M A R S - A V R I L 1954 L A H O U I L L E B L A N C H E 135
Calcul économique
des réseaux de distribution d'eau
Economie computation of water supply nets
P A R S l L R A G G A Ï R M A V (* ' , A . I . L g .
P r o f e s s e u r a s s o c i é , d i r e c t e u r de la D i v i s i o n H y d r o l e e h i i i q u e , à l ' I s r a ë l I n s t i l u t c of T e c h n o l o g y , H a ï f a , I s r a ë l , p r é s i d e n t de l a Section d ' H y d r o l o g i e , U n i o n G é o d é s i q u e el G é o p h y s i q u e d ' I s r a ë l .
l'n réseau de distribution d'eau pose, un pro- blème indéterminé hydrauliquemrnt, mais so- Inble univoquement en introduisant la condition d'économie, minimum des capitaux innestis ou des dépenses annuelles.
L'analyse des divers éléments permet de les évaluer en fonction des diamètres des conduites et de la hauteur du réservoir sous forme de paraboles d'ordre n. Le problème exige la solu- tion d'un minimum relatif à plusieurs incon- nues, parmi lesquelles les distances de l'origine aux points où le diamètre change brusquement.
Le diamètre économique de la conduite de refou- lement varie à peu près comme la racine carrée du débit, ce qui définit une vitesse économique presque indépendante du débit.
Le diamètre, initial de la conduite principale esl déterminé à partir de la perte de charge dis- ponible et du débit initial supposé constant le long de. la conduite. Les diamètres suivants ré- sultent d'une construction graphique très sim- ple, dite «méthode de la parabole». La hauteur du réservoir en découle et des corrections sont envisagées. La solution économique exige une ligne d'énergie concave, vers le haut, et des vitesses variant à peu près comme les pentes piêzométriques on comme. 7)3.». La hauteur éco- nomique varie à peu près linéairement comme, la longueur de la conduite.
Diverses dispositions topographiques sont étu- diées, ainsi que la situation du réservoir.
Le. cas de, réseaux ramifiés et maillés est envi- sagé.
Planning of a imiter supply distribution net is a hydranlically indeterminale problem, y et uni- qnely solved by introducing the condition of economy, minimum of capital investment or of annual expenditure.
The analysis of the varions cléments leads to parabolic functions of degree n of pipe dia- meters and réservoir height. The problem re- quires the. solution of a relative minimum in many unlaiowns, umong which the abscissae of the points of sudden change in pipe diameter.
The economical diameter of the delivery pipe varies approximately as the square root of the discharge, which de/ines an economical vclocity almost independent of the rate of flow.
The initial diameter of the main is delermine.d by the available loss of head and the initial discharge assumed constant ulong the main.
The following diameters resuit from a very simple graphical 'parabolic' method. The réservoir height is ileduced therefrom and cor- rections considered. The economical solution requires an energy line concave upmards, velo- cities varying approximately as the hydraulic gradient or as / ) L f i . The economical height varies approximately linearly wilh the lengfh of the main.
Varions topographical outlays are considered, as well as a réservoir sile on a hillside.
The. effeel of braiiching and cornplex nets is studied.
Afin de rendre service à nos lecteurs, une version anglaise, rac- courcie, accompagne en bas de page le texte français. Les formules ne sont pas répétées, mais elles sont remplacées par un numéro ( 1) correspondant à celui qu'elles portent dans le texte français.
4 o assist our readers, a condensed English version is given at the foot of the page. Formulae are not repeated but the numfcers (1) which replace them correspond to those accompanying each formula in the French text.
Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1954029
130 L A H O U I L L E B L A N C H E M A R S - A V R I L 1954
L l S T K D E S S V M H O L E S
A/- : nœud où le d i a m è t r e c h a n g e de D , . _ , en Df t.
A0 : début de la c o n d u i t e p r i n c i p a l e . A „ : t e r m i n a i s o n de la conduite p r i n c i p a l e . a. a2 : coefficients de p r i x (conduites, poste
de p o m p a g e , r é s e r v o i r ) .
B;,. : b r a n c h e m e n t d'une c o n d u i t e secon- d a i r e ; coefficient n u m é r i q u e . /), bu b2 : coefficients de p r i x (conduites, poste
de p o m p a g e , r é s e r v o i r ) .
C : coefficient de la f o r m u l e de H A Z E N - W I L L I A M S .
C,. : coefficient n u m é r i q u e ( d é b i t ) . I ) , D [ : d i a m è t r e de la conduite p r i n c i p a l e .
I )0 : d i a m è t r e de la conduite p r i n c i p a l e , t r o n ç o n initial.
Df t : d i a m è t r e de la conduite p r i n c i p a l e , tronçon A,.__t Ak.
D„ ^ I ) , , + D , ) / 2 .
D ' , D " : d i a m è t r e d'une conduite secondaire.
D '0, D "0 : d i a m è t r e d'une c o n d u i t e secondaire, t r o n ç o n i n i t i a l ( m i n i m u m des dé- penses a n n u e l l e s ) .
D,. : d i a m è t r e de la c o n d u i t e de r e f o u l e - m e n t ( m i n i m u m des c a p i t a u x ) . D 'r : d i a m è t r e de la conduite d e r e f o u l e -
m e n t ( m i n i m u m des dépenses an- n u e l l e s ) .
e : prix de l ' é n e r g i e ( p a r k g m ) . F : fonction a u x i l i a i r e .
f : coefficient de f r o t t e m e n t ( d e s t u y a u x ) . G : fonction a u x i l i a i r e .
Qk : coefficient n u m é r i q u e ( d é b i t ) . H , H 0 : hauteur du f o n d du r é s e r v o i r au-des-
sus du sol ( m i n i m u m de W ) . H ' : hauteur du fond du r é s e r v o i r au-des-
sus du sol ( m i n i m u m de I I ) .
hc : hauteur de la c o n d u i t e de r e f o u l e m e n t au-dessus du f o n d de r é s e r v o i r . /i,. : hauteur de p o m p a g e .
hs : h a u t e u r du p i e d du r é s e r v o i r au-des- sus de la nappe a q u i f è r e .
,1 : pente de la l i g n e d ' é n e r g i e , conduite p r i n c i p a l e .
J0 : pente de la l i g n e d ' é n e r g i e , conduite p r i n c i p a l e ( d é b u t ) .
,1,, : pente de la l i g n e d ' é n e r g i e , conduite p r i n c i p a l e ( t r o n ç o n D , . ) .
J'o : pente de la l i g u e d ' é n e r g i e , conduite p r i n c i p a l e (début, m i n i m u m de U ) . J;. : pente de la l i g n e d ' é n e r g i e , conduite
p r i n c i p a l e ( c o r r e s p o n d à Qf c) .
J', J" : pente de la l i g n e d ' é n e r g i e , conduite s e c o n d a i r e .
,L. : pente de la l i g n e d ' é n e r g i e , conduite de r e f o u l e m e n t .
J,,,., J',,, : pente c r i t i q u e é c o n o m i q u e ( m i n i m u m de W , U ) .
j : pente m o y e n n e du sol.
K : coefficient de la perte d ' é n e r g i e . L , L , : longueur totale de la c o n d u i t e p r i n -
c i p a l e .
I / , L " : l o n g u e u r totale d'une c o n d u i t e secon- d a i r e .
Lr : longueur totale de la conduite de re- f o u l e m e n t .
L { : longueur l o l a l e d'une b o u c l e .
/, Ik : l o n g u e u r d'un tronçon de conduite p r i n c i p a l e .
V : l o n g u e u r d'un tronçon de conduite se- c o n d a i r e .
M—1,852 : indice de puissance, de Q ( p e r t e d ' é n e r g i e ) .
N : puissance n o m i n a l e du g r o u p e m o t o - p o m p e .
n : n o m b r e des t r o n ç o n s de la c o n d u i t e p r i n c i p a l e ;
coefficient de puissance (de Q ) .
n' : n o m b r e des t r o n ç o n s d'une c o n d u i t e secondaire.
P , Pt : prix par m è t r e courant de la conduite p r i n c i p a l e .
P', P " : p r i x par m è t r e courant d'une c o n d u i t e secondaire.
P0 : prix par m è t r e c o u r a n t de la c o n d u i t e p r i n c i p a l e , t r o n ç o n i n i t i a l .
Pj. : p r i x par m è t r e courant de la conduite p r i n c i p a l e , t r o n ç o n D,..
P,. : p r i x par m è t r e courant de la conduite de r e f o u l e m e n t .
Pj : taux annuel ( e n t r e t i e n , réparation, as- s u r a n c e ) .
Q . Q i : débit dans la conduite p r i n c i p a l e . Q0 : débit dans la conduite p r i n c i p a l e
( d é b u t ) .
Q,, : débit dans la conduite p r i n c i p a l e (en A , , ) .
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Q i . _ : débit dans la c o n d u i l o p r i n c i p a l e ( a v a n t l e nœud B , ) .
Qi + : débit dans la conduite p r i n c i p a l e (après le nœud B , ) .
Q^ = (Qft + Q * + i ) / 2 .
Qr : débit dans la conduite de r e f o u l e m e n t . Q', Q " : débit dans une conduite secondaire.
Q'n> Q"o : débit dans une conduite secondaire ( d é b u t ) .
(/, : débit du b r a n c h e m e n t ( e n B£) . R : coefficient n u m é r i q u e ides d é b i t s ) .
/• : taux d'intérêt de W .
j-j : taux d ' a m o r t i s s e m e n t de Wj.
T , : durée de v i e d'un é l é m e n t j .
I : temps de f o n c t i o n n e m e n t annuel de la p o m p e .
U : dépenses annuelles, totales.
U , : dépenses annuelles, intérêt.
I ._. : dépenses annuelles, a m o r t i s s e m e n t . I';. : dépenses annuelles, entretien, répara-
tions, assurance.
U4 : dépenses annuelles, p o m p a g e . U-, : dépenses annuelles, fixes,
Uc : dépenses annuelles, annuité ( r e m - b o u r s e m e n t des c a p i t a u x ) .
U = 0 , 4 4 7 puissance n u m é r i q u e .
V : vitesse m o y e n n e dans la conduite p r i n c i p a l e .
VR : vitesse é c o n o m i q u e dans la conduite de r e f o u l e m e n t .
W : capital, total.
W j : capital, poste d e p o m p a g e . W2 : capital, r é s e r v o i r d'eau.
Wjj : capital, conduite de r e f o u l e m e n t . W., : capital, conduite p r i n c i p a l e .
\ Vr, : capital, conduites secondaires.
W,-, : capital, captage et installations auxi- liaires.
WT : capital, dépenses initiales, e t c . . X : abscisse n u m é r i q u e .
x,c : abscisse du nœud Ak où !),,.._ 5 change en Dk(k = 0 , 1 . . . , n - - 1 ) .
xn D, : d i a m è t r e de la conduite de refoule- ment.
x,. , ; H : hauteur du fond de r é s e r v o i r au-des- sus du sol.
x„ , .2= . - l )0 : d i a m è t r e initial d e la conduite p r i n - cipale.
y, yt : perte d ' é n e r g i e dans la conduite p r i n - cipale.
!/» il" : perte d ' é n e r g i e dans une. conduite se- c o n d a i r e .
i),. : perle d ' é n e r g i e dans la conduite de re- f o u l e m e n t .
Z : dénivellation du sol le l o n g de la con- duite p r i n c i p a l e , ou ailleurs.
z', Z" : d é n i v e l l a t i o n du sol le l o n g d'une con- duite secondaire.
a : coefficient n u m é r i q u e (chute de Q\
3 : coefficient numérique, (chute d e Q ) . fi,,., \ I 'W : coefficient du d i a m è t r e é c o n o m i q u e
de la conduite de refoulement ( m i - n i m u m de W , U ) .
y .-— 1.000 kg/nv"', poids spécifique de l'eau.
A = ( I ) „ _ , I V D , , 4 - I )t) .
8 = 4 , 8 7 : indice de puissance de 1 ) ( p e r l e d ' é n e r g i e ) .
s — 1,5 ( p a r f o i s 1,0) : i n d i c e de puissance de H ( p r i x du r é s e r v o i r ) .
7) = r e n d e m e n t du g r o u p e m o t o - p o m p e ; abscisse n u m é r i q u e .
<À : débit n u m é r i q u e .
0 : n o m b r e d'années de r e m b o u r s e m e n t du capital i n v e s t i .
\ : abscisse n u m é r i q u e ; longueur supplé- m e n t a i r e de la conduite principale.
À, } . , , À ' , ) " : paramètres inconnus.
>/ : paramètres inconnus.
ç> : taux d e r e m b o u r s e m e n t du capital.
n : coefficient n u m é r i q u e d e la chute du débit.
9 , 9 ' : fonctions auxiliaires.
<b' : f o n d i o n s auxiliaires.
Û : débit n u m é r i q u e .
w -r_ 1,5 : indice de puissance de D ( p r i x des c o n d u i t e s ) .
138 L A H O U I L L E B L A N C H E M A R S - A V R I L 1954
I. — I N T R O D U C T I O N
1. — Dans une l o c a l i l é urbaine ou rurale, l'installation d'une distribution d'eau c o m p r e n d , en général, les éléments suivants (fig. 1 ) :
(cl
F I G . 1. — S c h é m a d ' u n e d i s t r i b u t i o n d ' e a u .
a) La prise (cours d'eau, lac, source, puits, l'o- r a g e ) ;
b) La conduite d'adduction a m e n a n t l'eau de la prise j u s q u ' a u centre de distribution, soit par g r a v i t é ( c a p t a g e s u r é l e v é ) , soit par p o m p a g e (captage b a s ) . U n e p o m p e (&') nécessite une con- duite d ' a s p i r a t i o n (b") et une conduite de r e f o u - lement ( 6 ' " ) ;
c ) Le centre de distribution ( r é s e r v o i r , châ- teau d ' e a u ) où l'eau est e m m a g a s i n é e , soit pour créer la charge requise ( i n c e n d i e , douches, in-
dustrie, a r r o s a g e ) , soit p o u r p a r e r aux fluctua- tions de la c o n s o m m a t i o n ;
d) Le réseau de distribution dans la localité.
Il c o m p r e n d la conduite principale (d') sur la- quelle se b r a n c h e n t en B , , . . . Br, des conduites secondaires (d"), sur celles-ci des c o n d u i t e s ter- tiaires, etc., j u s q u ' a u x c o n d u i t e s a m e n a n t l'eau chez le c o n s o m m a t e u r . O n distingue ici le ré- seau ramifié (fig. 2 a) qui est plus s i m p l e à cal- culer, du réseau maillé ( f i g . 2 b) qui est plus pratique, et sûr.
( a ) ( b ) Fin. '2. - S c h é m a s de r é s e a u x :
al r a m i f i é s ; M m a i l l é s .
2. — L ' i n g é n i e u r chargé de p r é p a r e r les plans d'une installation de distribution d'eau doit dé- t e r m i n e r :
a) L e s éléments lopographiques en plan et en hauteur; la p r i s e et son n i v e a u ; l ' e m p l a c e m e n t du r é s e r v o i r ; le type du réseau de distribution et le tracé de toutes les conduites, y c o m p r i s le sens d'écoulement de l ' e a u ;
b) L e s éléments hydrauliques d é p e n d a n t des besoins des c o n s o m m a t e u r s : débits m a x i m a Q clans toutes les conduites et pression m i n i m u m p (ou h a u t e u r d'eau é q u i v a l e n t e h) en c h a q u e point du réseau, d é t e r m i n é s par la densité de la population, des industries et des j a r d i n s , et sur- tout par les d a n g e r s d'incendie. Ces g r a n d e u r s sont des p r é d i c t i o n s basées sur les statistiques du passé et l'état présent, ainsi que sur la c o m - p a r a i s o n avec des localités semblables. L e s débits
I. — INTRODUCTION
I. In an urban or rural community, the water supply net generally comprises the following éléments (fig. I ) :
a) Source or intakc of Water (water course, lake, spring, well.
boring).
b) Supply conduit for the transportation of water from the source to the center of distribution, either by gravity or by pumping. A pump (b'\ requires a suction conduit ( 6 " ) and a delivery conduit ( & " ' ) .
c) Cenler of distribution (réservoir, water tower) where water is stored, either in order to produce the required head (fire, shower, irrigation, industry) or to obviate fluctuations in water consumption.
d) Distribution network in the community. Il comprises the
main (d') with submains of order two, branching at B i . . . . Br, (d"), submains of order three, etc., up to the conduits leading to the consumer. W e may distinguish the simpler branching nets (fig. 2a ) and the complex nets (fig. 2 b) which are more practical and sure.
2. T h e designing engineer has to détermine :
a) T h e topographical éléments in plan and height; the water mtake or source and ils level; the réservoir site; the type of the distribution net and the layout of ail conduits with the directions of flow.
b) T h e hydraulic éléments dépend on the consumer. T h e max- imum discharges Q in ail conduits and the minimum pressure p (or équivalent pressure head h) at any point, are determined by the density of population, industry, gardens and fire hazard. Thèse éléments are prédictions based on past statistics, on présent cond-
M A R S - A V R I L 1951 L A H O U I L L E B L A N C H E 139
dépendent encore des fuites le long des condui- tes, pertes qui peuvent dépasser 10 % [ 1 ] ( * ) . 11 faut ajouter à ces éléments le v o l u m e du ré- servoir d é t e r m i n é par le choix de la réserve d'eau m i n i m u m requise par les conditions locales.
L ' é t u d e é c o n o m i q u e du réservoir p e r m e t d'en dé- t e r m i n e r le type est les dimensions intérieures;
c ) L e s dimensions des éléments h y d r a u l i q u e s du réseau, la hauteur H du f o n d du r é s e r v o i r au-
( * ) L e s n o m b r e s e n t r e crocheIs se r a p p o r t e n t à l a liste b i b l i o g r a p h i q u e à l a fin d u m é m o i r e . L e s n o m b r e s entre p a r e n t h è s e s se r a p p o r t e n t a u x f o r m u l e s d u texte.
dessus du sol (fig. 1) ; le d i a m è t r e D,. de la con- duite de r e f o u l e m e n t ou d ' a d d u c t i o n ; les d i a m è - tres D de tous les tronçons du réseau, telles que conduites p r i n c i p a l e s et s e c o n d a i r e s ; la puis- sance n o m i n a l e N , ou installée, du g r o u p e m o t o - p o m p e pour le débit m a x i m u m Q, refoulé du puits dans le r é s e r v o i r .
Dans le cas général, ce, p r o b l è m e ne peut être résolu univoqueme.nl en termes h y d r a u l i q u e s . En effet, il existe une inlinité de solutions ( c ) satis- faisant aux c o n d i t i o n s (a) et (b). L a solution à choisir est la solution économique qui est uni- que par définition.
I I . — C O N S I D É R A T I O N S É C O N O M I Q U E S
3. — L a définition de la solution é c o n o m i q u e nécessite des éclaircissements. O n pourrait, par e x e m p l e , e x i g e r qu'elle c o r r e s p o n d e au minimum de capitaux W investis dans l'installation. Ce se- rait la m é t h o d e à e m p l o y e r dans le cas d'instal- lations p r o v i s o i r e s et m i l i t a i r e s , ou dans le cas d'un m a n q u e aigu de fonds disponibles. Ces in- vestissements sont les suivants :
a) P o s t e de p o m p a g e Wa, b) R é s e r v o i r d'eau W2, c ) Conduite d'adduction W3 >
d) Conduite p r i n c i p a l e W4, e ) Conduites secondaires W5,
/ ) Captage, installations et b â t i m e n t s auxiliai- res Wc,
g) Dépenses initiales, intérêt pendant la pé- r i o d e de construction, etc., WT.
L e total des capitaux investis est d o n c :
w = s Wj = w , + w a + w 3
4 - w .( + w , 4 - w „ + w 7 ci )
4. — On préfère toutefois, surtout dans le cas d'installations durables, définir la solution éco- n o m i q u e par le m i n i m u m de dépenses annuel- les U . Ces dépenses c o m p r e n n e n t : frais de p r o - duction j u s q u ' à la station de p o m p a g e ; traite- ment de l'eau (filtrage, c h l o r e ) ; transport de l'eau j u s q u ' a u centre de d i s t r i b u t i o n ; réseau de dis- tribution, partie publique et partie p r i v é e ; ad- ministration générale, salaires et i m p ô t s ; per- tes d'eau, soit par les fuites le long des condui- tes, soit par l'indication e r r o n é e de c o m p t e u r s d'eau usagés. Ces1 dépenses annuelles rapportées à l'unité de v o l u m e ( m3) d'eau fournie aux con- sommateurs définissent le prix de l'eau. Lit so- lution é c o n o m i q u e , c'est ht recherche du p r i x m i n i m u m .
iticns, and on comparison with similar locaîities. T h e discharges are influenced by leakage which may exceed 10 % [ I l ( * ) .
An.other élément is the réservoir volume determined by local requirements of minimum water storage. T h e économie study of the réservoir détermines its type and size.
c) T h e .«'zes of the hydraulic éléments of the network : height H of the réservoir bottom above ground level; diameter D , of the delivery pipe; diamieters D of ail mains and submains;
rated power N of the pumping units for maximum discharge Q , delivered into the réservoir.
Generally this problem is hydraulically indeterminate, as an infinité number of solutions (cl exist satisfying conditions la) and (b). The required answer is the economical solution, which is unique by définition.
II. — ECONOMIC CONSIDERATIONS
3. T h e economical solution may correspond, for example, to C ï Numbers within square brackets refer to the bibliography at the end of the paper. Numbers within ordinary brackets refer to the formvilae of the text.
the minimum of capital inoestmenl W in the water supply System, fhis is recommended for provisional or miilitary installations, or where the necessary funds are not available. Thèse investmenls comprise: pumping station W j ; water réservoir Wa; supply (or delivery) conduit W ; j ; main W 4 ; submains Wr, ; water intakc, auxiliary buildings and installations W » ; initial expenditure, capital interest during construction, etc. W 7 .
The total capital investment is : ( 1 )
4. The economical solution is usually defined, especially for lasting installations, by the minimum of animal expenditure. U . This expenditure comprises : production cosl up to the pumping station; water Ireatment (filters, chlorination) ; transportation of water to the center of distribution; distribution network, public and private portions; gênerai administration, wages and taxes;
water losses by leakage or defective water meters. This expend- iture onl the basis of unit volume tni{) of water supplicd to the consumer, defines the water price. T h e economical solution means the minimum price.
110 - L A H O U I L L E B L A N C H E M A R S - A V R I L 1954
5. — L e s dépenses annuelles peuvent encore être disséquées a u t r e m e n t :
a) Intérêt Ux sur les capitaux investis W au taux annuel r (par e x e m p l e 0,05, soit 5 % ' ) :
U, = r W ( 2 ) b) Amortissement U2 des diverses parties de
l'installation dû à leur d é t é r i o r a t i o n p r o g r e s s i v e . Si la durée de v i e d'un é l é m e n t j est T; ans au taux d'intérêt r, son taux d ' a m o r t i s s e m e n t annuel r;- est ( * ) :
iV = r / [ ( l +r)*> — 1 ] ( 3 )
U2 = S rt Wj ( 4 )
c) Entretien, réparations et assurance Us rap- portés aux capitaux investis, au taux annuel Pj (**) =
U3 = S ps Wj ( 5 )
d) Pompage l)4. D a n s le cas d'un m o t e u r élec- trique, la puissance N ( k g m / s ) est ( i i g . 1) :
N = Y Qr (K + yr)/rt = y Y ) "1 Q, (K + K + H + { / , ) ( 6 ) où :
Q , . ( m3/ s ) = débit r e f o u l é m a x i m u m ; hr = hauteur de p o m p a g e ;
ijr = perte de charge dans la conduite d'ad- d u c t i o n ;
Y == 1.000 k g / m \ p o i d s spécifique de l'eau;
Tj = r e n d e m e n t du g r o u p e m o t o - p o m p e ; H — hauteur du f o n d au-dessus du sol;
h„ = hauteur de la conduite de r e f o u l e m e n t au-dessus du f o n d .
( * ) L e s v a l e u r s u s u e l l e s de T - et Vj p o u r r = 0,05 ( s o i t 5 % ) s o n t d o n n é e s à l a fin d u m é m o i r e ( A p p e n d i c e A ) .
( * * ) L e s v a l e u r s u s u e l l e s de pj sont d o n n é e s à l a fin du m é m o i r e ( A p p e n d i c e B ) .
L o r s q u e le débit el la hauteur de p o m p a g e v a r i e n t p e n d a n t l'année, on p r e n d leurs v a l e u r s m o y e n n e s annuelles. Si la p o m p e t r a v a i l l e au cours de l'année p e n d a n t un temps t ( s e c ) , l'énergie r e q u i s e est N i ( k g m ) . Si le p r i x de l'énergie est e ( p a r k g m , soit 367.000 e p a r k W h ) , le coût annuel de p o m p a g e est :
U4 == Nte ( 6 ' )
e) Charges fixes U5, tels salaires, i m p ô t s , trai- t e m e n t de l'eau, etc. L e s dépenses annuelles t o - tales sont d o n c :
U = S U , = r W+ £ rj W} + 2 p, Wj + Net + U0 ( 7 )
= S ( r + rj + Pi) W , + Net + U3 6. — P a r f o i s , il faut r e m b o u r s e r les capi- taux W p e n d a n t 0 années au taux a n n u e l ç;
r étant le laux d'intérêt, on a :
? = r / [ ( Z + ! • ) » - - / ] ( 8 )
Il faut ajouter, p e n d a n t les 0 p r e m i è r e s années, une annuité :
Ue = P W ( 0 )
L e s dépenses annuelles d e v i e n n e n t alors : U = S ( r + P + r, + pj) Wj + Net + U5 ( 9 ' ) 7. — Conduites. L e p r i x d'une conduite est p r o - p o r t i o n n e l à sa longueur / ou L . L e prix par m è - tre courant est une f o n c t i o n croissante du d i a m è - tre intérieur D . O n peut le représenter à peu près par une p a r a b o l e ( * ) :
P = a + b I > ( 1 0 )
( * ) S a j u s t i f i c a t i o n est d o n n é e à l a fin d u m é m o i r e ( A p p e n d i c e C ) .
5. Annual expenditure may aiso be analyzed otherwise : a) Inlerest U i on capital investment W at the annual rate r (e.g. 0.05 or 5 VJ •• (2)
b) Amorlisation U o of the various parts of the installation due to their progressive détérioration. If the duration of each élément / U T y years at the rate of interest r, ils annual rate of amortisa- tion r,.(*) is : (3) (4)
c) Maintenance, repairs and insurance U3 referred to the capital investments, at an annual rate p ; (*) : (S)
d) Pumping costs U4. In the case of an electric motor of power N (kgm/s) (fig. 1) : (6)
Q , . ( ms/ s ) = maximum discharge; /I,. = pumping height; yr = loss of head in supply conduit; y — 1 000 k g / ma = unit weight of water; T) = efficiency of pumping unit; H = height of réservoir bottom above ground ; hc — height of delivery conduit above bottom.
( * ) Detailed values of T j , r j , pi are given in Appendixes A , B of the French text.
W h e n the discharge and the pumping head vary during the year, they should be replaced by their annual averages. If the pump W o r k s t (seconds) a year, the energy required is N t (kgm).
If the price of energy is e (per k g m , o r 367,000 e / k W h ) , the an- nual cost is : C 6 ' )
e) Constant expenditure U - „ such as wages, taxes, water treat- ment, etc.
The total annual expenditure U is then : (7)
6. Sometimes it is necessary to refund the capital W during f) years at an annual rate Q ; r being the annual rate of interest.
Then : (8)
During the first j> years, we have an annual expenditure : (9) The total annual expenditures are then : (9')
7. Conduits.—The price of a pipe-line is directly proportional to its length / or L . T h e price per unit length (mieter) is an mereasing function of the internai diameter D . It may be repre- sented approximately by a parabola ( * ) : (10)
( * ) See Appendixes C, D of the French text.
M A R S - A V R I L 1954 L A H O U I L L E B L A N C H E 141
où a, b, M, sont des p a r a m è t r e s à d é t e r m i n e r dans chaque cas ( . * " ) . E n général ( * * * ) :
1 < w < 2 M Cl' )
D a n s ce qui suit, nous adopterons o> = 1,5.
L e coût de la conduite d'adduction de l o n - gueur Lr est :
W8 = Pr Lr = (a + b Dr» ) L,. (11 i L e coût de la conduite p r i n c i p a l e de longueur totale L , c o m p o s é e de n t r o n ç o n s lk de d i a m è t r e Df c( / e = 0,l . . . n — 1 ) est :
W4 = S P 4 lk = 2 (a + b D » « ) lh ; L == 2 Z, ( 1 2 ) L e coût des conduites secondaires composées de n' tronçons l'k de d i a m è t r e D '/ £ (k = 0,1 n'—- n est :
W5 = 2 P',, l'k = 2 (a + Z> D V ) l'k «K5>
8. — Réservoir d'eau. P o u r un t y p e et un v o - l u m e donnés, le coût W2 d'un château d'eau esl fonction de la hauteur H du fond au-dessus du sol (fig. 1 ) . O n peut le représenter par :
W2 - = « o - } - Z)y H1 ( 1 4 ) où a2, Z?2, £, sont des p a r a m è t r e s dépendant du
v o l u m e du r é s e r v o i r et des p r i x , à d é t e r m i n e r dans chaque cas. Il semble que e = 1,5. L o r s - qu'on n'a pas assez de données, on peut a d m e t - Ire s = 1.
{ * " ) U n e m é t h o d e s e m i - g r a p h i q u e p o u r t r o u v e r les p a r a m è t r e s est d o n n é e à l a fin d u m é m o i r e ( A p p e n d i c e D ) .
( * * * ) D ' a p r è s D A V I S [i] p o u r des c o n d u i t e s e n f o n t e a v e c a c c e s s o i r e s et m i s e en p l a c e , m = 1,55. D ' a p r è s P A R K E R [8J, CÛ = 1,50. D ' a p r è s K I R S A N O F F [ 7 ] , a> — 1,7.
D ' a p r è s l ' a u t e u r , p o u r des c o n d u i t e s de g r a n d d i a m è t r e (2 à 5 m ) en b é t o n p r é c o n t r a i n t , m = 1,5, les f r a i s d ' e x c a - v a t i o n et d e r e m p l i s s a g e y c o m p r i s ; m est i n d é p e n d a n t de l a p r e s s i o n d e l ' e a u et d u t y p e d e sol [ 3 ] . D ' a p r è s D A V I S , les f r a i s d ' e x c a v a t i o n et de r e m p l i s s a g e sont p r o - p o r t i o n n e l s a u d i a m è t r e D [ 4 ] .
9. -— Poste de pompage. L e coût Wx du g r o u p e m o t o - p o m p e a v e c le poste de p o m p a g e est fonc- tion de la puissance installée, donc aussi de la puissance n o m i n a l e N . I l semble q u e la relation soit linéaire :
W , — ( / , - j - b, N ( 15 .i
où « , , b1 sont des p a r a m è t r e s à d é t e r m i n e r dans chaque cas.
Autres dépenses. L e s autres dépenses \ \ \ , W7
ou U5 ( t r a i t e m e n t de l'eau, a d m i n i s t r a t i o n , sa- laires, e t c . ) , ne dépendent pas des d i a m è t r e s , de la hauteur du r é s e r v o i r ni de la puissance du moteur.
10. - Perte de charge dans une conduite.
Dans une conduite de d i a m è t r e conslant D et de longueur Z, écoulant un débit constant Q à la vitesse m o y e n n e ti. on a la relation de conti- nuité :
Q = i ; . i t Z )2/ 4 ( K i i
el h t pente de la ligne d ' é n e r g i e esl :
J = y/l = ( / / D ) (t>-/'2 g) ( 1 7 ) où y = p e r t e d ' é n e r g i e c o n t i n u e ; o2/2g = éner-
gie c i n é t i q u e ; /' = coefficient de f r o t t e m e n t , sans d i m e n s i o n s [ 6 ] ( * ) .
L e coefficient / est donné p a r des f o r m u l e s e m p i r i q u e s en f o n c t i o n de D e l u (ou Q ) , le plus souvent e x p o n e n t i e l l e s :
J = K Q " ' D •-" ( L S ) où m , S, sont des n o m b r e s constants, bien q u e
différant un peu selon les auteurs; K dépend encore de la rugosité des p a r o i s .
( * ) V o i r : A p p e n d i c e F , à la fin d u m é m o i r e .
a, b, o> are parameters to be delermined in each case.
In gênerai I < û) <C 2.
In what follows ( 0 = 1.5 is adopled.
The cost of the supply pipe of length L,- is : (11)
The cost of the main of total length L , composed of n sections of length lk and diameter D/, each (fc — 0 , 1 , ...n-l) is : (12)
The cost of submains, composed of n' sections /'/„• of diameter D 'f c each (k = 0,1, ...n'-l) is : (13)
8. IValer réservoir.—For given type and volume, the cost of a water tower dépends on the height H of its bottom above ground (fig. 1). It may be represented by : (14)
02, oo, E are parameters to be determined in each case, dépend- ing on the prices and the réservoir volume. It seems that 8 = 1.5.
W h e n no sufficient data are available 8 = I may be assumed.
9. Pumping station.—The cost Wt of the pumping unit and station dépends on the instatled power, therefore also on the rated power N . It seems that : (15)
"1. bi. parameters to be delermined in each case.
OtAer expendilures W » , W 7 , Ur, (waler treatment, administra- tion, wages, etc.) do not dépend on the diamelers, réservoir height or rated power.
10. LOM of head in a conduit.—In a conduit of constant diameter D and length / discharging water at a constant rate of flow Q and mean velocity c, continuity requires : (16)
The hydraulic (or energy line) gradient is : (17), where :
;/ = continuous loss of head ; v2/2 g = kinetic energy ; / = dimensionless friction coefficient (*) ;
/ is given by empirical formulae as function of D and i>, (or Q i , mostly exponenlial ones : ( 18), where :
m. 6 are conslant numbers, differing slightly according to the aulhor. K dépends on wall roughness. T h e most comroon for- mulae are :
( * ) See Appendix F of ttu: French text.
1 ( 2 L A H O U I L L E B L A N C H E M A R S - A V R I L 1954
L e s f o r m u l e s les plus r é p a n d u e s sont
N ° Formule de : m 8 Remarques
1 C H É Z Y - D U P U I Ï 2 5 a n c i e n n e . 2 M A N N I N G 2 5 , 3 3 p a y s de l a n g u e
a n g l a i s e . 3 F O R C H H E I M E R 2 5 , 4 0 p a y s d e l a n g u e
a l l e m a n d e . 4 H A Z E N - W I L L I A M S ( * ) 1 , 8 5 2
7,87 E t a t s - U n i s 5 B L A S I U S - F L A M A N T ( * * ) 1,75 4 , 7 5 p a y s d e l a n g u e
f r a n ç a i s e .
L a f o r m u l e de H A Z E N - W I L L I A M S semble occu- p e r une p o s i t i o n m o y e n n e , c'est p o u r q u o i nous la p r é f é r o n s .
L a p e r t e d ' é n e r g i e dans une conduite de dia- m è t r e constant D , de l o n g u e u r / et de débit Q v a r i a b l e le l o n g de la conduite, est :
y JH J dx = K V>~*J 1 Q"< dx (19) (unités m è t r e - s e c o n d e ) .
K = 10,7 C -
( * ) E n u n i t é s m é t r i q u e s m i x t e s : v ( m / s ) , D ( m m ) , Q ( m 3 / h ) , J ( . & ) , o n a :
,1 = 1,131 X 1012 ( Q / C ) 1,852 D i,S7 v = 1,096 X 10-4 C Jù.SJ D0,«3
o ù C est un coefficient c a r a c t é r i s t i q u e de l a r u g o s i t é d e l a p a r o i . E n m o y e n n e C = 100 p o u r des t u y a u x en f o n t e a p r è s 10 à 15 a n s de s e r v i c e . A l a fin d u m é m o i r e ( A p p e n d i c e E) se t r o u v e u n e t a b l e d o n n a n t v et J p o u r 25 < D ^ 1 250 m m , 0,2 < Q < 11.000 m 3 / h , b a s é e s u r les f o r m u l e s p r é c é d e n t e s et r e c a l c u l é e p a r l ' a u t e u r e n u n i t é s m é t r i q u e s p o u r les b e s o i n s de r e n s e i g n e m e n t d e l ' h y - d r a u l i q u e à l ' I s r a ë l I n s t i t u t e of T e c h n o l o g y , H a ï f a , I s r a ë l .
( * " ) C'est l a f o r m u l e r a t i o n n e l l e s e m i - e m p i r i q u e d e l ' é c o u l e m e n t l i s s e , d i t e des t u y a u x l i s s e s . ( V o i r : A p p e n - dice F , fin d u m é m o i r e . )
( K = 0 , 0 0 2 1 2 p o u r C = 1 0 0 ) .
P o u r tenir c o m p t e des pertes locales (acces- soires, entrée, c o u d e s ) , il faut m u l t i p l i e r K p a r un facteur, dont la valeur est 1 , 1 5 à 1 , 2 0 en m o y e n n e .
11. — La conduite d'adduction a un d i a m è t r e D,. e l un débit Q,. constants et une longueur L , .
L a conduite principale est f o r m é e de n tron- çons A0 A j , . . . A7 ; A; c + 1, . . . A „ _ ! A „ de d i a m è - tres constants D0, . . . Df c, . . . Dn_1 et de lon- gueurs I0, . . . lk, . .. l„_l r e s p e c t i v e m e n t . L e s abscisses des nœuds A0, . . . At, . . . A „ sont 0
. . . xk, . . . . Tb_1, L (fig. 3 ) .
.. - L Débit Q
° o > 0 , 0 ,
N œ u d de 0 B; (qjl B| Utj)
t , i , - Noeud de D Ao A. V l Ak Ak. l An- 1
Abscisse X 0 Xk- 1 Xk Xk* 1 Xn - <
Longueur t __ 1 Mk--f~ Lk ' 1 'n-*
Diamètre D D„ Dk- < > Dk D„_
Prix por m.c . P P» Pk-( > P k P n - Fie, 3 — S c h é m a de la c o n d u i t e p r i n c i p a l e .
4-
L e débit décroît le l o n g de la conduite de Q0
en A0 à Q „ en A „ . A u x nœuds B,-, B^, des c o n d u i - tes secondaires, il tombe b r u s q u e m e n t de Q£_ à Qi+, etc., Qt_ — Qi + — qt r e p r é s e n t a n t le d é - bit de la conduite secondaire Bf. A i l l e u r s , il v a r i e d'une façon continue, en assimilant les c o n s o m - mateurs n o m b r e u x mais peu i m p o r t a n t s , et les fuites à une c o n s o m m a t i o n continue \dQ/dx\ par m è t r e courant. L a courbe Q (.c) a l'allure d'une courbe à g r a d i n s (fig. 4 ) ( * ) .
( * ) P o u r la r e n d r e p l u s a c c e s s i b l e à l ' a n a l y s e m a t h é - m a t i q u e , elle s e r a r e m p l a c é e p a r u n e c o u r b e c o n t i n u e i n f i n i m e n t p r o c h e , ce q u i est t o u j o u r s p o s s i b l e et n'a g u è r e d'effet s u r le r é s u l t a t .
No Formula of m ô Noies
l Chézy-Dupuit 2 5. ancient
2 Manning 2 533 in Anglo-Saxon
countries
3 Forchheimer 2 5.40 in German speaking countries
4 Hazen-Williams (.852 4.87 in U . S . A . 5 Blasius-Flamant I.75 4.75 in French speaking
countries
W e prefer the Hazen-Williams formula, as it occupies a médian position.
The loss of head in a conduit of constant diameter D , length /
and discharge Q varying along the conduit, is : (19) K = 1 0 . 7 C - " > (metric units) ; K = 0.002I2 for C = 1 0 0 . Minor losses may be taken into account by multiplying by 1.15 to 1.20.
1 1. The delivery conduit has constant diameter Dr, discharge Q , . and length L,-.
The main is formed of n sections :
A0A i A /c A / -+1 , . . . . A „ _ 1 A „ of constant diameters D0, . . . . D /;, . . . . D „ _ i and Iengths /„, . . . . lk, . . . . l„_i res- pectively. T h e abscissae of the branching points A„ A;,-,
. . . . A „ are 0, . . . . xk, . . . . x„_i, L (fig. 3 ) .
T h e discharge decreases along the conduit from Q „ at A0 to Q „ at A „ . A t the junctions B ; , Bj of the submains it drops sud- denly from to Q ;4, etc., [ Q ^ — Q u = qi] representing the discharge through the submain B ; . Elsewhere it varies continuously, when numerous small consumers and leakage losses are replaced by a continuous consumption \dQ/dx^ per unit length. T h e curve Q (x) is formed of steps (fig. 4 ) .
M A U S - A V I U I , 195-1 L A H O U I L L E B L A N C H E
mm 400 300 200 « 0 A0 A, A , A , A, A, A , A,
D» D, D, D, D„ D, D, X0 X, X, Xs X. X, X, X,
j — 10— — i , — i , . is .... U > • Do 0, 0, D, 0, 0,
12.
l i v e :
La solution économique e x i g e l'alterna-
( m i n i m u m du capital investi W , ou ( m i n i m u m des dépenses annuelles U .
Il faut y j o i n d r e la condition que la p e r l e d ' é n e r g i e y le long de la conduite p r i n c i p a l e ne peut dépasser une certaine valeur d é t e r m i n é e par la t o p o g r a p h i e et les besoins locaux (fig. 1 ) . y = / J dx
soit
K / Q ' » D -S dx <C - - j - H — h
«/ SI =-- O
(20)
| = y -f- /i — Z — H ^ 0 (200
L e s autres d i a m è t r e s î)k(k—l, . . . n découlent de D0 par sauts de 10, 20, 25 ou 50 m m , selon la fabrication ou la d i s p o n i b i l i t é sur le m a r - ché local ou international :
Ici, W (ou U ) est fonction de (n + 2) varia- bles :
îxk(k=l,2, . . . k— 1, 7c, k + 1, . . . n — 1) est l'abscisse mesurée le long de la conduite dé- i v e l o p p é e , en A,, où D , „ j t o m b e brusquement
à Df c;
\x„ D,. est le d i a m è t r e de la conduite d'adduc-
t i o n ; ( 2 1 ) ' . T „+, = H est la hauteur du château d'eau;
i . T „ ,2 = ] )0 est le d i a m è t r e initial de la conduite i p r i n c i p a l e en A0.
( * ) A u l i e u des .rt. on p e u t c h o i s i r c o m m e v a r i a b l e s les n l o n g u e u r s !,. = — xk (les t r o n ç o n s AA. „ , A{. de d i a - m è t r e c o n s t a n t Vk c h a c u n .
I);. = D0 — const. (21 ' ) el ne sont pas des inconnues indépendantes.
13. — L a solution é c o n o m i q u e conduit à la recherche du minimum relatif de W (ou V), fonction de (n -f- 2) variables, ces variables étant liées par la relation ( 2 0 0 . L a solution est donnée par la m é t h o d e des multiplicateurs de L A O H A N G K ,
ce qui r e v i e n t à rechercher le m i n i m u m d'une fonction a u x i l i a i r e F (ou G ) [ 5 ] ( * ) :
' <; r - i - à , -I
(22)
X (ou X,) est un p a r a m è t r e constant, mais in- connu. L e s (n - f 2) inconnues xk ( 2 1 ) et >. sont d é t e r m i n é e s par les ( n { 3) équations :
i dF/dxk = 0 idG/dxk = 0 (k = 1 , . . . / > + 2 )
•1» = 0
soit
| = 0 (23)
( * ) L ' e x i s t e n c e d'un m i n i m u m v r a i est d é m o n t r é e à la fin d u m é m o i r e ( A p p e n d i c e G ) .
12. The economical solution requires ihe alternative : minimum of capital investment W , or
minimum of annual expenditure U .
A further requirement is that the loss of head y along the raain cannot exceed a certain value determined by the topography and local needs (fig. 1) : (20) or (20')
H e r e W (or U ) is a function of the (n - f 2) variables : (21) The olher diameters D/,- dérive from D0 by jumps of 10, 20, 25 or 50 mm, according to the producer or availability on th."
market: (2V)
and are not independent variables.
13. The economical solution leads towards the study of a relative minimum of W (or U ) , function of (n -f- 2) variables, thèse variables being relaled by (20'). The solution is given by the method of Lagrangean multipliers, which is équivalent to the research of the minimum of an auxiliary function F (or G i [ 5 ] (*) : (22), where /. (or A j ) is an unknown constant parameter.
T h e t r i - ( - 2 ) unknowns xk (21) and X are delermined by th;
(n -f- 3.) équations : (23)
{ * ) The p w t f of the existence of a true minimum is <;iven in Appcndix (', «>f ilie Krcncli texl.
1 4 4 L A H O U I L L E B L A N C H E M A R S - A V R I L 1954
I I I . — C A L C U L D E S C O N D U I T E S E T M I N I M U M D U C A P I T A L
14. — L ' e x p r e s s i o n e x p l i c i t e de F , en r e n r p l a ç a n t W par ( 1 ) , ( 1 1 ) à ( 1 5 ) , d e v i e n t , en n é g l i g e a n t m o m e n t a n é m e n t les conduites secondaires :
F P, L,. -f- W , + W „ + X (h — z — H ) + / 'r i ( P „ + X J „ ) dx -\~ . . .
+ / ' (P/.--1 + À . I t _ , ) dx + f " M ( Pt + X Jk) dx+ . . . ( 2 4 ) qui est m i n i m u m p o u r :
3 F / 3 . rf c = [ Pt- _ , + X ( . r , ) ] — [ I \ + X Jk ( . rf c) ] = 0 ( / c = l , . . . n — 1 ) ( 2 5 ) dF/dxn s 3 F / 3 D , . = (rf Pr/ d Dr) Lr + d W , / d D,. = (rf P,./d D,.) L,. + (rf W , / d N ) ( 3 N / 3 D , . ) = 0 ( 2 6 )
3 F / 3 r , ,+ 1 = 3 F / 3 H = d W2/ d H — X + ( d W , / d N ) ( 3 N / 3 H ) = 0 ( 2 7 )
3 F / 3 xB + n = 3 F / a Pn= S O F / 3 Dt) (rf I \ / r f D0) = S 3 F / 3 Df c ( 2 8 )
7; = 0 7; ^ 0
= S / (3P,,./3Df c + X.3J,;/3D,,.) rfx = 0
en vertu de ( 2 1 ' ) .
15. — D é v e l o p p o n s ( 2 6 ) ; en v e r t u de ( 6 ) , ( 1 0 ) , (18) :
b « D , » -1 L,. — &! v Qr "n"1 K S Q / " D , . - '5-1 L,. = 0 soit :
Dr = K Qr"
: u = (m + l ) / ( o ) + S) = 0,447;
avec : ) = (3 w - i Z>: Z?-1 y -n"1 K ) V « - + « ) ( 2 9 )
^ = (3,24 K y/ti. V W
0'
1 5 7L e d i a m è t r e é c o n o m i q u e de la conduite d'ad- duction est i n d é p e n d a n t de sa l o n g u e u r et dé- p e n d surtout du débit Qr, p r e s q u e c o m m e Q r1/2. Il d é p e n d un p e u de i\ et du r a p p o r t b^/b p r e s - que à la puissance 1/7.
L a pente é c o n o m i q u e Jr : Jr = K Q,."' Dr- «
= K (M B -1 b -N y -1 K ) « / < « + « Qr- ( « « - » ' )
= K ' - ™ (0,38 Vy- ZVfci)0'™5 Qr- o . M 8 (2 9 ' ) dépend du débit p r e s q u e c o m m e Q,~1/:i et de r,.b/bi p r e s q u e à la puissance 3/4.
L a vitesse é c o n o m i q u e : v,. = Q,./0,785 D , 2
= 1,275 ( C O Ô - I / ) T| Y "1 K - 1 ) 2 / ( 0 ! + n ) q , . I - 2 «
= 0,88 ( / ; / / ; , • V y K ) ° -3 W Q ,f t-U"1 ( 2 9 " )
d é p e n d de •ri.b/b1 p r e s q u e à la puissance 1/3 et f o r t peu du débit, presque c o m m e Q / /1 0, elle est d o n c p r a t i q u e m e n t constante. Ceci justifie la n o - t i o n de vitesse économique.
16. — D é v e l o p p o n s (25) ; en v e r t u de ( 1 0 ) , ( 1 8 ) :
* Q *m = ( P * _ i — P*V(J* — J*-x)
= K "1 ( P * - ! — Pt) ( D&- « — Dt_ , - « ) ( 3 0 )
= Z> K -1 ( Df t_ , « — D , , " ) / ( Df c- « — Df c_a- « ) soit :
X S co-i K Z ) -1 = const = ( Bf c D , , V, + U Q ,£~m ( 3 0 ' ) où :
III.—COMPUTATION OF CONDUITS AND MINIMUM OF CAPITAL INVESTMENT
14. Replacing W by ( I ) , (11) to (15), F becomes, when the submains are neglected : (24)
which is minimum f o r : (25) (26) (27) (28) by virtue of (21').
15. Developping (26) and owing to ( 6 ) , (10), (18) : (29) T h e economical diameter of the delivery conduit is independent of its length, and dépends mostly on Q , . , almost as Q ,1 / 2. Il dépends slightly on T| and b\/b.
The economical hydraulic gradient J, : (29') dépends on Q , almost as Q ,_ 1's.
T h e économie velocity vr : (29") dépends very slightly on Q , , , it is therefore practically constant. This justifies the conception of economical Velocity.
16. Developping (25) and owing to (10), (18), we obtain : (30) (30') or (31).
( ' ) Rk ami B i / + w— IW.œas fv m oi i „ „ ,,f \ arc giv c l, in thc Fv c,l r' , text (page 145). For A < 0.25 we linvc B» = 1-1.06 A* witliin 0.00!.
