Bac blanc n°2 Terminale S Durée : 4 heures 09/04/2008

La clarté des réponses, la justification des résultats et la qualité de la rédaction entreront pour une part importante dans la note. Les élèves non spécialistes traiteront l’exercice 3 – les nombres

complexes – et les spécialistes l’exercice 3 – les similitudes indirectes - . Chaque exercice sera commencé sur une nouvelle page.

Vos professeurs attentionnés vous souhaitent bon courage.

Exercice 1 – La géométrie dans l’espace – 5 points

Soit ABCD un tétraèdre tel que (AB) et (CD) soient orthogonales et BC = BD.

On note A’ le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ACD Partie A

1. a. Démontrer que (CD) est perpendiculaire au plan (ABA’).

(AA’) est une hauteur de ACD donc (AA’) (CD). De plus (AB) (CD). Donc (CD) est orthogonal à 2 droites sécantes (en A !) du plan ABA’, donc (CD) est perpendiculaire au plan (ABA’).

b. Que représente (BA’) dans le triangle BCD ? Que peut-on en déduire pour A’ ?

(BA’) (ABA’) donc (BA’) (CD) et donc (BA’) est une hauteur de BCD. Comme BC=BD, BCD est isocèle en B et donc (BA’) est une médiatrice, une médiane, une bissectrice. A’ est milieu de [CD].

c. En déduire la nature du triangle ACD. Que peut-on dire du plan (ABA’) ?

(AA’) est donc une droite perpendiculaire à (CD) et passant par le milieu de [CD], il s’agit donc de la médiatrice de [CD], donc A est équidistant de C et de D donc ACD est isocèle en A. Les 3 points A, A’ et B sont équidistants de C et de D donc (ABA’) est le plan médiateur de [CD].

2. Démontrer que : CD. CA DB 0

  

.

.( + ) = . + . = .( + ) + .( + )

= . + . car (CD) (ABA’)

= . - . car A’ milieu de [CD]

= 0

3. Soit G le barycentre du système de points pondérés {(A ; −1) ; (B ; 2) ; (C ; 1) ; (D ; 1)}.

Démontrer que G appartient au plan (ABA’).

A’ est milieu de [CD], donc par associativité G est barycentre de {(A ; −1) ; (B ; 2) ; (A’; 2)}.

Donc G appartient à (ABA’).

4. a. Démontrer que pour tout point M de l’espace ^2MB-MC-MD   ^{2 '}^{A B} .

2 - - = 2( + )-( + )-( + ) = 2 car A’ milieu de [CD].

b. Caractériser l’ensemble (E) des points M de l’espace tels que :

-MA+2MB+MC+MD . 2MB-MC-MD       0

.

M (E) -MA+2MB+MC+MD . 2MB-MC-MD 0

      

3 .2 = 0 car G est barycentre {(A ; −1) ; (B ; 2) ; (C ; 1) ; (D ; 1)}.

. = 0

M appartient au plan de orthogonal à (A’B) passant par G.

A

B

C

D

A'

(E) est le plan de orthogonal à (A’B) passant par G.

c. Caractériser l’ensemble (F) des points M de l’espace tels que :

2 -MA 2MB MC  MD 3 2MB- MC - MD  

.

M (F) 2 -MA 2MB MC MD 3 2MB- MC - MD

      

2 3 = 3 2 car G est barycentre {(A ; −1) ; (B ; 2) ; (C ; 1) ; (D ; 1)}.

6MG = 6A’B MG = A’B

(F) est la sphère de centre G et de rayon A’B.

Partie B

Soit ^{(O ; , , )i j k  } un repère orthonormal de l’espace (unité graphique : 1 cm).

On donne les points : A(1 ; 3 ; −2), B(1 ; 1 ; 0), C(4 ; 0 ; −2) et D(2 ; 4 ; 2).

1. Déterminer les coordonnées de A’ milieu de [CD].

A’((xC + xD)/2, (yC + yD)/2,(zC + zD)/2) donc A’ a pour coordonnée (3, 2, 0)

2. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABA’).

M(x,y,z) (ABA’) . = 0

(x – 3 ;y – 2 ;z – 0).(-2 ;4 ;4) = 0 -2x + 4y +4z – 2 = 0

-2x + 4y +4z – 2 = 0 est une équation du plan (ABA’)

3. Déterminer la distance du point C au plan (ABA’).

d(C,(ABA’)) = où est un vecteur normal de (ABA’), par exemple (-2,4,4).

d(C,(ABA’)) = 3

Remarque : Plus simplement,

comme (CA’) est orthogonale à (ABA’), la distance de C à (ABA’) est CA’ =

4. Déterminer les coordonnées du point G (Partie A. 3.)

G((-xA + 2xB + xC + xD)/3, (-yA + 2yB + yC + yD)/3 ; (-zA + 2zB + zC + zD)/3) donc G( , , )

Question bonus : Déterminer une équation cartésienne de l’ensemble (F). (Partie A 4. c.)

M(x,y,z) (F) MG = A’B

MG² = A’B² car les mesures de distance sont positives (7 – x)² + (1 – y)² + (2 – z)² = 5

Exercice 2 – Probabilités – 3 points

Cet exercice est un QCM constitué de cinq questions ; chacune comporte trois réponses, une seule est exacte. On notera sur la copie uniquement la lettre correspondant à la réponse choisie.

Un lecteur d’une bibliothèque est passionné de romans policiers et de biographies. Cette bibliothèque lui propose 150 romans policiers et 50 biographies.

40% des écrivains de romans policiers sont français et 70% des écrivains de biographies sont français. Le lecteur choisit un livre au hasard parmi les 200 ouvrages.

1. La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier est : a. 0,4 b. 0,75 c. ¹

150.

2. Le lecteur ayant choisi un roman policier, la probabilité que l’auteur soit français est :

a. 0,3 b. 0,8 c. 0,4

3. La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier français est :

a. 1,15 b. 0,4 c. 0,3

4. La probabilité que le lecteur choisisse un livre d’un écrivain français est :

a. 0,9 b. 0,7 c. 0,475

5. La probabilité que le lecteur ait choisi un roman policier sachant que l’écrivain est français est : a. ⁴

150 b. ¹²

19 c. 0,3

Question bonus : Le lecteur est venu 20 fois à la bibliothèque. La probabilité qu’il ait choisi au moins un roman policier est : a. 1−(0,25)²⁰ b. 20×0,75 c. 0,75×(0,25)²⁰

On peut rapidement dresser l’arbre suivant :

a) Ainsi P(RP) = 0,75 b) P(F/RP) = 4/10

c) P(RP F) = 3/4 4/10 = 3/10

d) F = F Ω = F (RP B) = (F RP) (F B) RP et B forment une partition de Ω Par incompatibilité, p(F) = p(F RP) + p (F B) = 3/10 + 1/4 7/10 = 0,475

e) P(RP/F) = P(RP F)/P(F) = 12/19

f) L’événement contraire de “choisir au moins un roman policier sur 20” est “ne choisir aucun roman policier” soit

« choisir 20 biographies ». et p(« choisir 20 biographies ») = 0,25²⁰ Donc p( “choisir au moins un roman policier sur 20”) = 1 - 0,25²⁰

Exercice 3 – Les nombres complexes – 5 points

1. Résoudre dans l’équation : 4 ² 12z z 153 0.

Le discriminant (-12)² - 4 4 153 = -2304 est négatif, l’équation du second degré admet donc 2 solutions complexes conjuguées : z1= – 6i et z2 = – 6i

2. Dans le plan rapporté au repère orthonormé ( ;O u v , )

, d’unité graphique 1 cm, on considère les points A, B, C et P d’affixes respectives ^{3 6}

A 2

z i, ^{3 6}

B 2

z i, ^{3 1}

C 4

z i, zP ^{3 2}i et le vecteur w

d’affixe 1 ⁵

w 2

z^ i.

a) Déterminer l’affixe zQ du point Q, image du point B dans la translation t de vecteur ^w.

on a zQ = zB + zw donc zQ = – i

b) Déterminer l’affixe zR du point R, image du point P par l’homothétie h de centre C et de rapport 1

3.

on a zR – zC = (- )(zP – zC) donc zR = (- )(zP – zC) + zC = -5 – i

c) Déterminer l’affixe zS du point S, image du point P par la rotation r de centre A et d’angle

2 .

on a zS – zA = (zP – zA) donc zS = -i(zP – zA) + zA = - + i Placer les points P, Q, R et S.

3. a) Démontrer que le quadrilatère PQRS est un parallélogramme.

a pour affixe zQ – zP =- – i et a pour affixe zR – zS = - – i = donc PQRS est un parallélogramme

b) Calculer ^{R Q}

P Q

z z

z z . En déduire la nature précise du parallélogramme PQRS.

On a ^{R Q}

P Q

z z

z z ^{= i}

Les modules de ces 2 complexes sont égaux donc QR/QP = 1 et donc QR = QP

Les arguments de ces 2 complexes sont congrus modulo 2π ainsi mes( , ) [2π]

Un parallélogramme ayant 2 côtés consécutifs égaux et un angle droit est un carré, ainsi PQRS est un carré

c) Justifier que les points P, Q, R et S appartiennent à un même cercle, noté . On calculera l’affixe de son centre et son rayon .

Un carré est inscrit dans un cercle de centre le milieu des diagonales et de rayon la longueur d’une demie diagonale Ainsi P, Q, R et S sont inscrit dans le cercle Γ de centre d’affixe zΩ= = -1 + i et de rayon | |=

4. La droite (AP) est-elle tangente au cercle ?

On a (zA – zP)/(zP – zΩ) = i et donc mes( , ) [2π]

La droite (AP) est orthogonale en A au rayon [AP], donc (AP) est tangente à Γ

Exercice 3 – Les similitudes indirectes – 5 points

Exercice 4 – Fonctions, intégrales et suites – 8 points

On s’intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d’une

entreprise. Les fonctions f associées définies sur l’intervalle [0 ; 1] doivent vérifier les conditions suivantes :

(1) f(0) = 0 et f(1) = 1 ;

(2) f est croissante sur l’intervalle [0 ; 1] ;

(3) Pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; 1], f(x) x.

I. Étude d’un modèle

On appelle g la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1] par g (x)= xe^x−1. 1. Prouver que g vérifie les conditions (1) et (2).

g(0)=0.e^-1 = 0 et g(1)=1e⁰= 1 donc (1) est vérifiée

g est le produit d’une fonction linéaire (la fonction identité) et de la composée de la fonction affine x , dérivable sur et à valeur dans et de la fonction exponentielle dérivable sur . Ainsi g est dérivable sur et donc sur [0 ;1].

Pour tout x de [0 ;1], g’(x) = (x+1)e^x-1.

Pour tout x de [0 ;1], x+1 ≥ 0 et e^x-1> 0 car exp est positive sur .

Ainsi g’ est positive sur [0 ;1] et donc g est croissante sur [0 ;1]. (2) est vérifiée 2. Montrer que ^{g x( ) x x ex e}

e et en déduire que g vérifie la condition (3).

Pour tout x de [0 ;1], g(x) – x = xe^x-1 – x = x(e^xe^-1 – e^-1e) = (e^x – e).

Pour tout x de [0 ;1], x ≤ 1 donc par croissance de la fonction exp e^x ≤ e et donc e^x – e ≤ 0 Comme x/e ≥ 0, on obtient g(x) – x ≤ 0 et donc g vérifie (3).

(Tracer à la calculatrice les droites d’équations y = x et x = 1 et la courbe représentative de g )

II. Un calcul d’indice

Pour une fonction f vérifiant les conditions (1), (2) (3), on définit un indice If égal à l’aire exprimée en unité d’aire, du domaine plan M délimité par les droites d’équations y = x, x = 1 et la courbe représentative de f .

1. Justifier que ¹

0 f ( )

I x f x dx.

f vérifie (3) donc sur [0 ;1], x – f(x) ≥ 0. Par définition, représente l’aire du domaine délimité par les droites d’équations y = x, x = 1 et la courbe représentative de f .

ATTENTION : Classiquement, on justifie l’existence d’une intégrale par la continuité de la fonction.

Ici on NE SAIT RIEN sur la continuité de f.

2. À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’indice Ig, associé à g.

Ig = = - par linéarité de l’intégrale.

On a ½. Intégrons par partie.

x et x sont dérivables, donc continues sur [0 ;1]

= 1 – = 1 – (1 – e^-1) = e^-1 Donc Ig = ½ - e^-1

3. On s’intéresse aux fonctions fn, définies sur l’intervalle [0 ; 1] par ( ) ² 1

n n

f x x

x où n est un entier naturel supérieur en égal à 2. On admet que ces fonctions vérifient les conditions (1), (2), (3) et on se propose d’étudier l’évolution de leur indice In lorsque n tend vers l’infini.

a. On pose ¹

0

n n( )

I x f x dx et ¹

0 n n( )

u f x dx. Prouver que ¹

n 2 n

I u .

In = = - par linéarité de l’intégrale.

0 1

1

x y

On a ½ et = donc ¹

n 2 n

I u

b. Comparer

1

1 tn

t et

1

t

t

Pour tout t de [0 ;1] t ≤ 1 donc

1

1 tn

t ≤

1

t

t

1

t

t

En multipliant par 2 et par linéarité de l’intégrale (en intégrant de chaque côté !) On obtient un+1 ≤ un . Donc (un) est décroissante

c. Prouver que pour tout réel t appartenant à l’intervalle [0 ; 1], ^{0 1} 1

n

t n

t t .

Pour tout t de [0 ;1], 0 ≤ t ≤ 1 + t donc 0≤ ≤ 1. Et en multipliant par tⁿ ≥ 0, on obtient

1

0 1

n

t n

t t .

d. En déduire que pour tout entier naturel n 2, ^{0 2}

n 1

u n .

(Ce « en déduire » est étrange car si on intègre l’inéquation du c. on tombe sur un+1 et non un) Pour tout t de [0 ;1], 0 ≤ 1 ≤ 1 + t donc 0 ≤ ≤ 1. Et en multipliant par tⁿ ≥ 0, on obtient 0 ≤ ≤ tⁿ puis 0 ≤ ≤ 2tⁿ En intégrant (par linéarité), il vient 0 ≤ un ≤

Et comme = , on obtient 0 ≤ un ≤

(on ne s’est pas servi de la décroissance de (un) !, c’est étrange, si quelqu’un voit une autre façon de procéder…)

e. Déterminer alors la limite de In quand n tend vers l’infini.

Comme = 0, le théorème des gendarmes permet de conclure que = 0 Donc