Ch  11  :  Statistiques

LFM – Mathématiques – Classe de 3

^ème 1

Ch  11  :  Statistiques  

 

Introduction  

 Dans   sa   vie   quotidienne,   l'homme   moderne   est   constamment   assailli   d'informations   en   tous   genres.   Parmi   celles-­‐ci,  nombreuses  sont  celles  qui  se  présentent  sous  la  forme  d'observations  numériques.  

Ainsi,   pour   remédier   à  l'incapacité   de   l'esprit   humain   d'intégrer   instantanément   un   nombre   important   de   données,  le  statisticien  propose  différentes  solutions  :  une  première  catégorie  de  solutions  est  constituée  de   toutes  les  représentations  graphiques  possibles  (diagrammes,  

histogrammes,  etc.)  ;  dans  une  seconde  catégorie,  on  retrouve   l'ensemble   des   résumés   numériques,   c'est   à   dire   les   données   qui  cherchent  à  représenter  une  caractéristique  donnée  d'une   série  considérée  (moyenne,  mode,  étendue...).  

Le  besoin  statistique,  c'est  à  dire  l'activité  humaine  de  recueil   de   données   chiffrées,   remonte   à   la   plus   haute   Antiquité.   Les   premiers   recensements   ont   été   effectués   par   les   Sumériens,   5000  ans  avant  notre  ère.  Par  la  suite,  tous  les  états  forts  d'un   système   administratif   puissant   ont   eu   recours   au   dénombrement   (Romains,   Incas,   Indiens...)   afin   de   connaître   leurs   effectifs   militaires,   leurs   puissances   économiques   etc.  

Mais   les   recensements   coûtent   cher,   et   au   Moyen-­‐âge   le  

Marquis  de  Vauban,  un  proche  de  Colbert,  a  préconisé  l'utilisation  d'échantillons  pour  estimer  au  mieux  les   capacités.  C'était  le  début  de  l'extrapolation...  

La  statistique,   c'est-­‐à-­‐dire   la   science   qui   étudie   les  statistiques   (les   données)   se   divise  en   deux   sous   catégories  :      

• les  statistiques  descriptives      

• les  statistiques  inférentielles  (sondages,  prévisions,  etc.)    

En  classe  de  3°,  nous  ne  travaillerons,  pour  l'instant,  qu'avec  des  statistiques  descriptives.  

Quelques  exemples  de  diagrammes  :  

1/ Tableaux statistiques et diagrammes :

Les tableaux statistiques et les diagrammes permettent d'organiser et de présenter les données recueillies. Le caractère étudié peut être qualitatif ou quantitatif.

Un caractère quantitatif peut être

• discret : il ne peut prendre que des valeurs isolées ;

• continu : il peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle.

Dans le cas d'une répartition en classes, on utilise un histogramme pour représenter graphiquement les effectifs (ou les fréquences) : les aires des rectangles sont proportionnelles aux effectifs (ou aux fréquences).

Pour tracer le polygone des effectifs cumulés croissants, on place les points dont :

• l'abscisse est la limite supérieure d'une classe ;

• l'ordonnée est l'effectif cumulé croissant de cette classe.

Exemple : Les élèves d'une classe de Bac Pro réalisent trois enquêtes dont les informations sont données dans les tableaux suivants :

• Tableau 1 :

Notes obtenues par les 31 élèves de la classe de Bac Pro

lors de l'évaluation de français Diagramme en bâtons Note x_i Effectif n_i

3 6 8 9 10 11 12 13 14 15 16

1 2 3 7 5 4 3 1 2 2 1 31

La notation est un caractère quantitatif (mesurable) discret (il prend des valeurs isolées).

• Tableau 2 : temps consacré chaque semaine par les élèves du lycée à regarder la télévision.

 Population interrogée : les 620 élèves du lycée.

 Intervalle unitaire (IU) : 4 heures

 On calcule les Eff/IU. La hauteur des rectangles correspond à l'effectif par intervalle unitaire.

Histogramme Durée

h

Effectif n_i

Effectif/UI [0 ; 4[

[4 ; 8[

[8 ; 12[

[12 ; 20[

[20 ; 28[

40 80 160 200 140

40 80 160 100 70 620

stat_1var

Colonne B 0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160

Durée (heures)

Eff/UI

Séries statistiques à une variable

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 20

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7

Titre principal

Note

Effectif

USA   Europe   Japon   Chine  

0   500   1000   1500   2000   2500   3000   3500   4000  

P   G   C  

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^ème 2  

   

I  –  Vocabulaire  :  rappels  

Lorsque  l'on  mène  une  étude  statistique  :  

✔ On  doit  d'abord  définir  le  caractère  que  l'on  veut  étudier.  Ce  caractère  peut  être  qualitatif  (qualité),   comme  la  couleur  des  yeux,  ou  quantitatif  (quantité)  comme  la  taille  par  exemple.  

✔ On   doit   délimiter   la  population   étudiée,   c'est-­‐à-­‐dire   l'ensemble   des   individus   qui   ont   participé   à   l'enquête.    

✔ On  doit  déterminer  l'effectif  total,  c'est-­‐à-­‐dire  le  nombre  total  d'individus  qui  ont  participé,  puis  les   effectifs  selon  chaque  valeur  proposée.  

✔ On  peut  préciser  la    fréquence  de  chaque  valeur,  qui  est  égale  au  quotient  :    

total effectif

valeur la

de effectif

_ _ _

_  

     

1/ Tableaux statistiques et diagrammes :

Les tableaux statistiques et les diagrammes permettent d'organiser et de présenter les données recueillies. Le caractère étudié peut être qualitatif ou quantitatif.

Un caractère quantitatif peut être

• discret : il ne peut prendre que des valeurs isolées ;

• continu : il peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle.

Dans le cas d'une répartition en classes, on utilise un histogramme pour représenter graphiquement les effectifs (ou les fréquences) : les aires des rectangles sont proportionnelles aux effectifs (ou aux fréquences).

Pour tracer le polygone des effectifs cumulés croissants, on place les points dont :

• l'abscisse est la limite supérieure d'une classe ;

• l'ordonnée est l'effectif cumulé croissant de cette classe.

Exemple : Les élèves d'une classe de Bac Pro réalisent trois enquêtes dont les informations sont données dans les tableaux suivants :

• Tableau 1 :

Notes obtenues par les 31 élèves de la classe de Bac Pro

lors de l'évaluation de français Diagramme en bâtons Note x_i Effectif n_i

3 6 8 9 10 11 12 13 14 15 16

1 2 3 7 5 4 3 1 2 2 1 31

La notation est un caractère quantitatif (mesurable) discret (il prend des valeurs isolées).

• Tableau 2 : temps consacré chaque semaine par les élèves du lycée à regarder la télévision.

 Population interrogée : les 620 élèves du lycée.

 Intervalle unitaire (IU) : 4 heures

 On calcule les Eff/IU. La hauteur des rectangles correspond à l'effectif par intervalle unitaire.

Histogramme Durée

h

Effectif n_i

Effectif/UI [0 ; 4[

[4 ; 8[

[8 ; 12[

[12 ; 20[

[20 ; 28[

40 80 160 200 140

40 80 160 100 70 620

stat_1var

Colonne B 0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160

Durée (heures)

Eff/UI

Séries statistiques à une variable

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 20

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7

Titre principal

Note

Effectif

• Tableau 3 : la musique préférée des élèves du lycée. On calcule les angles des secteurs correspondants aux effectifs ni.

Diagramme circulaire

Type de musique Effectif

n_i ^Angle

Rock Rap/Raï

Techno Variété française Variété étrangère

Autre

180 120 80 120

80 40

105°

70°

46°

700 46°

23°

620 360°

Le caractère étudié est un caractère qualitatif (non mesurable).

• Mode et étendue statistique :

o On appelle mode d'une distribution statistique la valeur de la variable qui a le plus grand effectif. Dans le cas d'une distribution en classes, on appelle classe modale la classe qui a le plus grand effectif par intervalle unitaire. Le centre de la classe modale est appelé mode.

Exemple : dans le tableau 1 : la note qui a été le plus attribuée est 9.

9 est le mode de cette série statistique.

o L'étendue d'une série statistique est la différence entre les valeurs extrêmes du caractère. Dans le tableau 1, la note minimum est 3, la maximum est 16. L'étendue est donc 16-3 = 13

2/ Les indicateurs de l'analyse statistique

a) La moyenne d'une série statistique, notée x est obtenue par :

x=n₁x₁n₂x₂...n_px_p

N =

∑

i=1 i=p

n_ix_i N

avec

 N=

∑

i=1 i=p

n_i et N effectif total

 x_i : valeur du caractère ou centre des classes

 n_i: effectif de xi ou de la classe de centre xi

 p : nombre de classes ou de valeurs différentes du caractère.

Exemple : dans le tableau 1, la note moyenne est calculée par :

b) Variance et écart type d'une série statistique :

 La variance

V=

∑

i=1 i=p

n_i



x_i−x



²

N =

∑

i=1 i=p

n_ix_i² N −x²

stat_1var

Rock Rap/Raï Techno Variété française Variété étrangère Autre

x=1×32×63×87×95×104×113×121×132×142×151×16

31 =10,06

LFM – Mathématiques – Classe de 3

^ème 3 Exemple  :  dans  un  élevage  de  souris,  on  s’intéresse  à  la  couleur  du  pelage.  Il  peut  être  gris  (G),  noir  (N),  blanc   (Bl),  roux  (R)  ou  brun  (Br).  On  a  les  résultats  suivants  :  

N  ;  N  ;  Bl  ;  G  ;  Br  ;  G  ;  N  ;  Bl  ;  G  ;  G  ;  Br  ;  R  ;  N  ;  R   Br  ;  Br  ;  Bl  ;  G  ;  N  ;  Bl  ;  G  ;  R  ;  R  ;  Br  ;  N  ;  N  ;  G  ;  Bl  

Compléter  les  renseignements  suivants  sur  cette  série  statistique  :   Population  étudiée  :  ………  

Caractère  étudié  :  ………  

Effectif  total  :  ……….  

Effectif  de  la  valeur  «  gris  »  :  ………  

Fréquence  de  la  valeur  «  roux  »  :  ………..  

   

II  -­‐  Moyennes  

1)  Moyenne  arithmétique  non  pondérée  

Règle  :  pour  calculer  la  moyenne  M  d’une  série  statistique  :   1. On  additionne  toutes  les  valeurs  du  caractère  de  la  série  ;   2. On  divise  cette  somme  par  l’effectif  total  de  la  série  

𝑀=𝑥_!+𝑥_!+⋯+𝑥_! 𝑝    

Application  :  Léa  a  calculé  le  temps  qu’elle  a  passé  devant  la  télévision  la  semaine  dernière  :  

Jour   Lundi   Mardi   Mercredi   Jeudi   Vendredi   Samedi   Dimanche  

Temps  

(min)   62   57   110   60   46   122   131  

Calcule  le  temps  moyen  que  Léa  a  passé  par  jour  devant  la  télévision  la  semaine  dernière.  

𝑀=  

Léa  a  donc  passé  en  moyenne  ………  par  jour  devant  la  télévision.  

     

2)  Moyenne  arithmétique  pondérée    

Règle  :  pour  calculer  la  moyenne  pondérée  M  d’une  série  statistique  :   1. On  additionne  les  produits  des  valeurs  par  leur  coefficient  ;  

2. On  divise  cette  somme  par  la  somme  des  coefficients  

𝑀=𝑥_!×𝑛_!+𝑥_!×𝑛_!+⋯+𝑥_!×𝑛_! 𝑛_!+𝑛_!+⋯+𝑛_!    

 

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^ème 4  

Application  :  chaque  élève  de  la  classe  de  3°1  du  collège  Lucie  Aubrac  a  indiqué  le  nombre  de  livres  qu’il  a  lus   durant  le  mois  de  septembre  :  

Nombre  de  livre  lus   0   1   2   3   7   8   15  

Effectif   12   4   3   3   1   1   1  

Calcule  le  nombre  de  livres  lus  en  moyenne  par  les  élèves  de  cette  classe  au  cours  du  mois  de  septembre.  

………  

………  

………  

En  moyenne,  les  élèves  de  cette  classe  ont  lu  …………  livres  au  cours  du  mois  de  septembre.  

 

III  –  Médiane,  quartiles  

1.  Médiane  d’une  série  statistique  

Définition  1  :  les  données  d’une  série  étant  rangées  par  ordre  croissant,  on  appelle  médiane  de  cette  série   une  valeur  qui  partage  cette  série  en  deux  parties  de  même  effectif.  

 

Application  1  :  lorsque  le  nombre  de  valeurs  est  impair    

Déterminer  la  médiane  de  la  série  statistique  suivante  :  25  –  54  –  34  –  32  –  63  –  21  –  12   D'abord  on  ordonne  les  valeurs    :  ……….  

 

Il  y  a    ……….  valeurs     =>    ……….  :  2  =  ………..    

La  médiane  sera  la  ………..  valeur,  c'est-­‐à-­‐dire  ………….  

 Ainsi  trois  valeurs  lui  sont  inférieures,  et  trois  valeurs  lui  sont  supérieures.  

 

Application  2  :  lorsque  le  nombre  de  valeurs  est  pair    

Déterminer  la  médiane  de  la  série  statistique  suivante  :  45  –  4  –  40  –  69  –  90  –  21  –  9  –  71   D'abord  on  ordonne  les  valeurs    :  ……….  

 

Il  y  a    ……….  valeurs     =>    ……….  :  2  =  ………..    

 La  médiane  va  se  situer  entre  la  ………..  valeur  et  la  ………  valeur,  c'est-­‐à-­‐dire  entre  ……..  et  …….  

   La  médiane  est  donc  …………    

 

On  remarque  que  la  médiane  n'appartient  pas  forcément  à  la  série.  

   

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^ème 5  

2.  Etendue  d’une  série  statistique   Définition  :  

l’étendue  d’une  série  statistique  est  la  différence  entre  la  plus  grande  et  la  plus  petite  valeur.  

       

Exercice  :  on  donne  la  répartition  des  notes  d'une  classe  à  un  contrôle.  

Notes  /20   7   8   9   10   11   12   13   14   15  

Effectifs   2   3   5   2   1   6   1   3   2  

1. Déterminer  la  note  moyenne  ce  cette  série  statistique  

………  

………  

………  

………  

………  

2. Interpréter ce résultat

………  

………  

3. Déterminer  l’étendue  de  cette  série  statistique.  Interpréter  ce  résultat.  

………  

………  

 

4. Déterminer  la  note  médiane  de  cette  série  statistique.  Interpréter  le  résultat.  

………  

………  

………  

………  

………