Modélisation numérique et étude expérimentale d’un procédé plasma d’élimination de particules de suies carbonées

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Modélisation numérique et étude expérimentale

d’un procédé plasma d’élimination de particules de suies carbonées

M.H. Baghli^1*, B. Benyoucef¹ et K. Hassouni²

1Unité de Recherche en Matériaux et Energies Renouvelables B.P. 119, Université Abou Bekr Belkaïd, Tlemcen, Algérie

2LIMHP, CNRS, Unité Propre de Recherche 1311, Université Paris 13, Villetaneuse, Paris, France

Résumé - La communication proposée se situe dans le cadre d’études menées sur les procédés d’élimination de particules de suies présentes dans les effluents produits dans les enceintes de combustion. Le procédé qui nous intéresse plus particulièrement utilise une technique de décharge couronne pulsée qui associée à des réacteurs catalytiques permet d’envisager la mise au point de procédés très efficaces pour l’élimination de composés toxiques, NOx, SOx, COV, ou de particules nanométriques. Nous nous sommes intéressés aux aspects concernant la compréhension des phénomènes qui gouvernent l’initiation et la propagation des micro-décharges, encore appelées streamers, qui représentent les éléments constitutifs des décharges non thermiques à pression atmosphérique de type couronne. Pour ce faire, nous nous sommes essentiellement appuyés sur la modélisation numérique, et nous sommes intéressés à la résolution des équations qui gouvernent la propagation des streamers. Les résultats obtenus, nous ont permis de valider le choix de la méthode de transport FCT (Flux-Corrected Transport) et de valider l’aspect concernant la séparation des distributions de charge. Par la suite, nous sommes arrivés à analyser les phénomènes de transition avalanche/streamer sous champ fort. Ces résultats ont montré également que la formation d’un streamer cathodique dépend essentiellement de la possibilité d’atteindre une densité critique de l’ordre de 10⁺¹³ cm^-3 avant d’arriver à l’anode. Il s’est avéré qu’on ne peut propager un streamer sous des champs inférieurs à 1kV/cm que si on arrive à créer des germes avec des densités d’électrons initiales, de l’ordre de 10⁺¹³ – 10⁺¹⁴ cm^-3.

1. INTRODUCTION

Avant d’exposer le modèle mathématique que nous avons développé dans cet article, il nous semble important de préciser que les phases de décharges étudiées durent au plus quelques dizaines de nanosecondes. Comme le degré d’ionisation reste faible et seules les densités d’espèces chargées sont influencées par le passage de la décharge, on peut considérer que les neutres sont inertes. Nous sommes intéressés par conséquent qu’au transport des espèces chargées, qui est en partie gouverné par le champ électrique total. Ce dernier inclut les champs Laplacien et de charge d’espace.

L’objectif des modèles numériques développés est de rendre compte, des distributions spatiales, des densités des électrons, des ions positifs et des ions négatifs. En effet, ce sont ces densités qui déterminent la distribution de charge d’espace qui gouverne la formation et la propagation des streamers. Les densités des espèces chargées sont régies par les phénomènes collisionnels et de transport auxquels elles participent.

La description de ces phénomènes s’appuie sur la mécanique des milieux continus et utilise les équations de transport des espèces chargées. De plus, l’approximation de milieu continu qui reste relativement satisfaisante dans le cas des décharges de streamers, permet une analyse de ces décharges en des temps de simulation raisonnables.

2. MODELE DE TRANSPORT DANS LES DECHARGES DE STREAMER

Les équations de continuité des espèces chargées constituent la forme différentielle d’un bilan matière tenant compte des phénomènes de transport, de chimie et d’accumulation. Dans le cas particulier des électrons, cette équation s’écrit, [3]:

* Haris_dz@yahoo.fr _ icresd_07@univ-tlemcen.dz _ hassouni@limhp.univ-paris13.fr

e

e divFe S

t

n = − +

∂

∂ (1)

Dans les décharges électriques les flux F_e des espèces chargées sont en général de deux types. On a un flux convectif de transport des charges sous l’effet du champ électrique. Ce flux connu sous le nom de flux de dérive s’exprime par une multiplication de la densité d’électron, la vitesse de dérive des électrons qui dépend de la mobilité des électroniques µ_e et du champ électrique E , et Z_e la charge. Le second flux correspond à la diffusion libre des électrons telle qu’on la définit d’après la loi de Fick. Le terme source S correspondant à la photo-ionisation _e représente le taux de production net des électrons. Il dépend des constantes des réactions d’ionisation et d’attachement [2].

Les évolutions spatio-temporelles des densités des ions positifs et négatifs sont gouvernées par des équations de transport similaires à celle explicitée pour les électrons (équation (1)). Les flux incluent une composante de diffusion et une composante de dérive où interviennent les coefficients de diffusion et de mobilités des ions. Les termes sources sont légèrement différents de celui des électrons. Ainsi, pour les ions positifs, la production est assurée par l’ionisation par impact d’électron et la photo-ionisation, alors que pour les ions négatifs la production est assurée par l’attachement. Les coefficients de transport et les constantes de réaction, sont en principe fonctions de la température des électrons dont la détermination nécessite de considérer une équation de conservation de l’énergie des électrons. Cependant, lorsque l’approximation de champ électrique local est valable, ce qui est le cas dans les plasmas auxquels on s’intéresse [4], ces coefficients sont directement liés au champ réduit.

Le champ appliqué dans la décharge revêt donc une importance considérable sur le contrôle des paramètres de transport et les coefficients des réactions entre électrons et espèces lourdes. Il détermine également de manière prépondérante la dynamique des électrons qui reste contrôlée par le terme de dérive. Il est obtenu par résolution de l’équation de Poisson qui permet de déterminer le potentiel dans l’espace inter électrode. Le profil du potentiel est ensuite différencié pour remonter à la valeur du champ électrique. Le système d’équations utilisées s’écrit donc:

0 e e i i 0

n q z e n

V ε

− − ε =

−

=

∆

∑

(2)

V

E = −∇ (3)

Le système d’équations régissant l’initiation et la propagation d’un streamer regroupe des équations de transport pour les espèces chargées (équation de type (1) exprimée pour toutes les espèces chargées du plasma) couplées aux équations de champ (10-11). Dans le cas présent, nous nous intéressons à des décharges dans l’air que nous supposons contenir trois espèces chargées:

un ion positif moyen (N⁺₂+O⁺₂), un ion négatif (O ) et les électrons. ⁻

Nous avons donc considéré trois équations de transport. En effet, même si les phénomènes d’ionisation peuvent avoir lieu sur O2 et N2, la similarité des coefficients de transport permet de travailler avec un ion moyen (N⁺₂+O⁺₂) dont la constante de production est la moyenne des constantes d’ionisation de N2 et O2 pondérée des pourcentages de O2 et N2 dans l’air. Par contre les réactions d’attachement n’ont été considérées que pour l’oxygène avec comme ion O qui ⁻ résulte de l’attachement dissociatif sur O2 (e⁻ +O₂⇒O+O⁻ ).

3. CONDITIONS AUX LIMITES

La résolution du système constitué des équations de transport et de l’équation de Poisson nécessite de spécifier des conditions aux limites aux électrodes qui constituent les frontières du domaine simulé. Le choix des conditions aux limites est dicté par des considérations physiques et distingue le cas des électrons de celui des ions. Ces conditions aux limites dépendent de la valeur

du nombre de Peclet, soit Pe = V.dx D et qui détermine la nature diffusive ou convectif des flux d’espèces. Ainsi, dans le cas des ions, on distingue les cas suivants:

- Pe >2, et le flux dirigé l’électrode, on spécifie une condition aux limites de type gradient nul (tous les ions arrivant à l’électrode sont absorbés). Et si le flux dirigé vers le centre de la décharge on choisit une condition de densité nul, cette condition empêche l’extraction artificielle d’un flux d’ions des électrodes.

- Pe <2, le transport n’est plus dominé par la convection et on utilise une condition aux limites qui stipule l’égalité entre le nombre d’ions transportés à l’électrode et le nombre d’ions qui se recombinent sur l’électrode. Comme on suppose que tout ion qui atteint l’électrode est neutralisé, dans le cas des électrons, les conditions aux limites sont similaires, sauf que l’on considère la possibilité d’extraction des électrons secondaires des électrodes.

4. ESTIMATION DES COEFFICIENTS DE TRANSPORT ET DES CONSTANTES CINETIQUES

Les coefficients de diffusion et de mobilité des électrons, ainsi que les constantes des réactions impliquant des électrons dépendent de la fonction de distribution de l’énergie des électrons (FDEE). Dans l’hypothèse d’une FDEE Maxwellienne, ces coefficients s’expriment directement en fonction de la température des électrons. Dans les modèles numériques développés lors de ce travail, nous avons adopté l’hypothèse de champ local qui implique implicitement que ces coefficients peuvent s’exprimer en fonction de la valeur locale du champ électrique réduit [11].

Nous avons utilisé le jeu de coefficients de transport et de constantes de réaction proposé par Morrow et Lowke [21]. On retiendra qu’à bas champ réduit, la mobilité des électrons est supérieure d’environ quatre ordres de grandeurs à la mobilité des ions (0.19 et 0.18 x 10^-4 m².V^-

1.s^-1). Par rapport aux électrons, les ions vont donc être quasiment immobiles dans les échelles de temps considérés. Le coefficient de diffusion des électrons est de l’ordre de 10^-1 m².s^-1. Cette valeur permet d’estimer un nombre de Peclet, de l’ordre de 2000 à bas champ électrique. Le transport des électrons va donc être très fortement convectif.

5. TRAITEMENT NUMERIQUE DU SYSTEME D’EQUATION GOUVERNANT LA PROPAGATION DU STREAMER

Le système constitué des équations de transport couplées à l’équation de Poisson ne peut être résolues analytiquement. Il est donc nécessaire de procéder à leur résolution en utilisant des méthodes numériques appropriées. Nous nous sommes contentés dans le cadre de ce travail de faire l’hypothèse d’une propagation unidimensionnelle où le streamer est considéré comme un cylindre d’un rayon constant avec une distribution radiale uniforme pour les densités de charge.

Cette simplification permet de bien décrire l’effet de propagation selon l’axe du streamer à l’aide d’un système d’équation réduit à une géométrie unidimensionnelle. Bien sûr, les effets d’expansion radiale et leur conséquence sur la dynamique du streamer ne peuvent être décrits à l’aide de ce type de modèle. Ceci est notamment le cas de la phase pendant laquelle le streamer entre en contact avec la cathode.

La résolution des équations de transport et du champ électrique requiert leur discrétisations spatiale et temporelle. Pour ce faire, on se donne d’abord un maillage, 1D dans ce cas, qui détermine les points sur lesquels seront calculées les densités d’espèces et le champ électrique.

Les variations de champ ayant lieu sur des distances très faibles de l’ordre de quelques dizaines de microns, nous avons choisi un maillage de 1000 points permettant de bien résoudre les variations spatiales des différentes caractéristiques de la décharge pour des distances inter électrodes de l’ordre du centimètre.

6. EQUATIONS DE CONSERVATION DES ESPECES CHARGEES

Les équations de transport ont été discrétisées sur ces points de maillage en utilisant des schémas numériques permettant d’éviter les problèmes de diffusion numérique qui est particulièrement importante et peut fausser les résultats extraits des modèles. Les schémas numériques adoptés sont tous explicites en temps. Les grandeurs au point k à l’instant t+dt sont déterminées à partir des flux et termes sources estimés au temps t . Une discrétisation centrée est par ailleurs utilisé pour la détermination de la divergence du flux au point de maillage k. Les densités et termes sources sont estimés au centre des mailles, alors que les flux sont calculés à l’interface des mailles. Il en résulte que l’expression des flux est donnée par:

t 2 1 k , e 2 1 k , e 2 1 k , 1 e k , e k , 2 e 1 k , t e

2 1 k ,

e .E .n

x n .n D

F 









 −µ

δ

− −

= ₋ ⁻ _{− − −}

− (4)

Le point le plus important dans l’expression précédente concerne la connaissance ou non des différentes grandeurs à l’endroit où elles doivent être estimées (centre ou bord des mailles). En effet les densités n_e,k et n_e,k−1 sont directement calculées à partir des formes discrétisées des équations de transport (dont elles sont les inconnues). De même, le champ électrique est directement calculé au bord des mailles et on accède directement à la valeur E_k−12. Comme les coefficients de transport dépendent de E leurs valeurs sont directement déterminées en k−12. Les deux grandeurs qu’il reste à déterminer par des schémas numériques d’interpolation sont les valeurs aux interfaces de densités qui interviennent dans le terme convectif ainsi que les constantes de réaction qu’il faut estimer au centre des mailles. Concernant les constantes de réaction, on les estime à partir des valeurs de champ électrique obtenues au centre des mailles par interpolation des valeurs de E calculées sur les bords des mailles. La détermination d’approximations des valeurs aux interfaces des densités qui permettent une intégration précise et stable du terme convectif de l’équation de transport a fait l’objet d’un grand nombre de travaux les deux dernières décennies. Ces travaux continuent d’ailleurs puisque les problèmes posés par la simulation de systèmes fortement convectifs, comme celui étudié ici, sont encore d’actualité.

C’est sur ce terme que nous avons travaillé en étudiant plusieurs schémas de discrétisation proposés dans la littérature.

Le problème le plus important vient du fait que des approximations précises d’ordres élevés (supérieur à 2) sont naturellement instables et conduisent à l’apparition d’oscillations sur les distributions calculées. Par contre, les approximations d’ordre bas (1 ou 0) permettent une intégration stable mais présentent l’inconvénient d’une mauvaise précision. Ces schémas introduisent en particulier une diffusion artificielle d’origine numérique qui fausse les résultats. Il apparaît donc nécessaire de développer des schémas numériques exempts de ce type d’erreur.

Nous nous sommes intéressés dans ce contexte à deux types de schémas. Le premier s’appuie sur l’utilisation de flux d’anti-diffusion avec des procédures de correction de flux. Le second s’appuie sur l’utilisation de schémas numérique semi Lagrangien, d’ordres impairs élevés avec également des limiteurs de flux qui permettent de préserver la positivité du schéma.

7. SCHEMA DE DISCRETISATION FCT (Flux-Corrected Transport)

Le développement des schémas FCT par Boris et Book répondait à une problématique à double contrainte. Il s’agissait en effet de mettre au point des méthodes permettant à la fois une estimation au moins au second ordre du terme de divergence du flux convectif, tout en garantissant une stabilité numérique et en évitant l’apparition d’oscillations caractéristiques des schémas de discrétisation d’ordres et pairs élevés [12-13]. L’idée de Boris et Book [4, 5] a été de transformer l’équation de transport en introduisant un terme de diffusion numérique bien choisi et permettant de stabiliser un schéma de discrétisation d’ordre 2 du terme convectif et de résoudre l’équation ainsi obtenu par un schéma d’ordre 2 (ou plus). Un flux d’anti-diffusion est ensuite appliqué à la solution de cette équation afin d’éliminer les effets de la diffusion numérique sciemment introduite dans l’équation de transport original [4, 5].

Les points durs de la méthode sont relatifs au choix des coefficients de diffusion et d’anti- diffusion numérique et à l’application d’un limiteur de flux sur le flux d’anti-diffusion afin que ce dernier n’entraîne pas l’apparition de maxima ou minima artificiels. Différentes possibilités, existent pour le choix de ces coefficients.

Nous avons opté pour un schéma FCT appelé LPE Phoenical (Low Phase Error) dont l’avantage est de minimiser les erreurs de phases qui entraîne l’apparition d’oscillations sur la solution. En supposant un terme source nul, ce schéma appliqué à l’équation de transport des électrons aboutit à la forme discrétisée [7]:



υ  + −υ  +  +







 

 + ε

−





 +

ε

−

=

− +

− +

− +

− + +

ne ne 2 1 n k

n e 2 e 1 k

ne ne 2 1 n k

n e 2 e 1 n k

e 1 n e

1 k k k

1 k

1 k k k

1 k k

k

n n . n

n .

n n . n

n 2 .

n 1 n

(5)

où ε est le nombre de courant et υ le coefficient de diffusion qui englobe la diffusion numérique et physique. Il est donné par:

2 12 2 k

n e 2 1 p k

2 1 2 k 1

k 3

1 6 t 1 x D

+ +

+ + ∆ + + ε

= ∆ υ + υ

=

υ (6)

avec

x . t

2 1 t e 2 1

k ∆

ν ∆

=

ε _{+ − +}

Dans cette forme, le terme de convection est discrétisé avec un schéma centré du second ordre. Un coefficient de diffusion de diffusion numérique valant 16+ε² 3 est injecté pour stabiliser la forme centrée utilisée pour la discrétisation du terme convectif. La solution n^k_e⁺¹ de l’équation de transport original est obtenue en appliquant un flux d’anti-diffusion au champ intermédiaire n^k_e⁺¹. Ce flux d’antidiffusion est donné par:

( )

_^

 − + − + − +

µ

= ₊ ⁺₊ ⁺ _{+ + −}

+ . n n n n n n 6

f_{e k 12 e}^{n 1 n}_e ^{1 n}_{k 2} ⁿ_{k 1} ⁿ_k ⁿ_{k 1}

k 1 2 k

1

k (7)

avec µk+12 =

(

¹−ε²_k+₁₂

)

⁶

où µ_k+12 est le coefficient d’anti-diffusion correspondant au cas du schéma FCT Phoenial LPE.

S’il est utilisé tel quel, le flux d’anti-diffusion donné par l’équation (7) peut conduire à l’apparition d’extrema artificiels. Les solutions obtenues présentent alors des oscillations numériques dans les zones de forts gradients [7]. Pour éviter ce type d’inconvénients on utilise un limiteur de flux qui permet de borner le domaine de densités à l’issue de l’étape d’anti-diffusion.

Typiquement, la correction de flux n’est appliquée que si le profil est monotone et le flux d’anti- diffusion dirigé dans la direction opposée au gradient. Le flux est borné de manière à ce que la densité nⁿ_e,⁺_k¹ reste comprise entre des extrema qui sont fonctions des densités nⁿ_e,k−1, nⁿ_e,k,

n,k 1

ne ₊ , n_eⁿ_,k−1, nⁿ_e,k et nⁿ_e,k+1 dans les mailles voisines. La manière de choisir les extrema définit le type de limiteur. Nous avons pour notre part utilisé le limiteur de Zalezak [8]. Le flux d’anti-diffusion corrigé f_e est utilisé pour remonter au champ de densité au pas de temps n+1 à partir des densités nⁿ_e⁺¹ par l’équation:

2 1 k 2 1 k k

k n e e

e n

e n f f

n = − ₊ + ₋ (8)

8. EQUATION DE CHAMP ELECTRIQUE

Les streamers étudiés ont des formes cylindriques avec un rayon fini de l’ordre de la centaine de micron. Nous sommes amenés à utiliser la méthode des disques qui est une forme

unidimensionnelle de l’équation de Poisson qui tient compte du caractère fini du streamer et utilise une hypothèse de distribution radiale des charges uniforme [9].

9. RESULTATS

9.1 Tests sur la précision du schéma numérique développés suivant la largeur du profil de la gaussienne

Nous avons d’abord essayé de valider les programmes mis au point sur la base du schéma FCT. Pour ce faire, nous avons simulé la propagation de trois distributions Gaussiennes d’électrons de largeurs à mi-hauteur 10 xδ , et 100 xδ où xδ représente le pas d’espace ( xδ = 10^-5 cm). Cette propagation est générée par un champ Laplacien constant de 50 kV/cm et s’effectue donc à vitesse constante.

Les résultats obtenus en utilisant le schéma FCT sont représentés sur les figures 1(a-b). On observe en effet que ce schéma n’est jamais diffusif. Une représentation à l’échelle logarithmique a été tracée et a mis en évidence une forte compression des distributions qui deviennent très étroites. Cet effet peut être néfaste dans la mesure où comme nous le verrons plus loin, la propagation du streamer est gouvernée par les zones à fort champ électrique qui correspondent en général à des bords de distributions caractérisés par des densités très faibles. Notons également que le schéma FCT ne présente aucune diffusion numérique et préserve la forme du signal pour des distributions de largeur supérieure à une vingtaine de pas d’espace xδ . Ainsi, il est intéressant à utiliser si on lui associe des maillages permettant de résoudre le 5 % des variations spatiales.

(a) (b) Fig. 1: Simulation par le schéma FCT de la propagation d’une Gaussienne

de largeur 100 xδ (a) et 10 xδ (b) et n_e,max=10⁻⁶cm⁻³ 9.2 Analyse des effets de charge d’espace

Ce test de validation des codes développés a été mené sur la simulation de l’évolution des charges d’espace et du champ électrique sous l’effet d’un champ Laplacien constant. Pour ce faire on étudie l’évolution de distributions d’électrons et d’ions initialement confondues et situées au centre d’un espace inter électrode où règne un champ Laplacien constant de 50 kV/cm. Les distributions Gaussienne étudiées présentent un maximum de densité électronique de 10¹³ cm^-3. Ce type de simulation constitue un test classique sur les couplages électrostatiques et leurs effets sur le champ de charge d’espace [13-14]. Il permet notamment d’analyser si la création de charge d’espace qui est à l’origine du mécanisme de propagation du streamer est fidèlement décrite par les modèles numériques [10]. De ce point de vue, ce type de test nous rapproche un peu plus des conditions permettant la formation et propagation des streamers.

(a) (b) Fig. 2: Evolution de la distribution de charge d’espace (a) et (b) d’un système

de deux distributions Gaussiennes électrons/ions confondues de largeur à mi-hauteur 10 xδ , avec n_e,max=10⁺¹²cm⁻³, cmE_app = 30kV/

La figure 2(a) montre les évolutions de charge d’espace obtenues avec le schéma FCT. On observe en effet la formation de deux régions de charges d’espaces. La première positive, fortement localisée et caractérisée par un maximum très prononcé se situe du côté de la cathode, alors que la seconde plus large est négative, moins intense et située du côté de l’anode. Le maximum positif de la distribution de charge augmente avec le temps, alors que la valeur du minimum négative a tendance à diminuer. La formation de ces charges est essentiellement provoquée par le mouvement des électrons sous l’effet du champ Laplacien. En effet les ions restent quasiment immobiles aux échelles de temps considérées. Le déplacement des électrons va créer un champ de charge d’espace qui va s’apposer au champ Laplacien et conduire, comme on peut l’observer sur la figure 2(b), à l’établissement d’un champ quasiment nul au centre de l’espace inter électrode. Les électrons côté cathode vont être piégés dans cette zone ambipolaire alors que les électrons situés du côté anode vont pouvoir dériver vers la cathode grâce au champ Laplacien. Cette dynamique explique les distributions de charge fortement localisées côté cathode et relativement diffuses côté anode. Les distributions de champ électrique sont caractérisées par deux maxima qui délimitent la zone ambipolaire et dont l’existence s’explique par les effets de diamètre fini du streamer. Le champ ambipolaire obtenu au bout d’une dizaine de nanoseconde est 5000 fois plus faible que le champ Laplacien. On peut donc considérer au vu des échelles de temps considérées que les électrons sont quasiment piégés dans cette zone ambipolaire qui a tendance à se réduire avec le temps. Ainsi, Les évolutions des distributions de charge obtenues par les modèles numériques développés sont en très bon accord avec ceux rapportés dans la littérature. Ceci montre que les schémas mis au point permettent de bien tenir compte des effets de couplage de charge sur la dynamique des électrons [13-14].

9.3 Effet d’avalanche et transition avalanche/streamer sous champ fort

Nous avons utilisé les codes numériques développés pour étudier les effets de transition avalanche/streamer tels qu’ils sont décrits par Loeb [1] et repris par Morrow [6], puis plus récemment Kulikowski [10]. Ces effets de transitions sont en effet à l’origine du déclenchement des décharges couronne à pression atmosphérique. Les simulations réalisées débutent avec un germe de charge distribué selon une Gaussienne et situé au centre de l’espace inter électrode. La densité maximum de ce germe a été fixée à 2.5 x 10⁸ cm^-3. Un champ électrique d’intensité 50 kV/cm est ensuite appliqué à une des électrodes. On observe dans un premier temps la constitution d’une avalanche d’électrons vers l’anode (Fig. 3(d-f)). En effet les électrons primaires du germe initial sont accélérés sous l’effet du champ Laplacien. Ils acquièrent de l’énergie et ionise le gaz plasmagène. Cette ionisation conduit à une augmentation de la densité électronique au fur et à mesure de l’avancée de l’avalanche. Les électrons créés continuent leur course vers l’anode alors que les ions restent quasiment immobiles à l’endroit où ils sont créés par

ionisation. Ces phénomènes d’avalanche peuvent également être matérialisés par les distorsions de champ électrique qu’elles induisent. Les figures 3(a-b) montrent en effet que le champ de charge d’espace créé par la tête d’avalanche devient comparable au champ Laplacien au bout de 3 ns. A ce stade, ce champ de charge d’espace participe au contrôle du transport du nuage électronique qui se trouve de fait dans une situation intermédiaire entre l’état d’avalanche (caractérisé par un champ purement Laplacien) et un streamer anodique (caractérisé par un champ de charge d’espace prépondérant). Du côté cathodique, nous avons également un maximum de champ qui augmente avec le temps et atteint une valeur supérieure au double de celle du champ Laplacien à un temps de l’ordre de 5 ns (Fig. 3(c)).

On peut parler d’une transition du régime d’avalanche au régime de streamer cathodique qui se développe très rapidement. La vitesse de propagation de ce streamer calculée sur la base de l’avancée des maxima de champ et de densités représentées sur les figures 3(c-f) est de l’ordre de 10⁶ m.s^-1. Comme on peut le constater cette vitesse est très supérieure, de plus d’un facteur 2, à celle de l’avalanche dans le champ Laplacien qui est de l’ordre de 4 x 10⁵ m.s^-1.

Les simulations que nous avons effectuées ont montré que lorsque l’on soumet un germe initial placé au centre d’espace inter électrode à un champ Laplacien constant, deux situations sont envisageables. Si la valeur de la densité d’électrons du germe initial est faible et/ou le champ électrique Laplacien est faible, on obtient bien une avalanche mais qui finit par mourir sur l’anode où les électrons sont absorbés. Ce cas correspond à une situation où l’avalanche n’atteint pas une taille critique (en terme de densité) pour que le champ de charge d’espace devienne important et favorise la formation d’un streamer cathodique avant l’arrivée à l’anode. Il semble de plus qu’en dessous de cette taille critique le taux d’électrons absorbés à l’anode et bien supérieur au taux d’électrons créés par ionisation. Les différentes simulations conduites au cours de ce travail permettent de conclure à une densité critique de l’ordre de 10¹³ cm^-3.

(a) (b)

( c ) (d)

( e ) ( f )

Fig. 3: Différentes étapes de l’évolution de la distribution de champ électrique (a-c) et de la densité des électrons (d-f) lors des phases de propagation d’une avalanche et sa transition vers des streamers. L’initiation est effectuée par un germe Gaussien d’électrons initialement situé

au centre de l’espace inter électrode avec n_e,max = 2.5×10⁸cm⁻³, cmE_app =50kV/ L’analyse des phénomènes de transition avalanche/streamer sous champ fort, nous voulons insister sur le fait que la formation d’un streamer cathodique dépend essentiellement de la possibilité d’atteindre une densité critique de l’ordre de 10¹³ cm^-3. Il faut en effet que le champ Laplacien, la densité initiale du germe et la position de sa formation soient de telle sorte que le phénomène d’avalanche permette d’atteindre la valeur critique avant d’atteindre l’anode. Les simulations présentées dans ce rapport illustrent deux situations où cette densité critique est atteinte de deux manières différentes. La formation du streamer anodique semble plus complexe à interpréter. En effet, la distribution de charge du côté anodique a tendance à être moins localisée.

Le champ électrique en résultant est moins intense et provoque une ionisation moins importante.

Il semble que plus que la valeur de densité atteinte lors de l’avalanche, c’est la séparation de charge pouvant être assurée par la configuration du triplet densité du germe initial /champ Laplacien/position du germe initial qui, va permettre ou non la transition avalanche/streamer anodique.

10. CONCLUSION

Nous nous sommes intéressés à la mise en œuvre de modèles physiques et numériques pour simuler la propagation de décharges de streamer. Nous nous sommes également intéressés auxméthodes numériques de résolution des équations de transport fortement convectives et au développement de deux codes numériques de simulation de ces décharges. Les résultats obtenus à l’aide de ces outils nous ont permis dans un premier temps de valider le choix de la méthode de transport grâce aux simulations qui ont montré que le schéma FCT qui n’est jamais diffusif.

Cependant, le schéma FCT met en évidence une forte compression des distributions qui deviennent très étroites dès que on diminue la largeur de la gaussienne. Il est intéressant à utiliser si on lui associe des maillages permettant de résoudre le 5 % des variations spatiales. Nous nous sommes intéressés à la validation des aspects concernant la séparation des distributions de charge.

Nous avons constaté que les modèles numériques développés sont en très bon accord avec ceux rapportés dans la littérature. Ceci montre que les schémas mis au point permettent de bien tenir compte des effets de couplage de charge sur la dynamique des électrons. Par la suite, nous sommes arrivés au cœur même de notre travail, qui a été d’analyser les phénomènes de transition avalanche/streamer sous champ fort. Nous voulons insister sur le fait que la formation d’un streamer cathodique dépend essentiellement de la possibilité d’atteindre une densité critique de l’ordre de 10¹³cm^-3. Il faut en effet que le champ Laplacien, la densité initiale du germe et la

position de sa formation soient de telle sorte que le phénomène d’avalanche permette d’atteindre la valeur critique avant d’atteindre l’anode.

Nous avons ensuite abordé l’étude de la formation et la propagation de streamer sous champs faibles. Cette étude présente un intérêt quant à l’utilisation de décharges de streamer pour le traitement d’effluents. En effet la capacité de traitement va dépendre de la longueur de propagation et de la durée de vie du streamer. Il s’est avéré qu’on ne peut propager un streamer sous des champs très faibles (< 1kV/cm) que si on arrive à créer des germes avec des densités d’électrons initiales importantes, de l’ordre de 10¹³-10¹⁴ cm^-3. Dans la plupart des cas les streamers ne se propage pas sur l’ensemble de l’espace inter électrode. Nous avons ensuite montré dans quelles conditions la propagation peut être assistée par des tensions modérées et inférieures à la tension de claquage de l’air.

REFERENCES

[1] L.B. Loeb, ‘Electrical Corona : Their Basic Physical Mechanisms’, Berkeley, Los Angeles.

[2] T. Novikova, B. Kalache, P. Bulkin, K. Hassouni, W. Morscheidt and P. Roca i Cabarrocas, ‘Numerical Modelling of Capacitively Coupled Hydrogen Plasmas: Effects of Frequency and Pressure’, Journal of Applied Physics, Vol. 93, N°6, pp. 3198 – 3206, 2003.

[3] M. Yousfi, Z. Kanzari and A. Hamani, ‘Modelling and Basic Data for Streamer Dynamics in N2 and O2

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[4] J.P. Boris and D.L. Book, ‘Flux-Corrected Transport III Minimal-Error FCT Algorithms’, Journal of Computational Physics, Vol. 20, pp. 397 - 431, 1976.

[5] J.P. Boris and D.L. Book, ‘Flux-Corrected Transport I SHASTA, a Fluid Transport Algorithm That Works’, Journal of Computational Physics, Vol. 11, pp. 38 - 69, 1973.

[6] R. Morrow, ‘Numerical Solution Of Hyperbolic Equations for Electron Drift in Strongly Non-Uniform Electric Fields’, Journal of Computational Physics, Vol. 43, pp. 1 – 15, 1981.

[7] Steven. T. Zalesak, ‘Fully Multidimensional Flux-Corrected transport Algorithms for Fluids’, Journal of Computational Physics, Vol. 31, pp. 335 – 362, 1979.

[8] A.J. Davies, C.J. Evans et F. Llewellyn Jones, ‘Electrical Breakdown of Gases : Spatiotemporal Growth of Ionization in a Field Distorted by Space Charge’, Department of Physics, University College of Swansea, 1964.

[9] R. Morrow, ‘Space-Charge Effects in High-Density Plasmas’, Journal of Computational Physics, Vol. 46, pp. 454 – 461, 1982.

[10] A.A. Kulikowsky‚ ‘Two-Dimensional Simulation of the Positive Streamer in N2 between Parallel-Plate Electrodes’, L. Phys. D: Appl. Phys., Vol. 28, pp. 2483 – 2493, 1985.