Robot ramasseur de fruits - Corrigé

TD 13 - Sciences Industrielles pour l'Ingénieur Lycée Fermat Toulouse - CPGE MPSI/PCSI

Florestan MATHURIN Page 1 sur 4

Robot ramasseur de fruits - Corrigé

Modèle

O0

x0

r x x1

r x

3

2 θ₁

y0

r x

O₁

O2

M

xr2

x x3

r

x 1

θ₂

θ₃

On a :

0 1 0 / 1 =θ& .zr Ω

0 2 1 / 2 =θ& .zr Ω

0 3 2 / 3 =θ& .rz Ω

θ2

x1

r

x0

r y0

r

z0

r =zr₁

=zr₂

=zr₃ θ1

x2

r θ3

xr3

y1

r y2

r

y3

r

θ1

xr1

y1

r

x0

r y0

r

z1

r = zr₀

θ2

xr2

y2

r

x1

r y1

r

z1

r = zr₂

θ3

xr3

y3

r

x2

r y2

r

z3

r = zr₂

Q.1. Nature du mouvement de 1/0 ? : Mouvement de rotation simple autour de l’axe (O0,zr₀ ) : On applique le champ des vitesses : V_{O 1/0} V_{O 1/0} O₁O_{0 1/0}

0

1_∈ = _∈ + ∧Ω

Avec V_{O 1/0} 0

0

=r

∈ → O₁O_{0 1/0} R.xr₁ &₁.zr₁ R.&₁.yr₁

θ

= θ

∧

−

= Ω

∧ → V_{O 1/0} R. ₁.y₁

1

& r θ

∈ =

Q.2. Nature du mouvement de 2/0 ? : Mouvement complexe, on décompose en mouvements simples :

→ 2/0 = 2/1 + 1/0 → _{O ,2/0 O ,2/1 O ,1/0}

2 2

2 V V

V = + (composition de mouvement)

0 / 1 , O 1 / 2 , O 0 / 2 ,

O₂ V ₂ V ₂

V = +

Nature du mouvement de 2/1 ? : Rotation autour de l’axe (O1,zr₀

) Champ des vitesses

1 / 2 1 2 1 / 2 O 1 / 2

O V O O

V 2_∈ = 1_∈ + ∧Ω

Avec V_{O 2/1} 0

2

=r

∈

2 2 2 1

/ 2 1

2O R.x .z

O r & r

θ

∧

−

= Ω

∧

2 2 1 / 2 1

2O R. .y

O ∧Ω = θ& r

→ V_{O 2/1} R. ₂.y₂

2

& r θ

∈ =

Nature du mouvement de 1/0 ? : Rotation autour de l’axe (O0,zr₀

) Champ des vitesses

0 / 1 0 2 0 / 1 O 0 / 1

O V OO

V 2_∈ = 0_∈ + ∧Ω

Avec V_{O 1/0} 0

0

=r

∈

1 1 1 2 0

/ 1 0

2O ( R.x R.x ) .z

O r r & r

θ

∧

−

−

= Ω

∧

1 1 2 1 0 / 1 0

2O R. .y R. .y

O ∧Ω = θ& r + θ& r

→ V_{O 1/0} R. ₁.y₂ R. ₁.y₁

2

& r

& r + θ

θ

∈ =

→ V_{O 2/0} R.( _{1 2}).y₂ R. ₁.y₁

2

& r

& r

& +θ + θ

θ

∈ =

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Q.3. Nature du mouvement de 3/0 ? : Mouvement complexe, on décompose en mouvements simples :

→ 3/0 = 3/2 + 2/1 +1/0 → V_M,3/0 =V_M,3/2+V_M,2/1+V_M,1/0 (composition de mouvement) V_M,3/0=V_M,3/2+V_M,2/1+V_M,1/0

Nature du mouvement de 3/2 ? : Rotation autour de l’axe (O2,zr₀

)

Champ des vitesses

2 / 3 2 2 / 3 O 2 / 3

M V MO

V _∈ = 2_∈ + ∧Ω

Avec V_{O 3/2} 0

2

=r

∈

3 3 3 2 / 3

2 L.x .z

MO r & r

θ

∧

−

= Ω

∧

3 3 2 / 3

2 L .y

MO ∧Ω = θ& r

→ V_M∈3/2=Lθ&₃.yr₃

Nature du mouvement de 2/1 ? : Rotation autour de l’axe (O1,zr₀

)

Champ des vitesses

1 / 2 1 1 / 2 O 1 / 2

M V MO

V _∈ = 1_∈ + ∧Ω

Avec V_{O 2/1} 0

2

=r

∈

1 2 2 3 1

/ 2

1 ( L.x R.x ) .z

MO r r & r

θ

∧

−

−

= Ω

∧

2 2 3 3 1 / 2

1 L. .y R. .y

MO ∧Ω = θ& r + θ& r

→ V_{O 2/1} R. ₂.y₂

2

& r θ

∈ =

Nature du mouvement de 1/0 ? : Rotation autour de l’axe (O0,zr₀

)

Champ des vitesses

0 / 1 0 0 / 1 O 0 / 1

M V MO

V _∈ = 0_∈ + ∧Ω

Avec V_{O 1/0} 0

0

=r

∈

1 1 1 2 3 0

/ 1

0 ( L.x R.x R.x ) .z

MO r r r & r

θ

∧

−

−

−

= Ω

∧

1 1 2 1 3 1 0 / 1

0 L. .y R. .y R. .y

MO ∧Ω = θ& r + θ& r + θ& r

→ V_M∈1/0=L.θ&₁.yr₃+R.θ&₁.yr₂+R.θ&₁.yr₁

→ V_M,3/0 =R.θ&₁.yr₁+R.(θ&₁+θ&₂).yr₂+L.(θ&₁+θ&₂+θ&₃).yr₃

Q.4. Les résultats obtenus par calcul direct (TD 11) et ceux obtenus ici par champ des vitesses + composition de mouvement sont (bien évidemment) les mêmes (ce qui est plutôt rassurant ^^).

Manège Magic Arms - Corrigé

Bras 1 Bras 2

Nacelle 3

Modèle Système réel

O1

O2

O3

O3

P x1

r x

z2

r x y1

r

x

x0

r x

z3

r x yr0

x

x2

r x xr1

x

yr2

x

xr2

x x3

r 2 x

3 1

α

β

0 ϕ A

B

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yr1

x y0

r x

α x0

r x xr2

x yr2

x

β xr¹ x

2 1

0 z z

z r r

r = =

ϕ x3

r

z3

r x2

r

z2

r yr2

=yr₃

0 0 /

1 .rz

&

α

= Ω

0 1 / 2 =β&.zr Ω

2 2 /

3 .yr

&

ϕ

= Ω

Q.1. Nature du mouvement de 3/0 ? : Mouvement complexe, on décompose en mouvements simples :

→ 3/0 = 3/2 + 2/1 +1/0 → V_P,3/0 =V_P,3/2+V_P,2/1+V_P,1/0 (composition de mouvement) V_P,3/0=V_P,3/2+V_P,2/1+V_P,1/0

Nature du mouvement de 3/2 ? : Rotation autour de l’axe (O3,xr₁

)

Champ des vitesses

2 / 3 3 2 / 3 O 2 / 3

P V PO

V_∈ = 3_∈ + ∧Ω

Avec V_{O 3/2} 0

3

=r

∈ 2 / 3

PO3∧Ω R.z3 .yr3

&

r ∧ϕ

=

2 / 3

PO3∧Ω R. .xr₃

&

ϕ

−

=

→ V_{P 3/2} R. .xr₃

&

ϕ

−

∈ =

Nature du mouvement de 2/1 ? : Rotation autour de l’axe (O2,zr₁

)

Champ des vitesses

1 / 2 2 1 / 2 O 1 / 2

P V PO

V_∈ = 2_∈ + ∧Ω

Avec V_{O 2/1} 0

2

=r

∈ 1 / 2

PO2∧Ω

(

R.zr3 l2.yr2

)

&.zr2

β

∧ +

=

1 / 2

PO2∧Ω =−R.β&.sinϕ.yr₂+l₂.β&.xr₂

→ V_P∈2/1 =−R.β&.sinϕ.yr₂+l₂.β&.xr₂

Nature du mouvement de 1/0 ? : Rotation autour de l’axe (O1,zr₁

)

Champ des vitesses

0 / 1 1 0 / 1 O 0 / 1

P V PO

V_∈ = 1_∈ + ∧Ω

Avec V_{O 1/0} 0

1

=r

∈ 0

/ 1

PO1∧Ω

(

R.z3 l2.y2 l1.y1

)

.zr2

&

r r

r + + ∧α

=

0 / 1

PO1∧Ω R. .sin .y2 l2. .x2 l1. .xr1

&

& r

& ϕr + β + α

β

−

=

→ V_{P 2/1} R. .sin .y₂ l₂. .x₂ l₁. .xr₁

&

& r

& ϕr + α + α

α

−

∈ =

→ V_P,3/0 l₁. .x₁ l₂.( ).x₂ R.( ).sin .y₂ R. .xr₃

&

& r

&

& r

&

& r + α+β − α+β ϕ − ϕ

α

=

Etude cinématique d'un robot Delta 2 axes

Q.1. _{3 3}

0 3 0

3 0

0 / 3 ,

D x b. .y

dt .d b x . dtb ED d dt

V d r r & r

θ

=

=

=

=

3 3 0 3 0

3 0

0 / 3 b ,

H x b. .y

dt .d b x . dtb FH d dt

V d r r & r

θ

=

=

=

=

Q.2. _{3 3 6 6}

0 6 0

3 0

6 3 0

0 / 6 ,

H x b. .y h. .y

dt .d h dtx

.d b x . h x . dtb EH d dt

V d r r r r & r & r

θ + θ

= +

= +

=

=

De plus on a V_H,6/0 =V_H,6/b3+V_H,b3/0 =V_H,b3/0 =b.θ&₃.yr₃ car V_H,6/b3 0

=r

On a donc nécessairement θ&₆ =0. Ce résultat est logique car 6 est en translation circulaire par rapport à 0.

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Q.3. _{1 1 1 2 2}

0 2 0

1 0

2 1 0

0 / 5 ,

C x b. .y c.( ).y

dt .d c dtx .d b x . c x . dtb AC d dt

V d r r r r & r & & r

θ + θ + θ

= +

= +

=

=

Q.4. V_C,5/0 =V_C,5/2+V_C,2/1+V_C,1/0 (composition de mouvement) avec : V_C,5/2 0

=r

2 2 2 2 2 1

/ 2 1

/ 2 , B 1 / 2 ,

C V CB c.x .z c. .y

V r & r & r

θ

= θ

∧

−

= Ω

∧ +

= (champ des vitesses)

1 1 2 1 0 1 1 2 0

/ 1 0

/ 1 , A 0 / 1 ,

C V CA ( c.x b.x ) .z c. .y b. .y

V r r & r & r & r

θ + θ

= θ

∧

−

−

= Ω

∧ +

= (champ des vitesses)

→ V_C,5/0 =b.θ&₁.yr₁ +c.(θ&₁+θ&₂).yr₂

Q.5. On a 50 /s 0,87rad/s 1

20 70

1 = − = ° =

θ& et 68 /s 1,18rad/s

1 108 40

2 = − =− ° =−

θ&

Q.6. V_C,5/0.yr₀ =b.θ&₁.yr₁.yr₀+c.(θ&₁+θ&₂).yr₂.yr₀ =b.θ&₁.cosθ₁+c.(θ&₁+θ&₂).cos(θ₁+θ₂) AN : V_C,5/0.xr₀ =0,4×0,87.cos(70)+0,85.(0,87−1,18).cos(70+40)=0,2

m/s < 1 m/s → exigence validée.

Q.7. _{1 1 1}² _{1 1 2 2 1 2} ² ₂

0 2 2 1 1 1 0

0 / 5 , C 0

/ 5 ,

C b. .y c.( ).y b. .y b. .x c.( ).y c.( ) .x

dt V d

dt

d = θ& r + θ& +θ& r = &θ& r − θ& r + &θ& +&θ& r − θ& +θ& r

= Γ

Q.8. V_C,1/0 =b.θ&₁.yr₁+c.θ&₁.yr₂ si Ω_2/0=Ω_1/0 (2 fixe dans 1)

2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 0 2 1 1 1 0

0 / 1 , C 0

/ 1 ,

C b. .y c. .y b. .y b. .x c. .y c. .x

dt V d

dt

d = θ& r + θ& r = &θ& r − θ& r + &θ& r − θ& r

=

Γ si Ω_2/0=Ω_1/0

Q.9. _{2 2 2}² ₂

1 2 2 1

1 / 2 , C 1

/ 2 ,

C c. .y c. .y c. .x

dt V d

dt

d = θ& r = &θ& r − θ& r

= Γ

2 2 1 2

2 2 1 1 / 2 , C 0 /

1 V 2. .z c. .y 2.c. . .x

.

2Ω ∧ = θ& r ∧ θ& r =− θ& θ& r

Q.10. On a Γ_C,2/0 =Γ_C,5/0=b.&θ&₁.yr₁−b.θ&₁².xr₁+c.(&θ&₁+&θ&₂).yr₂−c.(θ&₁+θ&₂)².xr₂. D'autre part :

2 2 1 2

2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1

2 2 1 2

2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 / 2 , C 0 / 1 0 / 1 , C 1 / 2 , C

x . . . c . 2 x . . c x . . c y ).

.(

c x . . b y . . b

x . . . c . 2 x . . c y . . c x . . c y . . c x . . b y . . b V

. 2

& r

&

& r

& r

& r

&

&

&

& r

& r

&

& r

&

& r

& r

&

& r

& r

&

& r

& r

&

θ θ

− θ

− θ

− θ + θ + θ

− θ

=

θ θ

− θ

− θ + θ

− θ + θ

− θ

=

∧ Ω + Γ + Γ

2 2 2

1 ).x

.(

c θ& +θ& r

− On retrouve bien Γ_C,2/0 =Γ_C,2/1+Γ_C,1/0+2.Ω_1/0∧V_C,2/1