UNE FIGURE OUVRANT DES PERSPECTIVES

(1)

UNE FIGURE OUVRANT DES PERSPECTIVES

La tolérance atteindra un tel niveau que les personnes intelligentes seront interdites de toute réflexion afin de pas offenser les imbéciles

Jean-Louis AYME ¹

O

A

C B

A'

C'

B'

K J

I

Résumé. L'auteur présente des triangles en perspective.

Les figures sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement.

Abstract. The author presents perspective triangles.

The figures are all in general position and all cited theorems can all be demonstrated synthetically.

1 St-Denis, Île de la Réunion (Océan Indien, France), le 18/02/2023 ; [email protected]

(2)

Sommaire

A. Récapitulation 3

B. Une chaîne de problèmes 5

Étape 1 : Le théorème de la simple perspective 6

Étape 2 : Le théorème de la double perspective 7

Étape 3 : Le théorème de la triple perspective 9

Étape 4 : Trois triangles deux à deux en perspective 11 Étape 5 : Trois triangles deux à deux en perspective 13 Étape 6 : Le théorème desmique de Floor van Lamoen 15 Étape 7 : Le théorème de Fontaine ou une ménélienne comme perspectrice 16

C. Lexique Français-Anglais 18

(3)

A. RÉCAPITULATION

1. La simple perspective 2. La double perspective

3. La triple perspective

4. Trois triangles deux à deux en perspective 5. Trois triangles deux à deux en perspective O

A C B

A'

C'

B'

K J

I

I J

B

A' C

B'

C' A

I

K

J A

A'

B

B' C' C

O

A C B

A'

B' C' C"

B"

A"

R M'

N' R' M

N

Y X Z

B'

A' C'

C A

B A"

B"

C" W

V U

(4)

6. Le théorème desmique de Floor van Lamoen : ABC et A"B"C" sont en perspectives

6. Le théorème desmique de Floor van Lamoen : la perspectrice (XYZ)

7. (AA"), (BB") et (CC") sont concourantes A

B C

P A'

B'

C' C"

B"

A"

A

B C

P A'

B'

C' C"

B"

A"

X

Y

Z

A

B C

C' B'

A' C"

A"

B"

(5)

B. UNE CHAÎNE DE PROBLÈMES

(6)

1. LE THÉORÈME DE

LA SIMPLE PERSPECTIVE

Sieur Girard Desargues Lyonnois ² Abraham Bosse (1648)

VISION

Figure :

O

A

C B

A'

C'

B'

K J

I

Traits : ABC un triangle,

A'B'C' un triangle tel que (AA') et (BB') soient concourantes,

O ce point de concours,

I, J, K les points d'intersection de (AB) et (A'B'), (BC) et (B'C'), (CA) et (C'A').

Donné : (CC') passe par O si, et seulement si, I, J et K sont alignés.³

Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l'auteur. ⁴ Ce résultat est aussi connu sous ''le théorème des deux triangles''.

2 Alias S.G.D.L. comme il signait lui-même ses écrits

3 Bosse A.,Perspective et de la Coupe des pierres (1648)

4 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie, G.G.G. vol. 6, p. 40-44 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

(7)

LA DOUBLE PERSPECTIVE

VISION

Figure :

I J

B

A' C

B'

C' A

Traits : ABC, A'B'C' deux triangles

tels que * ABC et A'C'B' soient en perspective de centre I

* ABC et B'A'C' soient en perspective de centre J.

Donné : ABC est en perspective avec C'B'A'.

VISUALISATION

I J

B

A' C

B'

C' A

K

1

2 3 4

6 5

• Notons K le point d'intersection de (AC') et (BB').

• D'après Pappus d'Alexandrie "La proposition 139, scolie" ⁵,

(KCA') est la pappusienne de l'hexagone sectoriel de Pappus AC'JBB'IA de frontières (JA) et (IB).

• Conclusion : d'après Girard Desargues "Le théorème des deux triangles" ⁶, ABC et C'B'A' sont en perspective de centre K.

(8)

Commentaire : deux triangles en double perspective sont en fait en triple perspective.

Scolie : formulation d'une règle A B C

A' C' B' en perspective

et A B C d'où A B C

B' A' C' en perspective C' B' A' en perspective.

(9)

LA TRIPLE PERSPECTIVE

VISION

Figure :

I

K

J A

A'

B

B' C' C

Traits : ABC, A'B'C' deux triangles

tels que * ABC et A'B'C' soient en perspective de centre I

* ABC et C'B'A' soient en perspective de centre J

* ABC et A'C'B' soient en perspective de centre K.

Donné : ABC est en perspective avec B'A'C'.

VISUALISATION

I

K

J A

A'

B

B' C' C L

1

2 3 4

5 6

• Notons L le point d'intersection de (AB') et (A'B).

• D'après Pappus d’Alexandrie "La proposition 139, scolie" ⁷,

(LCC') est la pappusienne de l'hexagone sectoriel de Pappus AB'KBA'JA de frontières (IK) et (IJ).

(10)

• D'après l'axiome d'incidence Ia, L, C', C et I sont alignés.

• Conclusion : d'après Girard Desargues "Le théorème des deux triangles" ⁸, ABC et B'A'C' sont en perspective de centre L.

Commentaire : deux triangles en triple perspective sont en fait en quadruple perspective.

Scolie : formulation d'une règle esthétique A B C

A' B' C' en perspective A B C

A' C' B' en perspective

et A B C d'où A B C

C' B' A' en perspective B' A' C' en perspective.

(11)

4. TROIS TRIANGLES DEUX À DEUX EN PERSPECTIVE⁹

John Casey (1881)

VISION

Figure :

Y X Z

B'

A'

C'

C

A

B A"

B"

C" W

V

U

Traits : ABC, A'B'C', A"B"C" trois triangles deux à deux en perspective, U, V, W les centres de perspective de

* ABC et A"B"C"

* ABC et A'B'C'

* A'B'C' et A"B"C",

et X, Y, Z les points de concours de

* (BC), (B'C'), (B"C")

* (CA), (C'A'), (C"A")

* (AB), (A'B'), (A"B").

Donné : si, X, Y et Z sont alignés alors, U, V et W sont alignés.

9 Casey J., A sequel to Euclid, Book VI, propositions 13 (1881) 77

(12)

VISUALISATION

Y X Z

B'

A'

C'

C

A

B A"

B"

C" W

V

U

• Scolie : (XYZ) est l'axe commun de perspective de ABC, A'B'C' et A"B"C".

• D'après Girard Desargues "Le théorème des deux triangles" ¹⁰

appliqué à A'B'C' et A"B"C", (A'A"), (B'B") et (C'C") sont concourantes en W.

• D'après Girard Desargues "Le théorème des deux triangles" ¹¹, (YCA) étant l'axe de perspective des triangles A'C'V et A"C"U,

(A'A"), (C'C") et (VU) sont concourantes en W.

• Conclusion : U, V et W sont alignés.

Énoncé traditionnel :

si, trois triangles pris deux à deux sont en perspectives et

ont en commun le même axe de perspective alors, les trois centres de perspective sont alignés.

(13)

5. TROIS TRIANGLES DEUX À DEUX EN PERSPECTIVE¹²

John Casey (1881)

VISION

Figure :

O

A C B

A'

B' C' C"

B"

A"

R M'

N'

R' M

N

Traits : ABC, A'B'C', A"B"C" trois triangles deux à deux en perspective, O le centre de perspective de ABC et A"B"C",

ABC et A'B'C', A'B'C' et A"B"C",

M, M' les points de concours resp. de (AB) et (A'B'), (AC) et (A'C'), N, N' les points de concours resp. de (AB) et (A"B"), (AC) et (A"C"), et R, R' les points de concours resp. de (A'B') et (A"B"), (A'C') et (A"C").

Donné : si, O est le centre commun de perspective alors, (MM'), (NN') et (RR') sont concourantes.

VISUALISATION

12 Casey J., A sequel to Euclid, Book VI, propositions 14 (1881) 77

(14)

O

A C B

A'

B' C'

C"

B"

A"

R M'

N'

R' M

N

• Scolie : (MM'), (NN') et (RR') sont resp. les axes de perspective de

* ABC et A'B'C'

* ABC et A"B"C"

* A'B'C' et A"B"C".

• Par hypothèse, A, A' et A" sont alignés.

• Conclusion : d'après Girard Desargues "Le théorème des deux triangles" ¹³, (AA"A') étant l'axe de perspective des triangles MNR et M'N'R', (MM'), (NN') et (RR') sont concourantes.

Énoncé traditionnel :

si, trois triangles pris deux à deux sont en perspectives et

ont en commun le même centre de perspective alors, les trois axes de perspective sont concourants.

(15)

DE

FLOOR VAN LAMOEN ¹⁴ (octobre 1997)

VISION

Figure :

A

B C

P A'

B'

C' C"

B"

A"

A'B'C' un triangle en perspective avec ABC,

P le centre de cette perspective

et A", B", C" les points d'intersection resp. de (BC') et (B'C), de (CA') et (C'A), de (AB') et (A'B).

Donné : ABC et A"B"C" sont perspectifs.

Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l'auteur. ¹⁵

14 Floor van Lamoen, Bicentric triangles, Nieuw Archief voor Wiskunde 17, 3 (1999) 363-372 http://home.wxs.nl/~lamoen/wiskunde/cross.html.

15 Ayme J.-L., Le théorème de Jacobi, G.G.G. vol. 5, p. 6-9 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

(16)

ALEXIS FONTAINE DES BERTINS OU

UNE MÉNÉLIENNE COMME AXE DE PERSPECTVIVE ¹⁶ (1851)

VISION

Figure :

A

B C

C' B'

A' C"

A"

B"

(A'B'C') une ménélienne de ABC,

et A", B", C" le point d'intersection resp. de (BB') et (CC'), (CC') et (AA'), (AA') et (BB').

Donné : (AA"), (BB") et (CC") sont concourantes.

VISUALISATION

16 Fontaine A. (des Bertins), Nouvelles Annales, tome V, 154 ; tome VI, 71 ; (1851) 196

(17)

A

B C

C' B'

A' C"

A"

• Conclusion : d'après Girard Desargues "Le théorème des deux triangles" ¹⁷, (C'A'B') étant l'axe des triangles perspectifs ABC et A"B"C", (AA"), (BB") et (CC") sont concourantes.

Une courte biographie d'Alexis Fontaine des Bertins¹⁸

Fils du notaire royal Jacques Fontaine et de Madeleine Seytres, Alexis Fontaine des Bertins naît le 13 août 1704 à Claveyson (Drôme, France).

Après des études au Collège de Tournon, il s'installe près de Paris en 1732 et commence des études de

mathématiques. En 1733, suite à un mémoire présenté à l'Académie des Sciences, il rejoint cette institution et est promu Géomètre en 1739.

I décède le 21 aoüt 1711 à Cuiseaux (Saöne-et-Loire, France)

18 Mac Tutor (St Andrews, Écosse); https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Fontaine_des_Bertins/

Alexis Fontaine des Bertins ; https://en.wikipedia.org/wiki/Alexis_Fontaine_des_Bertins

(18)

C. LEXIQUE FRANÇAIS - ANGLAIS

A

aligné collinear

annexe annex

axiome axiom

appendice appendix

adjoint associate

a propos by the way btw

acutangle acute angle

axiome axiom

B

bissectrice bisector

bande strip

C

centre incenter

centre du cercle circonscrit circumcenter

cercle circonscrit circumcircle

cévienne cevian

colinéaire collinear

concourance concurrence

coincide coincide

confondu coincident

côté side

par conséquence consequently

commentaire comment

D

d'après according to

donc therefore

droite line

d'où hence

distinct de different from

E

extérieur external

F

figure figure

H

hauteur altitude

hypothèse hypothesis

I

intérieur internal

identique identical

i.e. namely

incidence incidence

L

lemme lemma

lisibilité legibility

M

mediane median

médiatrice perpendicular bissector

milieu midpoint

N

Notons name

nécessaire necessary

note historique historic note

O

orthocentre orthocenter

ou encore otherwise

P

parallèle parallel

parallèles entre elles parallel to each other

parallélogramme parallelogram

pédal pedal

perpendiculaire perpendicular

pied foot

point de vue point of view

postulat postulate

point point

pour tout for any

Q

quadrilatère quadrilateral

R

remerciements thanks

reconnaissance acknowledgement

respectivement respectively

rapport ratio

répertorier to index

S

semblable similar

sens clockwise in this

order

segment segment

Sommaire summary

symédiane symmedian

suffisante sufficient

sommet (s) vertex (vertice)

T

trapèze trapezium

tel que such as

théorème theorem

triangle triangle

triangle de contact contact triangle triangle rectangle right-angle triangle