COURS ELECTROMAGNETISME Semestre 1

COURS

ELECTROMAGNETISME

Semestre 1

Chapitre 1 – LE CHAMP D’INDUCTION MAGNETIQUE DANS LE VIDE

I – HISTORIQUE

La pierre d’aimant découverte dans l’antiquité dans une région d’Asie Mineure appelée Magnésie a la propriété naturelle d’attirer le fer.

Ce minerais de fer Fe₂O₃ s’est ainsi appelé Magnétite et ses propriétés physiques sont le magnétisme.

Au XI^ème siècle les marins chinois utilisaient les premières boussoles (des aimants flottants) pour s’orienter.

La première étude sur les aimants date de 1269. Elle est due à Pierre de Maricourt qui utilisa une aiguille magnétisée pour tracer les lignes de forces autour d’une pierre aimantée sphérique. S’apercevant que ces lignes se refermaient sur deux régions privilégiées de chaque côté de la sphère, il nomma ces deux régions les pôles par analogie avec les lignes de longitude de la terre.

En 1600 William Gilbert émet l’idée que la terre est un gigantesque aimant.

En 1820, Le danois Hans Christian OERSTED découvre qu’un courant produit un effet magnétique.

II – SPECTRE MAGNETIQUE D’UN AIMANT

1°/ EXPERIENCE

2°/ LE CHAMP D’INDUCTION MAGNETIQUE

La notion de Champ s’impose alors.

En tout point, on peut définir une direction, un sens et une intensité à ce champ magnétique.

On remarque ainsi que le pôle Nord géographique de la terre est en fait actuellement un pôle Sud magnétique. Notons que le champ magnétique terrestre varie dans le temps (de la minute à plusieurs millions d’années selon les causes) et s’inverse.

3°/ LIGNES DE CHAMP

Sous l’action du champ d’induction magnétique les grains de limaille se transforment en petites boussoles qui s’orientent parallèlement à B. S’alignant les uns derrière les autres, ils matérialisent les lignes de champ magnétique :

4°/ LES POLES

2 régions privilégiées d’où partent et arrivent les lignes de champ apparaissent sur le spectre. Ce sont les pôles.

Les pôles ne sont pas des points précis, ces régions mal définies sont proches des extrémités du barreau aimanté.

Un aimant brisé donne naissance à deux aimants et donc à 4 pôles.

Le monopôle magnétique n’existe pas.

N

B

B

M dM

Produit vectoriel :

III – CHAMP D’INDUCTION MAGNETIQUE PRODUIT PAR DES CHARGES EN MOUVEMENT

Au printemps 1820, Oersted découvre en plaçant une boussole sous un fil de cuivre parcouru par un courant qu’un courant électrique produit un effet magnétique.

1°/ CHAMP MAGNETIQUE PRODUIT PAR UN FIL RECTILIGNE INFINI

Son expression est :

2°/ LOI DE BIOT ET SAVART

Cette loi donne l’expression générale du champ magnétique dB créé par un fil élémentaire de longueur dl parcouru par un courant I.

On a

Cette loi permet par intégration de calculer le champ d’induction magnétique créé par n’importe quelle forme de conducteur parcouru par un courant.

I

M B

B champ d’induction magnétique en Tesla créé par un fil rectiligne infini en un point M

µ₀ perméabilité du vide = 4π 10 ^–9 SI I courant traversant le circuit en A r distance du point considéré au centre O

dB M Idl

r θ

R dB doit être en 1/r² puisque

l’intégration ramène au cas du fil infini dont l’expression de B est en 1/R.

dB champ d’induction magnétique en Tesla créé par un fil élémentaire en un point M

µ0 perméabilité du vide = 4π 10 ^–9 I courant traversant le circuit en A r distance du point considéré au fil élémentaire

3°/ BOBINE CIRCULAIRE PLATE

Les sens des vecteur B dessinés sur les lignes de champ sont donnés par la règle du tire bouchon.

Au centre de la bobine on a : B = µ0 I / (2R)

Pour une bobine comportant N spires, on a

4°/ SOLENOIDE

a) Spectre du solénoïde

Les lignes de champ sont parallèles à l’axe du solénoïde.

Elles s’orientent selon la règle du tire bouchon

Le champ peut être considéré comme uniforme à l’intérieur du solénoïde

b) Force magnétomotrice

N nombre de spires R rayon de la bobine I

c) Faces de l’électroaimant

d) Champ magnétique sur l’axe du solénoïde

Ainsi à l’extrémité d’un très long solénoïde :

Ainsi au centre d’un très long solénoïde :

En tout point à l’intérieur d’un solénoïde infiniment long : I

B

I

α₁ α₂ M

B : Champ magn en M (Tesla) N : Nombre de spires

L : longueur du solénoïde en m

Chapitre 2 – LE CHAMP D’INDUCTION MAGNETIQUE DANS UN MILIEU FERROMAGNETIQUE

I – AIMANTATION INDUITE 1°/ 1ère expérience

2°/ 2^ème expérience

Les matériaux ayant de telles propriétés sont dits ferromagnétiques : alliages à base de fer, cobalt, nickel.

Les matériaux ferromagnétiques perdent leurs propriétés à température élevée.

I = 0 I ≅ 0 I ≅ 0

II – COURBE DE PREMIERE AIMANTATION

III – EXCITATION MAGNETIQUE

Pour la zone linéaire, on peut écrire :

B = µ

µ

NI / l

Cette relation correspond au cas du solénoïde.

On généralise cette relation entre B et ce qui créé le champ magnétique en introduisant le vecteur excitation magnétique H.

Ainsi on a :

On relève la courbe B en fonction de NI / l (noté H)

B

NI / l

B = µ

µ

H

Acier au silicium : µ_r = 20000 => obtention de champ magn intense à partir d’une excitation faible

B en Tesla (T) et H en A m^-1

IV – HYSTERESIS MAGNETIQUE

On reprend le dispositif du § II : Après avoir dans un premier temps augmenté I, on le diminue dans un second temps.

On constate alors que la courbe d’aimantation se dédouble :

Lorsque i varie entre –Imax et + Imax, on voit apparaître une courbe fermée appelée cycle d’hystérésis.

Lorsque l’amplitude I_max des variations de I varie, le sommet du cycle se déplace sur la courbe de 1^ère aimantation.

Un milieu ferromagnétique subissant des cycles répétés s’échauffe.

L’énergie calorifique dégagée est proportionnelle à l’aire du cycle, à la fréquence et au volume du matériaux.

Ce phénomène engendre des pertes de puissance appelées pertes par hystérésis.

La puissance perdue par hystérésis par unité de volume est p_h = k f B_max²

Ainsi à 50 Hz, pour un acier doux dont la constante k = 100, la puissance perdue par hystérésis dans un champ magnétique variable d’amplitude 1 Tesla sera de 5000 W/m³.

Les matériaux ferromagnétiques à cycle étroit sont ferromagnétiquement doux.

Ceux à cycle large (forte aimantation rémanente) sont ferromagnétiquement durs.

Champ magnétique rémanent qui subsiste alors que I = 0

Excitation coercitive : celle qu’il faut appliquer pour annuler B

B

H

B

H

V- THEOREME D’AMPERE

1°/ CIRCULATION D’UN VECTEUR

a) Sur un élément dl de longueur d’un contour On considère un vecteur A.

L’élément de longueur considéré étant petit, on considère que ce vecteur est constant (direction, sens et intensité).

Par définition la circulation élémentaire dC du vecteur A sur l’élément de longueur dl est :

On a donc dC =

b) Sur un arc

A n’est pas constant le long de l’arc MN. On calcule donc la circulation élémentaire et on fait la somme intégrale.

Remarque : Si le contour est fermé, l’intégrale est notée : Rappel de Maths : Produit scalaire .

θ

A cos θ A

M A

N

dl

C = dC = A . dl

M N

M N

dC = A

dl

2°/ COURANTS ENLACES PAR UN CONTOUR

On considère un certain nombre de conducteurs parcourus par des courants

3°/ THEOREME D’AMPERE

4°/ EXEMPLE

Cas d’un conducteur rectiligne infini parcouru par I placé dans le vide.

Le contour doit être judicieusement choisi : forme symétrique simple.

On entoure ces conducteurs par un contour fermé orienté s’appuyant sur une surface hachurée.

Le vecteur unitaire n perpendiculaire à la surface est orienté selon la règle du tire bouchon.

I1

I₂ I3

n

H . dl =

Σ

On a d’après le théorème d’Ampère :

=

Or H est constant le long du contour, d’où :

D’où le champ d’induction magnétique :

B = µ₀ H = I

r dl H

Chapitre 3 : ACTION D’UN CHAMP MAGNETIQUE SUR DES PARTICULES CHARGEES EN MOUVEMENT

I – FORCE DE LORENTZ

1°/ MISE EN EVIDENCE

On considère un canon à électron.

Le faisceau d’électrons est accéléré et atteint la vitesse v.

On applique un champ magnétique uniforme à l’aide d’électro-aimants dans la zône délimitée.

Quand B=0, l’écran fluorescent montre le spot (pont d’impact des e^-) en O.

Quand B non nul, le pont d’impact se déplace en O’.

2°/ INTERPRETATION

Les électrons sont déviés par l’action du champ magnétique.

Les électrons sont soumis à une force appelée force de Lorentz.

3°/ FORCE DE LORENTZ

Force subie par une particule de charge q se déplaçant à la vitesse v dans un champ magnétique B :

Cette force est perpendiculaire à v et B

Son sens suit la règle des 3 doigts de la main droite : pouce : qv

index : B majeur : F Son intensité est :

F = |q| v B sin(q v, B)

F = q v B

B

v Trajectoire de l’e^- si B = 0

Trajectoire de l’e^- si B non nul

qv B

F

Comme sin(-x) = sin(x), on peut écrire sin(v,B) dans la formule.

II – FORCE DE LAPLACE

Considérons un petit morceau de conducteur de longueur dl parcouru par un courant électrique I. Ce conducteur est placé dans un champ magnétique uniforme.

Chaque électron en mouvement dans le conducteur subit une force de Lorentz : dF_e- = q_e v B

Si n est le nombre d’électrons par unité de volume, la force totale agissant sur l’élément de conducteur de section S est :

dF = n S dl q_e v B

Si l’électron se déplace sur la longueur dl pendant une durée dt, on a v = dl/dt dF = n S dl q_e (dl / dt) B

= dq / dt dl B

d’où l’expression de la force de Laplace élémentaire :

Cette force est perpendiculaire à la direction du conducteur et au champ magnétique

Son sens suit la règle des 3 doigts de la main droite : pouce : dl

index : B majeur : F

Son intensité est :

dF = i dl B

dl B

F v

B e^- i

dFe

S

dF = i dl B sin(dl, B)

III – CADRE MOBILE

1°/ FORCES DE LAPLACE

2°/ MOMENT DU COUPLE Vue de dessus :

Le moment du couple est :

Forces de Laplace :

Avec N spires :

3°/ MOMENT MAGNETIQUE

Le moment magnétique est définit par :

On peut donc écrire :

Un cadre rectangulaire mobile autour d’un axe de rotation est parcouru par un courant I et placé dans un champ magnétique.

I

I

B B

F1

F2

I

I

B

B

F1

F2

O M

M’

n θ

I I

I

I

B B

B

B F1

F₂ F₃

F₄

l₂

l1

θ

θ

Surface du cadre : S = l1 l2

M = N I S n

C = M B

M en A m² C en N m B en T

IV – FLUX MAGNETIQUE

Dans un champ magnétique uniforme, le flux du champ magnétique à travers une surface dépend de la projection de la surface perpendiculairement aux lignes de champ.

La surface apparente est définie par : dS cos θ Le vecteur surface est : dS = dS n

Le flux élémentaire à travers une surface élémentaire est définit par :

Propriété du Flux magnétique :

dS dS

n dS

n n

Flux maximum Flux plus petit Flux nul

θθθθ

B en T dS en m²

dϕ en Weber Wb

Le flux magnétique est conservatif : il garde la même valeur à travers toutes les sections d’un même circuit magnétique.

Si S diminue, B augmente

Chapitre 4 : INDUCTION ELECTROMAGNETIQUE

I – LES PHENOMENES

Attention : une force électromotrice n’est pas une force mécanique en Newton, mais une tension en Volts.

II – LA LOI DE FARADAY Selon les cas nous avons :

- une variation de champ d’induction magnétique - un balayage de surface donc un flux coupé - une variation de surface du conducteur

Fem induite : e = - d Φ Φ Φ / dt Φ Variation de flux : ( Φ = B . S )

N S

fem

B B

fem

fem

B

fem

ROTATION TRANSLATION

III – LOI DE LENZ 1°/ ENONCE

2°/ EXEMPLES

3°/ POURQUOI ?

Si la loi de Lenz était contraire,

- Bi renforcerait B => augmentation du flux => e augmente => Bi augmente etc …

- La force de Laplace induite renforce l’action extérieure => accélération augmentation énergie cinétique

Ce serait incompatible avec le principe de conservation de l’énergie.

B N S

fem Bi

i

B

fem

fem

B B

fem

IV – APPLICATIONS

1°/ MACHINE A COURANT CONTINU

2°/ MACHINE A COURANT ALTERNATIF

3°/ TRANSFORMATEUR

Fonctionnement en moteur :

Une spire mobile autour d’un axe, parcourue par un courant est placée dans un champ magnétique. Il apparaît un couple de forces de Laplace provoquant la rotation de la spire (a).

Il est nécessaire que le courant s’inverse dans les conducteurs après passage de l’axe de symétrie pour que le sens de rotation ne s’inverse pas !

Le flux à travers la spire varie donc il apparaît à ses bornes un fem induite qui s’oppose à la circulation du courant I (force contre électromotrice).

Fonctionnement en génératrice :

On fait tourner une spire autour d’un axe dans un champ magnétique. Le flux à travers cette spire variant, il apparaît à ses bornes une fem induite (engendrant la circulation d’un courant induit lorsque le circuit est fermé). La fem s’oppose à la variation de flux : le courant induit provoque l’apparition d’un couple de forces de Laplace résistant.

Génératrice : Alternateur

Un électroaimant tourne à l’intérieur d’une spire. La spire est donc soumise à un champ magnétique variable de façon quasi sinusoïdal. Elle subit donc une variation de flux engendrant une fem induite également quasi sinusoïdale.

Le champ magnétique variable de façon sinusoïdal créé par le bobinage primaire est canalisé par le circuit magnétique. La bobine secondaire est soumise à un champ magnétique variable et subit donc une variation de flux également sinusoïdale. Il apparaît donc à ses bornes une fem induite sinusoïdale.

4°/ COURANTS DE FOUCAULT

Un volume métallique V est soit :

- mobile dans un champ magnétique constant

- fixe dans un champ magnétique variable.

Le volume peut être considéré comme constitué d’un grand nombre de petites boucles de courant C. Ces boucles sont soumises à des variations de flux et donc sont parcourues par des courant induits dits courants de Foucault.

Freinage par courant de Foucault

Principe du moteur asynchrone

Une portion d’un disque en rotation est plongée dans un champ magnétique. Le segment PQ de la boucle de courant coupe le flux donc est le siège d’une fem induite s’opposant à la rotation : le courant induit de Foucault crée une force de Laplace résistante.

Le disque freine.

Un aimant tourne devant un disque. Les courants de Foucault induits tendent à créer des forces de Laplace s’opposant à la variation de flux : le disque va suivre la rotation de l’aimant avec un certain décalage angulaire (glissement).

Les courants de Foucault provoquent par effet joule un échauffement des pièces métallique dans lesquelles ils circulent, engendrant ainsi des pertes de puissance (pertes fer). Pour limiter l’intensité de ces courant, on augmente la résistance électrique des pièces métalliques en les feuilletant (tôles vernies empilées) et en utilisant de l’acier au Silicium dont la résistivité est plus élevée.

Plaque de cuisson à induction : La plaque crée un champ magnétique variable. Les courant de Foucault circulant dans le fond de la casserole provoquent l’échauffement de celle- ci. La casserole doit évidemment être métallique et de faible résistivité.

Chapitre 5 – PHENOMENE D’AUTOINDUCTION

I – FLUX PROPRE

Soit un circuit électrique constitué d’une boucle parcourue par un courant i.

Il en résulte un champ magnétique B créé par cette spire.

II – AUTOINDUCTION

1°/ RAPPEL DU PHENOMENE D’INDUCTION ELECTROMAGNETIQUE

On a vu au chapitre précédent que le phénomène d’induction électromagnétique est : L’apparition d’une fem induite aux bornes d’un circuit subissant une variation de flux à travers sa surface. Cette fem s’oppose par ses effets à la cause qui lui donne naissance.

2°/ AUTOINDUCTION

Lignes de champ créé par la spire

i B

B Surface s’appuyant sur le

contour de la spire

Définition du flux propre :

B extérieur variable

fem induite

B

Créé par le circuit

considéré Source de tension extérieure

i

Induction électromagnétique Auto-induction : si i varie !!!

3°/ EXEMPLE : CAS DU SOLENOIDE, établissement du courant

Comment se manifeste ce phénomène ?

Remarque :

Initialement, K est ouvert, donc i = 0 . Quand on ferme l’interrupteur K :

e < 0

On retient que dans un circuit inductif, le courant s’établit progressivement

i(t)

t e(t)

t

Etablissement du courant dans un circuit inductif + -

K B

4°/ EXEMPLE : CAS DU SOLENOIDE, rupture du courant

Comment se manifeste ce phénomène ?

Initialement, K est fermé, donc i = Imax . Quand on ouvre l’interrupteur K :

On retient qu’il ne faut jamais couper brutalement le courant dans un circuit inductif

Etablissement et rupture du courant dans un circuit inductif i(t)

t e(t)

t Danger !!

e >> 0 + - K

B

Le remède : La diode de roue libre

On place une diode en parallèle et dans le bon sens pour court-circuiter cette fem induite lors de la coupure du courant :

III – INDUCTANCE PROPRE D’UNE BOBINE

1°/ DEFINITION

Soit une bobine sans noyau, de longueur llll de section S comprenant N spires.

Flux propre à travers une spire : ϕ_s = B est créé par i : B =

Flux propre à travers une spire : ϕ_s =

Flux propre à travers l’ensemble de la bobine : ϕ =

Le coefficient de proportionnalité entre ϕ et i est appelé inductance propre de la bobine.

Noté L, il s’exprime en Henry (H) et

2°/ INDUCTANCE PROPRE ET FEM AUTO-INDUITE Fem induite aux bornes d’une spire : e = - dϕs /dt

3°/ MODELE EQUIVALENT D’UNE BOBINE + - K

B

Fem totale induite aux bornes de la bobine :

r

e = - L di/dt i

uL

i

u_L

L = µ0N² S/ l

IV – BOBINE EN REGIME SINUSOIDAL

1°/ FEM INDUITE, FORMULE DE BOUCHEROT

La fem induite autoinduite est donc :

e = - N dφ/dt =

La fem autoinduite est sinusoïdale et déphasée de -π/2 par rapport au flux.

La valeur efficace de le fem autoinduite est : Formule de Boucherot :

2°/ MODELE EQUIVALENT EN REGIME SINUSOIDAL a) Modèle série

~

Une bobine (N spires, section S) est reliée à un générateur de tension sinusoïdal.

Le courant et donc le flux magnétique sont donc sinusoïdaux :

I = I_m sin ωt et φ = φ_m sin ωt

φφφφ B

E

r

e = - L di/dt

r jLω

Régime quelconque

Régime Sinusoïdal

i i I

u u U

Modèle Série

« Bonne » bobine :

r faible par rapport à Lω donc Q >> 1

b) Modèle parallèle

c) Relations entre les deux modèles (voir TD électricité)

Il s’agit d’une seule et même bobine représentée différemment.

On a donc nécessairement égalité des admittances (ou des impédances) des deux modèles.

1 / ( r + jLωωωω ) = [ 1/r_p + 1 / jLp ωωωω ]

En identifiant les parties réelles et parties imaginaires des deux membres de cette équation, on obtient les relations entre les deux modèles :

Modèle Parallèle

Régime Sinusoïdal i

u

r jLω I

U

Modèle Série

r_p jLpω I

U

Q = r_p / L_p ω facteur de qualité (modèle //)

C’est la même « Bonne bobine » donc Q >> 1 Donc rp >> Lpω et rp >> r

rp = r ( 1 + Q² ) Lp = L ( 1 + (1/Q²) )

Q = Lω / r = rp / (Lpω)

Si Q >> 1 « bonne bobine » L_p = L

r_p = Q² r

V – ENERGIE ELECTROMAGNETIQUE 1°/ Puissance instantanée

On sait que : u = ri + L di/dt La puissance instantanée est :

p(t) = u(t) i(t) = r i² + L i di/dt

2°/ Energie mise en jeux pendant dt

dW = r i² dt + L i (di/dt) dt = r i² dt + L i di

3°/ Energie totale pour une variation du courant de 0 à I

W_e = L i di

Quand I augmente :

Cette énergie est dépensée par le générateur (fournie à la bobine) pour vaincre l’opposition de la fem autoinduite (Loi de Lenz).

Cette énergie est nécessaire pour créer le champ magnétique de la bobine.

D’où son nom d’énergie électromagnétique localisée dans tout l’espace où existe le champ magnétique.

Quand I diminue :

Cette énergie est restituée au reste du circuit :

- étincelle lors d’une coupure brutale

- échauffement de la résistance lors d’une coupure moins brusque

dW_e : énergie électromagnétique

0 I

Chapitre 6 – COURANTS MONOPHASES

I – RAPPELS

Soit un dipôle alimenté par un générateur de tension sinusoïdal.

1°/ Caractéristiques des signaux

Expressions instantanées : i(t) = I_m sin (ωt + ϕ₁) u(t) = U_m sin (ωt + ϕ₂) Valeurs maximales ou amplitudes : Um et Im

Valeurs efficaces (valable que pour des signaux sinusoïdaux) :

U = U_m / 2 et I = I_m / 2 (Quand ambiguïté on note U_eff et I_eff ) Phases à l’origine : ϕ₁ pour i(t) et ϕ₂ pour u(t)

Déphasage de u par rapport à i : ϕu/i = ϕ2 - ϕ1 Pulsation : ω (en rad.s^-1)

Fréquence (en Hz): f = ω / 2π Période (en s) : T = 1/f

2°/ Représentation de Fresnell et représentation complexe

Prenons l’exemple de u(t) = Um sin (ωt + ϕ₂)

Pour une fréquence donnée, deux grandeurs caractérisent le signal : Um et ϕ₂. On peut ainsi représenter ce signal à l’aide d’un vecteur : le vecteur de Fresnell.

On peut aussi associer un nombre complexe au signal et au vecteur de Fresnell : Le nombre complexe est noté U

Sous sa forme trigonométrique :

U = ( Val efficace ; Phase à l’origine ) U = (U

; ϕ

)

ϕ₂ Ueff

Référence de phase

U I Z

3°/ Loi d’Ohm

En régime sinusoïdal, on peut utiliser la représentation complexe. La relation entre U et I pour le dipôle s’écrit :

Z est l’impédance complexe : Z = U / I

4°/ Résistance Réactance

Z peut se mettre sous la forme algébrique : Z = R + j X

Ré(Z) est une résistance (en Ω) et Im(Z) est une réactance (en Ω) Y = 1/Z est l’admittance. 1/R est une conductance (Siemens ou Ω^-1).

1/X est une suceptance (Siemens ou Ω^-1 )

5°/ Exemples de Dipôles

Résistance pure : |Z| = R ϕu/i = 0 => Z = R purement réelle

Inductance parfaite : |Z| = Lω ϕu/i = π/2 => Z = jLω purement imaginaire

Condensateur parfait : |Z| = 1/Cω ϕ_u/i = -π/2 => Z = -j/Cω = 1/jCω Im pur

Dipôle Inductif : Z = R + jX avec X = L ω > 0 |Z| = √(R² + X² )

ϕ_u/i = tan^-1(X/R) > 0

Dipôle Capacitif : Z = R + jX avec X = -1/ Cω < 0 |Z| = √(R² + X² )

ϕ_u/i = tan^-1(X/R) < 0 U I

U I

I U

U XI

RI I

ϕ_u/i

U

XI

RI I

ϕ_u/i

U = Z I

Module : | Z | = U_eff / I_eff Argument : arg(Z) = ϕ_u/I

II – PUISSANCES EN REGIME SINUSOIDAL 1°/ PUISSANCE INSTANTANEE

Par définition :

avec

Représentation graphique : Simulation pour Um = 2V et Im = 1,5 A

Résistif ϕ = 0°

P UISSANCE INSTANTANEE

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

t(s)

i u p P P UISSANCE INSTANTANEE

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

t(s)

i u p P

Bobine ϕ = 90°

P UISSANCE INSTANTANEE

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

t(s)

i u p P

Inductif ϕ = 60°

p(t) > 0

Dipôle consommateur d’énergie

p(t) < 0

Dipôle « restitueur » d’énergie

2°/ PUISSANCE MOYENNE OU PUISSANCE ACTIVE

Bobine parfaite : P = 0

Inductif : P > 0 => Puissance consommée par la partie résistive du dipôle.

Résistif : P > 0

Capacitif : P > 0 => Puissance consommée par la partie résistive du dipôle.

Condensateur : P = 0 En conclusion :

Puissance active consommée par un dipôle Z = R + j X :

Un dipôle passif ne peut pas présenter une puissance active P < 0 car il est forcément en moyenne consommateur d’énergie.

Une puissance P<0 signifie que le dipôle fournit de l’énergie au reste du circuit, il est ou se comporte comme un générateur. C’est par exemple le cas des dipôles actifs (transistor, ampli op) qui peuvent fonctionner en générateur

.

P UISSANCE INSTANTANEE

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

t(s)

i u p P

Capacitif ϕ = -60°

P UISSANCE INSTANTANEE

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

t(s)

i u p P

Condensateur ϕ = -90°

P = (2/T) ∫

p(t) dt =

III – LE WATTMETRE

Le wattmètre sert à mesurer la puissance active consommée par un récepteur.

1°/ LE SYMBOLE

2°/ CONSTITUTION

Le wattmètre comporte deux circuits distincts :

Un circuit « gros fil » parcouru par le courant, branché en série avec le récepteur, comme un ampèremètre.

Un circuit « fil fin », circuit tension, branché en parallèle sur le récepteur, comme un voltmètre.

Chacun de ces circuits est protégé par un fusible.

3°/ MESURE

On dispose à la fois de calibres tension et de calibres intensité.

L’appareil mesurant la puissance active P = U_eff I_eff cosφ, pour U_eff et I_eff donnés, la déviation de l’aiguille dépend de cosφ.

L’aiguille dévie à pleine échelle quand : U_eff mesurée = U_cal la tension du calibre I_eff mesurée = I_cal le courant du calibre et cosφ = 1

Cela correspond à une puissance active de U_calI_cal

i

W

u

Calibres d’intensité

Calibres tension

Montage longue dérivation

W

Si l’aiguille dévie de N graduations, sur un appareil de N_tot graduations au total, la mesure réalisée est : P _mesuré = N U_cal I_cal / N_tot

Exemple : Calibres 240 V et 5 A

soit 240*5 = 1200 W pleine échelle Le nombre total de graduations est de 120.

Soit 1200/120 = 10 W / graduation L’aiguille dévie de 40 graduations,

donc : P mesurée = 40 * 240*5 / 120 = 400 W

III – BRANCHEMENT DU WATTMETRE

Montage courte dérivation

Attention : Même si Ueff et Ieff sont proches des valeurs des calibres sélectionnés, la déviation de l’aiguille reste faible si cosφ est faible.

On ne peut cependant pas utiliser des calibres inférieurs …

… cela détériore l’appareil !

Montage courte dérivation

i

W

i

Procédure de mesure :

- Placer un ampèremètre en série avec le circuit « gros fil » - Placer un voltmètre en parallèle sur le circuit fil fin

- Régler chaque appareil sur les calibres les plus élevés

Attention, le fusible du circuit tension du wattmètre coûte environ 10 euros pièce

- Adapter les calibres des différents appareils selon les valeurs mesurées.

Si l’aiguille dévie du mauvais côté, inverser le sens de branchement du circuit fil fin.

IV – PUISSANCES APPARENTE ET REACTIVE 1°/ PUISSANCE APPARENTE

Définition

Ce n’est pas une puissance reçue par le dipôle, c’est pourquoi on ne l’exprime pas en Watt.

On remarque que P = S cos ϕ_u/i S est donc la puissance active maximale que pourrait consommer le dipôle si le déphasage ϕ_u/i était nul.

La puissance des transformateurs ou alternateurs est souvent donnée en VA en faisant le produit des valeurs nominales : valeurs optimales pour lesquelles est fabriquée la machine.

Par exemple : Transfo de 250 kVA. C’est une caractéristique de construction, la puissance débitée par le transfo dépendra du circuit qu’il alimente !

2°/ PUISSANCE REACTIVE

Définition

On a ainsi : S = (P² + Q²) tan ϕ_u/i = Q/P cos ϕ_u/i = P/S

Bobine parfaite : Q > 0

Inductif : Q > 0 => Puissance consommée par la partie réactive du dipôle.

Résistif : Q = 0

Capacitif : Q < 0 => Puissance restituée par la partie réactive du dipôle.

Condensateur : Q < 0 En conclusion :

Puissance réactive pour un dipôle Z = R + j X :

Une puissance Q>0 signifie que le dipôle consomme est inductif, il consomme de la puissance réactive destinée à créer le champ magnétique dans l’inductance.

Une puissance Q<0 signifie que le dipôle est capacitif, il restitue de la puissance réactive.

V – THEOREME DE BOUCHEROT

VI – FACTEUR DE PUISSANCE 1°/ DEFINITION

cos ϕ_u/i est appelé facteur de puissance du récepteur.

On remarque que cos ϕu/i diminue quand ϕu/i augmente, c’est à dire quand la réactance augmente par rapport à la résistance.

2°/ IMPORTANCE DU FACTEUR DE PUISSANCE

Les installations industrielles sont souvent inductives à cause des bobinages des moteurs des machines. La puissance réactive consommée augmente et cosϕ_u/i diminue.

Cela coûte cher à la société de distribution de l’électricité qui ne facture à priori que la puissance active consommée.

U I Z

Z = R + jX

Le remède est de redresser le facteur de puissance en plaçant en parallèle sur l’installation des condensateurs qui redonnent de la puissance réactive au réseau et permettent d’augmenter le cosϕ_u/i.

3°/ CALCUL DE LA CAPACITE

Un récepteur inductif alimenté sous U consomme une puissance active P.

L’intensité du courant qu’il absorbe est I.

On place un condensateur en parallèle sur le récepteur afin d’augmenter le facteur de puissance. Soit cos ϕ’ le nouveau facteur de puissance désiré et I’ le nouveau courant absorbé qui en découle.

On peut alors faire le bilan des puissances et appliquer le théorème de Boucherot :

Puissances réactives Puissances actives

Charge R, L Q = UI sin ϕ = P tanϕ P

C seul Qc = - U² Cω P_c = 0

Charge R, L + C en // Q’ = UI’sinϕ’ P’ = UI’cosϕ’

On a : U I’ sinϕ’ = P tanϕ - Cω U²

et : UI’cosϕ’ = UIcosϕ => I’ = I cosϕ/cosϕ’

donc : U(I cosϕ/cosϕ’) sinϕ’ = P tanϕ - Cω U² P tanϕ’ = P tanϕ - Cω U²

Z récepteur inductif

U I

Pertes joules en ligne : Elles augmentent quand cosϕ_u/i diminue.

C = P (tanϕ - tanϕ’) / ( ω U²)

Chapitre 7 – INDUCTANCE MUTUELLE I - DEFINITION

Considérons deux circuits filiformes indéformables :

M est l’inductance mutuelle des deux circuits.

Contrairement à l’inductance propre, M dépend de l’orientation :

II - FLUX

Pour chaque circuit, on a ϕ = ϕ_p + ϕ_ext

Donc : ϕ₁ = ϕ_p1 + ϕ_2->1 et ϕ₂ = ϕ_p2 + ϕ_1->2 = L₁ i₁ + M i₂ = L₂ i₂ + M i₁

III - FEM INDUITES

e₁ = - L₁ di₁/dt - M di₂/ dt e₂ = - L₂ di₂/dt - M di₁/ dt

IV - LOI D’OHM GENERALISEE

1 2

1 2 1 2

Couplage magnétique

Chapitre 9 – LE TRANSFORMATEUR I – INTRODUCTION

1°/ ROLE DU TRANSFORMATEUR

2°/ CONSTITUTION

Ceci est un schéma de principe. En réalité les deux enroulements sont imbriqués pour un meilleur couplage magnétique et une réduction des fuites magnétiques.

Le circuit magnétique est constitué d’un empilement de tôles isolées entre elles (feuilletage) afin de réduire les pertes magnétiques dues aux courants de Foucault.

Le dispositif est placé dans l’air ou dans un bain d’huile pour en assurer le refroidissement.

3°/ SYMBOLE

Récepteur Générateur

4°/ PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT

5°/ BORNES HOMOLOGUES

I₁ donne l’orientation de ϕ.

ϕ donne l’orientation de I₂.

La borne du secondaire homologue à la borne primaire est celle par laquelle entre le courant

II – MODELISATION DU TRANSFORMATEUR

1°/ LE SCHEMA EQUIVALENT Tension

primaire U1

sinusoïdale

U₁ I₁

U₂ I2

U1

I1

U2

I₂

L1p e1

r2

l

e2

l

r1

Rf

U1 U2

I₁ Tranfo parfait I₂

Propriété : Tout courant entrant par deux bornes homologues tendent à produire des flux de même sens.

2°/ SIGNIFICATION DES ELEMENTS a) Résistances

R₁ et r₂ sont les résistances des enroulements primaires et secondaires. Elles provoquent l’échauffement des bobinages et donc des pertes par effet joule : p_j = r1 I₁² + r₂ I₂²

b) Répartition des flux

Flux résultants en charge : I₁

U1

ϕ

ϕ

ϕ’

Bobinage primaire seul : La fmm N1 i1 crée un flux ϕ’1 qui se divise en ϕ_f1 et ϕ₁

ϕ’

=

U2

I2

ϕ

ϕ’

ϕ

Bobinage secondaire seul : La fmm N₂ i₂ crée un flux ϕ’₂ qui se divise en ϕ_f2 et ϕ₂

ϕ’

=

Ce flux …………. au flux ϕ₁ car il est créé par le courant induit i₂

I₁

U1 U₂

I₂

ϕ ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

Avec les deux bobinages :

ϕ = ϕ

= ϕ

=

Ce qui donne :

ϕ

=

ϕ

=

c) Inductances de fuites

Au flux de fuites, on associe des inductances de fuites :

l

= N

ϕ

/ I

l

= N

ϕ

/ I

d) Inductance principale

Elle est associée au flux canalisé par le circuit magnétique.

Elle est définie par : L_1p = N₁ϕ / I₁

e) Modélisation des pertes fer

Les pertes fer sont modélisées par la résistance R_f.

A cause d’elles, le courant I1 n’est pas déphasé de 90 ° par rapport à la fem induite dans l’enroulement primaire.

Rf ainsi déterminée est valable pour ω donnée car les pertes fer dépendent de la pulsation de la tension primaire, généralement fixe (f = 50 Hz).

Cette détermination dépend également de la valeur efficace de U₁ . En effet la courbe ϕ (i) n’est pas linéaire à cause de la saturation du circuit magnétique.

3°/ EQUATIONS ELECTRIQUES

Grandeurs instantanées Notation efficace complexe

Fem induites : e1 = e2 =

Rapport de transformation : m = e2 /e1 = E1

I1

I1a

I_1r

I₁ = I _1a + I _1r Courant actif

Courant réacitf magnétisant Pertes fer : E₁ I_1a = R_f I_1a ² => R_f = E₁ / I_1a

III – TRANSFORMATEUR A VIDE

1°/ EQUATIONS ELECTRIQUES A VIDE On a alors I₂ = 0.

Les équations électriques deviennent :

Puissance absorbée : P_1v très petite .

En conséquence, le courant absorbé au primaire est faible. On le notera I1v . I_1v << I_{1 n} nominal : utilisation normale.

On a alors U1 ≅ E_1v (en valeur efficace) 2°/ RAPPORT DE TRANSFORMATION Par suite le rapport de transformation devient :

Cette approximation est pratique expérimentalement car on ne peut ne peut acceder aux fem induites.

3°/ PUISSANCES MISES EN JEU A VIDE

P_1V = U₁ I_1v cos ϕϕϕϕ_1v = +

pertes joules a vide + pertes fer

Q1V = U1 I1v sin ϕϕϕϕ1v =

+

pertes magnétiques (fuites) + puissance magnétisante

Approximation : P_1v ≅ pertes fer et Q_1v ≅ puissance magnétisante.

IV – COMPARAISON DES FLUX EN CHARGE ET A VIDE

1°/ FLUX RESULTANT A VIDE ET EN EN CHARGE

Le flux canalisé par le circuit magnétique est dû uniquement à la fmm

A vide I₂= 0 ϕ_v =

En charge : I₂ ≅ 0

Le flux canalisé par le circuit magnétique

est dû aux fmm ϕ =

avec ϕ2 qui s’oppose à ϕ1

On peut écrire les lois d’Hopkinson en faisant apparaître la réluctance R du circuit magnétique :

N1 i1v = R ϕ1v

N₁ i₁ + N₂ i₂ = R ϕ

Le flux en charge est légèrement plus faible qu’à vide, mais on néglige cette petite différence :

N1 i1 + N2 i2 = R ϕ Ζ R ϕ_1v = N1 i1v

Ainsi on peut écrire : En notation complexe :

V – HYPOTHESE DE KAPP

1°/ HYPOTHESE DE KAPP

On néglige le courant primaire à vide : I1v << I1 => On néglige les pertes fer.

2°/ EQUATION DES AMPERES TOURS En notation complexe : N1 I1 + N2 I2 = 0

3°/ SCHEMA EQUIVALENT

Equations électriques :

m = N2 / N1 ≅ - U2v / U1 = - I1 / I 2

e1

r2

l

e2

l

r1

U1 U2

I₁ Tranfo parfait I₂

N₁ i₁ + N₂ i₂ = N₁ i_1v N₁ I₁ + N₂ I₂ = N₁ I_1v

C’est l’équation des ampères-tours

4°/ EQUATIONS RAMENEES AU SECONDAIRE

D’où :

L ‘Equation électrique s ‘écrit finalement :

Avec : Rs = r2 + m² r1 et Xs = (

l

l

Le schéma équivalent ramené au secondaire devient :

Chute de tension en charge :

I 1 = - m I2 ; U 2v = - m U1 et E 2 = m E1

-E2 = - U2 - r2 I2 - j l2 ωωωω I2

U₁

I₁

E₁

Rs X_s

U_2v ^U2

I2

I2

U2

RsI2

X_sI₂ U_2v

ϕ₂

I2

U₂ A

B

U_2v

K H

ϕ2 ϕ2

On a vu que :

U_1cc réduite I1cc

E1

Rs X_s

U2v = - mU1cc U2 = 0

I2cc

5°/ DETERMINATION EXPERIMENTALE DES ELEMENTS DU MODELE EQUIVALENT

a) Détermination de m par essai à vide

La puissance consommée par le transformateur correspond alors au pertes fer : P_1v = p _fer

b) Détermination de Rs et Xs par essai en court circuit

La puissance absorbée par le transformateur est alors :

P1cc = R1 I1cc2 + p fer cc + R2 I2cc2 = R1 (mI2cc)² + R2 I2cc2 = (m² R1 + R2 ) I2cc2

= Rs I_2cc²

Ainsi, on déduit Rs de la mesure de la puissance absorbée lors d’un essai en court-circuit sous tension réduite :

L’équation électrique du secondaire donne : On peut donc déduire Xs :

Pythagore donne : Xs =

c) Rendement

Le rendement du transformateur peut alors être calculé pour un fonctionnement normal : η = U2 I2 cos ϕ2 / ( U2 I2 cos ϕ2 + pertes fer + Rs I22

) Rs I2cc

Xs I_2cc - mU_1cc

Attention : cet essai est réalisé sous tension primaire réduite !!!

sinon I_2CC >> I_2nominal => le tranfo fume

Négligeable car sous tension primaire réduite

Il suffit de mesurer à l’aide d’un voltmètre en AC la valeur efficace de la tension secondaire à vide et celle de la tension primaire, puis de calculer le rapport des deux.

m Ζ U_2v / U₁ (val eff)

Chapitre 10 – LE TRIPHASE

I – TENSIONS SIMPLES

Cela permet de définir trois tensions appelées tensions simples (notées V1 , V2

et V₃ entre chaque phase et la masse.

Les chronogrammes de ces trois tensions simples sont les suivants :

On constate que chaque tension simple est en retard de 2π/3 par rapport à la précédente.

Ce qui permet de tracer le diagramme de Fresnell :

Le tableau d’arrivée d’une alimentation triphasée comporte 4 bornes : 1,2,3 et N.

Les bornes 1,2 et 3 sont reliées aux fils de phase.

La borne N est reliée au fil neutre.

On peut écrire les relations instantanées suivantes :

On constate qu’à chaque instant : v₁ + v₂ + v₃ = 0 : le système triphasé est dit équilibré.

II – TENSIONS COMPOSEES

Ce sont les tensions entre deux fils de phase.

Ainsi, à chaque instant : u₁₂ = v₁ – v₂

Le diagramme de Fresnell complet a l’allure suivante :

On remarque que le système des tensions composées constituent également un système triphasé équilibré : à chaque instant leur somme est nulle.

Réseau EDF :

V = 220 V entre phase et neutre (installation domestique)

U = 220.√3 = 380 V entre phases (installations industrielles).

D’ou la relation

On peut écrire les expressions instantanées suivantes :

u₁₂ =U_m sin (ωt + π/6) u23 =Um sin (ωt - π/2) u₃₁ =U_m sin (ωt - 7π/6)

III – COUPLAGE ETOILE

1°/ Récepteur symétrique

Le diagramme de Fresnell présente l’allure suivante :

2°/ Récepteur dissymétrique

Le système d’alimentation est triphasé équilibré.

Si les trois phases du récepteurs sont différentes, il est dit dissymétrique.

Chaque phase du récepteur est soumise à une tension simple.

Le système d’alimentation est triphasé équilibré.

Si les trois phases du récepteurs sont identiques, il est dit symétrique.

Le système des courants est alors un système triphasé équilibré et :

i1 + i2 + i3 = iN = 0

Chaque tension simple est déphasée de ϕ par rapport au courant dans la phase considérée. Ce déphasage est apporté par l’impédance Z de la phase.

i₁ = I_m sin (ωt - ϕ) i₂ = I_m sin (ωt -2π/3 - ϕ) i₃ = I_m sin (ωt -4π/3 - ϕ)

Les déphasages tension-courant pour chaque phase et les valeurs efficaces des courants sont différents. Le système triphasé de courant n’est plus équilibré.

On a alors :

i1 + i2 + i3 = iN ≅≅≅≅ 0

IV – COUPLAGE TRIANGLE 1°/ Récepteur symétrique

Chaque courant de ligne i peut être exprimé en fonction des courant circulant dans les phases du récepteur.

On peut écrire : i ₁ = j ₁₂ – j ₃₁ i ₂ = j ₂₃ – j ₁₂ i ₃ = j ₃₁ – j ₂₃ D’où la représentation de Fresnell suivante :

2°/ Récepteur dissymétrique

Les trois phases du récepteur sont différentes.

Il faut à partir des tensions composées, déterminer les courants dans les phases du récepteur et en déduire les courant dans les lignes.

Chaque phase du récepteur est soumise à une tension simple.

Le système d’alimentation est triphasé équilibré.

Si les trois phases du récepteurs sont identiques, il est dit symétrique.

Les courants de ligne i₁, i₂, i₃ constituent un système triphasé équilibré.

Les valeurs efficaces des courants dans les lignes et dans les phases du

récepteur sont reliées par la relation : I = J √3

Q = √3 UI sin ϕ

Q = √3 UI sin ϕ

V – PUISSANCES EN TRIPHASE 1°/ Récepteur en étoile

On a : P = 3 P1 = 3 VI cos ϕ = 3 (U/√3) I cos ϕ =>

De même :

2°/ Récepteur en triangle

On a : P = 3 P₁ = 3 UJ cos ϕ = 3 U (I/√3) cos ϕ =>

De même :

3°/ En conclusion

Dans tous les cas :

Avec : U tension entre phase de la ligne I courant dans la ligne

ϕ déphasage apporté par une phase du récepteur

P = √3 UI cosϕ

P = √3 UI cosϕ

P = √3 UI cosϕ

=> S = √3 UI Q = √3 UI sin ϕ

IUT BELFORT MONTBELIARD Dpt Mesures Physiques

TD ELECTROTECHNIQUE n° 1

Avec l’aide du cours, faire une fiche faisant apparaître les points essentiels du chapitre 1 et les formules accompagnées de leurs conditions d’application.

Exercice 1 – Champ magnétique créé par un fil rectiligne parcouru par un courant I.

En utilisant la loi de Biot et Savart, on souhaite exprimer le champ magnétique créé au point M situé à la distance R du fil.

1°/ Exprimer le champ magnétique dB créé par un élément de longueur dl en fonction de dl et θ.

2°/ La position de dl étant repérée par l’abscisse –x, exprimer dl en fonction de θ.

3°/ En déduire dB en fonction de la seule variable θ. (I et R interviennent comme constantes du problème).

4°/ En déduire l’expression de B en fonction de θ₁ et θ₂ .

Exercice 2 – Spire circulaire parcourue par un courant I

1°/ Sur la figure ci-dessus, représenter les vecteurs dB et dB’ créés par les éléments de longuer dl et dl’ du fil.

2°/ Que peut-on dire du vecteur champ magnétique dB quand l’élément de longueur décrit la spire ? En déduire la direction du champ magnétique résultant.

M R

I

θ1 θ₂

θ r

M dl

R -x

O

α M R

I dl

dl’

3°/ Exprimer le champ magnétique élémentaire dB créé par dl et sa projection sur l’axe de la spire.

4°/ En déduire l’expression du champ magnétique total au point M.

5°/ Exprimer le champ magnétique au centre de la boucle.

Exercice 3 – Champ magnétique sur l’axe d’un solénoïde de rayon R, comportant N spires uniformément réparties sur une longueur L.

1°/ Exprimer le nombre de spires dN que comporte un élément de longueur dx du solénoïde.

2°/ Exprimer le champ magnétique dB créé au point P par les dN spires.

3°/ En déduire l’expression du champ magnétique au point P en fonction de α₁ et de α₂ .

dx α

0 x P R

P

α1 α2

IUT BELFORT MONTBELIARD Dpt Mesures Physiques

TD ELECTROTECHNIQUE n° 2

Avec l’aide du cours, faire une fiche faisant apparaître les points essentiels du chapitre 2 et les formules accompagnées de leurs conditions d’application.

Exercice 1 – Fil conducteur rectiligne infini

Utiliser le théorème d’Ampère pour exprimer le champ magnétique créé par un conducteur rectiligne infini en un point M situé à une distance R du fil.

Exercice 2 – Bobine torique

On considère un tore en matériaux ferromagnétique sur lequel est enroulé un bobinage constitué de N spires. Soit R le rayon moyen du tore.

Exprimer le champ magnétique à l’intérieur du tore en appliquant le théorème d’Ampère.

Exercice 3 – Solénoïde infini

On considère un solénoïde sans noyau, comportant n spires par unité de longueur.

En utilisant le théorème d’Ampère, exprimer le champ magnétique à l’intérieur du solénoïde.

IUT BELFORT MONTBELIARD Dpt Mesures Physiques

TD ELECTROTECHNIQUE n° 3

Exercice 1 – Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique On considère une particule de charge q et de masse m est placée dans un champ magnétique B uniforme et animée d’une vitesse initiale v0.

1°/ Déterminer les caractéristiques de la force agissant sur cette particule.

2°/ Justifier le type de trajectoire suivie par la particule, on négligera l’action de la pesanteur. Préciser les caractéristiques de son accélération.

3°/ Exprimer le rayon R de la trajectoire en fonction de m, v, B et q.

4°/ Exprimer la période et la fréquence du mouvement.

5°/ Application numérique : La particule est un proton de vitesse v = 3.10⁷ m/s, B = 0,05 T, m = 1,6.10^-27 kg, q = 1,6.10^-19 C

Principe spectrographie de masse

Exercice 2 – Effet Hall

Un morceau parallélépipédique de matière conductrice ou semi-conductrice est parcourue par un courant et placée dans un champ magnétique B perpendiculaire à la vitesse des électrons (voir figure).

1°/ Dessiner puis déterminer les caractéristiques de la force agissant sur les électrons.

B v0

q

2°/ La déviation des électrons sous l’action des forces de Lorentz, fait apparaître une accumulation de charges sur les faces supérieures et inférieures du parallélépipède.

Dessiner le vecteur champ électrique qui apparaît et la force électrostatique agissant sur l’électron.

3°/ Expliquer pourquoi en régime permanent, la force résultante est nulle. En déduire l’expression de la différence de potentiels U apparaissant entre les deux faces en régime permanent.

4°/ Exprimer le courant électrique I en fonction de la densité volumique n de charges.

5°/ En déduire l’expression de |U| en fonction de I, B, q, n et l.

Exercice 3 – Effet Hall

Une plaquette de cuivre d’épaisseur 3 mm est parcourue par un courant de 12 A et est placée perpendiculairement à un champ magnétique B.

La tension de Hall mesurée est de 1,5 µV. Sachant que la densité volumique d’électrons est n = 8,5. 10²⁸ e-/m³, déterminer le module du champ magnétique.

Exercice 4 – Galvanomètre

Un galvanomètre est un appareil permettant de mesurer des courants électriques de très faible intensité. Il est constitué d’un cadre bobiné, mobile autour d’un axe, parcouru par le courant électrique à mesurer et placé dans un champ magnétique extérieur. Un système de ressort engendre un couple de torsion dont le moment est proportionnel à l’angle de rotation du cadre : C = kα

B

v B

I

L

l

Montrer que quand le cadre est en position d’équilibre, l’angle α dont il a tourné est proportionnel au courant mesuré I.

α

α

α

α