UTBM MN 51 : MODELISATION DES STRUCTURES PAR ELEMENTS FINIS
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EXAMEN FINAL 17 janvier 2012 14h-16h P127
Les notes de cours et de TD sont autorisées
Automne 2011 M.Domaszewski, F.Peyraut
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Page 1/3 Sujet 1 (7 points) :
Déterminer le système K u = f pour une structure composée d’une plaque et deux poutres (en flexion simple), voir la Fig.1 La plaque est maillée avec 4 éléments à 4 nœuds. Tenir compte de la symétrie et respecter la numérotation des nœuds et des éléments.
On rappelle la matrice de rigidité de l’élément de poutre en flexion simple :
2 2
3
2 2
12 6 12 6
6 4 6 2
12 6 12 6
6 2 6 4
e
L L
L L L L
K EI
L L
L
L L L L
−
−
= − − −
−
A.N. : EI=1., L=1.
P
a 2
3
L 1
L a
a
a
1 2 3
4
5 6
7
Fig. 1
Page 1Bis/3
On rappelle la matrice de rigidité de l’élément de plaque :
0 0
1
0 0
15
0 0
0 0 0
0 0 0
e
SA SB SC
SD SE SF
SG SH SA
SI SJ SB SC
SH SJ SM SD SE SF
K ab SN SO SP SQ SA
SR SS ST SU SB SC
SO SS SX SQ SU SY SD SE SF
SP SQ SN SO SG SH SA
ST SU SR SS SI SJ SB SC
SQ SU SY SO SS SX SH SJ SM SD SE SF
−
−
−
=
− − − − −
− −
− −
− − − − − −
Page2/3 Sujet 2 (7 points) :
Considérons une poutre épaisse avec deux maillages différents : a) 4 éléments rectangulaires à 4 nœuds (Q4), Fig. 2a, et b) 4 éléments triangulaires à 3 nœuds (CST), Fig. 2b. On applique un chargement réparti constant q=10kN/m sur la surface supérieure.
• On demande de calculer les forces nodales équivalentes pour les deus maillages.
• Commentaires.
Remarque : Adapter les fonctions de forme définies dans le Cours N°5.
On rappelle les fonctions de forme : Elément Q4
N1 = (¼)(1- ξ)( 1 - η), N2 = (¼)(1+ξ)( 1 - η), N3 = (¼)(1+ξ)(1+η), N4 = (¼)(1- ξ)(1+η) -1≤ ξ ≤1, -1≤ η ≤1
Elément CST
N1 = 1- ξ - η, N2 = ξ, N3 = η, 0≤ ξ ≤1, 0≤ η ≤1
1 2 3
4 5 6
7 8 9
1 2 3
4 5 6
q q
1 2
3 4
3 1
2 4
Fig. 2a Fig. 2b
2m 2m 2m 2m
a
a
b
a=1m, b=2m
Page 3/3 Sujet 3 (6 points) :
Choisir la bonne réponse :
1. L’élément CST pour les problèmes d’élasticité 2-D possède une caractéristique suivante :
A. les déplacements sont linéaires dans l’élément.
B. les contraintes sont linéaires dans l’élément.
2. Dans le calcul des structures linéaires (en petits déplacements et petites déformations) les équations cinématiques sont écrites dans
A. la configuration non déformée.
B. la configuration déformée.
3. Dans l’élément de coque mince axisymétrique à 2 nœuds et 3 ddl par nœud, les déplacements radiaux sont approximés par un polynôme
A. quadratique.
B. cubique.
4. Les résultats d’analyse modale sont utilisés dans A. la méthode de superposition modale.
B. la méthode explicite d’intégration dans le temps par différences finies.
5. La méthode de condensation de Guyan a pour objectif
A. améliorer la précision du calcul des fréquences de vibrations.
B. réduire la taille du problème aux valeurs propres.
6. La méthode de convergence de type p concerne A. raffinement du maillage.
B. augmentation du degré d’approximation des fonctions de forme.
