Une description cohérente des noyaux déformés a l'aide d'une méthode de moindres carrés non linéaire appliquée a l'inversion de la matrice des énergies

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Submitted on 1 Jan 1972

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Une description cohérente des noyaux déformés a l’aide d’une méthode de moindres carrés non linéaire

appliquée a l’inversion de la matrice des énergies

J. Thomann, R. Piepenbring

To cite this version:

J. Thomann, R. Piepenbring. Une description cohérente des noyaux déformés a l’aide d’une méthode

de moindres carrés non linéaire appliquée a l’inversion de la matrice des énergies. Journal de Physique,

1972, 33 (7), pp.613-623. �10.1051/jphys:01972003307061300�. �jpa-00207287�

LE JOURNAL DE PHYSIQUE

UNE DESCRIPTION COHÉRENTE DES NOYAUX DÉFORMÉS

A L’AIDE D’UNE MÉTHODE DE MOINDRES CARRÉS ^NON LINÉAIRE

APPLIQUÉE A L’INVERSION DE LA MATRICE DES ÉNERGIES

J. THOMANN

Centre de Calcul de

Strasbourg-Cronenbourg,

^{BP 20 CR}

et R. PIEPENBRING

Institut des Sciences Nucléaires de

Grenoble,

^{Cédex 257}

(Reçu

^{le 24}

janvier 1972,

^{révisé le 10 mars}

1972)

Résumé. ²⁰¹⁴ Dans ce travail nous donnons une approche ^nouvelle pour obtenir dans le cadre du modèle unifié une description ^{cohérente des} propriétés ^des noyaux déformés. Le spectre ^des énergies expérimentales ^{est considéré comme} celui des valeurs _propres d’un Hamiltonien modèle para-

métrisé, calculé dans une base tronquée. ^{On est} ainsi amené à mettre au point ^{une méthode de}

moindres carrés où les paramètres interviennent d’une manière non linéaire. La détermination de

ces paramètres permet d’obtenir des informations intéressantes concernant la structure des noyaux étudiés.

Abstract. ²⁰¹⁴ In the frame of the unified model we give ^{a new} apprôach ^{for a coherent} description

of deformed nuclei. The observed energies ^are considered as eigenvalues of the Hamiltonian of the model where we introduce a limited number of parameters. ^This leads to a non-linear least _squares fit of the parameters, from which interesting information is obtained concerning the nuclear structure.

Classification Physics abstracts :

12-10

1. Introduction. ^- Le but du

présent

^{travail est}

l’étude d’une solution du

problème

^{de la}

description

cohérente des

propriétés spectroscopiques

^des noyaux déformés.

L’approche adoptée

^{ici est} la suivante :

on part de l’Hamiltonien

H, plus

^ou moins élaboré du modèle unifié où intervient un certain nombre de

quantités (moment d’inertie, énergies individuelles, etc...) qu’on

^{considère comme des}

paramètres

^{à déter-}

miner. Pour un noyau

donné,

^on choisit les

configura-

tions

qu’on

suppose

importantes

^{et on} les utilise

comme base _pour la

diagonalisation

^{de H. Les} para- mètres du

problème

^sont alors déterminés en écrivant que les

énergies

des niveaux observés sont valeurs propres de l’Hamiltonien

qu’on diagonalise

^{dans la}

base

tronquée

^des

configurations

^retenues.

Le

point

^{de vue}

adopté

^{ici se}

rapproche

^{de celui}

de la détermination des éléments de matrice effectifs

[1 J

utilisé dans le modèle en couches

sphériques.

L’ajustement

^des

paramètres

conduit ici à une

méthode de moindres carrés où les inconnues inter- viennent d’une manière non linéaire. Dans ^une pre- mière

partie,

^{nous donnons un} aperçu de la méthode que ^{nous avons} utilisée et

qui

^{est une extension à notre}

problème

de la méthode de

Marquardt [2].

Dans une seconde

partie,

^{nous donnons une série}

LE JOURNAL DE PHYSIQUE. ²⁰¹³ T. 33. N° 7, ^JUILLET 1972.

non exhaustive

d’exemples d’applications

^{de notre}

méthode aux noyaux déformés.

Avant d’entrer dans les

détails,

^{il nous semble bon}

d’indiquer

^la

philosophie

^{de notre}

approche :

^Lors-

qu’avec

les choix de H et de la

base, l’ajustement

^des

énergies

^est

satisfaisant,

^on utilise les vecteurs propres obtenus dans la

diagonalisation

pour décrire les

propriétés qui dépendent

des fonctions d’onde. Si cette

description

n’est pas

satisfaisante,

^{ou si}

l’ajustement

des

énergies

^{ne l’est} pas, ^on

dispose

^{de deux}

possibilités :

ou on

élargit

la base de

diagonalisation

^{ou on}

change

l’Hamiltonien modèle. En

principe,

^on continue ainsi le processus

jusqu’à

satisfaction. En

pratique,

^{on est}

cependant

^très vite limité. En

effet,

^{il est} d’abord évi- dent

qu’une

méthode de moindres carrés n’a de sens

que

lorsque

le nombre

d’énergies

^{mesurées est}

supé-

rieur au nombre de

paramètres

^{retenu. Mais cette}

condition,

si elle est

nécessaire,

^n’est pas suffisante.

Il y ^{a un}

problème

^non trivial d’existence des solutions dans la méthode des moindres carrés où les

paramètres

interviennent d’une manière non linéaire.

Enfin,

^{il est} intéressant de

signaler

^{dès à}

présent

que la

paramétrisation

^du

problème

peut ^{très souvent}

se faire sans

hypothèses

^très

précises

^sur les différents termes entrant dans H. Par

exemple,

^{dans les} noyaux

41

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01972003307061300

déformés de masse

impaire,

^les

paramètres

que ^nous retiendrons le

plus

souvent seront les

énergies

^intrin-

sèques,

^{les moments d’inertie et} les éléments de matrice de

l’opérateur j+

^{entre états}

intrinsèques.

^Ceci

n’implique

^aucune

hypothèse précise

concernant le choix de l’Hamiltonien décrivant le mouvement intrin-

sèque.

^La détermination des

paramètres

^à

partir

^de

l’analyse

^du

spectre

^des

énergies expérimentales

^à

l’aide de notre méthode permet ^{souvent une} compa- raison très enrichissante ^avec les

prévisions

^{de diffé-}

rents modèles

intrinsèques.

2. La méthode

numérique.

^- 2.1 SITUATION DU

PROBLÈME. ^- Le

problème physique

^{aboutit à la situa-}

tion

mathématique

^suivante.

A

chaque

valeur différente du moment

angulaire

du _noyau

étudié,

^{on fait}

correspondre

^{un indice I.}

Cet indice varie de 1 à 7 MAX. A chacune de

ses valeurs

correspond

^{une matrice}

A(!)

^d’ordre

0(1)

^de l’Hamiltonien décrivant le _noyau, et un nombre J MAX

(I) 0(1)

^de constantes

Â(I, J)

^fixées

qui

sont les

énergies

des niveaux observés. L’indice J sert à numéroter les différentes valeurs de _{A pour} un même indice I.

Les matrices

A(1)

^{ne sont} pas entièrement inconnues.

Leurs éléments contiennent des

paramètres

Xi

(i

⁼

1,

^...,

n) qu’on

^{détermine de manière à ce que}

les valeurs propres ^« calculées » des matrices

A(I)

soient aussi

proches

que

possible

des valeurs _propres

«

expérimentales » /)(7, J).

Dans ce

but,

^on utilise le fait _que si

Â(I, J)

^{doit être}

valeur propre, il doit être solution de

l’équa-

tion

caractéristique

^{de la matrice}

A(I).

^{Les m}

valeurs _propres «

expérimentales » Â(I, J),

^où

1 MAX

m

= L

^{J MAX}

^(I),

doivent être les solutions des

1=1

m

équations caractéristiques correspondantes.

^Nous

obtenons ainsi m

équations

pour déterminer n _para- mètres inconnus _{x;, où} m > n.

Finalement,

^{la formu-} lation du

problème

^{« au sens des} moindres carrés » est la suivante :

Trouver n

paramètres

Xi tels _que, si on pose :

(Det désigne

le déterminant et U la matrice unité d’ordre

0(1)),

^la

^{quantité :}

soit minimum

Il

apparaît

immédiatement _que ces m

équations caractéristiques dépendent

d’une manière non linéaire des

paramètres

Xi. Il en résulte

qu’il

^{est très difficile}

de déterminer le nombre de solutions dans le cas

général,

^d’une part parce que les matrices

A(1)

^{ont une}

forme

dépendant

des valeurs K

(voir partie physique)

et d’autre part parce que les inconnues

apparaissent

avec un

degré

^de

puissance

élevé dans les

équations caractéristiques quand

^l’ordre

0(1)

^croît.

En

plus,

l’introduction de contraintes de variation

sur ces

paramètres

inconnus n’est _pas triviale. Pour

simplifier

^ce

problème,

^{nous avons fait une étude}

préliminaire

de certains cas

particuliers.

Cette étude semble

indiquer

la nécessité de l’utilisation de relations entre les valeurs _propres et les éléments de

matrice,

par

exemple

l’invariance de la trace, ^etc...

Jusqu’à présent,

les calculs ont été abordés _par

l’injection

^de

valeurs

approchées

initiales des

paramètres

x;,

puis

par ^un

algorithme d’approximation,

dû à Mar-

quardt [2], qui

^{améliore ces} valeurs initiales

jusqu’à

l’obtention d’une meilleure

approximation

^{au sens des}

moindres

carrés,

définie ci-dessus.

2.2 L’ALGORITHME DE MARQUARDT. - Soit ^un

système

^{de m}

équations :

où _x

désigne

^un

point

de coordonnées

(xi,

x2, ^...,

xn)

dans

R",

La méthode est basée sur deux méthodes usuelles.

a)

^{La méthode de} Gauss-Newton consiste à

prendre

le

développement

^{limité en} xo :

où _{xo est} un

point

voisin de la solution et

est ^un vecteur de correction de _xo.

Chercher h tel _{que x} ⁼ _Xo + h soit une meilleure

approximation

^de

(1)

^{au sens des moindres}

carrés,

consiste à minimiser :

en annulant les dérivées

partielles :

Ceci conduit à

prendre

^h solution du

système

^{linéaire :}

où la matrice

A[nxn] = pT

P

(T indique

la matrice

transposée)

^avec

Comme f i(xo

⁺

h)

^n’est pas linéaire en h dans notre cas

(on

^a

pris

^un

développement

^{limité au 1 er}

degré),

^la

correction h ne conduit _pas immédiatement à la solu- tion. Il faudra réitérer

plusieurs

^{fois le} processus ^en reprenant ^{comme nouveau}

point

^de

départ x

⁼ xo

+ kh,

le coefficient k étant choisi

judicieusement.

b)

^La méthode du

gradient

^consiste

simplement

^à

progresser à

chaque

itération dans la direction de

« la

plus

^forte pente »

La

première

méthode n’est valable

qu’au voisinage

de la

solution,

mais la convergence ^sera alors

rapide,

tandis _que la deuxième méthode permet ^de

partir

assez loin de la

solution,

mais la convergence ^{sera en}

général

^{très lente}

après quelques

itérations. D’autre part, la surface 0 est en

général

^telle

que h

^{fait un}

angle

^de

près

^{de 900 avec}

hg.

Comme on ne connaît _pas

toujours

^{un bon}

jeu

de données

initiales,

^{il semble}

adéquat

pour obtenir

une convergence

raisonnable,

^de

choisir,

^en

plus

^du

coefficient

k,

^une direction de correction ^«

interpolée »

entre

hg

^{et h.}

Dans ce

but, Marquardt [2]

utilise le théorème suivant :

Si

ho

^est la solution du

système :

alors

l’angle

y entre

ho

^et

h9

^{est une} fonction continue monotone décroissante de  telle _que si À - _oo,

y -> 0.

Comme

hg

^est

indépendant

^de

A,

^{il en résulte} que

ho

se

rapproche de hg

^en

pivotant quand À -

^{oo . En}

jouant

^sur

Â,

^on peut ^{alors à volonté se}

rapprocher,

^ou

s’éloigner,

^d’une des deux méthodes

rappelées

^ci-dessus.

Dans la

pratique,

^on introduit les normalisations sui- vantes :

et on résout en h * le

système :

à

chaque

^itération.

Schématiquement,

^{si à une}

itération, 0

^{est diminué}

par la correction

h *,

^{on résout}

(2)

^{avec  =}

Z/u sinon,

^{on revient à} l’itération

précédente

^{avec A = A * u}

(où

^{u = 5 ou} 10 par

exemple).

^{On continue ce}

procédé jusqu’à

^{obtention d’un}

ajustement

satisfaisant.

Remarquons

que ^cette méthode a par ailleurs un

autre avantage : ^{la matrice A * + à est}

numérique-

ment mieux conditionnée _{que la} matrice A - ce

qui

^en

facilite le traitement.

3.

Application

^{aux noyaux de masse}

impaire.

^-

3.1 LE MODÈLE. ^- L’Hamiltonien modèle est celui du modèle unifié :

Il se

décompose

^{en trois termes : un} Hamiltonien

intrinsèque

^{dont nous ne}

préciserons

pas la forme et

qui

^a pour valeurs _propres les

énergies intrinsèques

--k ;

un terme

Hrot

décrivant le mouvement collectif de rotation et dont les valeurs _propres sont de la forme :

où A ⁼

Ji2/2 j

^est le facteur d’inertie.

Le troisième terme

HRpc

^{décrit le}

couplage

^{de Corio-}

lis entre le mouvement

intrinsèque

^{et le mouvement}

de rotation. Il s’écrit :

En admettant la

symétrie

^{axiale et la}

symétrie

^de

réflexion _pour les _noyaux

considérés,

les fonctions propres de

Hrot

⁺

Hint

ont la forme :

où les

DLK

^sont les fonctions _propres de

Hrot,

^(pK

celles de l’Hamiltonien

intrinsèque.

^La définition de ({J - K ^et la convention de

phase

^{utilisée sont celles de}

Nathan et Nilsson

[3].

^Le spectre

d’énergies expéri-

mental est alors

comparé

^{à celui des} valeurs propres de H. La

diagonalisation

de H s’effectue en utilisant la base des fonctions

!FIMK.

^{En toute}

rigueur

^{cette base}

est infinie. Dans la

pratique,

^{on est amené à la} tronquer

en ne retenant que les

configurations qu’on

suppose intervenir.

Explicitons

les éléments de matrice de H. Les élé- ments

diagonaux

s’écrivent :

où a est le facteur de

découplage intrinsèque :

A

chaque ligne m correspond

^{une valeur}

Km

^{de K.}

Nous classerons les états de base de telle ^sorte _que

En raison du choix de

Hpc

^{il y aura} des éléments non

diagonaux

différents de zéro seulement dans les deux

cas suivants :

On aura alors :

où

Kmin

^{est la}

plus petite

des valeurs

Comme annoncé dans

l’introduction,

^{nous considé-}

rons comme

paramètres ajustables :

- les

énergies intrinsèques

Em,

- le facteur d’inertie A que ^nous supposerons défini de manière

unique

pour ^tous les états d’un même noyau,

- les éléments de matrice de

l’opérateur j+

^entre les états _{(pic+ 1} et (pjc,

- les

paramètres

^de

découplage

am

qui

interviennent

lorsque Km

⁼

1/2.

3.2 L’EXEMPLE HISTORIQUE DU COUPLAGE ENTRE LES BANDES DE ROTATION CONSTRUITES SUR LES ÉTATS INTRINSÈQUES CARACTÉRISÉS PAR LES NOMBRES QUAN- TIQUES

1/2-

^{510 ET}

3/2-

^{512. -} C’est dans le

W183

que

l’importance

^du

couplage

de Coriolis a été mise en

évidence dès 1956 _par Kerman

[4].

^{Nous avons}

repris

cet

exemple

^{dans une}

publication précédente [5]

^et

nous donnons ci-dessous les résultats d’une étude

systématique

^{de ce}

couplage

^à deux bandes dans les noyaux où l’une des deux

configurations

^{est celle du}

fondamental. Ceci se

produit

^{dans les noyaux où le}

nombre de neutrons est

égal

^à

109,

^{111 ou 113.}

En tronquant ^{la base aux} deux éléments caractérisés

par K

⁼

1/2

^{et K =}

3/2,

^le

problème

^a

cinq

para- mètres : les deux

énergies intrinsèques

81/2 ^et 83/2, ^le facteur d’inertie

A,

le facteur de

découplage a

^{et l’élé-}

ment de matrice lp3/2

1 j+ IlfJl/2 >.

^{Nous remar-}

quons ^tout d’abord _que les valeurs _propres de H ne

dépendent

pas du

signe

^{de cet} élément de matrice.

C’est son carré

qui

intervient ^- et

qui

^{a un sens}

phy- sique.

^Nous

préférerons

donc utiliser comme cin-

quième paramètre C2 - Î (P3/2 ^{1 j+} 1 (Pll2 > 1 2

^.

Les résultats concernant les _noyaux avec N =

109,

111 et 113 sont

respectivement

donnés dans les tableaux

Ia,

^{Ib et Ic. Pour}

chaque

noyau ^nous donnons trois colonnes : la

première indique

^les

énergies expé-

rimentales

Eexp correspondantes

^aux références

citées,

la seconde les

énergies Eth

obtenues dans le meilleur

ajustement,

la troisième

indique

^l’écart

Les

énergies Eexp ^indiquées

^entre

parenthèses

^corres-

TABLEAU la

Etude des isotones N ⁼ 109. Toutes les

énergies

^{sont en keV}

Références RICKEY

(F. A.),

^SHELINE

(R.

^MURRAY

(J. J.)

^et

al., Phys.

^HARMATZ

(B.)

^et

al., Phys. Rev., K.), Phys. Rev.,1968,170, Rev., 96, 1954, 858 ; 1955, 1962,128,1186.

1157.

97,1007.

NAMENSON

(A. 1.),

^BOLOTIN Voir aussi les références citées

(H. H.), Phys. Rev., 1967,

par BUNKER

(M. E.),

^REICH

158, 1206. (C. W.),

^{Revs. Mod.}

Phys.,

1971, 43,

^348.

Commentaires Cet écart de 2 keV ne doit

(*)

^{Niveau non confirmé}

(*)

^{Il existe un autre niveau}

pas être considéré comme

(7/2-)

^à

356,5, qui

^est pro-

une faille du modèle. Les bablement

(7/2- 503).

énergies expérimentales

sont ici mesurées avec

moins de

précisions

que dans les autres noyaux.

TABLEAU Ib

Etude des isotones N ⁼ 111. Les

énergies

^sont

exprimées

^{en keV}

Références DALY

(P. J.)

^et

al.,

^Nucl.

Phys., 1969,

^A

123,

^{MALMSKOG et}

al.,

^Nucl.

Phys., 1971,

^A

166,

186. 573.

KUROYANAGI

(T.),

^TAMURA

(T.),

^Nucl.

Phys., 1969,

^A

133,

^554.

GUJRATHI

(S. C.),

^D’AURIA

(J. M.),

^{Can. J.}

Phys., 1970, 48,

^502.

TABLEAU Ic

Etude des isotones N ⁼ 113. Les

énergies

^{sont données en keV}

Références ^CASTEN

(R. F.),

KLEINHEINZ

(P.),

^{DALY MALMSKOG}

(S. G.) et al.,

^Nucl.

Phys., 1970, (P. J.),

^ELBEK

(B.),

^{To be}

published.

^A

153,

^316.

Voir aussi BUNKER

(M.),

^REICH

(C. W.),

Revs. Mod.

Phys.,1971, 43, 348.

Commentaires

(*)

^{Niveaux non}

incorporés

^dans

l’ajus-

tement. Leur introduction conduit à un

jeu

de

paramètres

^tout à fait différents et un

AE -

^{26 keV.}

(Voir texte.)

pondent

^à des niveaux non

confirmés,

^les

énergies Eth

entre crochets donnent des

prévisions

pour les

énergies

des niveaux.

Pour

chaque

noyau

étudié,

^{nous donnons}

également

les valeurs des

cinq paramètres

ayant ^{conduit aux}

énergies Eth.

Quelles

informations peut-on ^{déduire de}

l’analyse

de ces résultats ?

Nous notons tout d’abord _que le modèle utilisé permet de décrire très correctement

cinq

noyaux ^sur les sept ^{étudiés. Pour les}

1870S

et

189OS

le modèle n’est

plus

satisfaisant. Ceci n’est _pas surprenant ^{car on} sait

[6]

que pour ^ces noyaux le

couplage

^rotation-

vibration non considéré ici n’est

plus négligeable.

On constate en

particulier

^{dans le cas de}

^1890s

^une

instabilité des

paramètres lorsqu’on

introduit les niveaux

11/2

^et

9/2

de la bande

3/2- (512)

^dans

l’ajus-

tement.

On observe ensuite une diminution du moment d’inertie donc de la déformation

lorsque

^{le nombre N}

de neutrons augmente ^et

lorsqu’à

^{N constant on} passe des

tungstènes

^{aux osmiums. On constate}

également

un tassement des niveaux

intrinsquèes 1/2-

⁵¹⁰

et

3/2 ^

⁵¹²

lorsque

^N augmente.

Enfin,

^{il est intéres-}

sant

également

^de comparer les

paramètres

^intrin-

sèques a

^et

C2

aux valeurs de ces

paramètres

^{dans un}

modèle individuel comme celui de Nilsson

[7].

Dans le tableau

II,

^{nous donnons} les valeurs de ces

paramètres

^{obtenus avec les} fonctions d’onde de Lamm

[8]

pour

plusieurs

déformations

quadrupo-

laires ₈₂ et

hexadécapolaires

84.

TABLEAU II

Valeurs des

quantités [ 3/2- 5121j+ I 1/2 5 10 >]2

et

a(1/2- 510)

^{dans le modèle de} Nilsson-Lamm _pour

plusieurs

^{valeurs des}

déformations

82

quadrupolaires

et 84

hexadecapolaires.

Cette

comparaison

^{amène les} commentaires suivants :

- Pour décrire à la fois le facteur de

découplage

^et

l’élément de

matrice [ ^{3/2 1 j + 1 /2} > ]2

dans le cadre du modèle de

Nilsson,

^{il est} nécessaire d’introduire une

déformation

hexadécapolaire 84

>

0,

^ce

qui

^est

confirmé

expérimentalement

par ailleurs

[9]

^{et de}

supposer que les _noyaux ont une déformation

quadru- polaire

relativement faible.

- Dans cet

exemple,

^{il n’est} pas nécessaire d’intro- duire de facteurs d’atténuation comme le fait l’école

nordique [10].

-

Enfin,

^nous pouvons remarquer que ^nos résultats

concernant le W183 sont moins fins _que ceux de Kerman

[4].

^Ceci peut

s’expliquer

^aisément par le fait que Kerman introduit en

plus

les effets du

couplage

rotation-vibration

qui

^se traduisent _par une renorma-

lisation différente _pour

chaque

^niveau

intrinsèque

^des

facteurs d’inertie dans les éléments

diagonaux.

Nous n’avons _pas refait ici les calculs des

propriétés

nucléaires

dépendant

des fonctions d’onde obtenues.

Les travaux de Kerman

[4]

^{et ceux}

plus

^{récents de}

Casten et al.

[11 ] ont

suffisamment bien montré le bien- fondé des

hypothèses

^faites.

3. 3 EXEMPLE D’UN CAS DU COUPLAGE DE CORIOLIS

INTENSE. ^- On sait

[5]

que le

couplage

de Coriolis entre deux orbites déformées est

particulièrement

intense

lorsque

^{celles-ci sont} issues d’une même orbite

sphérique.

^{Dans ces} cas, le

couplage

^{sera d’autant}

plus important

que

le j

caractérisant l’orbite

sphérique

sera élevé.

Cette situation se

présente plusieurs

^{fois dans les}

diverses

régions

^{déformées où on rencontre des}

niveaux issus des orbites :

e

hi 1/2

^et

h9/2

^{dans les noyaux à Z}

^impair

^{de la}

région

^{des terres rares.}

lb

l13/2

^{dans les} noyaux à N

impair

^{de la}

région

^des

terres rares et à Z

impair

^{dans la}

région

^des noyaux lourds déformés.

lb

7i 5/2

^{dans les} noyaux à N

impair

^{de cette dernière}

région.

Pour les niveaux issus de

j15/2

^on

^dispose

^d’assez

peu d’informations

expérimentales.

Pour les niveaux issus de

il /2

^{la situation est}

compliquée [12]

par la

compétition

^du

couplage

ON ⁼ ± 2 et nous

préférons

^{illustrer notre méthode}

dans le cas d’orbites de protons ^{de la}

région

^{des terres}

rares. La situation est

spécialement

^nette pour les niveaux

1/2-

^{541 et}

3/2-

⁵³² issus de l’orbite

h9l2,

qui apparaissent

^{à basse}

énergie plus particulièrement

dans les _{noyaux de} la fin de la

région

^{des terres rares.}

Une étude

préliminaire appliquée

^au

^{l’ 1 Lu}

^{a fait}

l’objet

^d’une

publication

antérieure

[13]

^{dont nous}

allons

rappeler rapidement

les résultats. La base retenue ne contient _{que deux} éléments et le

problème

a

cinq paramètres

^{comme dans le}

paragraphe précé-

dent. On

dispose [14]

^de sept ^{niveaux K =}

1/2

^avec

I +

1/2 impair

^{et de} quatre ^{niveaux K =}

1/2

^avec

I +

1/2 pair.

^{On n’a aucune} information concernant des niveaux de la bande K ⁼

3/2.

^On introduit alors

un niveau I ⁼ K ⁼

3/2

^fictif

d’énergie

^{variable et on}

cherche _pour

quelle

^{valeur de cette}

énergie

^{on obtient}

le meilleur

ajustement.

^Ce

procédé

^{nous a}

permis

d’affirmer _que le niveau

3/2 3/2-

532 devait se situer entre 600 et 700 keV. Par des considérations arithmé-

tiques

^sur les transitions _y non

placées,

^{un tel niveau}

peut ^être trouvé à 674 keV. En utilisant alors cette valeur les niveaux I ⁼

19/2-

^{et I =}

23/2-

^{de la}

bande K ⁼

1/2

seraient localisés à 1 332 keV et 1 820 keV

respectivement

^et

permettraient

^de

placer

deux autres transitions _y observées.

Les valeurs des

paramètres

^{donnant les}

ajustements

les meilleurs _pour

E(3/2, 3/2)

^{= 600 ou 700 keV}

se trouvent dans les fourchettes suivantes :

Il est intéressant de _comparer les deux dernières valeurs aux

prévisions

du modèle de Nilsson-Lamm

[8]

pour des déformations e

comprises

^entre

0,25

^et

0,30

On remarque que les valeurs

ajustées

^sont

plus petites

que les

prévisions

^du modèle individuel. Des

explica-

tions

possibles

^{de cette} atténuation sont données dans la référence

[5].

^Nous

rappelons simplement

^{ici que}

cette atténuation peut

provenir

de la manière dont on a

tronqué

^la

base,

^du

pairing

^et des effets des

couplages

entre les mouvements collectifs de vibration et le mouvement individuel des

particules.

Il nous a semblé intéressant de faire la même étude dans le

173Lu.

_{Ce noyau} a été récemment étudié _par les réactions

(d,

²

ny)

^et

(p, ny)

par Kemnitz et al.

[15].

Six niveaux avec I ₊

1/2 impair

^et quatre ^niveaux

avec I +

1/2 pair

de la bande K ⁼

1/2

^{ont été établis}

avec certitude

grâce

^à des coïncidences.

Comme candidats à

l’étiquette 3/2 3/2-

^{532 nous}

avons

d’après [16] cinq

niveaux situés entre 888 keV

et 1 161

keV,

les niveaux

correspondants

^{aux deux}

énergies

^citées pouvant ^être

1 j2-

^ou

3/2-.

Nous avons donc

appliqué

^{notre méthode en}

plaçant

le niveau

3/2-

^{à ces deux}

énergies.

Le tableau III donne les résultats obtenus. Les colonnes 3 et 4 sont rela- tives à

E(3/2, 3/2)

^{= 888 keV et} les colonnes 5 et 6 à

E(3/2, 3/2)

^{= 1 161. Les}

ajustements

^{obtenus montrent}

sans aucun doute _que le niveau à 888 keV est le meil- leur candidat pour le niveau

3 j2-

^{532. Les écarts}

1 AE 1

^restent inférieurs à

AE.,a. = 2,5

keV. L’inter-

prétation

^{du niveau à 888 keV comme niveau}

3/2 3/2-

532 a d’ailleurs été très récemment confirmée _par 0’Neil et al.

[17]

^dans

l’analyse

^{en DWBA des réac-}

tions

(’He, d)

^et

(a, t)

conduisant au

173Lu.

Dans ce

dernier

travail,

l’introduction du

couplage

de Coriolis entre les deux bandes _que nous avons considérées a été nécessaire _pour

expliquer

les facteurs

spectroscopiques observés,

^surtout pour le niveau

9/2 1/2-

^{541. Les}

réactions mentionnées alimentent aussi certains niveaux de la bande

1/2-

^{530. On} peut ^{alors se demander} si une extension de

l’espace

^de

diagonalisation

^{de H} permet d’améliorer la

description

^{de la bande} per- turbée

1/2-

^{541. Le}

problème

de minimisation comporte alors neuf

paramètres :

- les trois

énergies intrinsèques

cK,

- le facteur d’inertie A commun aux trois

bandes,

- les deux facteurs de

découplage

^{des deux}

bandes K ⁼

1/2,

- les trois éléments de matrice

de j+ :

Remarquons

que, pour des raisons de commodités TABLEAU III

Etude du

couplage

^{des bandes}

1/2-

^{541 et}

3/2-

^{532 dans}

^{le 173Lu}

numériques,

^nous introduisons ici comme

paramètres

les éléments de

j+ (et

^non

plus

^{les carrés de ces élé-}

ments).

^Le

problème physique dépend

^{en fait} du pro- duit de ces trois éléments

qui

^{est bien}

indépendant

^des

conventions de

phase

^utilisées pour les fonctions d’onde

intrinsèques.

On peut ^{aussi se} demander si cette étude a

beaucoup

de sens

puisque l’imprécision

^sur la détermination des

énergies expérimentales

^{par les réactions}

(3He, d)

et

(a, t)

est souvent

supérieure

^au

/lEmax

^obtenu

précédemment.

^La

réponse

^est oui : les calculs _que

nous avons effectués ont en effet montré que la des-

cription

des membres de la bande

1/2-

^{541 était} peu sensible à la

position

^exacte des niveaux connus de la bande

1/2-

^{530. Il suffit de}

prendre

^les

énergies

^des

niveaux

3/2 1 /2-

^{530 et}

1/2 1 /2 -

^{530 entre 1 160 et}

1 166 keV et celle du niveau

7/2 1/2-

^{530 entre 1 274}

et 1276 _pour obtenir les résultats donnés dans le tableau IV.

L’ajustement

^des

paramètres

^{donne les}

valeurs suivantes :

Quelles

conclusions pouvons-nous tirer de cette étude ? D’abord il est indéniable _que l’introduction des effets de la bande

1/2-

^{530 a}

permis

d’améliorer la

description

^{de la bande}

perturbée 1/2-

⁵⁴¹

puisque

toutes les

énergies

des niveaux sont maintenant repro- duites à moins d’un keV

près.

^D’autre part, ^{on voit} que ^tous les

paramètres qui

intervenaient dans le

couplage

^{à deux bandes sont peu modifiés par l’exten-}

sion de

l’espace

^de

configuration

^{sauf l’élément}

^e2 qui prend

^{la valeur}

15,5

^contre

17,8

^{dans le cas à deux} bandes. La valeur de

e2

se

rapproche

ainsi de celle obtenue dans le

171Lu

et s’écarte de celle

prévue

^dans

un modèle du type ^Nilsson.

TABLEAU IV

Description

^{des niveaux de la bande}

_1/2-

541 du

173Lu

dans le cadre d’un

couplage

^{à trois bandes.}

Les niveaux

5/2

^et

3/2

de la bande

3/2-

^{532 sont} respec- tivement trouvés à

956,5

^{et 891}

keV,

^{les niveaux}

7/2, 3/2

^et

1/2

^{de la bande}

1/2-

⁵³⁰

respectivement

^entre 1276 et

1281,1158

^et

1161,1160

^{et 1166 keV.}

L’« atténuation » de

C2

_{par rapport} à ce

modèle,

observée dans le

couplage

^à deux bandes n’est donc pas due à la troncature de la

base,

^{mais à des effets}

intrinsèques.

Il est d’ailleurs instructif de comparer

systématique-

ment les valeurs des éléments de matrice

de j+

^obtenues

dans

l’ajustement

^à trois bandes à celles données _par le modèle de Nilsson-Lamm

[8]

pour les deux déforma- tions e ⁼

0,25

^{et e =}

0,30.

^{Le tableau V} permet ^cette

comparaison.

^{Deux des valeurs}

expérimentales

^s’ex-

pliquent

^dans le modèle de Nilsson. Deux autres en

diffèrent _par des facteurs de l’ordre de

0,5

^à

0,9.

^Enfin

la dernière diffère d’un facteur de l’ordre de 5 ^x

10-3.

Ces constatations montrent que ^notre méthode

d’ap- proche

^du

problème

^{est nettement}

supérieure

^{à celles}

où on part d’un modèle individuel et où on introduit des facteurs d’atténuation dont le choix reste

plus

^ou

moins arbitraire.

4.

Application

^aux noyaux

impairs.

^{- 4.1 RAPPEL}

DU MODÈLE. ^- Pour un noyau

impair

l’Hamiltonien du modèle unifié s’écrit :

TABLEAU V

Comparaison

^{des éléments de matrice}

de j+ (ou

de leurs valeurs

absolues) théoriques

^avec les valeurs

correspondantes

^{obtenues dans notre} méthode dans le cas du

couplage

^{à trois bandes}

1/2- 541,1/2- 530,

3 j2-

^{532 dans}

^{le 173Lu.}

^Les

quantités

^{données sont sans} dimensions.

Dans cette

expression,

^{les termes}

Hp

^et

H.

^{sont les}

Hamiltoniens

intrinsèques respectivement

^du proton

et du neutron,

Hrot

décrit la rotation et

HRpc

^{le cou-}

plage

de Coriolis :

Le terme

Hpp, qui

^{est obtenu}

quand

^on

explicite

^l’Ha-

miltonien du rotor, peut être assimilé à un terme de nature

intrinsèque puisqu’il

^ne fait intervenir _que des

opérateurs j±.

En effet :

Enfin

Fnp

^est l’interaction résiduelle du proton ^céliba- taire avec le neutron célibataire. Elle

provient

^{de la}

partie

^de l’interaction à deux _corps

qu’on

^ne peut introduire dans le

champ

moyen.

La détermination du spectre des valeurs _propres de H se fera ici en utilisant comme fonctions de base les fonctions _propres de

Hp ^{+ Hn}

⁺

Hrot.

^{Avec les}

mêmes

hypothèses

concernant la

symétrie

^{du noyau}

que dans les _noyaux de masse

impaire,

^{ces fonctions}

s’écrivent comme dans 3. l. Il faut

cependant préciser

ici le cas où K ⁼

0,

pour

lequel

^{on aura :}

avec K=Kp-Kn=0.

Explicitons

^{les éléments de matrice de H.} Les éléments

diagonaux

^{vont s’écrire :}

de l’interaction résiduelle

Vnp.

A

chaque ligne

^{m on fera de nouveau}

correspondre

une valeur

Km

^{de K. Et on} classera les états de base de telle sorte que les

Km forment, lorsque

^m

croît,

^une suite non décroissante d’entiers

positifs.

Les différents termes

Hpp, HRpc

^et

Pnp

^donneront

également

^{des éléments de matrice non}

diagonaux

dans les cas suivants :

-

Lorsque K,

⁼

Km

^et que

alors

Hpp

^{donne la} contribution

-

Lorsque

alors

Hpp

^donnera

également

^{un terme}

-

Lorsque

ou

alors

HRpc

donne la contribution

Nous considérons alors comme

paramètres ajus-

tables :

- les

énergies intrinsèques,

- le facteur d’inertie

A,

- les éléments de matrice des

opérateurs j,,±,

- les éléments de matrice de l’interaction rési- duelle

Ynp.

Dans certains cas où les résultats

expérimentaux

^sont

insuffisamment

nombreux,

^{on sera amené à fixer} certains de ces

paramètres.

^On déduira alors le moment d’inertie du _noyau

impair

^{dans une}

configuration

donnée de la connaissance des moments d’inertie des noyaux

pairs

^{et de masse}

impaire voisins,

^à

partir

^{de la}

relation de Takahashi

[18]

où je

^{est le moment d’inertie du coeur}

pair,

5/p

^et

bjn

^le

changement

^{du moment d’inertie dû au}

dernier proton ^{ou neutron.}

D’une manière

analogue

^les

paramètres

^{de décou-}

plage

^seront

tirés,

^si besoin est, ^de

l’analyse

^des

bandes

1/2

^{observées dans les noyaux de masse}

impaire

voisins.

4.2 ETUDE DES ÉTATS K ⁼ O ET K ⁼ 1 CONS- TRUITS A L’AIDE DES CONFIGURATIONS p : ¹

1/2+

⁴¹¹

ET n :

1/2-

^{521. - Ces états ont été} observés dans différents _noyaux

[19]

^{et en}

particulier

^{dans le}

170Lu [20].

^{Dans ce dernier cas, on} connaît les états I ⁼ 0 et I ⁼ 1 de la bande K ⁼

0,

^ainsi que les états I ⁼ 1 et 1= 2 de la bande K ⁼ 1. Nous utilise-

rons notre méthode en

restreignant

^{dans une}

première

étape

^{la base aux deux}

configurations

^{K = 0 et K = 1.}

Nous tirerons les facteurs de

découplage

^{et d’inertie}

des noyaux voisins :

et introduirons les trois

paramètres :

Les résultats de

l’ajustement

^sont donnés dans les colonnes 3 et 4 du tableau VI.

Etude des bandes K ⁼ 0- et K ⁼ 1- construites à l’aide des

configurations

p :

1/2+

^{411 et n :}

1 j2-

⁵²¹

dans le

170Lu.

Toutes les

quantités

intervenant dans ce

tableau sont des

énergies exprimées

^{en keV.}

Les

énergies

calculées different de moins de 2 keV des

énergies

^observées.

On peut ^{améliorer cette situation en}

élargissant

^la

base _par l’introduction de la

configuration K

^{= 1-}

construite à

partir

des orbites _{p :}

7/2+

^{404 et n :}

5/2-

512 dont les niveaux I ⁼ 1 et I ⁼ 2 ont été identifiés.

Pour cette

configuration

^{A =}

12,09 keV,

^{on introduit} ainsi deux nouvelles informations

expérimentales

^et

deux nouveaux

paramètres

Les résultats de ce calcul sont donnés dans les colonnes 5 et 6 du tableau VI. L’accord est alors obtenu à moins d’un

keV,

^ce

qui

^est

remarquable.

Nous

ajouterons

^que l’introduction de cette version améliorée est nécessaire _pour obtenir une

description

cohérente des

propriétés

nucléaires du

17°Lu

^comme cela a été montré dans une

publication précédente [21 ].

Les états K = 0- et K = 1- construits sur les

orbites _{p :}

1/2+

^{411 et n :}

1/2-

^{521 ont aussi été}

observés dans le

l’°Tm [22]

^{et le}

^{172 Tm} [23], [24].

Dans le

170Tm

les bandes rotationnelles construites

sur ces deux états sont bien

développées.

^Un

couplage

entre les deux bandes K = 0- et K = 1- ne suffit _pas pour obtenir une

description

satisfaisante des niveaux observés. La connaissance d’une autre bande K ⁼ 1-

permettrait

^un traitement

analogue

^{à celui du}

^170Lu

- mais on ne

dispose

^à l’heure actuelle _que d’informa- tions non confirmées.

Dans le

172 Tm

on observe une situation ana-

logue [24].

^Le

couplage

^{à deux bandes ne donne} pas

une bonne

description

^des

énergies

^{des niveaux}

observés. D’autre part, les effets d’un

couplage

^avec

une autre bande K ⁼ 1- sont nécessaires _pour

expli-

quer la transition M 1 de 407 keV. Mais là aussi on ne

dispose

pas d’informations concernant la localisation de cette autre bande K ⁼ 1- .

Dans les deux

isotopes

^{du Tm on est} alors tenté d’introduire ^un niveau I = K ⁼ 1-

d’énergie

^variable

comme nous l’avions fait dans l’étude du

171LU.

Mais nous nous heurtons ici à un

problème

d’existence de solutions _pour notre méthode de moindres carrés

non linéaire. A ce

jour

^ce

problème

n’a pas ^encore pu être résolu.

5. Conclusions. ^- Dans ce

travail,

^{nous avons}

présenté

^{une méthode de moindres}

carrés,

^{où les}

paramètres

interviennent d’une manière non

linéaire,

permettant ^une

description

cohérente des noyaux déformés.

A l’aide de

quelques exemples

traitant des _noyaux de

masse.

impaire

^{et des} noyaux

impairs

^{nous avons cher-}

ché à montrer le

large champ d’application

^{de cette}

méthode.

Nous avons

également

^{cherché à donner}

quelques

illustrations ^montrant les informations intéressantes

qu’on pouvait

^{obtenir à}

partir

^{de notre méthode}

en ce

qui

^{concerne la structure des noyaux étudiés}

(position

des niveaux

intrinsèques,

^moments

d’inertie,

valeur des éléments de matrice

intrinsèques de j+, prévision

^{de la}

position

de certains

niveaux,

^éléments de matrice de l’interaction

résiduelle, etc...).

Nous avons aussi

indiqué

certaines limites de la méthode

lorsque

les informations

expérimentales

^sont

insuffisamment nombreuses.

Notre

prochain

^{travail va consister à}

préciser

^les

conditions d’existence ^et d’unicité des solutions de notre

méthode ;

^{mais avant} d’avoir résolu ce

problème

non trivial nous avons tenu à mettre ce nouvel outil à la

disposition

^des

expérimentateurs

travaillant dans le domaine des _noyaux déformés.

Bibliographie [1] ^FEDERMAN (P.) ^{et TALMI} (I.), Phys. Letters, 1965, 19,

490.

TALMI (I.), Revs. Mod. Phys., 1962, 34, ^704.

[2] ^MARQUARDT (D. W.), Jour. S. I. A. M., 1963, 11, ^431.

[3] NATHAN (O.) ^{et NILSSON} (S. G.), ^03B1, 03B2, 03B3 ray spectro-

scopy, Siegbahn, vol. 1, 1965, ^601.

[4] ^KERMAN (A. K.), Dan. Mat. Fys. Medd., 1956, 30,

n° 15.