Casse-tête de l’été 2013
Intuitivement il semble plus difficile de placer en dernier le plus grand bateau.
L’exemple suivant (les bateaux occupent les cases en bleu ; en rouge, les cases interdites sous peine d’avoir deux bateaux ayant un point commun ; en blanc, les cases libres) prouve qu’avec l’ordre “ascendant” 1,2,3,4 du plus petit au plus grand, on peut avoir une configuration où il est impossible de les placer tous.
A présent, il reste à montrer qu’avec l’ordre “descendant” 4,3,2,1 du plus grand au plus petit, on peut toujours placer les 10 bateaux.
Pourn= 1 à 4, un bateau 1×net son voisinage forment un rectangle 3×(n+ 2).
Aucune difficulté pour placer 1 porte-avion dans une grille vierge.
Dans la grille de gauche, au plus 1 emplacement est éliminé par un bateau 1×n avec n > 3. Après avoir placé 1 bateau, 4−1 = 3 emplacements restants permettent de placer 2 frégates.
Dans la grille du milieu, au plus 2 emplacements voisins sont éliminés par un bateau 1×navecn>2. Après avoir placé 3 bateaux, 12−2×3 = 6 emplacements restants permettent de placer 3 escorteurs.
Dans la grille de droite, au plus 2 emplacements voisins sont éliminés par un bateau 1×n avec n > 2 ; exactement 1 emplacement, par un bateau 1×1.
Après avoir placé 6 bateaux, 16−2×6 = 4 emplacements restants permettent de placer 4 dragueurs de mines.
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