G10249. D’un d´ e l’autre
J’avais un d´e en forme d’octa`edre qui me permettait de tirer de fa¸con
´equiprobable une possibilit´e parmi huit. Je l’ai perdu et il ne me reste qu’un d´e ordinaire, cubique. Comment puis-je l’utiliser pour un tirage ´equiprobable entre 8 possibilit´es ?
Solution
On imagine facilement qu’en lan¸cant trois fois le d´e, on obtiendra 63 = 216 r´esultats ´equiprobables, qu’on peut r´epartir en 8 sous-ensembles de 27. Si les lancers donnent respectivement a, b, c points, l’expression a+ 6b+ 36c prend les 216 valeurs de 43 `a 258, et le quotient de la division euclidienne (a+ 6b+ 36c−16)÷27
prendra les valeurs de 1 `a 8 de fa¸con ´equiprobable.
Mais trois lancers de d´e ne sont pas n´ecessaires, on peut faire `a moins.
Comment ? Prenez le temps d’y r´efl´echir avant de tourner la page.
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Comment utiliser un d´e cubique pour choisir de fa¸con ´equiprobable entre huit possibilit´es, sans le jeter trois fois ?
Un seul jet de d´e suffit : placez-vous un peu en oblique par rapport `a la
“piste” o`u roule le d´e, de fa¸con `a voir `a la fois la face sup´erieure du d´e et une ou deux des faces lat´erales. Pour le cas o`u vous verriez deux faces lat´erales, ayez d´ecid´e pr´ealablement si vous retiendrez celle de droite ou celle de gauche.
En effet, `a chaque nombre s de points de la face sup´erieure sont associ´ees 4 possibilit´es pour les` points de la face lat´erale ; il suffit de r´epartir les 24 couples (s, `) en 8 sous-ensembles de 3 couples.
Par exemple, en lisantsen tˆete de colonne et` en tˆete de ligne, le tableau suivant indique, de fa¸con ´equiprobable, laquelle des 8 possibilit´es (a`ah) est
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a retenir.
1 2 3 4 5 6
1 − a a b b −
2 c − a b − d
3 c c − − d d
4 e e − − f f
5 e − g h − f
6 − g g h h −
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