Nous allons nous intéresser aux triangles suivants :

A479. Quasi-équilatéraux parmi d'autres ***

On s'intéresse aux triangles non équilatéraux dont les longueurs des côtés sont des nombres entiers et les angles forment une progression arithmétique.

Q₁ Donner trois exemples de tels triangles non semblables entre eux.

Q₂ Démontrer qu'il existe une infinité de triangles non semblables entre eux qui ont cette propriété.

Q₃ Démontrer qu'il existe une suite de tels triangles dont les dimensions se rapprochent de plus en plus de celles d'un triangle équilatéral. En d'autres termes le rapport entre le plus grand côté et le plus petit côté tend vers 1 quand leurs dimensions tendent vers l'infini.

Nous allons nous intéresser aux triangles suivants :

Q1 : On peut vérifier que les triangles ci-dessous font l'affaire :

Q2 et Q3 :

Soit T

le triangle a=901 , b =936 et c=919

On remarque que : a

+ b

– c

=ab donc l'angle opposé à c vaut 60 ° et 2 c – a – b =1

Soit T

le triangle a ' , b ' et c ' tel que :

a ' =a+ x b ' =b+ x+2 c ' =c+ x+1

avec x=3+4b – 2a−2c ( x>0 )

T

a les mêmes propriétés que T

: 2c ' – a ' – b ' =1 (trivial)

l'angle opposé à c ' vaut 60 °

c'est à dire : (a+ x)

+(b+ x+ 2)

– (c+ x+1)

=(a +x)( b+ x+2 ) en effet :

(a+ x)

+(b+ x+2 )

– ( c+ x+1)

−(a+ x )(b+ x+2 )=

a

+ b

−c

−ab +x ( a +b−2c)−2a+ 4b−2c+3=

0 −x + x=0

On remarque que 1< b ' a ' < b

a

Il suffit alors de construire T

à partir de T

et ainsi de suite pour obtenir la suite cherchée.

Voici les premiers triangles de cette suite :