MODÈLE ANALYTIQUE SIMPLE DU COUPLAGE FLUIDE-STRUCTURE POUR UN SYSTÈME N-UPLE 2ème PARTIE : APPLICATION À UNE COQUE DOUBLE FINIE

(1)

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Submitted on 1 Jan 1990

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MODÈLE ANALYTIQUE SIMPLE DU COUPLAGE FLUIDE-STRUCTURE POUR UN SYSTÈME N-UPLE

2ème PARTIE : APPLICATION À UNE COQUE DOUBLE FINIE

C. Cacciolati, M. Gotteland, M. Barbe, M. Goulain

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C. Cacciolati, M. Gotteland, M. Barbe, M. Goulain. MODÈLE ANALYTIQUE SIMPLE DU COU- PLAGE FLUIDE-STRUCTURE POUR UN SYSTÈME N-UPLE 2ème PARTIE : APPLICATION À UNE COQUE DOUBLE FINIE. Journal de Physique Colloques, 1990, 51 (C2), pp.C2-249-C2-252.

�10.1051/jphyscol:1990260�. �jpa-00230681�

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1er Congrès Français d'Acoustique 1990

MODÈLE ANALYTIQUE SIMPLE DU COUPLAGE FLUIDE-STRUCTURE POUR UN SYSTEME N-UPLE 2ème PARTIE : APPLICATION À UNE COQUE DOUBLE FINIE

C. CACCIOLATI, M. GOTTELAND, M. BARBE et M. G0ULAIN<1>

Laboratoire Vibrations-Acoustiques (L.V.A.), Bât. 303 INSA Lyon, 20 Avenue Albert Einstein, F-69621 Villeurbanne Cedex, France

Résumé - Nous généralisons la présentation théorique du système étudié dans Ta première partie, au cas des systèmes n-uples. Nous montrons que le choix d'une base de calcul convenable peut conduire â un calcul rapide d'une solution approchée avec une précision acceptable. Un exemple est présenté pour le calcul de l'isolement acoustique d'une coque cylin- drique double de longueur finie.

Abstract - The theoretical study we presented in the first part is gene- ralised to n-uple system. The a p p r o x i m a t i o n of the exact solution is per- formed by a good choice of the computation base. A comparison between exact solution and approximate solution is given for a double walled cylindrical shell of finite lenght.

1 - INTRODUCTION

Nous reprenons les calculs présentés dans la première partie, concernant une structure mince séparant deux milieux fluides. Nous conservons une excitation acoustique et présentons une généralisation au cas de structure n-uples cons- tituées d'une succession de structures minces séparées par un milieu acousti- que. On considère les couplages fluide structure et on suppose qu'il n'y a pas de liaison solidienne entre les structures. La bibliographie sur ce type de système est principalement donné par SPRONCK |1| pour les plaques, par POLLACK - KLOSNER |2| et KOVAL |3| pour les cylindres. Nous établissons le système d'équations d'équilibre, et montrons comment un choix judicieux de la base de calcul peut conduire à un calcul rapide de la solution cherchée avec une précision acceptable.

2 - E Q U A T I O N S D ' E Q U I L I B R E

L e s y s t è m e é t u d i é e s t c o n s t i t u é p a r :

i p ^1 S . a v e c p o u r :

" i + 1 , i i =» 1 M i l i e u e x t é r i e u r ( o n d e e x c i t . )

" - 1 . , i = n + I M i l i e u i n t é r i e u r

° i + 1 n-1 Milieux acoustiques interm.

n Structures

Dans le milieu 1 extérieur, une onde excitatrice incidente existe. La surface S* de la première structure crée un champ de pression qui est décomposé comme dans la première partie en un champ de pression réfléchie,/surface S^ bloquée, et un champ de pression rayonnée dû â la vitesse normale WA de cette surface.

p « = Pbl + pr a y

Nous supposons connue la fonction de GREEN G"1 du milieu 1 ou encore Z*1 l'im- pédance de rayonnement sur la surface de S^ .

"V e C : pr a y = -p,»*/ M * / dSp = Z7 W"1

pA< = P b l + Z ^ W"* (1)

Dans le milieu intérieur la pression satisfait l'équation d'HELMHOLTZ et l'équation d'EULER sur la surface S . Nous supposons connue la fonction de GREEN G"1*1 de ce milieu.

n + l,n 2 firn rn + l ._ Tn,n .".n ,„,

Pn = " ^ iW( M , P ) G( P ) d S p " Zn + 1 W (2)

# Ingénieur AEROSPATIALE TOULOUSE

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1990260

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C2-250 COLLOQUE DE PHYSIQUE

où e s t 1 'i m p é d a n c e de r a y o n n e m e n t de Sn d a n s l e m i l i e u i n t é r i e u r .

Dans l e s mi l i e u x i n t e r m é d i a i r e s l a p r e s s i o n s a t i s f a i t t o u j o u r s a u x mêmes é q u a - t i o n s . La f o n c t i o n de GREEN G C e s t s u p p o s é e c o n n u e . On a u r a e n t o u t p o i n t M de c e m i l i e u :

i w i - l

P ( M ) = - p i W Z (M,P) G ' ~ S ~ - ~ - * piu 2 L . i ~ A , p G~ dsi p i , M =

zy,i-l

^{i i - 1}⁺

zy,i

ii

d ' o ù l e s p r e s s i o n s à l a s u r f a c e de S+-, e t S i e t d a n s l e m i l i e u i.

r":-l] =

r;-l,i-l

9 1 zi , i - 1

L ' é q u i l i b r e d e s s t r u c t u r e s se t r a d u i t p a r :

L w i = p i+l,i i ,i

-

^P ^{( 4 )}

O U : ^=si

w

ⁱ₌ _P^i+l,i

-

^pi^Y ⁱ _{( 5}

₁

Le p r o b l è m e e s t a l o r s c o m p l è t e m e n t f o r m u l é . Nous a l l o n s c h o i s i r u n e p r é s e n t a - t i o n des é q u a t i o n s q u i e s t b i e n a d a p t é e à 1 ' é t u d e de 1 ' i s o l e m e n t a c o u s t i q u e de l a s t r u c t u r e n - u p l e . P o u r c e l a , on c o n s i d è r e q u e Pb1 e s t un t e r m e d ' e x c i t a - t i o n u n i q u e m e n t d é p e n d a n t de l a g é o m é t r i e de Si, d e l ' o n d e i n c i d e n t e e t du m i l i e u 1. L e s i n c o n n u e s f i n a l e s s o n t p*r e t p-sm q u i p e r m e t t e n t d e d é f i n i r p a r e x e m p l e u n i s o l e m e n t b r u t .

2

-Pr;-,"

Db = 10 l o g ] < p l 1 > / <p > I ( 6 ) C a l c u l p r a t i q u e .

Il e s t i n t é r e s s a n t p o u r d i m i n u e r l a q u a n t i t é d e c a l c u l s d ' é l i m i n e r u n e p a r t i e d e s i n c o n n u e s i n t e r m é d i a i r e s . S i n o u s é l i m i n o n s l e s p r e s s i o n s pL) e n u t i l i s a n t l e s r e l a t i o n s d ' i m p é d a n c e 111 121 131 141. Deux s y s t è m e s d ' é q u a t i o n s s o n t é t a - b l i s : l e p r e m i e r s u r l e s i n c o n n u e s f i n a l e s :

P" = Pb)+z:'

W'

p ~ + m = Z+W

W m

^{( 7 )}

m ++

Le d e u x i è m e a p o u r t a i l l e l e n o m b r e de s t r u c t u r e s i c i n ,

. .

S i o n n o t e :

z* :

⁼

: : z -

^{( z s i}⁺

z ? ~

⁾ ^{a v e c}ⁱ⁼ ¹^à ⁿ

0 ; .i, i f

ir~++

-

^WL-.L ⁺

zl.

W + Z*++

'Z, = O

T o u t e f o i s , p o u r l a l è r e e t l a d e r n i è r e d e s é q u a t i o n s , il y a u n e m o d i f i c a t i o n .

pour i = 1 WL-l

A e s t r e m p l a c é p a r Pb1 a u 2ème membre

P o u r i =n

zp;'

^{i i t c} n ' e x i s t e p a s , on a e n d é f i n i t i v e l e s y s t è m e ( 7 ) e t l e s y s t è m e t r i d i a g o n a l ( 8 ) .

[[T.] ^- +[icj+ [ ? ? ] [ i ]

⁼ ^[P;l] n o t é e

[z~D][$]

^{( 8 )}

3

-

RESOLUTION

On p r o c è d e p a r p r o j e c t i o n des f o n c t i o n s

4i

e t des o p é r a t e u r s

Z?

s u r u n e b a s e Dans c e s y s t è m e r é p é t i t i f , o n f a i t l ' h y p o t h è s e q u e t o u t e s l e s s t r u c t u r e s o n t l a même b a s e p r o p r e 8s e t q u e t o u s l e s m i l i e u x a c o u s t i q u e s o n t l a même b a s e p r o p r e BQ.

S i BS e s t i d e n t i q u e à Bk t o u s l e s o p é r a t e u r s s o n t d i a g o n a u x . S i o n f i x e l e nombre de modes k u t i l i s é s p o u r d é v e l o p p e r l e c a l c u l , l a m a t r i c e Z3D d e ( 8 ) e s t de t a i l l e ( n k , nk)

.

E l l e r e p r é s e n t e l a m a t r i c e Ze d é c r i t e d a n s l a l è r e p a r t i e , m a i s e l l e p o s s è d e 3 d i a g o n a l e s n o n n u l t e s . On p e u t r e m p t a c e r ' s o n i n - v e r s i o n p a r k f o i s 1 ' i n v e r s i o n d ' u n e m a t r i c e t r i - d i a g o n a l e de t a i l l e (n,n)

.

S i 8s e s t d i f f é r e n t e de Be

,

on d o i t c h o i s i r u n e d e s b a s e s p o u r l e c a l c u l . Comme i n d i q u é dans l a l è r e p a r t i e , on a i n t é r ê t à c h o i s i r Ba comme b a s e de c a l c u l . E x c e p t é Z$4 l e s o p é r a t e u r s a c o u s t i q u e s z$& r e s t e n t d i a g o n a u x e t l e s

(4)

DI-' ^[ ^sS" 1 LD]

où

zSi

e s t l a m a t r i c e d i a g o n a l e d e s o p é r a t e u r s de s t r u c t u r e e t

[DJ

l a m a t r i c e de changement de b a s e . Si on n o t e ZC l a m a t r i c e du s y s t è m e ( 8 ) l o c s q u e BS = Be on p e u t d é f i n i r d a n s l e c a s p r é s e n t , l e c a l c u l de ( 8 ) p a r :

[ z t

+

[Dl-' [

ZP4

+ z t ]

[D]

- ₊ z; ] [ i]

= [Pb11 d ' o ù :

[[II

+

[PER~!

[il

⁼

kt]-' ^[

^Pbl] ^{( 9 )}

a v e c :

FER^

⁼

^[z']-' [[D]-'[Z~~ + ] : z CD] -

( z

+

~Z: )]

Bans c e c a s , [ P E R ~ ] ~ peu d ' i n f l u e n c e c a r

zSi

e s t peu a f f e c t é p a r l a p r o j e c t j o n . A l o r s [Zt]-+

C

Pb11 r e p r é s e n t e une bonne a p p r o x i m a t i o n du r é s u l t a t c h e r c h é

L W ] .

Dans l e c a s c o n t r a i r e , s i on c h o i s i t BS comme b a s e de c a l c u l [ P E R o ] s e r a p l u s i n f l u e n ' t e

[ P E R J =

[ztl-' [ [or' [z-3 [DI - [z-]]

a v e c : ( 1 0 )

3-

E T U D E NUMERIQUE

Nous a l l o n s é t u d i e r l a t r a n s m i s s i o n du s o n à t r a v e r s une d o u b l e coque de l o n - g u e u r f i n i e e t appuyée à s e s e x t r é m i t é s . O n c o n s i d ë r e 2 c a s : l e s m i l i e u x a c o u s t i q u e s s o n t o u v e r t s ( B s s B e ) e t l e s m i l i e u x a c o u s t i q u e s s o n t f e r m é s (Bs#BQ) ( f i g u r e 1 ) .

Les i n c o n n u e s v i b r a t o i r e s s o n t l e s v i t e s s e s de d é p l a c e m e q t r a d i a l e s

#?

e t

W L

d e s c o q u e s . Les i n c o n n u e s a c o u s t i q u e s s o n t l e s 4 t e r m e s de p r e s s i o n aux q u a - t r e i n t e r f a c e s f l u i d e s t r u c t u r e a i n s i c r é é s .

Le s y s t è m e d ' é q u a t i o n s ( 7 ) s ' é c r i t : pdA = pbl

+

Z**J

W4

=

z C , ~

^{i r}

e t l e s y s t è m e ( 8 ) s ' é c r i t en n o t a n t : Z' = :Z

- zS4 -

2:' 2 2 = 233

-

^zSt

-

^zrf

P r e m i e r c a s : l e s b a s e s p r o p r e s , B~ e t B" s o n t i d e n t i q u e s , l e s c a v i t é s s o n t o u v e r t e s .

B = c o s ( m @ ) s i n ( n ~ z / L )

La m a t r i c e de ( 9 ) e s t t r i d i a g o n a l e c a r [ P E R ~ ] = O

O o i

W, = C Wmmcos (ma) s i n n.rrz/L)

nn,m

a v e c l e s

**w*,,**

o. q u i s o n t s o l u t i o n s de m * n s y s t è m e s d ' é q u a t i o n s de t a i l l e 2x2.

I l s s e r é s o l v e n t t r è s r a p i d e m e n t p a r s u b s t i t u t i o n . La s o l u t i o n a p p r o c h é e [Z t ] - i [ ~ b l J e s t c o n f o n d u e a v e c l a s o l u t i o n e x a c t e .

Deuxième c a s : l e s b a s e s p r o p r e s B S e t B& s o n t d i f f é r e n t e s , l e s c a v i t é s s o n t f e r m é e s .

B~ = c o s (ma) s i n ( n ~ l / z ) B Q = c o s (m+) c o s ( n . r r l / z )

La s o l u t i o n e x a c t e e s t o b t e n u e en i n v e r s a n t u n système ( 8 ) qui e s t de t a i l l e (2m n , 2mn) en p r i n c i p e . Mais i c i l e s 2 b a s e s é t a n t i d e n t i q u e s s e l o n

a ,

on e s t c o n d u i t à r é s o u d r e m f o i s u n s y s t è m e c o m p l e t de t a i l l e 2nx2n.

Le r é s u l t a t que l ' o n a o b t e n u d a n s l e c a s p r é c - d e n t , r e p r é s e n t e l a s o l u t i o n a p p r o c h é e [Zt]-' CPblj e x p r i m é e d a n s l a r e l a t i o n ( 9 ) . Donc, l a d i f f é r e n c e e n t r e l e s deux r é s u l t a t s t r o u v é s c a r a c t é r i s e 1 ' i n f l u e n c e de l a m a t r i ce [ P E R , ] dans

(5)

C2-25 2 COLLOQUE DE PHYSIQUE

l e cas l e plus défavorable pour deux raisons : parce que l'on projette les équations sur la base des modes de structure, parce que l a solution approchée choisie ne compte pas les modes ac:oustiques d'ordre axial O. (figure 2 ) . On constate que 1 'influence de [PER-] e s t non négl i-, geahle, mais que le calcul approche fixe 1 'ordre de grandeur du résultat. Ied, l e mau- vais choix de l a base de calcul conduit entre autre à oublier les modes acoustiques d'ordre axial O dans la solution approchée. L'effet de ces modes e s t contenu dans C PER

.

^Mais

l a contre partie e s t que l e programme de calcul approché peut fonctionner sur un micro ordi- nateur standard e t qu'il nécessite 6 f o i s moins de temps de calcul par fréquence que l e programme exact. Le choix de Bepour l e calcul approché de l a réponse aurait é t é plus judicieux.

5

-

CONCLUSION

L'étude de systèmes vibro acoustiques n-uples peut ê t r e convenablement approchée en choisis- sant c o r r e c t e m e n t l a base de c a l c u l . Dans l e c a s des c y l i n d r e s à p a r o i s mul- t i p l e s , i l e s t p r é f é r a b l e d ' u t i l i s e r l a base des modes des c a v i t é s . O n p e u t a l o r s r é a l i s e r des programmes de c a l c u l r a p i d e s e t a d a p t a b l e s s u r u n p e t i t caJlcul a t e u r .

BIBLIOGRAPHIE

111 SPRONCK F .

-

T r a n s p a r e n c e au son des p a r o i s minces v i s c o é l a s t i q u e s f i n i e s e t i n f i n i e s , s i m p l e s ou mu1 t i p l e s , Thëse M a r s e i l l e Universi t é , 1971.

121 P O L L A C K L .

-

KLOSNER J.M.

-

A c o u s t i c r a d i a t i o n from two c o n c e n t r i c c y l i n - d r i c a l s h e l l s . AIAA J o u r n a l , Vol. 1 0 , n012. Décembre 1 9 7 2 . 131 K O V A L L . R .

-

A s t u d y of t h e s t r u c t u r a l a c o u s t i c r e s p o n s e and i n t e r i o r n o i -

s e l e v e l s of f u s e l a g e s t r u c t u r e s , f i n a l r e p o r t NASA-CR-57589, S e p t . 74-August 1978.

Y

C

FIGURE 1 : GEOMETRIE

FIGURE 2 : 1

-

Bases B S = Ba 2

-

^Bases ^B'P ^'^B