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T1.1. Effusion gazeuse.
1. Expressions de dN1 2 et dedN2 1 .
Les molécules qui passent de (1) vers (2) pendant la durée dt sont comprises dans un cylindre de longueur udt et de base S.
Cependant seulement 1/6 des molécules contenues dans ce cylindre possède un vecteur vitesse ayant la bonne orientation. On a donc :
1 1 2
( ) 1 6
dN N t uSdt
V
Une démarche identique conduit à écrire :
2 2 1
( ) 1 6
dN N t uSdt
V
2. Expressions de dN1
dt et dedN2 dt .
Entre les dates t et t + dt, le nombre de molécules contenues dans (1) a varié de :
1 1( ) 1( ) 2 1 1 2
dN N t dt N t dN dN
1
2 1
1 ( ) ( )
6
dN uS
N t N t
dt V
Or 1( ) 2( ) et dN 0 car le système est fermé.
N N t N t
dt D’où :
2
2 1
1 ( ) ( )
6
dN uS
N t N t dt V 3. Expressions de N t1( )etN t2( ). On a :
1
2 1
1 ( ) ( )
6
dN uS
N t N t
dt V et N t2( )N N t 1( )
1
1
1 2 ( )
6
dN uS
N N t dt V
1
1
1 1
3 ( ) 6
dN uS uS
N t N
dt V V
La solution de cette équation différentielle est de la forme :
1
( ) exp 1
3 2
uS N
N t K t
V
Or à t =0 : 1( 0)
2 2
N N
N t N K K . Soit :
1
1
( ) 1 exp avec 3
2 lim ( )
2
t
N t V
N t uS
N t N
De même :
2
2 1
1 ( ) ( )
6
dN uS
N t N t
dt V et N t1( )N N t 2( )
2
2
1 2 ( )
6
dN uS
N t N
dt V
2
2
1 1
3 ( ) 6
dN uS uS
N t N
dt V V
La solution de cette équation différentielle est de la forme :
2
( ) 'exp 1
3 2
uS N
N t K t
V
Or à t =0 : 2( 0) 0 '
2 2
N N
N t K K . Soit :
2
2
( ) 1 exp avec 3
2 lim ( )
2
t
N t V
N t uS
N t N
On a donc pour : 1 2
2
t N N N . La densité moléculaire évolue vers l’uniformité.
4. Variation de avec m.
On a : 3V
uS or
1
3k TB 2
u m
. Il s’ensuit que cette durée caractéristique est proportionnelle à la racine de la masse : l’effusion des molécules est donc plus lente.
Si l’on considère un mélange d’un corps A dont les molécules ont une masse supérieure à celle d’un corps B participant à ce mélange, l’effusion du corps B sera donc plus rapide et si l’on referme le trou S avant que l’équilibre ne soit atteint, le compartiment (1) se retrouvera enrichi an molécules du corps A.
