HAL Id: jpa-00209172
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Submitted on 1 Jan 1979
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Quelques aspects nouveaux d’un vieux problème : l’aimantation d’un polycristal
J.L. Porteseil, R. Vergne
To cite this version:
J.L. Porteseil, R. Vergne. Quelques aspects nouveaux d’un vieux problème : l’aimantation d’un poly-
cristal. Journal de Physique, 1979, 40 (9), pp.871-881. �10.1051/jphys:01979004009087100�. �jpa-
00209172�
Quelques aspects nouveaux d’un vieux problème :
l’aimantation d’un polycristal
J. L. Porteseil et R. Vergne
Laboratoire Louis Néel (*), C.N.R.S. 166X, 38042 Grenoble Cedex
(Reçu le I S mars 1979, accepté le 29 mai 1979)
Résumé.
-Ce travail est consacré à l’étude des mécanismes d’aimantation par déplacements des parois de Bloch
dans les polycristaux ferromagnétiques ou plus généralement par évolution de la structure en domaines élémen- taires. On commence par rappeler certains résultats concernant le comportement d’une paroi de Bloch isolée, la statistique des interactions magnétostatiques dans une structure en domaines complexe, et la simulation analo-
gique de processus irréversibles couplés. En combinant ces divers renseignements, et au prix d’hypothèses simpli- ficatrices, on étudie dans quelles conditions le déplacement irréversible d’une paroi reste individuel, ou au con-
traire déclenche une avalanche de sauts dans la structure en domaines. On en déduit quatre équations différentielles décrivant la courbe de première aimantation et les cycles d’hystérésis. On compare les lois d’aimantation cal- culées et expérimentales pour trois échantillons différents : cobalt hexagonal, acier, fer pur. L’accord est très satisfaisant dans les domaines de champ et d’aimantation où les déplacements de parois restent le mécanisme pré- pondérant.
Abstract.
-This work is devoted to the study of magnetization processes due to Bloch wall motion in polycrystal-
line ferromagnets or, more generally, to the evolution of their domain structures. The first part is a review of some results about the behaviour of a single Bloch wall, the statistical features of magnetostatic couplings in a complex
domain structure, and the analog simulation of interacting, irreversible events. By combining those different kinds of information, under simplifying assumptions, we study the conditions under which the irreversible motion of a wall remains individual, or in the contrary, triggers an avalanche of jumps of the domain structure. Four diffe- rential equations describe the virgin curve and hysteresis loops. The calculated and measured magnetization laws
are compared for three different samples : hexagonal cobalt, steel, and pure iron. The agreement is quite satis- factory in the ranges of field and magnetization where wall motion is the predominant process.
Classification Physics Ahstract,s
75. 60E
1. Introduction. - Si l’on excepte quelques cas particuliers, la théorie des mécanismes d’aimantation et d’hystérésis dans les ferromagnétiques reste très
en retard par rapport aux utilisations pratiques de
ces matériaux. Une difficulté essentielle réside dans le fait qu’un échantillon ferromagnétique présente
un comportement irréversible obéissant à des équa-
tions hautement non linéaires. Dans ces conditions,
nous n’avons pas à l’heure actuelle, de description
entièrement satisfaisante pour des faits expérimentaux
aussi marquants que la courbe de première aimanta-
tion et les cycles d’hystérésis.
En ce qui concerne plus précisément les mécanismes d’aimantation par déplacements de parois de Bloch,
la solution du problème exige de répondre préalable-
ment aux deux questions suivantes :
-
comment se déplace une paroi de Bloch suppo- sée isolée lorsqu’elle est soumise à un champ magnéti- que ?
-
quels sont les effets des inévitables couplages
non linéaires entre parois dans une structure en
domaines ?
L’étude expérimentale des déplacements d’une paroi isolée [1, 2, 3] apporte un élément de réponse
à la première question. L’étude de structures en
domaines très simples comprenant quelques parois
de Bloch [4, 5] met en évidence le rôle essentiel des interactions magnétostatiques. D’autre part, le phé-
nomène de reptation des cycles dissymétriques [6, 7]
permet de caractériser, d’un point de vue statistique,
les interactions dans une structure en domaines très
complexe. Enfin, une simulation analogique [8] donne
(*) Laboratoire Propre du C.N.R.S., associé à l’Université
Scientifique et Médicale.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01979004009087100
des renseignements précieux sur l’effet de couplages
entre éléments non linéaires. Le but de ce travail est de montrer comment, en combinant ces diverses
informations, on peut aborder le calcul de la courbe d’aimantation d’un polycristal.
2. Déplacements d’une paroi isolée.
-Dans la
référence [1], nous avons étudié le comportement d’une paroi de Bloch isolée dans un monocristal de fer-silicium. Rappelons brièvement quelques résul-
tats : lorsque, après une désaimantation alternative,
on applique un champ magnétique croissant les déplacements de la paroi (’) se décomposent en une
succession de mouvements réversibles et irréversibles dont la figure 1 donne un exemple. Etant donnée leur faible amplitude, les déplacements réversibles
apparaissent à cette échelle comme des paliers prati-
quement horizontaux.
Fig. 1.
-Déplacements réversibles et irréversibles d’une paroi
de Bloch dans un monocristal de fer-silicium (courbe de première aimantation).
[Reversible and irreversible motion of a Bloch wall in a Fe-Si
single crystal (virgin curve).]
La figure 2 regroupe les résultats de plusieurs expé-
riences effectuées dans les mêmes conditions et montre que l’amplitude Ax des déplacements irréver-
sibles croît en moyenne avec le champ magnétique.
Un ajustement par une méthode de moindres carrés donne pour la taille des sauts dans un champ donné
la loi moyenne :
.où He est le champ coercitif, Ax est exprimé en microns
et a pour valeur 1,35. Cette loi est liée à la statistique
Fig. 2.
-Croissance de la taille des sauts d’une paroi isolée en fonction du champ magnétique (He
=28 mOe).
[Dependence of the size of jumps on the magnetic field (He
=28 mOe).]
des forces d’accrochage que les défauts du réseau exercent sur la paroi.
La susceptibilité irréversible est proportionnelle
au volume balayé irréversiblement par la paroi.
En ce qui concerne la courbe de première aimantation,
elle peut se mettre sous la forme :
où b est la constante de Rayleigh qui caractérise les variations d’aimantation irréversible dans les champs
faibles.
Sur la courbe de recul, la susceptibilité irréversible
dépend du champ maximum Hm qui a été atteint au
cours de la première aimantation. Elle est de la forme :
La comparaison des expressions (2) et (3) montre
que si, après une désaimantation, on applique succes-
sivement à l’échantillon les champs + Hm et - Hm,
l’aimantation irréversible prend successivement les valeur Jim et - J;m ; cette conclusion est bien vérifiée par l’expérience.
3. Interactions dans une structure en domaines
complexe.
-A cause des défauts du réseau cristallin, l’aimantation J dans un domaine élémentaire n’est pas un vecteur de direction constante. Il en résulte
une répartition aléatoire de pôles magnétiques dont
la densité est reliée à la divergence du vecteur J,
et par conséquent un champ de dispersion qui fluctue
en amplitude et direction dans le matériau. Lorsqu’une paroi de Bloch balaie un certain volume, la densité de pôles et la carte des champs de dispersion sont
(’) Il s’agit ici de déplacements affectant l’ensemble de la paroi,
celle-ci étant considérée comme une membrane se déplaçant
en bloc.
modifiées ; cela peut entraîner le déplacement d’autres parois.
On donne le nom de reptation au lent déplacement
vers le haut des cycles d’hystérésis décrits entre deux
limites de champ dissymétriques par rapport à
H = 0 [9] (Fig. 3). L’explication de ce phénomène,
donnée par Néel [10], fait justement intervenir les
champs de couplage dans le matériau magnétique.
Si l’on admet que la structure en domaines peut se modifier aléatoirement, au moins en partie, d’un cycle à l’autre, les champs de couplage prennent à chaque cycle de nouvelles valeurs. Il en résulte des accroissements irréversibles d’aimantation dans cer-
taines régions du matériau lorsque le champ de couplage, s’ajoutant au champ appliqué, permet aux parois de franchir certains obstacles. Par conséquent,
la reptation donne accès aux propriétés statistiques
des interactions dans une structure en domaines.
Fig. 3.
-Reptation des cycles d’hystérésis dissymétriques.
[Creep of dissymmetrical hysteresis loops.]
Nous avons étudié la reptation d’un échantillon
d’acier (2) ayant un champ coercitif He = 14,70e[6,7]
et nous en avons tiré les conclusions suivantes :
-
le phénomène de reptation n’apparaît que si le champ appliqué dépasse 3 Oe environ, soit sensible- ment 0,2 H,,. Au-dessous de ce seuil, une modifica- tion intervenant dans la structure en domaines ne
perturbe pas suffisamment la carte des champs d’inter-
action pour déclencher les déplacements irréversibles d’autres parois. On peut donc considérer qu’au-
dessous de ce seuil, chaque paroi se comporte comme si elle était isolée ;
-
soit h(x, y, z), la partie du champ de dispersion qui a été modifiée au cours des cycles successifs
par suite de l’évolution de la structure en domaines.
Il s’agit d’un vecteur aléatoire fluctuant dans l’espace,
dont la valeur moyenne est nulle et dont la valeur
quadratique moyenne hr = ( h2(x, y, Z) > est égale
au carré du champ de reptation. L’expérience montre
que hf est proportionnel au volume de matière aiman- tée remaniée au cours des cycles. Ce résultat peut
s’interpréter simplement en admettant [7, 9] que les fluctuations des champs de dispersion sont équi- parties sur les modes de l’espace réciproque dont les fréquences spatiales sont comprises entre 1/ L (L représentant les dimensions macroscopiques de l’échantillon) et 1/ô (ô étant l’épaisseur d’une paroi
de Bloch) (1) ;
-
enfin, le nombre des domaines et la surface totale 1 des parois sont des fonctions de l’aimantation J du matériau. Ils sont maxima dans l’état désaimanté et diminuent de plus en plus à l’approche des deux
états saturés. Nous avons constaté que les résultats
expérimentaux s’interprètent bien en prenant pour
E(J) une expression de la forme :
Une loi de ce type avait d’ailleurs été prévue depuis longtemps par Brown [12]. Nous avons posé
a
=IIJ,2. L’étude de l’anisotropie de la désaimanta- tion [13] suggère que Jm est la valeur de l’aimantation au-delà de laquelle il n’y a plus de déplacements de parois ou du moins où l’essentiel de la structure en
domaines n’évolue plus. Nous reviendrons ultérieure- ment sur ce point. Cette loi est valable pour l’échantil- lon d’acier considéré tant que la valeur absolue de J n’excède pas 1 000 u.e.m., JM valant 1 400 u.e.m.
4. Simulation de mécanismes d’aimantation irré- versibles couplés.
-De tels mécanismes sont difficiles à aborder d’un point de vue mathématique. Par
contre, ils se prêtent bien à une simulation analogique.
J. Vuillod [8] a construit un simulateur d’hystérésis
comprenant 30 circuits électroniques à deux états stables auxquels on peut appliquer une tension
commune U qui représente le champ magnétique.
Le basculement brusque d’un circuit de l’un à l’autre de ses états stables se produit pour une certaine valeur de la tension qui lui est appliquée et représente
le retournement irréversible d’un certain volume de matière aimantée. Affectons à chaque circuit un
indice i : la somme des tensions de sortie : V = £ V;
représente l’aimantation totale d’un échantillon. On peut simuler l’effet des couplages en réinjectant à
l’entrée de chaque circuit une tension :
(2) Les résultats qui suivent ne sont pas spécifiques de l’échan- tillon, mais sont des caractères généraux du phénomène de reptation.
Cet effet se retrouve dans de nombreuses substances. Pour qu’il existe, il faut qu’à une aimantation macroscopique donnée du matériau, puissent correspondre plusieurs structures en domaines ayant des énergies très voisines entre lesquelles il y a possibilité
de choix aléatoire au cours de cycles successifs.
(3) Remarquons que le champ de reptation hr apparaît dans l’espace réciproque comme une fraction du champ coercitif He (cf. [7], p. 210). Ce champ peut être considéré comme un révélateur de l’existence du caractère collectif des déplacements de paroi que
nous envisageons au paragraphe 5 de ce travail.
Cet appareil a déjà permis de reproduire des mécanis-
mes très particuliers observés sur des échantillons réels tels que les sauts négatifs et la bascule [5].
En répartissant convenablement les tensions de seuil et les tensions de sortie des divers circuits, il est possible de reproduire des lois d’aimantation analo- gues à celle d’une paroi réelle (Fig. 1). Pour simuler le comportement de deux parois couplées, on cons-
titue deux groupes égaux de circuits dont chacun
présente une telle réponse. On fait alors la somme des tensions de sortie de chaque groupe et, on réinjecte
cette tension de couplage sur l’autre groupe. La figure 4
met clairement en évidence l’effet des interactions ;
avant l’introduction des couplages, la réponse globale
est simplement la somme des réponses des deux
groupes. Elle reste comparable à celle de la figure 1.
L’introduction des couplages modifie profondément
la loi d’aimantation dont les variations deviennent
beaucoup plus rapides qu’en l’absence d’interactions ; cela est à rapprocher de résultats expérimentaux
concernant deux parois de Bloch couplées [4] et d’une paroi de Bloch unique (cf. réf. [2]) : apparition de grands sauts au voisinage de la vitesse critique x 1)’
Fig. 4.
-Simulation de la loi d’aimantation de deux parois de
Bloch : a) sans interaction (comparer à la figure 1) ; h) avec interaction.
[Analog simulation of the magnetization law of two Bloch walls :
a) without interaction (compare with figure 1) ; b) with interaction.]
De même, cet appareil permet de simuler l’effet de
couplages entre les déplacements irréversibles élé- mentaires de nombreuses parois (Fig. 5). Le point
de départ est une loi d’aimantation obtenue en choi- sissant au hasard les tensions de basculement et de sortie des 30 circuits. On simule ainsi des répartitions
aléatoires des champs de déclenchement des sauts d’une part, des volumes de ces sauts d’autre part.
On introduit alors progressivement entre tous les circuits des couplages qui peuvent être par exemple
Fig. 5.
-Simulation d’un cycle d’hystérésis à l’aide de 30 éléments
répartis au hasard : a) sans interactions ; h) avec interactions de grande amplitude.
[Analog simulation of a hysteresis loop with 30 circuits : a) with-
out interactions ; b) with strong interactions.]
tous positifs, ou encore aléatoirement positifs et négatifs. De nombreux essais nous ont conduits à la conclusion que la répartition des signes des couplages importe beaucoup moins que leur nombre et leur
amplitude. Dans l’exemple de la figure 5, les coeffi-
cients Cij sont répartis suivant une loi Gaussienne centrée ; il y a donc statistiquement autant de cou- plages positifs que négatifs. On peut résumer dans
ces conditions les caractéristiques des couplages par la variance des nombres aléatoires Cj. Lorsque ce
paramètre croît à partir de zéro, les sauts ont tendance
à se grouper par paquets de plus en plus importants,
et on obtient finalement un seul cycle correspondant
au basculement en bloc des 30 circuits. Ainsi, l’intro-
duction de couplages entre des éléments non linéaires fait apparaître un comportement collectif qui diffère
de plus en plus de la simple superposition des carac- téristiques individuelles. On obtiendrait des résultats
analogues si tous les Cij étaient positifs ; cette remarque
sera utile par la suite. La figure 5 est également à rapprocher du cycle d’hystérésis élémentaire mettant en évidence les deux types de déplacements d’une paroi de Bloch unique (cf. Fig. 1 de la référence [3]).
5. Essai de calcul des courbes d’aimantation d’un
polycristal.
-Dans ce chapitre, nous utiliserons les résultats précédents pour essayer de rendre compte des courbes de première aimantation et de recul de
polycristaux ferromagnétiques. Nous supposerons
a priori que leurs structures en domaines sont assez
complexes pour qu’une approche statistique soit
correcte, et que leurs anisotropies magnétocristallines
sont assez élevées. Dans cette première hypothèse,
il existe une large gamme de champs magnétisants
où les variations d’aimantation sont dues essentielle- ment aux déplacements de parois de Bloch, les méca- nismes de rotation étant alors négligeables. Cela
exclut en particulier le nickel et les substances à faible
anisotropie.
En un point donné d’une courbe d’aimantation,
il faut considérer une répartition des champs critiques
pour lesquels se déclenchent des sauts d’aimantation,
et une répartition des volumes de ces sauts (Fig. 6a).
Fig. 6.
-a) Séquence réelle de sauts de Barkhausen, les volumes et instants d’apparition sont aléatoires ; h) Schématisation de la
séquence réelle ; c) Exemple de regroupement des sauts par 3.
[a) A real sequence of Barkhausen jumps ; the volumes and times of occurrence are at random ; b) Schematic picture of the real sequence ; c) An example of jump clustering (n
=3).]
Nous simplifierons le problème en faisant les hypo-
thèses schématiques suivantes (Fig. 6b) :
-
En l’absence de renseignements sur la répartition
des champs critiques, nous poserons que l’intervalle
Li l’ entre deux champs critiques successifs est cons- tant dans les gammes de champ et d’aimantation considérées.
- Tous les sauts se produisant au voisinage d’un point (H, J) affectent le même volume de matière vi,
qui dépend a priori de H et J.
-
Lorsqu’un saut a lieu, il en résulte un champ
d’interaction sur les autres parois dont l’amplitude
et le signe sont aléatoires. Nous simplifierons la situa-
tion en représentant cette distribution de champs par
un seul paramètre hl qu’on peut prendre par exemple égal à la variance des champs d’interaction, et nous
nous limiterons à l’étude des couplages positifs. hl dépend a priori du volume VI des sauts.
Les indices affectés aux quantités A, t,, h définies
ci-dessus rappellent qu’elles caractérisent des événe- ments irréversibles considérés comme individuels.
Il faut maintenant étudier comment les événements irréversibles peuvent se coupler les uns aux autres.
Supposons qu’un saut se produise pour une certaine valeur H du champ appliqué. Lorsque hl est inférieur
à 4 1 , le couplage ne parvient pas à provoquer le saut suivant : les événements irréversibles restent indivi- duels. Par contre, si hl > Al, les sauts commencent à se grouper. Le nombre de sauts qui se produisent
simultanément peut alors devenir très important par effet d’avalanche, car les champs de couplage crois-
sent avec le volume total de matière affecté par les sauts.
Soit n le nombre de sauts qui se sont regroupés.
On peut considérer qu’on a affaire à un grand saut
de volume vn = nvi, dont le champ de déclenchement
unique est égal au champ de déclenchement du
premier de ses éléments. Par conséquent, l’intervalle entre champs critiques des paquets de n sauts vaut
An = nd 1. La figure 6 donne un exemple de regrou-
pement des sauts dans le cas n = 3.
L’ordre n d’un groupe est le nombre de sauts auquel s’arrête l’avalanche déclenchée par l’événement ini-
tial. Il dépend donc de la loi de variation des champs
de couplage en fonction du volume de matière mis en
jeu. Soit hn le paramètre qui représente les champs
d’interaction créés par un groupe de n sauts. On peut refaire pour les groupes d’ordre n le raisonne- ment déjà fait pour les sauts individuels : l’avalanche s’arrête lorsque :
Or l’étude de la reptation a montré que les carrés moyens des champs d’interaction sont proportionnels
aux volumes de matière mis en jeu. On peut donc écrire :
On ne connaît pas le volume réel vi d’un saut, mais
on sait qu’il est proportionnel à la susceptibilité irréversible si caractérisant une paroi. Nous poserons par conséquent :
où la constante de proportionnalité 1 est pour l’ins- tant inconnue. Les parois se comportent individuelle- ment tant que hl reste inférieur à d 1 soit :
ou
LE JOURNAL DE PHYSIQUE.
-T. 40, N° 9, SEPTEMBRE 1979
La susceptibilité critique s1* marque la frontière où
apparaît le comportement collectif. Au-delà de ce
seuil, on voit apparaître des groupes de sauts d’ordre
n. En considérant n comme une variable continue et en rapprochant les expressions (5), (7) et (9), on trouve,
lorsque s1 est supérieur à s1 :
La susceptibilité irréversible si correspondant au
déclenchement simultané de n sauts est égale à nsl, soit :
Les paramètres 11 et A l’ tous deux inconnus, n’inter-
viennent que par l’intermédiaire de la quantité (11/ A1)2 = Ils*. Il faut maintenant trouver une expres- sion réaliste pour la quantité si . Nous supposerons que celle-ci varie sur la courbe de première aimanta-
tion et la courbe de recul respectivement suivant les
expressions (2) et (3).
Pour terminer le calcul, il reste à introduire la
susceptibilité réversible Sr caractérisant une paroi,
que nous supposerons constamment égale au coeffi-
cient a de la loi de Rayleigh : J
=aH + bH2. Une
telle hypothèse semble raisonnable. D’une part,
on sait que la susceptibilité réversible varie peu dans
un vaste domaine d’hystérésis où les déplacements de parois constituent le principal mécanisme d’aimanta- tion. D’autre part, les termes d’aimantation irréver- sible deviennent rapidement prépondérants par rap-
port aux termes réversibles lorsque le champ appliqué
croît. L’erreur commise n’est donc pas considérable.
Pour passer du cas d’une paroi isolée à celui d’un échantillon macroscopique, il faut tenir compte du nombre de parois que renferme l’échantillon. La relation entre une susceptibilité macroscopique S
et la susceptibilité correspondante s pour une paroi
s’écrit S = ks. Le facteur k est inconnu mais il varie
proportionnellement à la surface de parois que renferme l’unité de volume matériau [12]. Nous
l’écrirons par conséquent sous la forme :
Trois grandeurs proportionnelles à des suscepti-
bilités interviennent dans le calcul. Ce sont a = sr, b proportionnel à si et (J 1/r¡)2. L’expérience permet
de déterminer les quantités macroscopiques corres- pondantes : les constantes A et B de la loi de Rayleigh macroscopique J = AH + BH2, et la susceptibilité critique S* pour laquelle apparaît le comportement collectif (seuil de la reptation). On mesure ces gran- deurs au voisinage de l’état désaimanté, c’est-à-dire pour k "-1 ko. On a donc : A = ko a, B = ko b, Si
=kO(L11/r)2. Par conséquent, des manipulations
élémentaires permettent d’effectuer le calcul avec les constantes macroscopiques. Par exemple, la suscep- tibilité totale de l’échantillon sur la courbe de pre- mière aimantation lorsque si > si s’écrit :
En tenant compte des relations (2) et (11), S se
met sous la forme :
Le calcul de la courbe de première aimantation se
ramène finalement, suivant les cas, à la résolution d’une des deux équations différentielles :
lorsqu’on peut considérer que les parois se déplacent
individuellement (5), et :
dans le cas contraire (6). De même, on aura à résoudre
sur la courbe de recul, l’une des deux équations :
(4) L’utilisation de la relation (4) E = 10 1 - (1 n ) jM2 amène
quelques commentaires. L’étude de l’anisotropie de la désaimanta- tion de l’échantillon d’acier [13] permet d’avoir des informations
précises sur l’évolution des populations de parois en fonction du
champ. L’existence d’un seuil d’anisotropie de la désaimantation montre qu’en fin de désaimantation la nucléation des parois est pratiquement terminée. Le fait de désaimanter suivant la direction
d’application du champ magnétisant minimise la nucléation de
parois nouvelles au cours de l’aimantation. La relation (4) prend
en compte l’annihilation progressive des parois, caractérisant l’évolution de la structure en domaines.
Dans un modèle d’accrochage de parois, la déformation de la structure en domaines sous l’effet du champ magnétique peut entraîner une augmentation de la surface des parois. Cet effet
est vraisemblablement petit et négligeable dans les échantillons étudiés. D’ailleurs, la susceptibilité réversible varie très peu dans
un très large domaine de champ. On trouvera dans [18] la variation de a pour un échantillon de fer pur à gros grains.
(5) Lorsque le champ et l’aimantation sont faibles, l’équation (14)
se réduit en pratique à la loi de Rayleigh : J : AH + BH2.
(6) On a assimilé le nombre moyen de sauts par paquet à une variable continue n(H). Lorsqu’apparaît le comportement collectif pour le champ H*, n commence à croître à partir de 1 avec une
dérivée (dn/dH) H* non nulle. Il en résulte une discontinuité de la dérivée seconde d2J/dH2 lorsqu’on passe de (14) à (15). J et dJ/dH
restent continues.
et :
oL’intégration des équations différentielles (14) à (17) donne respectivement :
où l’on a posé pour simplifier :
Les constantes d’intégration se déterminent en rac-
cordant les variations de J données par les diverses
expressions.
6. Application à divers matériaux.
-Nous avons
appliqué le calcul précédent à des échantillons diffé- rents. Dans la recherche d’un accord numérique,
nous avons dû considérer certains des paramètres
intervenant dans le calcul comme ajustables dans une
certaine mesure. En particulier, la valeur = 1,35 provient d’expériences sur un monocristal de fer- silicium contenant une seule paroi à 1800 mobile.
On ne peut raisonnablement s’attendre à trouver la même valeur dans un matériau de composition diffé-
rente et pouvant renfermer par surcroît plusieurs types de parois (1800 et 900 pour un polycristal du type fer
par exemple). Il en est de même pour le paramètre Jm
déterminé sur l’échantillon d’acier uniquement et
avec une marge d’incertitude assez notable. Par contre, A, B et He sont connus avec une précision qui interdit de les considérer comme flottants. Nous n’avons pas fait varier non plus la susceptibilité cri- tique Si que l’on peut déterminer avec une précision
très acceptable, quoique par des méthodes différentes suivant les échantillons, comme on le verra par la suite. Nous n’avons donc conservé en définitive que
deux paramètres ajustables et lM’ Â et Jm dépendent respectivement des accrochages des parois sur les
défauts et du nombre et de l’orientation des axes de facile aimantation.
6.1 ECHANTILLON DE COBALT. - Composé de
cobalt à 99,9 %, il a été écroui, puis soumis à un
traitement thermique de stabilisation. Le matériau ainsi obtenu est presque entièrement en phase hexa- gonale, et par conséquent uniaxe du point de vue magnétique. Les divers paramètres mis en jeu ont
les valeurs suivantes :
’- He = 10,1 1 Oe [16] ;
- A = 6,78 u.e.m.0e-1; B
=1,30 u.e.m.Oe - 2 ;
-
Le phénomène de reptation est absent de cet
échantillon [6].
Il semble donc qu’on ne puisse y observer l’apparition
d’un comportement collectif. Pour confirmer ce point,
nous avons étudié les variations de la dérivée dJjdH
déterminée graphiquement sur la courbe de pre- mière aimantation (Fig. 7). Non seulement on n’y
observe aucun accroissement brusque de pente qui
refléterait une modification des mécanismes d’aiman-
tation, mais encore il semble que la dérivée seconde
d’JldH’ décroisse constamment. Nous en avons
conclu que les variations d’aimantation se font tou-
jours par déplacements individuels de parois, et
nous avons essayé de les représenter par les expres- sions (18) et (20).
Fig. 7.
-Variation de dJ/dH (cobalt, première aimantation).
[The derivative dJ/dH (cobalt, virgin curve).]
Les meilleurs résultats s’obtiennent avec
JM = 750 u.e.m. et = 0,62. La figure 8 permet de comparer les courbes calculées avec les points expéri-
mentaux. La courbe a correspond à la première aiman-
tation. On constate que l’accord est bon jusque vers
20 Oe (environ 2 H,,,) et 670 u.e.m. (0,47 Js). Les cour-
bes de recul fi, y et à correspondent à un champ maxi-
mum Hm valant respectivement 10, 15 et 20 Qe.
L’accord reste très satisfaisant. Remarquons toute-
fois que les mécanismes d’avalanche paraissent absents
de cet échantillon, il reste donc à éprouver le modèle
Fig. 8.
-Comparaison des solutions des équations (18) et (19)
avec les résultats expérimentaux (cobalt).
[Comparison of the solutions of equations (18) and (19) with experimental results (cobalt).]
dans des conditions plus difficiles où l’utilisation des quatre équations (18) à (21) devient nécessaire.
6.2 ECHANTILLON D’ACIER.
-Il s’agit de l’échan- tillon décrit en détail dans les références [6] et [13].
Les paramètres intervenant dans le calcul valent :
-
He = 14,7 Oe [13] ;
- A = 4,709 u.e.m.0e-1; B
=0,147 u.e.m.0e-2.
Ces grandeurs ont été mesurées après une désaimanta- tion alternative unidirectionnelle d’amplitude maxi-
male 100 Oe [13, 14] ;
-
La susceptibilité macroscopique Si pour laquelle apparaît la reptation est égale à 1,3 u.e.m.Oe-’ 1 [6].
Nous avons obtenu le meilleur accord avec
Jm
=1 400 u.e.m. et  = 1,3. La figure 9 compare
les courbes calculées et expérimentales ; le champ
Fig. 9. - Comparaison des solutions des équations (18) à (21)
avec les résultats expérimentaux (acier).
[Comparison of the solutions of equations (18) to (21) with experi-
mental results (steel).]
maximum Hm vaut cette fois 13, 14,7 et 16 Oe (courbes
de recul fi, y et Ô respectivement). On constate que
l’accord est bon jusqu’au-delà du champ coercitif.
La courbe de première aimantation calculée (a)
commence à diverger de la courbe expérimentale lorsque le champ atteint environ 17 Oe (1,1 1 He)
et l’aimantation 570 u.e.m. (0,37 Js).
La courbe a’ en pointillés représente la solution de l’équation (18) prolongée au-delà de sa région de
validité physique OP(s, sT). Comme la simulation
analogique le suggérait, l’introduction des couplages
donne un comportement collectif ayant une variation
beaucoup plus rapide que le comportement individuel.
L’expression (10) permet de calculer le nombre moyen n de sauts impliqués dans une avalanche. n
dépend du champ maximum à partir duquel on trace
la courbe de recul, mais atteint facilement des valeurs de l’ordre de 10 à 20. Signalons à ce sujet qu’une
étude statistique du bruit ferromagnétique [15] donne
accès expérimentalement au nombre moyen de sauts dans un groupe. Pour un échantillon d’acier assez
semblable au nôtre (He = 16 Oe), et après saturation
dans un champ de 100 Oe, on trouve ainsi une valeur
maximale de n voisine de 30.
6. 3 ECHANTILLON DE FER DOUX.
-Il est composé
de fer polycristallin très pur, obtenu par fusion de
zone (moins de 20 x 10-6 d’impuretés en poids) (’).
Un traitement métallurgique approprié lui a donné
une structure de grains bien définie et homogène :
les dimensions des grains sont comprises entre 0,9
et 1 mm [16]. L’échantillon a la forme d’un cadre obtenu en découpant par électro-érosion la partie
centrale d’un rectangle. On obtient ainsi un circuit
magnétique fermé, ce qui permet de s’abstraire des
problèmes de champ démagnétisant. Ses dimensions sont : 43 x 10 mm2 (extérieur) ; 40 x 7 mm’ (inté- rieur) ; 0,5 mm (épaisseur). Les enroulements de
champ et de mesure sont répartis sur les bras du cadre. Les paramètres du calcul valent :
- He = 180 mOe;
- A = 5,0 x 10- 2 u.e.m.mOe-l ;
- B = 4,01 x 10-3 u.e.m.mOe-2.
Nous n’avons pas refait sur cet échantillon les
mesures de reptation qui donnent accès à la suscepti-
bilité Si. Nous avons donc dû utiliser une autre
méthode, d’ailleurs beaucoup plus simple, pour accéder à ce paramètre. La figure 10 reproduit les variations de la dérivée dJ/dH sur la courbe expérimentale de première aimantation. Cette quantité croît tout
d’abord linéairement, comme le prévoit la loi de
Rayleigh. On observe ensuite un changement de pente
très net au voisinage de H = 50 mOe. Nous pensons que cet accident reflète l’apparition du phénomène
(’) Cet échantillon nous a été aimablement prêté par MM. Astie
et Degauque (INSA, Toulouse).
Fig. 10.
-Variation de dJ/dH (fer pur, première aimantation).
[The derivative dJ/dH (pure ion, virgin curve).]
d’avalanche (8) (comparer avec la figure 7). La suscep- tibilité irréversible mesurée en ce point vaut :
Le meilleur accord entre le modèle et l’expérience correspond au choix Jm = 1 400 u.e.m., Â = l,1 (Fig. 11). Les courbes de recul /3, y, ô, 8 ont été tracées
respectivement à partir des champs maxima 150, 180, 200, 244 m0e. L’accord entre les courbes de
première aimantation calculée (a) et mesurée persiste jusque vers H
=260 mOe (1,4 H,,) et 1 400 u.e.m.
(0,8 Js). Il est moins bon pour les courbes de recul calculées qui ont tendance à surestimer la rapidité
des variations d’aimantation au voisinage de - H,,.
Par exemple, pour la courbe e, l’écart atteint 300 u.e.m.
Fig. 11.
-Comparaison des solutions des équations (18) à (21)
’avec les résultats expérimentaux (fer pur).
[Comparison of the solutions of equations (18) to (21) with experi-
mental results (pure iron).]
environ lorsque H vaut - 180 mOe. Nous revien- drons plus loin sur ce désaccord.
7. Discussion des résultats.
-Le calcul présenté
ci-dessus traduit en définitive deux idées physiques simples : la surface totale des parois dans une struc-
ture en domaines complexe est une fonction paire de
l’aimantation qui passe par un maximum assez plat
au voisinage de l’état désaimanté; un événement irréversible peut rester localisé ou se propager dans la structure en domines. suivant son amplitude
initiale.
Il conduit à un résultat analytique qui est très diffé-
rent d’un développement en puissances du champ magnétique, en dehors du domaine des aimantations et des champs faibles où il se ramène à la loi de Ray- leigh. En particulier, la non-linéarité de l’expression J(H) est bien plus accentuée. Le fait de pouvoir représenter à la fois la courbe de première aimanta-
tion et l’ensemble des courbes de recul avec les mêmes
paramètres constitue une contrainte très sévère qui
ne peut être maîtrisée à l’aide d’une expression de la
forme ai Hi. Dans une telle expression, les termes
i
d’ordre supérieur à deux ne se rattachent à aucun
mécanisme physique.
Cependant on ne saurait considérer ce modèle
comme une véritable théorie des lois d’aimantation.
En particulier, nous y avons introduit le champ co-
ercitif comme une donnée du problème, au lieu de le
déduire de la solution. De plus, il n’y a pas forcément de relation simple entre le champ coercitif d’un monocristal contenant une seule paroi et celui d’un polycristal de structure en domaines complexe. Il
est toutefois rassurant de remarquer que l’aimantation calculée sur les courbes de recul s’annule pour un
champ inférieur au champ coercitif expérimental
et qui se rapproche rapidement de celui-ci lorsque Hm croît.
Sur les six paramètres introduits dans le calcul, quatre sont déterminés expérimentalement sur l’échan-
tillon lui-même. La recherche du meilleur accord
numérique conduit à donner à JM, pour les échantil- lons d’acier et de fer pur, la même valeur de 1 400 u.e.m.
Il faut souligner que c’est exactement la valeur que l’on déduit des expériences de reptation effectuées
sur l’échantillon d’acier. Remarquons de plus que les valeurs trouvées pour Jm sont tout à fait raisonnables dans un modéle de déplacements de parois. En effet, l’expression (4) indique que, lorsque l’aimantation atteint la valeur JM, seuls subsistent alors les domaines orientés le plus favorablement par rapport au champ.
Leurs orientations dépendent des axes de facile
aimantation de la substance, qui sont pour les maté- riaux du type fer les trois directions quaternaires, et
la direction sénaire pour le cobalt. La grande majorité
des vecteurs aimantation se placent alors dans le
cône ayant pour axe le champ, et pour demi-angle
au sommet : 450 dans le premier cas [13], 900 dans le (8) La même méthode appliquée à l’échantillon d’acier conduit
à un changement de pente beaucoup moins net. La valeur de S*
ainsi déterminée est compatible avec celle déduite de la reptation,
mais avec une marge d’incertitude nettement supérieure.
second. Une intégration élémentaire montre que l’aimantation résultante du polycristal supposé sta- tistiquement isotrope vaut alors respectivement 0,85 Js
et 0,5 Js. Compte tenu des valeurs de Js pour le fer, l’acier étudié et le cobalt : soit environ 1 700, 1 538
et 1 430 u.e.m. ; on trouve respectivement 1 450,
1 507 et 715 u.e.m., valeurs à comparer avec 1 400, 1 400 et 750 u.e.m.
D’autre part, les valeurs du dernier paramètre
retenues pour les deux échantillons à base de fer
(1,3 et l,l) sont voisines de la valeur 1,35 caractérisant le fer-silicium monocristallin, tandis que le cobalt donne 0,62. Nous voyons là une différence significative
entre les matériaux à base de fer et le cobalt, éventuelle- ment liée à des différences dans la statistique des
interactions parois-défauts. Dans le cadre du modèle de la fonction potentiel [17], l’écart observé suggère
que les forces d’accrochage relativement intenses sont
proportionnellement plus nombreuses dans le cobalt
(écroui) que dans les matériaux à base de fer (recuits),
ce qui est logique.
Le modèle présenté ici repose sur des hypothèses
extrêmement schématiques. Il ignore en particulier
les changements d’orientation de certains domaines
qui peuvent se produire au cours des variations de
champ dans les matériaux pluriaxes (acier et fer).
On peut tout de même remarquer que les courbes d’aimantation ont été mesurées après une désaimanta- tion alternative unidirectionnelle de grande amplitude
suivant la direction du champ magnétisant. Cette précaution minimise les changements d’orientation des vecteurs Js pendant l’application du champ [6].
Dans ces conditions, la mesure des quantités macro- scopiques A et B tient compte des différentes orienta- tions des parois par rapport au champ.
D’autre part, un traitement plus rigoureux devrait prendre en compte la dispersion des volumes des
sauts et celle des intervalles entre champs de déclen-
chement. Il semble toutefois que l’accord avec l’expé-
rience n’en soit pas trop affecté. En fait, il est probable
que l’on tient compte implicitement des effets de ces
dispersions lorsqu’on introduit la valeur expérimen-
tale de la susceptibilité S* pour laquelle apparaît
un comportement collectif.
Plus grave est l’objection suivante. Nous avons supposé que l’intervalle moyen A, entre deux champs
de déclenchement a une valeur finie indépendante de
l’échantillon étudié. Or, une modification des dimen- sions de l’échantillon revient à changer le nombre de
parois et donc de champs de déclenchement. On peut alors, en principe, faire varier à volonté le paramètre (17! Al), et même le faire tendre vers l’infini pour un
échantillon de très grandes dimensions, ce qui condui-
rait à une saturation instantanée du matériau. Au contraire, la susceptibilité critique Si, paramètre physique essentiel, est évidemment indépendante de
la taille de l’échantillon.
La contradiction provient de ce que le modèle ne
fait pas intervenir explicitement la propagation dans
l’espace d’un événement irréversible. En fait, l’hypo-
thèse de constance de d 1 revient à admettre que le matériau est subdivisé en régions ayant une certaine dimension caractéristique finie, à l’intérieur desquelles
les sauts de parois sont couplés par le mécanisme d’avalanche. On suppose par contre que les événe- ments ne se propagent pas d’une région à l’autre.
L’étude de l’anisotropie de désaimantation sur l’échan- tillon d’acier [13] permet de penser qu’une telle hypo-
thèse n’est pas déraisonnable. On montre en effet
qu’on peut valablement décomposer le matériau en régions de bon cristal où les déplacements de parois
sont faciles, et en régions perturbées, magnétiquement beaucoup plus dures. Ces dernières occupent une fraction très importante du volume de l’échantillon,
que l’on peut évaluer grossièrement à 90 %. Il n’est
pas interdit de penser qu’elles constituent des obsta- cles à la propagation de l’avalanche dans toutes les directions.
Dans le même ordre d’idées, on peut imaginer que le désaccord signalé plus haut à propos du fer pur au
voisinage de - Hc provient de ce que les dimensions transversales de l’échantillon sont alors du même ordre de grandeur que celles des avalanches. Celles- ci ne peuvent se développer autant qu’elles le feraient
dans un matériau réellement massif. Pour préciser ce point, nous avons déterminé graphiquement la sus- ceptibilité différentielle totale dJ/dH sur la courbe
de recul /3 expérimentale (Fig. 12) : au lieu de passer par un maximum accentué vers - H,,, ce qui serait
le comportement normal (courbe en pointillés), la quantité dJ/dH présente un plateau s’étendant de
-
