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Academic year: 2022

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Texte intégral

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Lycée Polyvalent Régional Jean-Mermoz PHYSIQUE

68300 SAINT-LOUIS EXERCICES

1. FIBRES OPTIQUES MULTIMODALES A SAUT D’INDICE ET A GRADIENT D’INDICE.

1.1 Fibre à saut d'indice

Une fibre à saut d'indice F1 a les caractéristiques suivantes : - indice constant du cœur : n1 = 1,445

- indice constant de la gaine : n2 = 1,425 - diamètre du coeur : 2a = 62,5 µm

- ouverture numérique :ON n12 n22

1.1.1 Angle d'acceptance

Calculer l'angle maximal d'admission 0 max, ou angle d'acceptance de la fibre, dans le cas où le milieu externe est l'air.

1.1.2 Délai modal

On parcourt une longueur L de la fibre. Exprimer en fonction de n1 , n2 ,c et L , le délai modal maximal tm, c'est-à-dire la différence de temps entre le mode axial et le mode guidé le plus incliné sur l'axe.

Calculer ce délai pour 2,5 km de fibre.

1.2 Fibre à gradient d'indice

Une fibre à gradient d'indice F2 a un cœur dont l'indice possède un profil parabolique

n r n r

( ) .(  a )





1

2

1 pour r a n(r) = n(a) = n2 pour r a n1 est la valeur de l'indice sur l'axe du cœur (r = 0) n(r) est la valeur de l'indice à la distance r de l'axe n2 = n(a) est la valeur constante de l'indice de la gaine.

a est le rayon du cœur.

 est la différence relative d'indice : n1nn2

1

On donne :  = 10-2 n1 = 1,445 2a = 62,5 µm

1.2.1 Angle d'acceptance

Pour une telle fibre, on définit l'ouverture numérique locale ON(r0) ON( )r n( )r n

0 0

2 22

pour

chaque valeur de r0 , distance par rapport à l’axe du point d’impact du rayon incident sur l‘interface air-cœur.

Exprimer ON(r0) en fonction de r0 ,n1 ,  et a.

Calculer l'ouverture numérique maximale ONmax.

En remarquant que «1 et en utilisant la formule d'approximation (1)n  1 n si  est très petit, exprimer ON(r0) en fonction de ONmax., r0 et a. Représenter ON(r0) en fonction de r0.

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En déduire la valeur maximale de l'angle d'acceptance 0 max.

Que vaut l'angle d'acceptance pour des rayons entrant à r0 = a/2 de l'axe de la fibre ?

1.2.2 Equation différentielle de la trajectoire d'un rayon se propageant dans un plan méridien.

Le plan est repéré par le système d'axes Oz (axe de la fibre) et Or (axe radial).

Dans la tranche élémentaire comprise entre r et r+dr, on considère l'indice constant et égal à n(r) ; il y a réfraction sur le dioptre séparant deux tranches élémentaires, l'indice passant de n à n+dn.

1.2.2.1 Montrer que la quantité n.cos  se conserve lors de la propagation.

1.2.2.2 Différencier cette relation n.cos  = Cste, et modifier l'équation différentielle obtenue en remarquant que tan( )  dr

dz (voir schéma) ce qui invite à l'écrire en fonction ded

dz

1.2.2.3 Dériver l'équation tan( )  dr

dz pour exprimer d

dz

1.2.2.4 Différencier l'équation n n r

r a

( ) .(   )





1

2

1 pour exprimer dn en fonction de dr, L'équation différentielle prend alors une forme que l'on simplifiera en tenant compte du fait que n1 n et que cos2  est voisin de 1. On arrive ainsi à la forme simple :

d r dz

2 r

2 2 0

1.2.3 Equation de la trajectoire d'un rayon se propageant dans un plan méridien Vérifier que la solution de cette équation est de la forme :

r = A cos (z/) + B sin (z/)

Déterminer l’expression littérale de la période spatiale des trajectoires. Calculer sa valeur numérique.

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2. ETUDE D’UNE LENTILLE A GRADIENT D’INDICE

Une lentille à gradient d’indice est un petit tube de longueur L, de diamètre  , dont l’indice varie en fonction de la distance r du point considéré à l’axe suivant la loi :

(relation a) : n = n0 (1- A r2 /2)

1. Représenter l’allure de la courbe n = f(r) si : n0 = 1,551 ; A= 0,483 mm-1 ;  = 1,0mm

2. Justifier la validité des 2 expressions suivantes le long de la trajectoire d’un rayon lumineux dans la lentille à gradient d’indice :

(relation b) : n.cos  = constante où  est l’inclinaison de la trajectoire par rapport à l’axe

(relation c) : tan  = dr/dz

3. Dériver par rapport à z les relations a et b. En déduire une relation entre d /dz et r.

4. Dériver c par rapport à z et l’introduire dans l’expression précédente Montrer qu’en faisant des approximations justifiées on obtient :

(relation d) : d2r/dz2 + A.r = 0 5. Montrer que r = C.sin( Az+ ) est solution de d)

6. Calculer le pitch  (période spatiale des sinusoïdes) avec les valeurs du 1. Quelle longueur a une lentille quart de pitch ? Intérêt ?

7. Calculer l’O.N.max de cette lentille.

3. GUIDAGE DANS GUIDE D’ONDE PLAN.

Conditions de réflexion totale.

L’étude sera faite dans un plan perpendiculaire au guide.

a) On considère le dioptre séparant le milieu central (épaisseur e = 6 m ; indice n1 = 1,50) et les milieux extrêmes (indice n2 = 1,46) d’un guide plan à saut d’indice. Quelle est la condition sur l’angle d’incidence , d’un rayon arrivant sur ce dioptre, qui permet d’obtenir la réflexion totale ? Déterminer la valeur limite de .

b) En déduire la valeur limite de l’angle d’acceptance a dans l’air et l’ouverture numérique du guide.

Modes.

a) On suppose que la réflexion sur les dioptres de séparation se fait sans déphasage. Calculer, en vous appuyant sur un schéma, la différence de marche  entre deux rayons successifs se propageant dans des directions parallèles.

b) On a un mode de propagation lorsque les ondes interfèrent de manière constructive. Montrer que le nombre total N de modes est donné par :

NEnt( . .e ON 2 )

1

0

c) Combien peut-on prévoir de modes si 0 = 0,63 µm ?

d) Calculer l’espace angulaire moyen (la différence d’inclinaison) entre deux modes consécutifs dans le guide.

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