Analogues supérieurs du noyau sauvage

T

HONG

N

GUYEN

Q

UANG

D

O

Analogues supérieurs du noyau sauvage

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

4, n

o

_{2 (1992),}

p. 263-271

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Analogues

supérieurs

du

_noyau

_sauvage.

par NGUYEN

QUANG

DO THONG

0. Introduction

La K-théorie des _corps de

_nombres,

initiée par Tate et

prolongée

par

de nombreux auteurs

_{([Li], [So],}

_[T],

_...),

recèle

_beaucoup

de résultats

arithmétiques importants,

certains

_{déjà prouvés,}

d’autres encore

conjec-turaux. Deux des

_conjectures

les

_plus

notables sont celles de

_Quillen

_[Li]

et

de Coates-Sinnott

_[C-S].

Avant de les

_introduire,

fixons

_quelques

notations : F est une extension finie de

Q,

_p un nombre

premier impair,

,S’ =

S(F)

l’ensemble des

_places

de F au dessus de _p, l’anneau des entiers de

F,

Os

= l’anneau des S-entiers de F.

Conjecture

de

_Quillen

(Qi)

Pour tout entier i &#x3E;

_2,

les "caractères de Chern"

_p-adiques

sont

des

_{isomorphismes :}

Il est connu

([So], [D-F])

_que les caractères de Chern

_p-adiques

sont

sur-jectifs,

et il résulte de

_[H-S]

_que les

_surjections

_chi,l

sont scindées. Notons

que est un

isomorphisme

d’après

[Le], [M-S],

ainsi _que

ch2,2

d’après

[T],

1

Conjecture

de Coates-Sinnot

Si F est une extension abélienne de

Q,

alors _{pour tout}

entier j &#x3E;

1,

l’idéal de

_{Stickelberger}

"tordu"

_Sj(F)

annule _{le groupe}

(Pour

une définition de l’idéal voir 2-1 ci-dessous. Notons _que

(CSj)

généralise

le théorème

_classique

de

_{Stickelberger,}

et

_(C5’i)

est vraie

d’après

[C-S]).

L’objet

de notre travail est double :

1)

construire

partielle", plus

précisément

momorphisme

défini sur un _sous-groupe

canonique

de

à valeurs dans et tel _que o Id.

Le groupe n’est autre que le _noyau de la localisation

où

Fz,

est le

_complété

de F en v . Pour i =

2,

il est _connu

([Sc],

7-3)

que est la

partie p-primaire

du

"noyau sauvage"

de F

(=

l’intersection dans

_{K2 (F)}

des _noyaux des

_symboles

de

_Hilbert).

Les groupes

(resp.

pourraient

donc être

baptisés

noyaux sauvages étales

(resp. algébriques)

de

degré

supérieur.

2)

en utilisant la théorie

d’Iwasawa,

montrer dans le cas abélien _que

l’idéal de

_{Stickelberger}

tordu annule le _{noyau sauvage}

Nous avons ainsi donné des

_réponses

_partielles

aux

_conjectures

(CSj).

Le lecteur attentif remarquera que la construction de la section de

Chern

_partielle

du

_{§ 1-2}

suivra de très

_près

des méthodes introduites

par M. Kurihara

[Ku]

dans l’étude du corps

cyclotomique

F = En

fait,

le

_présent

travail est issu de discussions _que nous avons eues avec

M. Kolster sur la

prépublication

[Ku]

pendant

les

journées

de Bielefeld

("Workshop

on the Arithmetic of the Wild

Kernel" , j uillet

1991).

Entre

temps

l’article

_[Ku]

_{est paru,} avec des améliorations dues à

l’emploi

de la

K-théorie étale

_[D-F].

De

_plus,

B.

_Kahn,

M. Kolster et le

_rapporteur

nous ont

signalé

_que

dans une

prépublication

récente

[B2],

G. Banaszak traite

_{indépendamment}

(mais

avec des méthodes

_peut-être

un _peu

plus

compliquées)

des

_questions

analogues

aux nôtres. Pour tenir

_compte

de tous ces

développements,

nous avons

légèrement

modifié une

première

version du

présent

article.

1. Le _{noyau sauvage} et la section de Chern

_partielle

Les

_hypothèses

et notations sont les mêmes _que dans l’introduction.

Précisons _que :=

lim HP (Spec

@ où

(.)(i)

dési-n

n

gne le i-ème "tordu" de Tate. Dans la

suite,

il sera commode d’introduire

le _groupe de

Galois

G,s

=

G,s(F)

de l’extension

algébrique

S-ramifiée

ma-ximale de F. Il est connu _que

H t (Spec

s’identifie au _groupe

de

_cohomologie

_galoisienne

_puisque

est un

Dans la suite on utilisera indifféremment l’une ou l’autre de ces notions

suivant la commodité du moment.

1-1.

_Rappels

sur la dualité de Poitou - Tate

Les

_propriétés

suivantes

_résultent,

par passage à la

limite,

des théorèmes

classiques

de Poitou - Tate

_(voir

_par

_exemple

_{~Sc~, 2-4) :}

1-1-1. Les _noyaux

_Z-»

et des

_morphismes

de

localisation

et

sont

_{canoniquement duaux,}

_{pour tout} i E 7~.

1-1-2. Pour tout i E 7~ tel que

H2(Gs,

=

0,

on a une suite

exacte

_{canonique :}

où

_(.)*

_désigne

le dual de

_Pontryagin.

Remarque :

Si l’on admet que est un

_{isomorphisme,}

la suite

précédente

_peut

être considérée comme une

analogue,

pour

~2~-2 ~

de la suite exacte bien

connue de Moore _pour le

Pour i &#x3E;

_2,

la finitude _{des groupes}

_{I1’2~-2(C~F)}

entraîne la nullité des groupes

([So],

§IV

3-2).

On en déduit la

propriété

([Sc],

5-5)

suivante :

1-1-3. Pour i &#x3E;

_{2 ,}

est

_fini,

et l’on a un

isomorphisme

canonique

(resp.

Div

_(.))

_désigne

le _{sous-groupe des} éléments de hauteur infinie

_(resp.

partielle

Pour toute

_{place v}

non archimédienne de

F,

on notera

_k(v~

le _corps résiduel

_{correspondant.}

Pour tout entier n &#x3E;

_1,

on a le

diagramme

com-mutatif suivant

_([So],

_§IV

_3-3),

dont les

_lignes

sont exactes :

Dans la

_ligne

_supérieure,

les

_{K* ( ~ ,’ll/pn)}

sont _{les groupes de K-théorie}

à coefficients de Browder-Karoubi

_([So],

_§II

_2-1).

La

_ligne

inférieure est

la suite exacte de localisation en

cohomologie

étale

([So],

§III

3-1-3).

Les

morphismes

verticaux sont ceux construits _par Soulé

[So]

et

_Dwyer

et Fried-lander

_[D-F].

Ils se factorisent à travers la K-théorie étale : on sait _que

de

_{plus, d’après}

_[D-F],

section

_8,

est

_surjectif

et

_(3n

_{bijectif. Donc}

induit un

isomorphisme

de 7 m

5’n

sur I m Or :

1-2-1. LEMNIE. lim 7m _ên =

- s

En

_effet,

si l’on considère la

_ligne

inférieure comme étant formée de

groupes de

cohomologie galoisienne,

alors _1Jn n’est _{autre que} l’inflation de

dans

_(cela

résulte _par

_exemple

de

_[So],

La flèche horizontale inférieure n’est _{autre que}

_{l’injection canonique :}

en

effet,

pour v fi

,S’,

se factorise à travers

_{H2(F?nr/~’",}

_7l/pn(i»,

où

est l’extension non ramifiée maximale de

F,,,

et l’on sait _que ce _{groupe de}

cohomologie

est nul. De

_plus,

la localisation _{p~ est}

_{injective :}

si F trivialise

~®’,

c’est bien connu;

sinon,

il suffit de faire une extension convenable et

d’appliquer

un théorème de descente

galoisienne

([Ka],

théorème

1).

Une

simple

chasse dans le

_diagramme

montre alors _que Ker _ryn = Ker donc

lim 7m 1-n

_ ~ S(~r(Z~y

On a ainsi

fabriqué

un

morphisme

= -4 lim lm

8n

tel

+--que o

shj,2

=

I d,

avec = lim

in

-1-2-2.

THÉORÈME.

Pour tout entier i &#x3E;

_2,

on a un

morphisme canonique

tel _que o Id. De

plus,

l’image

de _par

_shi,2

est le sous-groupe div

(~~2~-2 (~’) ® ~~,)

formé des éléments de hauteur infinie dans

I~2~_2 ~j’) ~ Ep.

P reuve :

Il reste seulement à démontrer la dernière

_{assertion, qui}

est en fait

con-tenue

_{implicitement}

dans

_~B2~,

II

_§1,

théorème 3.

L’argument

de

_[B2]

sup-pose que le

corps F

est totalement

réel,

mais il est valable en

général;

nous

le _reprenons ici _pour la commodité du lecteur : considérons Im

Dn

dans le

_diagramme

commutatif du

_paragraphe

1-2

_qui

a servi à construire la

section

_partielle

Nous avons :

lm 8n

= Ker

Or,

par définition de la Ii-théorie à

coefficients,

nous avons un

diagramme

commutatif aux

lignes

exactes :

Comme

_{I1’2~-2~C‘).S)}

est

_fini,

en

_prenant

n assez

grand,

on

_peut

remplacer

est

_isomorphe

à

_{I~2~_;~ (~’) ~ Zp,}

isomorphisme.

Il en résulte _que =

(I~2~_2 (C~,S)

0

Pour n »

_0,

ce dernier _{groupe n’est} autre que

div(K2(F) (D Ep).

Pour i =

2,

il

n’y

a rien à

_montrer,

puisque

ch2,2

est un

isomorphisme

et

rappel

1-1-3.

Remarques :

i)

On

_peut

montrer comme dans

[Ku],

corollaire

_1-3,

_{que, pour} i &#x3E; 2 :

ii)

La taille de relativement à

_HI(O.S,

est donnée par la

suite exacte de 1-1-2. Si S se réduit à une seule

place

qui

ne se

décompose

dans

_F(pp.),

alors = c’est le cas

particulier

considéré _par Kurihara

_{([Ku], 3.1).}

iii)

Si F est totalement réel et i est

_pair,

les

_conjectures

de

_Lichtenbaum,

[Li],

sous leur forme

_{cohomologique}

(qui

sont

_vraies,

_d’après

le théorème

principal

de la théorie d’Iwasawa

_[W])

donnent l’ordre de

_(Sc,

§8) :

où,

comme

d’habitude,

wj(.)

désigne

l’ordre de

2. Annulation _par l’idéal de

_{Stickelberger}

Dans ce

_paragraphe

F est abélien sur

Q,

de _groupe de Galois

_G,

de

2-1.

_Rappels

sur les idéaux de

Stickelberger

"tordus"

(voir

[C-S])

Soit j

un entier &#x3E; 0. Pour tout entier 1 &#x3E;

_1,

tel _que

_{(1, f)}

=

1,

Coates et Sinnott définissent un élément de

Stickelberger

Sj(b)

E

_Z[G]

par :

où

_{(~, F)}

est le

_symbole

d’Artin et

_{~~ (a, s)}

est la fonction zéta

_partielle

de

a mod

f .

L’idéal de

Stickelberger

,5’3 (F)

est l’idéal de

_Z[G]

_engendré

_par

les éléments

_(b,

_{f )}

= 1. Comme

Sj(b)

= 0

_{pour j}

pair,

la

conjecture

(CSj)

énoncée dans l’indroduction n’a d’intérêt que

pour j impair.

2-2.

THÉORÈME.

Pour F abélien sur

_{(~, pour j}

&#x3E;

_1,

l’idéal annule

-1- j ) ) (d on c

aussi

_{-1- j ) ~ .}

P reuve :

Nous ferons la démonstration seulement dans le cas où F est

totale-ment

_réel,

le cas totalement

imaginaire

s’y

_{ramenant par} des

_arguments

standard

_(pour

des

_détails,

voir

_[C-S],

p.

159).

Comme

d’habitude,

in-troduisons l’extension

_cyclotomique

= .--.

U Fn.,

et posons

n&#x3E;0

I‘ = Gal Pour _tout entier n &#x3E;

_0,

_notons

_An

le p-groupe de

classes de

_Fn,,

et

_AOCJ

= lim

An,.

Les groupes de Galois r et G

opèrent

-naturellement sur les

_An

et sur Nous

désignerons

_par

M+

les

sous-modules d’un module M sur

lequels

"la"

conjugaison

complexe

opère

_par

~1.

_Rappelons

sous forme de lemme des résultats fondamentaux de

[C]

et

[C-S] :

2-3. LEMME.

Supposons

F totalement réel. Alors :

i)

est

_{canoniquement}

_isomorphe

à

_(j4~(l))~.

ii)

Sj(F)

annule

_(A~(j))r,

_{pour tout}

_{entier j &#x3E;}

1.

Pour nos

besoins,

il est

_préférable

de donner une

expression

2-4.

_(voir

aussi

_{[CI, III)}

Supposons

F totalement réel. Pour tout entier

_{impair j,}

on a un

iso-morphisme

canonique :

_{(A~(j))r ~ H2(Gs, ÍZp(l + j).}

Preuve du lemme :

Prenons k &#x3E;

_2,

on sait _que est

_fini,

donc est

cano-niquement

isomorphe

à

Hl

_(Gs(F),

Div. Or _pour k

_pair,

on a

= 0

([Sc],

4-6).

De

plus,

_en vertu du lemme de

Tate

_{([Sc], 2-8)}

et de

_cd,r

=

1,

on a :

par inflation. Soit le goupe des unités de

F 00.

La suite exacte de Kummer "tordue" s’écrit :

Pour

_1,

le lemme de Tate entraîne _que

_0,

d’où une suite exacte obtenue à

_partir

de la

_précédente

en

_prenant

les

_points

fixes.

De

_plus,

= _{pour tout} r-module X et pour

tout

_{entier j impair,}

et

_{(U,, 0}

=

_0,

_ce

qui

prouve le lemme.

Les lemmes 2-3

_ii)

et 2-4 _{montrent que}

_{Sj (F)}

annule

donc aussi +

_3)),

ce

_qui

termine la démonstration du théorème

2-2.

Remarques :

i)

Le théorème 2-2 _{montre que}

_{(Q j+j )}

entraîne

_(CSj).

ii)

Dans

_[Bll,

G. Banaszak montre que

_jSj(F)

annule div à la

partie

2-primaire

près.

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U.A. 741 du C.N.R.S.

Laboratoire de _{Mathématiques}

Faculté des Sciences de Besançon F-25030 _BESANÇON Cedex