Epreuve de Mathématiques A

Epreuve de Mathématiques A Durée 4 h

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, d’une part il le signale au chef de salle, d’autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

L’usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

CONSIGNES :

- Composer lisiblement sur les copies avec un stylo à bille à encre foncée : bleue ou noire.

- L’usage de stylo à friction, stylo plume, stylo feutre, liquide de correction et dérouleur de

ruban correcteur est interdit.

- Remplir sur chaque copie en MAJUSCULES toutes vos informations d’identification :

nom, prénom, numéro inscription, date de naissance, le libellé du concours, le libellé de l’épreuve et la session.

- Une feuille dont l’entête n’a pas été intégralement renseignée, ne sera pas prise en

compte.

- Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d’y mettre un signe quelconque

pouvant indiquer sa provenance

050

Probabilités

On étudie le processus de fonctionnement d'un appareil utilisé chaque jour dans une usine et susceptible de subir des pannes accidentelles. On fait les hypothèses suivantes :

ˆ Le comportement de l'appareil au journ+ 1ne dépend que de son état au journet pas des jours précédents.

ˆ Si l'appareil fonctionne le journ,il a une probabilitéαd'être en panne le journ+ 1.

ˆ Si l'appareil est en panne au jour n,il a une probabilité β d'être réparé et de fonc- tionner le journ+ 1.

ˆ On a0< α <1 etβ >0.

Formellement,si l'on appelleX_n la variable aléatoire qui vaut 1 si l'appareil fonctionne le journ et 0 si l'appareil est en panne au journ,on a

P(X_n+1= 0|X_n= 1) =α, P(Xn+1= 1|Xn= 0) =β.

1. On notep_n=P(X_n= 1).

(a) Calculerp2 en fonction dep1.

(b) Plus généralement,montrer que,pour tout n≥1, p_n+1=β+ (1−α−β)p_n. (c) En déduire une expression dep_nen fonction de p₁. (d) Calculer lim

n→+∞p_n.

2. On suppose dans cette question quep1= _α+β^β . (a) Calculer la loi de X₂.

(b) Calculer la loi du couple(X₁, X₂).

(c) Calculer l'espérance et la variance de X1 et deX2. (d) Calculer la covariance entreX1 etX2.

(e) Les variables X₁ etX₂ sont-elles indépendantes,?

3. On suppose maintenant que l'appareil est en fonctionnement le premier jour. On note N le numéro du jour où cet appareil tombe en panne pour la première fois.

Montrer que N−1suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre.

4. On considèreY₁etY₂deux variables aléatoires indépendantes de même loi géométrique de paramètre p.

(a) Quelle est la fonction génératrice de Y1? (b) En déduire la fonction génératrice deY₁+Y₂.

(c) On pose Z = min(Y₁, Y₂). Calculer la fonction de répartition deZ. En déduire sa loi.

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Probabilités

On étudie le processus de fonctionnement d'un appareil utilisé chaque jour dans une usine et susceptible de subir des pannes accidentelles. On fait les hypothèses suivantes :

ˆ Le comportement de l'appareil au journ+ 1ne dépend que de son état au jour net pas des jours précédents.

ˆ Si l'appareil fonctionne le journ,il a une probabilitéαd'être en panne le jour n+ 1.

ˆ Si l'appareil est en panne au jour n,il a une probabilité β d'être réparé et de fonc- tionner le journ+ 1.

ˆ On a0< α <1 etβ >0.

Formellement,si l'on appelleX_nla variable aléatoire qui vaut 1 si l'appareil fonctionne le journ et 0 si l'appareil est en panne au journ,on a

P(X_n+1= 0|X_n= 1) =α, P(Xn+1= 1|Xn= 0) =β.

1. On note p_n=P(X_n= 1).

(a) Calculerp2 en fonction dep1.

(b) Plus généralement,montrer que,pour tout n≥1, p_n+1=β+ (1−α−β)p_n. (c) En déduire une expression dep_n en fonction dep₁. (d) Calculer lim

n→+∞p_n.

2. On suppose dans cette question quep1= _α+β^β . (a) Calculer la loi de X₂.

(b) Calculer la loi du couple(X₁, X₂).

(c) Calculer l'espérance et la variance de X1 et de X2. (d) Calculer la covariance entreX1 etX2.

(e) Les variables X₁ etX₂ sont-elles indépendantes,?

3. On suppose maintenant que l'appareil est en fonctionnement le premier jour. On note N le numéro du jour où cet appareil tombe en panne pour la première fois.

Montrer que N−1suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre.

4. On considèreY₁etY₂deux variables aléatoires indépendantes de même loi géométrique de paramètre p.

(a) Quelle est la fonction génératrice de Y1? (b) En déduire la fonction génératrice deY₁+Y₂.

(c) On pose Z = min(Y₁, Y₂). Calculer la fonction de répartition deZ. En déduire sa loi.

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(d) On pose T = max(Y₁, Y₂). Calculer la loi de T.

5. L'usine est équipée de deux appareils dont on suppose les comportements indépen- dants l'un de l'autre. On suppose que les deux appareils sont en fonctionnement le premier jour. Au bout de combien de jours en moyenne se produira la première panne ?

Algèbre linéaire

On se place dans l'espace euclidien R^d (d ≥ 2) muni du produit scalaire usuel noté x, y entre les vecteursx ety. Le vecteur nul de R^dsera noté 0.

Dans tout le problème,siV est un sous-espace vectoriel deR^d,on noteV^∗ l'ensemble V \ {0}.

Si f est un endomorphisme de R^d,pour tout entier n ≥ 1,on note fⁿ la composée n-fois de l'application f:

fⁿ=f◦f· · · ◦f

n f ois

.

SiAest une matrice de taille n×p,on noteA^T sa transposée.

Partie I 1. On considère la matrice B suivante :

B =





1 −3 −1

−3 3 −3

−1 −3 1





et on note g l'endomorphisme deR³ canoniquement associé àB.

(a) Justier l'existence d'une base orthonormée deR³ dans laquelle la matrice deg est diagonale.

(b) Déterminer une telle base en rangeant les valeurs propres par ordre croissant.

Dans la suite de cette partie, (e₁, e₂, e₃) désignera cette base.

(c) Soit x = 3 i=1

xiei. Exprimer en fonction de x1, x2, x3 les quantités x, x, g(x), xpuis gⁿ(x), x pour tout entiern≥1.

Dans la suite de cette partie,on notera v_n(x) = gⁿ(x), x pour tout entier n≥1et tout vecteur x∈R³.

(d) Montrer que,pour tout x = 0,la suite (v_n(x))_n≥1 est non nulle à partir d'un certain rang.

(e) Calculer,pour tout x∈R³ tel que x₃ = 0, lim

n→+∞

v_n(x) v_n−1(x) 2. On considère maintenant la matrice C suivante :

C =



 1 −2 −2

−2 1 −2

−2 −2 1



 eth l'endomorphisme deR³ canoniquement associé àC.

3

(a) Démontrer queCest diagonalisable dans la même base orthonormée(e₁, e₂, e₃). (b) Pour tout entiern≥1et tout x∈R³,on posew_n(x) =hⁿ(x), x. Calculer les

limites suivantes

n→lim+∞

w_n(e₁)

w_n−1(e₁), lim

n→+∞

w_n(e₂)

w_n−1(e₂), lim

n→+∞

w_n(e₃) w_n−1(e₃)·

(c) Déterminer l'ensembleDdes vecteursxdeR³ pour lesquels la suite(w_n(x))_n≥1 est non nulle à partir d'un certain rang.

(d) Déterminer un vecteur x₀ ∈D pour lequel la suite

wn(x0) wn−1(x0)

n≥1 ne converge pas.

(e) Calculer lim

n→+∞

w_n(x)

w_n−2(x) pour toutx∈D. Partie II

Soit A = (aij)_1≤i,j≤d une matrice symétrique réelle d'ordre d et f l'endomorphisme de R^d canoniquement associé à A. On note λ₁, . . . , λ_d les valeurs propres (comptées avec leur ordre de multiplicité) de A et on note (e₁, . . . , e_d) une base orthonormée de vecteurs propres associés.

On suppose maintenant que les valeurs propres sont rangées dans l'ordre des valeurs absolues croissantes

|λ1| ≤ |λ2| ≤ · · · ≤ |λ_d|.

Pour tout entier n ≥ 1 et tout x ∈ R^d,on note u_n(x) = fⁿ(x), x et on note D l'ensemble desx∈R^dpour lesquels la suite(u_n(x))_n≥1 est non nulle à partir d'un certain rang.

1. On suppose que |λ_d−1|<|λ_d|. Montrer que,pour toutx∈R^d tel que x, e_d = 0,

n→+∞lim

u_n(x)

un−1(x) =λd. 2. On suppose maintenant que

|λ_k|<|λ_d|etλ_k+1=· · ·=λ_d (1) pour un certaink < d. Montrer que la limite précédente est encore valable pour tout x tel que x, e_d = 0.

3. On suppose maintenant que λ_d−1 = −λ_d = 0. Montrer que l'on peut trouver un x∈Dtel que la suite (u_n(x)/u_n−1(x))_n≥1 ne converge pas.

Partie III

SoitAune matrice symétrique réelle d'ordred,non nulle,etf l'endomorphisme deR^d canoniquement associé à A. On note λ1, . . . , λ_d les valeurs propres (comptées avec leur ordre de multiplicité) de A que l'on suppose rangées par ordre croissant:

λ₁ ≤λ₂≤ · · · ≤λ_d,

et on note (e₁, . . . , e_d) une base orthonormée de vecteurs propres associés.

Pour tout1≤k≤d,on note

E_k=V ect(e₁, . . . , e_k) etF_k =V ect(e_k, . . . , e_d).

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(a) Démontrer queCest diagonalisable dans la même base orthonormée(e₁, e₂, e₃). (b) Pour tout entiern≥1et tout x∈R³,on posew_n(x) =hⁿ(x), x. Calculer les

limites suivantes

n→lim+∞

w_n(e₁)

w_n−1(e₁), lim

n→+∞

w_n(e₂)

w_n−1(e₂), lim

n→+∞

w_n(e₃) w_n−1(e₃)·

(c) Déterminer l'ensembleDdes vecteursxdeR³ pour lesquels la suite(w_n(x))_n≥1 est non nulle à partir d'un certain rang.

(d) Déterminer un vecteur x₀ ∈D pour lequel la suite

wn(x0) wn−1(x0)

n≥1 ne converge pas.

(e) Calculer lim

n→+∞

w_n(x)

w_n−2(x) pour toutx∈D. Partie II

Soit A = (aij)_1≤i,j≤d une matrice symétrique réelle d'ordre d et f l'endomorphisme de R^d canoniquement associé à A. On note λ₁, . . . , λ_d les valeurs propres (comptées avec leur ordre de multiplicité) de A et on note(e₁, . . . , e_d) une base orthonormée de vecteurs propres associés.

On suppose maintenant que les valeurs propres sont rangées dans l'ordre des valeurs absolues croissantes

|λ1| ≤ |λ2| ≤ · · · ≤ |λ_d|.

Pour tout entier n ≥ 1 et tout x ∈ R^d,on note u_n(x) = fⁿ(x), x et on note D l'ensemble desx∈R^dpour lesquels la suite(u_n(x))_n≥1 est non nulle à partir d'un certain rang.

1. On suppose que |λ_d−1|<|λ_d|. Montrer que,pour toutx∈R^d tel que x, e_d = 0,

n→+∞lim

u_n(x)

un−1(x) =λd. 2. On suppose maintenant que

|λ_k|<|λ_d|etλ_k+1=· · ·=λ_d (1) pour un certaink < d. Montrer que la limite précédente est encore valable pour tout x tel que x, e_d = 0.

3. On suppose maintenant que λ_d−1 = −λ_d = 0. Montrer que l'on peut trouver un x∈Dtel que la suite (u_n(x)/u_n−1(x))_n≥1 ne converge pas.

Partie III

SoitAune matrice symétrique réelle d'ordred,non nulle,etf l'endomorphisme deR^d canoniquement associé à A. On note λ1, . . . , λ_d les valeurs propres (comptées avec leur ordre de multiplicité) de A que l'on suppose rangées par ordre croissant:

λ₁ ≤λ₂≤ · · · ≤λ_d,

et on note (e₁, . . . , e_d) une base orthonormée de vecteurs propres associés.

Pour tout 1≤k≤d,on note

E_k=V ect(e₁, . . . , e_k) etF_k =V ect(e_k, . . . , e_d).

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1. Montrer que pour toutx∈F_k^∗,on a f(x), x x, x ≥λ_k. 2. Montrer que min

x∈F_k^∗

f(x), x x, x =λ_k. 3. Montrer que max

x∈E^∗_k

f(x), x x, x =λk.

4. Pour tout entierk,1≤k≤d,on noteVkl'ensemble de tous les sous-espaces vectoriels de R^dde dimension k.

(a) Montrer que si V ∈ Vk,V ∩F_k={0}.

(b) En déduire que,si V ∈ Vk, max

x∈V^∗

f(x), x x, x ≥λ_k. (c) Montrer que min

V∈Vk

xmax∈V^∗

f(x), x x, x

=λ_k. (d) Montrer que max

V∈Vd−k+1

xmin∈V^∗

f(x), x x, x

=λ_k.

5. SoitQune matrice de tailled×(d−1)telle queQ^T ·Q=I_d−1 et soitql'application linéaire deR^d−1 dansR^dcanoniquement associée àQ. On pose alorsA =Q^T ·A·Q etf l'endomorphisme deR^d−1 canoniquement associé àA.

(a) Montrer queAest encore une matrice symétrique réelle. On note alorsλ₁, . . . , λ_d−1 ses valeurs propres comptées avec leur ordre de multiplicité et rangées dans l'ordre croissant,et (e₁, . . . , e_d−1) une base orthonormée vecteurs propres asso- ciés.

(b) Soitx, ydeux vecteurs deR^d−1etX, Y les matrices colonnes de leurs coecients dans la base canonique.

i. Rappeler l'expression dex, y en fonction deX etY. ii. Montrer queq(x), q(y)=x, y.

iii. On pose E_k =V ect(e₁, . . . , e_k). Calculerdim q(E_k).

(c) En appliquant le résultat de la question 3 à la matriceA,montrer que λ_k= max

z∈q(E_k)^∗

f(z), z z, z · (d) Déduire de la question 4c que λ_k≥λ_k.

(e) Montrer de façon similaire en utilisant maintenant la question 4d queλ_k≤λ_k+1.

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Fin de l’épreuve

RIE NATIONALE – 21 1050 – D’après documents fournis