TD : Multiplication de Karatsuba Dominique Michelucci, Universit´e de Dijon 18 septembre 2012

TD : Multiplication de Karatsuba

Dominique Michelucci, Universit´ e de Dijon 18 septembre 2012

La m´ethode na¨ıve pour multiplier des entiers denchiffres est enO(n²). (Par contre la m´ethode na¨ıve pour additionner est lin´eaire...).

La multiplication de Karatsuba est plus rapide. Principe : pour multiplierA etB, avecAle plus grand,nchiffres dans la base utilis´ee, on ´ecritA=a0+a1Ω et B =b0+b1Ω, o`u Ω est la puissance de la base, telle que a0et a1 ont `a peu pr`esn/2 chiffres.

Calculer na¨ıvement

A×B= (a0+a1Ω)(b0+b1Ω) = (a1×b1)Ω²+ (a0×b1+a1×b0)Ω + (a0×b0) en effectuant 4 produits sur des nombres deux fois plus courts est toujours en O(n²) : en effet r´esoudre l’´equationT(n) = 4T(n/2), ou bienT(n) = 4T(n/2)+n donneT(n) =O(n²). V´erifions :

Indication de preuve. Calculons d’abord la table deT(1) = 1, T(n) = 4T(n/2) pour simplifier :

log₂n n T(n)

0 1 1

1 2 4 = 2²

2 4 16 = 4²

3 8 64 = 8²

4 16 256 = 16²

Clairement T(n) = n² =O(n²) sur ces exemples, et on le prouve trivialement par r´ecurrence. Ensuite consid´ererT(1) = 1, T(n) = 4T(n/2) +n a pour effet d’introduire des termes parasites, de plus bas degr´e, qui ne vont pas modifier le fait queT(n) =O(n²). Il vous est conseill´e de le faire, en ”travail `a la maison” ! L’id´ee de Karatsuba est de n’utiliser que 3 multiplications, au lieu de 4.

Il utilise davantage d’additions (ou soustractions), mais elles sont en temps lin´eaire.

AB= (a1×b1)Ω²+ ((a0+a1)×(b0+b1)−a1×b1−a0×b0)Ω + (a0×b0) Cette m´ethode est en O(n^log23) = O(n^1.5849625007211563). C’est la solution de l’´equation de r´ecurence deT(n) = 3T(n/2) +n. V´erifions le :

Indication de preuve. Consid´erons d’abord, pour simplifier,T(1) = 1, T(n) =

1

3T(n/2). Calculons la table :

log₂n n T(n)

0 1 1 = 3⁰

1 2 3 = 3¹

2 4 9 = 3²

3 8 27 = 3³ 4 16 81 = 3⁴

Elle sugg`ere que T(n) = 3<sup>log2n</sup>, ce qui est facilement prouv´e par r´ecurrence (Faites le `a la maison !). Ensuite, il faut prouver que 3^log2n=O(n^log23) :

T(n) = 3^log2n. Or 3 = 2^log23

= (2^log23)^log2n mais (a^b)^c=a^b×c

= 2^{(log23)(log2n)}

= 2^{(log2n)(log23)}

= (2^(log2n))^log23

= n^log23=O(n^log23)

CQFD. Ensuite, consid´ererT(n) = 3T(n/2)+nne fait qu’ajouter des termes parasites, de plus bas degr´e. Faites le ”`a la maison”.

N’a t-on rien oubli´e ? Les retenues ! Il faut les propager. Montrer que ce post traitement est lin´eaire enn.

Il y a des m´etodes plus compliqu´ees et plus efficaces pour le produit, en gros enO(nlogn) (je n´eglige des facteurs log(logn)...).

Apart´ e : conversion entre log

X et log

X

Retrouvez la relation entre logeX et logkX, o`ue est la base naturelle des log n´ep´eriens.

Solution (`a ne pas lire tout de suite...). SoitX > 0 un nombre. Soit x = logkX ⇔ k<sup>x</sup> = k<sup>logkX</sup> = X. Soit x<sup>′</sup> = logeX<sup>′</sup> ⇔ e<sup>x′</sup> = e<sup>logeX</sup> = X. Donc X =k<sup>x</sup>=e<sup>x′</sup>. D’o`u :

logeX = logek^x=xlogek= (logkX)(logek) D’o`u : logkX = ^log_log^eX

ek ou encore : ^log_log^eX

kX = logek : tous les logarithmes sont proportionnels entre eux. Cela justifie la notationO(logb), o`u on ne pr´ecise pas la base du log.

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