Enseignement de l’algèbre
Quelques repères historiques
• Algèbre vient de « Al jabr » (compensation, restauration, etc)
• Opération 3x -5 = 7x 3x -5 +5 = 7x + 5
wa’l- muqabalah (le balancement) 3x + 28 = 130
3x +28 = 102 +28 3x = 102
Vient de Al Khwarizmi (IX siècle 820) :
Al Khwarizmi (IX siècle 820)
• Vivait à Bagdad
• « Passeur de savoir », système de numération indien
• équations du second degré
Viète (1540-1603)
• Ajoute le symbolisme
Désigne les inconnues pas des voyelles et les paramètres par des consommes (Étude du texte de Viète)
Dans le secondaire, c’est quoi?
• Algèbre linéaire ? Non
• Algèbre élémentaire ? – Lettre
– mais aussi relatifs
Introduction de l’algèbre Vergnaud
• "Par "introduction à l'algèbre", on peut entendre plusieurs choses distinctes :
– mise en équation de problèmes arithmétiques simples et résolution par l’algèbre;
– règles élémentaires de traitement et de transformation des équations ;
– première explicitation des concepts de fonction et de variable ; – mise en évidence de certaines propriétés structurales des ensembles
de nombres, notamment l'ensemble des relatifs et de l'ensemble des rationnels ;
– Etc…
• Il est raisonnable de penser que c'est un savant équilibre de ces différentes composantes conceptuelles et des situations qui leur donnent du sens qui peut permettre aux élèves de comprendre en profondeur la fonction, la structure et le fonctionnement du raisonnement algébrique. Mais quel équilibre ?"
Nombres relatifs
• Rupture par rapport aux nombres entiers
• Utilisés pour signifier des gains et pertes (chinois, indiens) et pour résoudre des équations
• Statut de nombres pas questionné, puis sujet de polémiques
• La multiplication des relatifs pose problème et n’est tranchée qu’en 1867 par Hankel
G. Vergnaud (1988)
«! L'algèbre constitue pour les élèves une rupture épistémologique importante d'avec l'arithmétique. Cette rupture mérite une analyse détaillée, car beaucoup d’élèves n'entrent pas facilement dans le jeu des manipulations symboliques.!»
À quelles occasions les élèves rencontrent-ils la lettre en
mathématiques ?
– 5 m, 3 dm, 4 kg – Soit le point A – Formules A = Lx l – A =5x + 3y – f(x) = ax +b – vecteur AB, 4 AB – f’ = 3f
Statut de la lettre
• Abréviation
• Unité de mesure
• Pour désigner (un point)
• Indéterminée
• Inconnue
• Variable
• Paramètre
Continuités et ruptures
• Dans les objets manipulés – Lettres
– Signe égal – Signes d’opération
• Modes de résolution
• Modes de contrôle
Signe égal
• A l'entrée du collège le signe = désigne le résultat d'une opération
Ex d’erreurs classiques
• 3 ! 2 = 6 + 7 = 13
• Pour traduire "le quart de 16" = 4 un élève répondra 1/4 = 4
• En 4ème difficulté à envisager que le
résultat d’un calcul donne 3x + 4 d’où 7x
Autre exemple
• Le périmètre d'un carré de côté c est traduit par P = 4c.
• P désigne une grandeur et le signe = sert à désigner un objet, à le
« nominaliser » pour pouvoir en parler ; dans ce cas le signe = appartient au métalangage de l’algèbre ; il n’est pas utilisé pour construire un énoncé algébrique
• P= 4c indique l’action à faire : pour calculer le périmètre on fait 4 fois c. c désigne à la fois l’objet et sa longueur (par exemple 5cm)
• Dans calcule P pour c = 5m le signe = sert à faire une assignation de l’objet 5 à la variable c.
• la lettre m désigne une unité
• On obtient alors P = 20m où P ne désigne plus la formule 4c, mais une longueur particulière.
Problème
• Une bouteille et son bouchon pèsent 110 g.
• La bouteille pèse 100 g de plus que le bouchon.
• Combien pèse le bouchon ?
• Résolution arithmétique On garde le sens du problème
Les opérations ont un sens, on peut contrôler à chaque étape
Chaque problème est singulier
• Résolution algébrique On perd le sens du
problème, on ne le retrouve qu’à la fin On fait des
manipulations algébriques, on contrôle les calculs On peut résoudre des
types de problèmes
Aspect procédural ou structural
• 2n+1 sert à la fois à calculer des nombres en donnant une valeur à n
• 2n + 1 sert à désigner un nombre impair lorsque n est entier
• Ex (n+1)
2- n
2= 2n + 1
Statut de la lettre
Question
• a) Ecrire l'aire du rectangle en fonction de x
• b) Pour quelle valeur de x l'aire vaut 24?
Réponse
• a) A(x) = 3(x + 4) x est ici une variable
• b) 3(x + 4 ) = 24
x est ici une inconnue d'une équation.
4 3
x
Vrai ou faux ? 2 + 3x = 5x
• - c’est pareil car 2+3=5 et le prof a dit que 3x c’est 3 multiplié par x, et on multiplie des deux cas
• - c’est faux, car il faudrait des parenthèses, c’est (2+3)x qui est égal à 5x
• - est-ce que les règles pour les nombres sont aussi valables pour les lettres ? dans ce cas, je change d’avis, c’est faux
• - si on remplace x par 1 c’est vrai
• - c’est normal, quand on multiplie par 1, ça ne change rien
• - si on remplace x par 2, c’est faux
• - on ne peut pas savoir, c’est tantôt rai, tantôt faux
• - ce n’est pas toujours vrai
• - si, c’est toujours vrai, à condition de prendre 1 pour x.
