TD1 : Techniques d’Approximation // C O R R I G É

Université de Tours “François Rabelais”

Faculté de Sciences et Techniques Licence de Physique 2008–2009

UE404PModélisation, Simulations, Outils Informatiques

TD1 : Techniques d’Approximation // C O R R I G É

Le but de cet exercice est l’étude quantitative du mouvement de deux masses, m1 et m2, lorsque l’énergie potentielle d’interaction est une fonction uniquement de leur séparation, V(r

1,r

2) =V(||r

1−r

2||) =V(r). Dans ce cas on sait que le mouvement “intéressant” est celui d’une particule fictive, de masse égale à la “masse réduite”, m ≡ m1m2/(m1 +m2), dans un potentiel “effectif”,

Veff(r)≡V(r) + L² 2mr²

où L² ≡ ||L||² est la norme du moment cinétique, L = m1r₁ ∧v₁ +m2r₂ ∧v₂. Pour le cas Newtonien ou Coulombien (avec charges de signes différentes), on sait que le potentiel effectif possède un minimum, V^∗ ≡ Veff(r^∗). Pour V^∗ < E < 0 le mouvement sera donc périodique, avec période

T = rm

2

Z rmax

rmin

du pE−V_eff(u)

1. Trouver l’expression analytique de la période, comme fonction des deux constantes,E etL et tracer sa dépendance sur chacune de ces constantes, lorsque l’autre est fixe.

Réponse : On va calculer

T_exacte = 2× rm

2

Z rmax

rmin

du pE− ^cu¹ −u^c22

(1) où rmin et rmax sont les racines du dénominateur. Puisque 0 ≤ rmin ≤ u ≤ rmax, on simplifie l’intégrale de la manière suivante

Texacte =√ 2m

Z rmax

rmin

√ udu

Eu²−c1u−c2

L’astuce, que l’on va employer ici, est d’écrire l’expression sous la racine au dénominateur comme

Eu²−c1u−c2 =E³

u− c1

2E

´2

−c²₁+ 4c2E 4E

(On note que l’expression c²₁+ 4c2E ≡ ∆ est le discriminant de l’équation quadratique Eu² −c1u−c2 = 0 et, par conséquent, est une quantité positive, puisque l’on travaille sous l’hypothèse qu’il existe deux racines réelles. )

On note, alors, qu’il est utile de faire le changement de variables suivant v ≡u− c1

2E ⇔u=v+ c1

2E Les bornes d’intégration deviennent

rmin− c1

2E =

√∆

2E ≡v0 <0 et rmax− c1

2E =−

√∆

2E =−v0 >0 (2) vu queE <0. Ainsi l’on doit évaluer l’expression suivante

Texacte =√ 2m

Z ⁻v0

v0

(v+ (c1/(2E)))dv q

Ev²−_4E^∆

=√ 2m

Z ⁻v0

v0

vdv q

Ev²− _4E^∆ +√

2m× c1

2E Z ⁻v0

v0

dv q

Ev²−_4E^∆ La première intégrale est égale à zéro. On peut montrer cette affirmation de deux façons : (a) Par évaluation explicite :

Z ⁻v0

v0

vdv q

Ev²− _4E^∆

= 1 2E

Z d¡

Ev²− 4E^∆

¢ q

Ev²− _4E^∆

= 1 E

r

Ev²− ∆ 4E

¯

¯

¯

¯

¯

−v0

v0

= 0

(b) L’intégrande est une fonction impaire, f(v)≡v/p

Ev²−(∆/(4E)), que l’on intègre sur un intervalle symétrique autour de zéro, car

Z ⁻v0

v0

f(v)dv= Z 0

v0

f(v)dv+ Z ⁻v0

0

f(v)dv

Maintenant on pose v ≡ −x dans la première intégrale et l’on trouve Z 0

−v0

f(−x)d(−x) + Z ⁻v0

0

f(v)dv= 0

puisque f(−x) = −f(x). Par conséquent, Texacte =√

2m× c1

2E Z ⁻v0

v0

dv

pEv²−Ev₀² =√

2m× c1

2E√

−E Z ⁻v0

v0

dv pv₀²−v² (car E <0 et, par conséquent, v0 < 0) Cette intégrale peut être exprimée en termes de fonctions “élémentaires”, en posant v ≡ −v0sinθ, alors dv = −v0cosθdθ et l’on trouve que

Z ⁻v0

v0

dv

pv₀²−v² =π Finalement,

Texacte=π√

2m× c1

2E√

−E =π√

2m× −c1

2√

−E³ (3)

Essayons, maintenant, de tester la cohérence de cette expression. Puisque c1 < 0, il est rassurant que l’on trouve qu’elle implique−c1. Aussi, qu’elle n’a du sens que pourE <0,

car, pourE ≥0, le mouvement n’est jamais périodique. En ce qui concerne sa dépendance sur les conditions initiales et, par conséquent, aux deux constantes du mouvement, E et L, on note qu’elle ne dépend que de la première, mais pas de la seconde. Ceci semble paradoxale–peut-on poser L= 0 (c.à.d. c2 = 0) ? Evidemment non–l’affirmation correcte est que la période exacte est indépendante de la valeur du moment cinétique, pourvu que celui-ci soit non-nul.

En fait, c’est utile de se rendre compte que le potentiel effectif dépend explicitement du moment cinétique, carc₂ =L²/(2m)! Ainsi l’on doit comprendre tout le calcul précédent comme étant mené à valeur fixé du moment cinétique–et que le résultat surprenant est que la période est indépendante de celle-ci, pourvu que l’énergie totale soit supérieure à la valeur minimale de l’énerie potentielle effective,V^∗ ≡V_eff(−2c₂/c₁) =−c²₁/(4c₂), c.à.d.

la période est indépendante de c2, pourvu que0> E >−c²₁/(4c2).

Si l’on veut garder la valeur de l’énergie,E fixe et varier la valeur du moment cinétique,L, c.à.d. la valeur du coefficientc2, il est plus approprié d’employerE comme unité d’énergie.

Ainsi l’on va écrire V = E/ε, V^∗ = E/ε^∗ et les relations V^∗r^∗ = c1/2, V^∗r^∗2 = −c2

impliquent que

r^∗ = c₁ε^∗

2E c2 =−c²₁ε^∗ 4E et le potentiel s’écrit sous la forme

V(ρ) =−E ε^∗

µ

−2 ρ + 1

ρ²

¶

⇔ 1

ε =−1 ε^∗

µ

−2 ρ + 1

ρ²

¶

Ainsi, l’intervalle des valeurs pour l’énergie totale, pour lesquelles le mouvement est pé- riodique, estfini :

V^∗ ≡ − c²₁ 4c2

< E < 0

Pour une valeur fixe du moment cinétique, donc de la constante c2, il est, alors, utile d’employer cette valeur comme unité de l’énergie et écrire

E ≡ε×V^∗ ⇔0< ε <1 et l’on peut écrire Texacte comme

Texacte = T^∗

ε^3/2 (4)

avecT^∗ la combinaison, qui porte, nécessairement, les dimensions d’un temps, T^∗ =T(E =V^∗) =π√

2m −c1

2 q

−[V^∗]³

=π√

2m c^1/2₂

−V^∗

Dans la fig. 1 on afficheTexacte/T^∗ comme fonction deε≡E/(−V^∗). On affiche, également, la droite T =T^∗.

2. Lorsque l’énergieE est suffisamment proche au fond du puits de l’énergie potentielle effective, on peut imaginer remplacer Veff(r) par son développement de Taylor autour du fond du puits

Veff(r)≈V^∗+1

2(r−r^∗)²V^′′(r^∗)

0 2 4 6 8 10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Texacte/Tstar

epsilon

f(x) Tstar(x)

Fig. 1 – Texacte/T^∗ en fonction deε≡E/(−V^∗). La valeur ε= 0 correspond au bord du puits et la valeur ε= 1 au fond du puits.

Dans ce cas on peut toujours faire l’intégrale analytiquement. Comparer les expressionsTexacte(E, L) et Tapprox(E, L). Jusqu’à quelle valeur de l’énergie, dans les unités de V^∗, peut-on faire confiance à cette approximation ?

Réponse : Il est,en fait, plus commode de travailler avec l’expression sans dimensions, ainsi

[Veff/(−V^∗)]³r r^∗ =ρ´

≡v(ρ) =−2 ρ + 1

ρ²

oùr^∗ =−2c2/c1est la position du minimum du potentiel. On trace dans la fig. 2v(ρ)ainsi que−1 + (ρ−1)², qui est l’approximation quadratique de Taylor et l’on note qu’au fond du puits les deux courbes semblent, effectivement, se confondre. On veut, alors, calculer

1 2 3 4 5

-1.0 -0.5 0.5 1.0

0.995 1.000 1.005 1.010

-0.99998 -0.99996 -0.99994 -0.99992 -0.99990

Fig.2 – Le potentiel effectif adimensionné,v(ρ), et son approximation quadratique. On affiche, aussi, la région autour du minimum.

Tapprox =√ 2m

Z rmax⁽²⁾

r_min⁽²⁾

du q

E−V^∗− ¹₂(u−r^∗)²V^′′(r^∗)

où l’on note par r⁽²⁾_min et r⁽²⁾max les racines de l’équation approchée,

E−V^∗ = 1

2(r−r^∗)²V^′′(r^∗)⇔r_min⁽²⁾ =r^∗−

s2(E−V^∗)

V^′′(r^∗) , r⁽²⁾_max=r^∗+

s2(E−V^∗) V^′′(r^∗) , On trouve que

T_approx = 2π√ m pV^′′(r^∗)

On note que cette expression est indépendante de l’énergie totale, E! Par contre, elle dépend de la valeur du moment cinétique, car

V^′′

µ

r^∗ =−2c2

c1

¶

= c⁴₁ 8c³₂ et, par conséquent,

Tapprox = π√ 2mc^1/2₂

−V^∗ =T^∗ Par conséquent,

Texacte

Tapprox

= 1 ε^3/2

avec 0 < ε < 1. Plus ε est proche de la valeur 1, c.à.d. l’énergie totale est proche du fond du puits, plus l’accord entre l’approximation quadratique et le résultat exact sera meilleur. Aussi, on note que l’on a la borneT_exacte> T_approx–l’approximation quadratique nous livre une borne inférieure pour la valeur de la période éxacte. Si l’on veut savoir quelle est la relation entre la distance de la valeur de l’énergie du fond du puits et la qualité de l’approximation quadratique, on poseε ≡1−δ et l’on trouve que

δ= 1−

µT_approx Texacte

¶2/3

Ainsi, si l’on veut que l’approximation quadratique soit, au pire, à1%de la valeur exacte, c.à.d. on veut que 1 > Tapprox/Texacte > 0.99, il faut que ε > 0.99^2/3 = (1−0.01)^2/3 ≈ 1−0.02/3 = 1−0.0067 = 0.9933.

3. Si l’on ajoute une corde entre les deux masses, on ajoute un terme Vcorde = σr à l’énergie potentielle effective, où σ est la tension de la corde. Alors on ne peut pas faire l’intégrale analytiquement. Dans un premier temps, on cherche à calculer la nouvelle position d’équilibre, r^∗, dans l’approximation où L est très petit.

Ecrire l’équation V_eff^′ (r) = 0 comme un polynôme en r,

c3r³−c1r−2c2 = 0 (5)

avec c3 = σ, c2 =L²/(2m) et c1 =−Gm1m2 dans le cas Newtonien et c1 = Q1Q2/(4πε0) dans le cas Coulombien. On cherche à exprimer les racines de cette équation comme des séries dans une variable proportionnelle à c2, car on note que, lorsque c2 = 0 on peut résoudre l’équation analytiquement.

Par analyse dimensionnelle trouver la variable appropriée et écrire l’équation sous une forme sans dimensions,

a3u³−a1u−ε= 0 poser

u(ε) =

∞

X

n=0

Anεⁿ

Ecrire la relation de récurrence pour les coefficients et un programme qui permet de les calculer.

Réponse : Cette question est l’objet du prochain exercice. On va présenter l’analyse di- mensionnelle pour l’éq. (5). A valeur fixe, non-nulle, de la tension,c3, on peut diviser par c₃ et déduire que

[r]³ =

·c1

c3

r

¸

=

·c2

c3

¸

Par conséquent, en tenant compte des signes relatifs, c1 <0,c3 >0, on peut définir une combinaison,

ℓ^∗ ≡ r

−c1

c₃

qui possède la dimension d’une longueur et qui peut servir d’unité. On pose, alors,r ≡uℓ^∗, avecu sans dimensions et l’équation pour le minimum devient

u³+u− 2c2

c3ℓ^∗3 = 0

et l’on peut contrôler la justesse de nos calculs en vérifiant que la combinaison ε ≡ 2c2

c₃ℓ^∗3

est une quantité sans dimensions. Puisqu’elle est proportionnelle à c2, elle peut servir de paramètre de développement en série. Sa signification physique peut être mise en évidence en l’écrivant sous la forme

ε= 2c2/ℓ^∗2 c3ℓ^∗

Le numérateur exprime l’énergie rotationnelle, due au moment cinétique ; le dénominateur l’énergie due à la corde (tension × longueur) ; ainsi, plus ε est grande, plus les effets centrifuges sont importants, plus ε est petit, plus les effets de la corde sont importants.

Dans le contexte coulombien la tension de la corde, en fait, est celui d’un champ extérieur qui agit sur des charges de signe opposé.