

_{incompressible.}

D’ailleurs à l’intérieur de tout volume

dont les dimensions demeurent

_petites

devant la

_longueur

d’onde du son,

l’équation

fonda-mentale :

se réduit

_pratiquement

à :

quasi

identiques

à celles des fluides

_{parfaits incompressibles.}

C’est d’ailleurs ce _que

montre

_{l’expérience.}

IL est _{vrai que la formule}

₍₁₎

_{suppose les} mouvements assez

_petits

pour que le carré et les

produits

des vitesses soient

négligeables.

Or il est facile de montrer

_{qu’au voisinage}

_{d’un corps oscillant dans} un fluide

incom-pressible,

existent des variations de

_pression

s’annulant dans le

_{plan équatorial.}

Raison-nons sur le

_disque.

Les

_lignes

de vibration issues d’un élément s du

_disque

constituent un

tube de vibrations dont est _{la section par le}

_{plan équatorial.}

Ce dernier divise le tube en

deux

_{portions V,}

et

_{v2 d’égal}

volume.

_Lorsque

l’accélération du

_disque

est

_dirigée

vers le

haut,

il pousse les éléments du fluide contenu dans

Vi ,

tire sur ceux contenus dans

_V2;

d’où des excès de

_pression

dans

Vl,

des

_dépressions

dans

V2.

En tout

_point

A de

_Vi

la

pression

est de la forme

_{(je néglige}

les variations de

_pression

dues à la vitesse actuelle des éléments du

_{fluide) :}

-et en tout

_point

l~ de

_V2,

elle a _pour

_expression

po sont les

_pressions

aux

_{points considérés,}

en l’absence de toute vibration.

pi et

p’,

sont les

amplitudes

de la variation de la

pression.

Si A et B sont

symétriques

par

rapport

au

_plan

du

_{disque, pi}

_{== p’t.}

Les

_amplitudes

_Pi 1 décroissent

quand

on décrit une

ligne

de vibration en allant

du

_disque

vers le

_plan

_{équatorial,.}

Il est clair que ces variations de

_pression

suffisent à

_expliquer

l’existence d’un son ; le lieu des

points

où elles s’annulent est évidemment une zone de silence.

Pour un fluide

_{incompressible,}

les excès de

_pression

sur la face

_avant,

les défauts de

pression

sur la face arrière sont en

_phase

avec l’accélération du

_disque.

Par

_suite,

_quelle

que soit la distance

_séparant

deux

_{points A}

et A’ situés d’un même côté du

_plan

du

_disque,

quelle

que soit leur distance à ce

_dernier,

les

_pressions

_{y doivent être} en

_phase.

_Or,

l’expé-rience _{montre que pour}

_l’air,

le retard de la

_pression

sur l’accélération du

_disque

croît

continuement

_quand

on s’en

_éloigne

axialement. La continuité de la variation dans la

_phase

de la

_pression

avec la

distance, permet

de conclure que le

_disque

donne directement nais-sance à deux ondes

_progressives

décalées de Tc. Il se

_peut

_{que leurs}

_lignes

de vibration

diffèrent des

_lignes

instantanées de courant considérées ci-dessus

_{(et qu’elles}

ne feraient que modifier

légèrement).

On

pourrait

admettre,

par

exemple,

que sur les

_régions

cen-trales du

_{disque apparaissent}

des condensations et des dilatations se

_propageant

radiale-ment dans le milieu ambiant. Les deux ondes auraient pour frontière commune le

_plan

équatorial,

et comme elles ont même

_origine,

même

_amplitude,

mais sont en

_opposition

de

phase,

la zone frontière ne

_{pourrait qu’être}

une zone de silence. Il n’en reste pas moins que

l’existence d’une nappe de silence est un

_phénomène

d’écoulement alternatif non conditionné

par la

compressibilité

du milieu,

Le calcul des variations de

_pression

au

_voisinage

_{d’un corps oscillant} au sein d’un fluide

_{incompressible}

est _{aisé pour} une

_{sphère. (Voir Hydrodynamique générale.}

Bouasse-page

156).

A la surface de la

_sphère

où elles sont

_maximum,

_{elles ont pour}

_{expression :}

La valeur du

terme 1

p

R 3

cos x

du

maximum sur la

_ligne

des

_{pôles (a}

=

_0),

nulles

2 9. dt

dans le

_{plan équalorial,}

est en

_rapport

avec l’intensité du

fondamental;

elle croît avec

la densité du milieu. Faisons osciller avec la même

_fréquence

et la même

_amplitude,

un

disque

on une

_sphère

dans l’air,

_puis

dans

l’eau;

on entend, dans ce dernier fluide un son

_{beaucoup plus}

intense que dans l’air

_(utiliser

une

_{sonde). Supportable}

dans

l’air,

il

i

Le

terme 1

_p

2013

₍₉

cos 21): -

5) négligeable

devant le

_précédent

au

_voisinage

des

_pôles

2 4

subsiste seul dans le

_{plan équatorial.}

Il suffit à

_expliquer

l’existence de l’octave

_signalée

par différents auteurs autour des corps vibrants. Les

expériences

montrent que pour l’octave les

_pressions

sont en

_phase

sur _{les faces avant et arrière du corps vibrant. Cette}

propriété

ne

_peut

être

_expliquée

_{que par l’influence} sur les variations de la

_pression

d’un terme

_indépendant

du sens de la vitesse.

Or,

dans

_{l’expression analytique}

des

pressions

autour _{d’un corps}

_vibrant,

on trouvera

_toujours

un terme

_{proportionnel}

au carré de la

vitesse.

Les nappes de silence

peuvent

donc être considérées comme étant les surfaces sur

lesquelles

la

_pression

_{demeure constante par suite des conditions d’entretien du mouvement} du fluide. La

_région

de

_l’espace

dans

_laquelle

les variations de

_pression

_dépendent

au

premier

chef des

_lignes

de vibration liées au _{corps constitue} ce _{que M. Bouasse}

_appelle

le

cc domaine » de la source. Si l’on voulait user de

comparaisons électromagnétiques,

on

pourrait

comparer les vibrations du

disque

aux oscillations d’un courant circulaire

_plan.

Les

_phénomènes

sonores au

_voisinage

immédiat du

_disque

auraient leur

_équivalent

dans la

production

d’une _{force électromotrice par induction}

_faradique

dans tout circuit

_placé

au

voisinage

du corps oscillant.

Comme en l’absence de tout obstacle dans le

_voisinage,

le fluide

_peut

_{librement passer} de l’avant à l’arrière _{du corps}

oscillant,

les variations de

_pression

sont

faibles,

à moins que l’accélération ne soit énorme

_{(W grand).}

Le son _perçu au

_voisinage

des

_disques

ou des

diapasons

graves est

toujours

très

faible,

inaudible au loin. Si l’on

_dispose

au

_voisinage

du corps

vibrant,

des obstacles aux

_lignes

de

vibration,

l’écoulement est

_gêné

et modifié: les variations de

_pression

_augmentent

et il en est de même de l’intensité du son

perçu, L’obstacle

peut

d’ailleurs être ébranlé et devenir source induite. En tant _que source,

il émettra dans le milieu ambiant une onde

_progressive,

ou entretiendra dans une cavité

qu’il

limite une onde stationnaire de

_laquelle

se détachera une onde

_progressive.

Dans certains cas une onde stationnaire

_peut

exister entre _{le corps} et l’obstacle.

Comme on le verra

_plus

_loin,

la

_divergence

des

_lignes

de vibration s’annule en

changeant

de sens à la traversée des zones de

silence;

pour un fluide

_{incompressible}

les

amplitudes

du

_déplacement

et de la _{vitesse y} sont minima ou maxima.

b)

Les _nappes de silence et les ondes stationnaires. - A moins de

changer

la défi-nition de l’onde

_{stationnaire,}

on ne

_peut

considérer les zones de silence comme étant les

surfaces ventrales d’une telle onde. Si en effet une telle onde existait autour _{du corps} en

déplaçant

axialement un tube sonde à l’intérieur du tube de vibration _{formé par les}

_lignes

issues d’un élément central s du

_disque,

on devrait constater des variations

_périodiques

de l’intensité

_(noeuds

et

_{ventres). L’expérience}

montre un affaiblissement

_progressif

et

régu-lier du son, sans minimums

nets,

et l’on ne

_peut

raisonnablement soutenir que sur

_l’axe,

la surface ventrale est

_rejetée

à l’infini.

c)

Les _{nappes de} silence et les ondes

progressives. - Chaque

face du

_disque

émet dans le milieu ambiant une onde

_{progressive ;}

les deux ondes sont décalées de -,z et admettent le

_{plan équatorial}

pour zone frontière. Ce

_plan

est nécessairement un

_plan

de silence. L’existence d’ondes décalées de c suffirait à

_expliquer

celle des nappes de

silence,

mais cela

ne _{prouve nullement que} ces dernières ne

_puissent

avoir une autre

_origine.

Disque

entouré d’un anneau de

_garde.

- L’anneau de

garde

est

_découpé

dans

une

_planchette

mince

_~e

= 5

_mm).

Il mesure 40 à 60 cm de diamètre. Le

disque

en alumi-nium a un diamètre de 8 cm et une

_épaisseur

de 4 mm. Entre l’anneau et le

_disque

existe

1

un vide

de -

à 1 mm. Il est bon que les

amplitudes

du

_disque

n’excèdent _{pas 3} à 4 mm.

G) . Les

montre

_{l’expérience}

_{pour des}

_largeurs

de l’anneau

_petites

devant la

_longueur

d’onde et n’excédant pas non

_{plus 5}

_{à 6 fois le rayon de}

_disque.

Le son fourni _{par le}

_système

est.

_plus

intense que pour le

disque

isolé. A la distance - _r du

centre,

il _a à peu

près

la même inten-sité

_quel

que soit l’azimut dans

lequel

se trouve l’orifice de la sonde.

_Lorsqu’on

fait croître

r

lentement,

l’intensité du son diminue

_{régulièrement.}

Sur les deux faces de l’anneau de

garde,

elle diminue

_quand

on se

_rapproche

du bord externe et s’annule au delà. Nous

retrouvons la zone

_équatoriale

de _{silence aussi bien dans l’air que dans} l’eau et son

exis-tence

_s’explique

_{par les considérations}

_{précédemment développées.}

Fig. 2.

Une

_{expérience simple}

met en évidence

_{l’opposition}

de

_phase

des variations de la

pression

sur les deux faces du

_disque

et de l’anneau de

_garde.

_Perçons

dans ce dernier de

petits

trous de 1 à 2 mm de diamètre. Ils sont le

_siège

d’un écoulement alternatif

_pouvant

t

donner un double

_jet

stratifié

_qui

sur

_chaque

face semble issu de l’orifice créé.

_(Le

bord du trou sera enduit d’une solution concentrée de

_phosphore

dans du

Disque percé

d’un trou central. -

_a)

_Quand

le diamètre du trou est seulement de

_quelques

_{millimètres,}

les

_phénomènes

sont

_{généralement}

_pulsatoires.

L’orifice donne

naissance

à un double

_jet

stratifié

₍₁₎

normal au

_plan

du

_disque.

L’oscillation du

_disque

a _{pour effet d’établir entre les deux faces de l’orifice} une différence de

_pression

alternative.

b)

Quand

le diamètre du trou devient de l’ordre de 3 à 4 cm _pour un

_disque

de 10 cm

de

diamètre,

les

_lignes

de vibration

_prennent

l’allure

_indiquée

_{par la}

_figure

3. Le

_disque

est ainsi

_{progressivement}

converti en couronne

_plane.

_Quand

la

_largeur

R - r de la cou-ronne devient

_petite

devant le rayon du trou

central,

les

_lignes

de vibration données par les différents éléments de la couronne

_deviennent,

dans son

_voisinage

_immédiat,

semblables

à celles _{fournies par} une

_{plaque plane}

de

_largeur

constante oscillant normalement à son (1) ABBÉ CARRIÈRE. J.

_{Pfiys. 10}

_(1929). - 3IART; LÉON. Contribution à l’étude de l’Ecoulement des Fluides

plan (figure 7).

Le

_{plan équatorial}

demeure une zone de silence à l’extérieur du

_disque

et

à la traversée du trou

_central,

le son est affaibli..

Fïg. 3.

Disque

oscillant au

_voisinage

d’un

_plan

parallèles. -

Le

disque

mobile a 8 cm

de

diamètre,

il oscille au

_voisinage

d’un second

disque

de 60 cm de diamètre et coaxial

4.

au ter. La

_{figure 4}

_indique

l’allure des

_lignes

de _{vibration pour} une distance du

_disque

au

plan

fixe

_égale

à 5 cm. En les

_comparant

à celles de la

_figure

5 on _{voit que l’action du}

plan

P est

_identique

à celle d’un

_disque

D’

_symétrique

_{de D par}

_rapport

à P et oscillant

en

_opposition

de

_phase

avec D. On

_peut

voir là une vérification du

_principe

des

_images.

Il existe une zone de silence dont la

_{figure 4 indique}

en

_pointillé

la méridienne. L’existence de cette nappe

s’explique

comme

_{précédemment.}

Considérons le tube de

tion dont les _{sections par le}

_disque

et _{la nappe de silence sont s et S.}

_Lorsque

l’accéléra-tion du

_disque

est

_dirigée

vers le

haut,

il pousse les éléments du fluide situés au-dessus de .

lui,

tire sur ceux situés

_au-dessous;

d’où ~les excès de

_pression

dans

Vi

des défauts de

péession

dans

V,.

La

_pression

sur S dcmeure invariable d’où le silence.

La

présence

de P a _{pour effet}

_{d’augmenter légèrement}

l’intensité du son au

_voisinage

du

_disque.

Disques

en

_opposition

de

_phase

_(diapasons).

- Utilisons _un

diapason

dont les deux branches de

_longueur

_réglable

_portent

chlcune un

_disque

en aluminium de 8 cm de

diamètre,

épais

et à bords arrondis

_(pour

diminuer les

circulations),

distants l’un de

l’autre de 5 cm. Les vibrations du

_système

sont entretenues par le courant alternatif du secteur. 0a

_peut

aussi monter les

_disques

sur un

_diapason

entretenu ordinaire. Aussi bien

Fig. 5.

dans l’air que dans l’eau les

lignes

de vibration ont l’allure

_indiquée

_{par la}

_figure

3. Elles

rappellent

les

_lignes

de force du

_{champ magnétique}

_{créé par deux} courants circulaires de

sens

_{contraire, coaxiaux,}

_{de même rayon, de même intensité. Dans La}

_région

centrale elles

aboutissent

quasi

normalement au

_plan

des

_disques,

à la

_périphérie

elles sont inclinées

vers l’intérieur et leur inclinaison croît à mesure

_qu’on

se

_rapproche

des bords. On ne

pourrait

que

répéter

à ce

_sujet

ce

_qui

a

_déjà

été dit à propos du

_disque.

Disposons

dans le

_plan

de

_symétrie

_compris

entre les deux

_{disques vibrants,}

un

_disque

fixe de rayon

quelconque :

les

_lignes

de vibration et les

_phénomènes

sonores ne sont _pas

modifiés;

d’où la conclusion énoncée au

_paragraphe

_précédent

au

_sujet

de l’action du

_plan.

Il _{existe deux nappes de silence}

_symétriques

_{l’une de l’autre par}

_rapport

au

_plan

médian et non raccordées entre elles. Entre les deux

_disques

le son est

_intense,

et le bord de chacun d’eux est le

_siège

des

_{phénomènes singuliers signalés}

_{à propos d’un}

_disque

unique.

Disques

en

_phase.

Double

_cône,

diabolo,

cylindre. -

Les

_lignes

de vibration sont

indiquées

dans

_l’ouvrage

de M.

_Bouasse,

Tourbillons. Tome n.

_Chapitre

III. Je les avis

étudiées dans l’eau et à basse

_fréquence.

Leur allure aux

_fréquences

_audibles,

tant dans

et décrite dans

_l’ouvrage

ci-dessus cité. La

_figure

6

_indique

la forme des nappes de silence

pour deux

disques

oscillant en

_phase

avec des

_{amplitudes égales.}

Les nappes dont S et S’

sont les méridiennes sont celles données

_séparément

par

chaque disque.

La nappe

équato-riale est celle donnée par le

système

des deux

_disques

associés.

Fig. 6.

Plaque rectangulaire

dont la

longueur

est

_grande

devant la

largeur.

--Dans la

_région

médiane

_(normalement

à la

_longueur)

les

_lignes

_{de vibration sont à peu}

près

celles d’une

_plaque

indéfinie de

_largeur

constante. Leur étude est extrêmement inté-ressante car il est _{facile de comparer celles fournies par}

_{l’expérience}

à celles

_prévues

par la théorie des fluides

_{parfaits (1).}

La

_figure

7

_indique

les

_lignes

_{instantanées de courant pour} une

_plaque

de 3 cm de

largeur,

et ~0 cm de

_long.

Il est très difficile d’obtenir des oscillations

_planes

aux fré-quences

élevées

(N >

100).

On

prendra

des

_plaques

d’aluminium de 3 à 4. mm

_{d’épaisseur.}

L’observation des

_lignes

de vibration est aisée dans l’eau aux basses

_fréquences

_20).

Celles _{que donne}

_{l’expérience}

ne

_paraissent

_{pas sensiblement différer de celles que}

_prévoit

la théorie des fluides

_parfaits.

Je me _{propose d’ailleurs de}

_reprendre

la

question

_pour

étudier en

_particulier

la distribution des vitesses autour de la

_plaque.

Les

_lignes

de vibration latérales aboutissent à la

_plaque

sous un

_{angle x qui}

ne

_paraît

pas différer de

l’angle

théorique.

Soit MNM une

_ligne

instantanée de courant. Posons :

La théorie

_indique

la relation : >

La distance ON est donnée en valeur absolue par la relation :

Les relations

_(I)

et

_(II)

_paraissent

assez bien vergées. Comme

_toujours

le

_plan

_équatorial

est un

_plan

de silence.

1

Fig. ’1.

Deux

_plaques

vibrant en

_opposition

de

phase

constituent

l’équivalent

d’un

diapason.

La forme des

_lignes

de _{vibration s’écartant peu de la forme des}

_lignes

instantanées de courant donnée par la théorie des fluides

_parfaits,

on

_peut

de cette théorie déduire la forme et la

_position

des zones de silence.

Oscillations de rotation. - Zones de silence des

_{plaques. -}

_a)

Oscillations

de rotation d’une

_{plaque rectangulaire. -}

Une

_plaque

de fer de 10 à 15 cm de

_{long, 5}

à

6 cm de

_large,

0,4

cm

_{d’épaisseur}

est soudée a un axe d’acier 00’ contenu dans le

_plan

de la

_plaque

et

_{perpendiculaire}

aux

_longs

côtés. L’axe 00’ est solidement encastré de

_part

et d’autre de la

_plaque.

Cette dernière écartée de sa

_{position d’équilibre}

et abandonnée à elle-même vibre autour de l’axe 00’. On provoque les yibrations en donnant de

_petits

chocs

sur les extrémités A ou

_B,

on

_peut

les entretenir en

_disposant

au-dessous de ces extrémités

un _{électro parcouru par le courant} alternatif du secteur. Il faut alors

_régler

la

_longueur

de l’axe de manière que la

fréquence

des oscillations

_proposées

au

_système

soit celle du cou-rant utilisé

_(100).

,

La forme des

_lignes

de vibration e~t

_indiquée

sur la

_figure

8

_{(à gauche).}

Pour les

cir-culations,

variables avec

_{l’amplitude}

_{et que}

_j’ai

_{précédemment étudiées,}

_je

renvoie au

chapitre

IV de

_l’ouvrage

de M. Bouasse

_~~i).

Aux

_fréquences

acoustiques

la

_plaque

vibrant autour de son axe rend un son. Le

_plan

moyen et le

plan

de

symétrie

zz’

passant

par l’axe sont des

plans

de silence.

L’exis-tence de ces

_plans

_pouvait

être

_prévue

_{par les considérations}

_{développées}

à propos du

disque.

Quand

la

_plaque

est

_{disposée dissymétriquement}

_par

_rapport

à son axe, les

_lignes

de

vibration se modifient.

_Supposons

_{que l’axe 00’} se

_place

vers l’extrémité

A,

tout en

demeurant normal aux

_longs

côtés. Le

_système

de

_lignes

de vibration donné par le bord A

se

_réduit,

le

_plan

ZZ’ se

_{séplacc vers}

A,

se courbe vers la

_gauche

et cesse de s’étendre à l’infini

_{(théoriquement}

du moins . Un certain nombre de

_lignes

de v ibration

_l’issues

des éléments situés à droite de l’axe

_(sur

_OB)

viennent contourner le bord A. A la

_limite,

on a

les

_lignes

de vibration d’une

_plaque

mobile autour de l’un de ses côtés

_(1),

et seule subsiste la zone de silence

_{équatoriale (plan}

moyen de la

lame).

b)

Vibrations d’une

_plaque

carrée ou

_{rectangulaire.}

- On sait

qu’une plaque

carrée

ou

_{rectangulaire}

_peut

vibrer d’une infinité de manières. Dans tous les cas on

_constate,

dan s le milieu

ambiant,

l’existence de zones de silence normales aux

_lignes

de vibration.

,

Leur existence et leur

_position

résultent des considérations

_{précédemment développées.}

Considérons le cas où les

_diagonales

AC et BD

_c’fig.

8 à

_droite)

sont des nodales et les

4 bords libres des ventrales. A l’instant

_considéré,

les

_quartiers

COD et AOB

_{(marqués +)}

bombent vers le

_haut;

les

_quartiers

BOC et AOD

_marqués

_-)

descendent vers le bas. Les

diagonales

AC et BD sont des axes de rotation pour les

_parties

voisines. Le mouvement est

nul au centre de la

_plaque.

Sur la

_figure

8,

la

_ligne

Lm

indique

la forme des

_lignes

de vibration dans les

_plans

verticaux de

_symétrie.

La forme de ces

_{lignes explique}

_{que le}

_plan

_{moyen de la}

_plaque

soit une zone de silence. Au-dessus des

_diagonales,

l’air va du

_{quartier qui}

s’élève à celui

qui

s’affaisse selon des

_lignes

_{telles que Ld. Ces}

plans

coupant

perpendiculairement

la

plaque

selon les

_diagonales

sont encore des

_plans

de silence.

Ici encore le mouvement de l’air autour de la

_plaque

se réduit à un écoulement alternatif. L’air

_pouvant

librement contourner le~ bords et _{passer au-dessus des}

diago-nales pour aller du

quartier

qui

s’élève à celui

_qui

_{s’affaisse,}

_{les variations de} pres-sion demeurent

faibles,

à moins que les accélérations ne soient énormes. L’intensité des sons _{graves demeure faible. Tout obstacle}

_placé

dans le

_voisinage

de la

_plaque,

normale-ment aux

_lignes

de

_{vibration, gène}

le mouvement,

_augmente

les variations de

_pression

et

par suite accroit l’intensité du son.