En prenant , faire itérations de la méthode d’Euler modiﬁée et calculer l’erreur commise sur en comparant les résultats avec la solution analytique

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FSR TD-Méthodes Numériques 2019/2020

A. Rtibi Page 1

Série 5 Exercice 1 :

Faire trois itérations avec h = 0,1 des méthodes d’Euler explicite, d’Euler modiﬁée et de Runge-Kutta d’ordre 4 pour les équations diﬀérentielles suivantes :

a) ( ) ( ( )) ( ) b) ( ) ( ) Exercice 2 :

L’équation diﬀérentielle suivante:

( ) ( ) ( )

possède la solution analytique suivante:

( )

1. En prenant , faire itérations de la méthode d’Euler modiﬁée et calculer l’erreur commise sur en comparant les résultats avec la solution analytique ( ).

2. En prenant , faire itérations de la méthode d’Euler modiﬁée et calculer l’erreur commise sur en comparant les résultats avec la solution analytique ( ).

3. Faire le rapport des erreurs commises en 1. et en 2. et commenter le résultat en fonction de l’erreur de troncature locale liée à la méthode utilisée.

4. Utiliser l’extrapolation de Richardson pour obtenir une meilleure approximation de ( ).

Exercice 2 :

1. La modélisation du mouvement sans frottement d’un pendule simple est :

( ) ( ) ( ) ( )

désigne l’angle du pendule à partir de la verticale, ⁄ , étant l’accélération gravitationnelle et la longueur du pendule.

Proposer une stratégie de résolution et, si nécessaire, reformuler ce problème pour que l’on puisse résoudre par les techniques numériques à un pas.

2. Dans le cas où il y’a les frottements, la modélisation du mouvement d’un pendule simple est : ( ) ( ) ( ) ( )

désigne le coefficient du frottement.

3. La modélisation du mouvement d’un pendule de Foucault est :

{ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) désigne la trajectoire du pendule dans le plan, est la vitesse angulaire de la terre, est la latitude locale et ⁄ , étant l’accélération gravitationnelle et la longueur du pendule.