Formules de Frenet
Monier, Géométrie Tome 7, pages 254-259 et 469 Théorème :
d−→
T ds =
−
→N R d−→
N
ds = −
−
→T R +
−
→B T d−→
B
ds = −
−
→N T
Rappelons les dénitions. SoitΓune courbe, paramétrée par l'abscisse curvilignes,sparcourant un intervalleI.
On note−→
T le vecteur tangent unitaire enM(s)à la courbeΓ, déni par : −→ T =
−−→dM ds On appelle rayon de courbure deΓenM(s)le réelRdéni par : 1
R =
°°
°°
° d−→
T ds
°°
°°
° On appelle vecteur normal principal àΓ enM(s)le vecteur déni par : −→
N =Rd−→ T ds On appelle vecteur binormal àΓenM(s)le vecteur déni par : −→
B =−→ T ∧−→
N
On appelle rayon de torsion deΓenM(s)le réelT déni par : 1 T =−→
B ·d−→ N ds
Puisque Γest paramétré par l'abscisse curviligne, on a∀s∈I,k−→
Tk2= 1. On obtient donc en dérivant :
∀s∈I,−→ T ·d−→
T
ds = 0, autrement dit, −→ T ·−→
N = 0 En dérivant cette nouvelle expression, on obtient :
d−→ T ds ·−→
N +−→ T ·d−→
N ds = 0
Comme on a par dénition d−→ T ds =
−
→N
R, on en déduit que
−
→T · d−→ N ds =−1
R
D'autre part,k−→
Nk2= 1, on a donc également−→ N· d−→
N ds = 0.
Puisque(−→ T ,−→
N ,−→
B)est une base orthonormée, on a alors : d−→
N ds =
Ã−→ T ·d−→
N ds
!−→ T +
Ã−→ N· d−→
N ds
!−→ N +
Ã−→ B ·d−→
N ds
!−→ B = −1
R
−
→T + 1 T
−
→B
Enn, par dérivation du produit vectoriel, on obtient : d−→
B ds =d−→
T ds ∧−→
N +−→ T ∧d−→
N ds = 1
T
−
→T ∧−→ B = −1
T
−
→N
1
Application :
SoitΓ un arc paramétré de classeC∞, sl'abscisse curviligne,Rle rayon de courbure et T le rayon de torsion.
Alors :
1. Γest tracé sur une sphère si et seulement si : T d2R ds2 +dR
ds dT
ds +R T = 0 2. De plus sia∈R+∗et si Γest tracé sur une sphère de rayona, alors :
R2+T2 µdR
ds
¶2
=a2
On paramètreΓpar l'abscisse curviligne s,sparcourant un intervalleI.
1. Pour qu'il existe une sphère sur laquelleΓsoit tracée, il faut et il sut qu'il existeΩ∈R3tel que
∀s∈I, −−→
ΩM(s)·
−−→dM ds = 0
Ceci revient à l'existence de deux applicationsu, v:I→Rde classeC∞telles que :
∃Ω∈R3,∀s∈I, −−→
ΩM =u(s)−→
N(s) +v(s)−→ B(s) ou encore, en dérivant :
−
→T =u0−→ N +u
Ã
−
−
→T R +
−
→B T
! +v0−→
B +v Ã
−
−
→N T
!
En identiant les coecients dans la base orthonormée(−→ T ,−→
N ,−→
B), on a alors : 1 =−u
R, u0− v
T = 0, u
T +v0= 0 En éliminantuetv, on obtient la relation demandée, et de plus :
u=−R et v=TdR ds
2. Avec les notations précédentes, on a trouvé que
−−→OM =−R−→ N +TdR
ds
−
→B
D'où :
kak2=k−−→
ΩMk2=R2+T2 µdR
ds
¶2
2
