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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:

Verhamme, A. (1987). Contribution à la cinétique logique: étude exhaustive des systèmes logiques asynchrones à deux variables binaires;

développement de méthodes d'analyse; étude d'un modèle de réseau (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.

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Université Libre de Bruxelles Faculté des Sciences

Laboratoire de Génétique Service des Systèmes

Logiques et Numériques

COMXRI BUT I ON A l_A CINEXIOUE! L.OGIOLJE:

Etude exhaustive des systèmes logiques asynchrones à deux variables binaires

Développement de méthodes d’analyse Etude d’un modèle de réseau immunitaire

Thèse présentée en vue de I ’ obtention du grade légal de

Docteur en Sciences

UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES

FACULTE DES SCIENCES

L'épreuve publique pour l'obtention du grade légal de Docteur en Sciences de Monsieur VERHAMME, Alain, Licencié en Sciences, pour le groupe des sciences chimiques, aura lieu le :

MARDI 27 OCTDBRE 1987 A 16.30 HEURES

dans le Grand Auditoire des Bâtiments de l'Université Libre de Bruxelles, 67, rue des Chevaux à 1640 Rhode-St-Genèse.

Monsieur VERHAMME présentera et défendra publi­

quement une dissertation originale intitulée :

"Contribution à la cinétique logique :

Etude exhaustive des systèmes logiques asynchrones à deux variables binaires.

Développement de méthodes d'analyse.

Etude d'un modèle de réseau immunitaire":

et une thèse annexe intitulée :

"La distinction formelle entre les protéines du soi et du non-soi s'opérant au niveau des oligopeptides, les banques de données faciliteront l'identifi­

cation des déterminants antigéniques exogènes mais aussi des déterminants du

soi impliqués dans la régulation du système immunitaire".

Thèse annexe.

La distinction formelle entre les protéines du soi et du non- soi s’opérant au niveau des oligopeptides, les banques de données faciliteront l’identification des déterminants antigéniques exogènes mais aussi des déterminants du soi impliqués dans la

régulation du système immunitaire.

Université Libre de Bruxelles Faculté des Sciences

Le ^9

Laboratoire de Génétique Service des Systèmes

Logiques et Numériques

CONTRIBUXION A LA CINETIQUE LOGIQUE:

Etude exhaustive des systèmes logiques asynchrones à deux variables binaires

Développement de méthodes d’analyse Etude d’un modèle de réseau immunitaire

Thèse présentée en vue de i ’ obtention du grade légai de Docteur en Sciences

Verhamme, Alain

Octobre 1987

Qe tiens

â

temeiclet /Honsieuz Le “pzo^esseuz 72.. Thomas d'nooLz aceefité la. àizectton de cette thèse et de tn' aooiz gaidè paz de nombzeux conseils tout en me pzésezoant une gzande latitude dans le choix des mo\fens néeessaizes à La zéalisation de ce tzaoail.

Qe zemezcie également Ji/lonsieuz le “Pzo-^esseuz Q. ^lozine, T^izecteuz du sezoice des ^yfstémes logiques et /^uméziguesy de m’ aooiz accueilli dans son lahozatoize et d* aooiz mis tous ces moyens à ma disjaosition.

Qe zemezcie le "pzo^esseuz Q. lizbain pouz les czitiepses et Les suggestions gue lui ont inspizé la lectuze de mon pzofet d'anal\fse de modèle de zéseau immunitaize.

Qe tiens d expzimez toute ma gzatitude d /Honsieuz J>h. "Oan •Ham, C0-T)izecteuz de cette thèse, pouz la gentillesse, la disponibilité et la compétence aoec Lesquelles il V a dizigée. Qe lui suis zeconnaissant de m' aooiz enseigné Les pzincipes de la cinétique logique et d'aooiz contzibué tout au long de ce tzaoail d ma ^ozmation de chezcheuz.

Qe suis pazticulLêzement zeconnaissant d /Honsieuz C. bOuilmazt et lui suis zedeoable pouz les nombzeuses discussions qui ont contzibué d V étude des modèles de zéseaux immunitaize s.

/Hezci encoze d /Hessieuzs Q, Û^ezmain et nombzeux conseils qu ils m' ont donnés au couzs de

Q. 'Michelle pouz mes tzaoaux.

les

Qu' il me soit encoze pezmis de zemezciez tous les membzes du sezoice des ^\fstêmes Logiques et

gentillesse qu' ils m' ont témoignées.

/^uméziques pouz V amitié et la

£.n^in, fe zemezcie l' l.R.S.I.A.

long de ces années.

dont V appui financiez ma aidé au

Table des matières.

Introduction: i

Chapitre I : Introduction à la cinétique logique. 1

A. Variables et fonctions logiques 3

B. L’opérateur délai 5

C. Evolutions temporelles et caractéristiques cinétiques

6

D. Bib1iographie 11

Chapitre II : Etude exhaustive des systèmes logiques

asynchrones à deux variables binaires. 13

Première partie. 1A

A. Introduction lA

B. Liste exhaustive des systèmes logiques à deux

variables binaires 16

C. Graphes d’états et symétries 19

D. Résultats et classification 21

E. Analyse de cas complexes 29

F. Représentation des états finals: diagrammes

de séparation 31

1. Systèmes admettant un nombre fini de solutions 32

a. Cas triviaux 32

b. Cas où la repésentation des solutions ne

recquiert qu’un seul paramètre de séparation 32 c. Cas où la repésentation des solutions

recquiert plus d’un seul paramétre de

séparation 3A

2. Systèmes admettant un nombre infini de solutions 36

a. Cas où il n’y a pas de séparation 37

b. Cas où la repésentation des solutions ne

recquiert qu’un seul'paramètre de séparation 37 G. Annexe; Table de correspondance entre tout couple

d’équations logiques et sa famille dans

la classification Al

H. Bibliographie A2

Etude exhaustive des systèmes logiques asynchrones à deux variables binaires-

Seconde partie. 43

A. Introduction “^4

B. Oscillateurs indépendants et oscillateurs couplés 45

C. Solutions analytiques et simulations 46

D. La représentât ion en tore 47

1. Caractéristiques d’une trajectoire 50

E. Cas où une variable n’est pas excitée dans un

quadrant: les oscillateurs couplés 51

E. Conditions de périodicité et d’apériodicité des

solutions 5E

1. Le théorème de kronecker 5S

E. Le cas des oscillateurs indépendants 5E

3. Le cas des oscillateurs couplés 5S

F. Typologie des trajectoires sur le tore 54

1. Alternance des cycles en x et en y 54

E. Propriété du parcours d’un tojre.x>y: l’avance

cumulée 55

3. Répartition des variations de l’avance cumulée 57

G. Typologie de trajectoires 58

1. Cas des oscillateurs indépendants 58

E. Cas des oscillateurs couplés 59

a. Ecriture des trajectoires jusqu’à l’entrée

dans le quadrant

10

60

b. Ecriture des fins de séquences 61

c. Typologie complète du système des oscillateurs

couplés

6

E

d. Cas particuliers appartenant à la typologie

du cas des oscillateurs couplés 63

H. Discussion

66

I. Annexe 1: Calcul de la répartition des hélices à 69 n

+1

tours

Annexe E: Calcul d’une relation décrivant le passage 71 par le quadrant

10

73 Chapitre 111 : Contribution aux méthodes d’analyse de la

cinétique logique

A. Introduction 74

B. Description des algorithmes 77

1. Résolution du premier problème fondamental 77

a. Programme Séquence 77

b. Programme Etats_finals 78

c. Programme Et_fi_moy 79

d. Programme Traj_moy 80

e. Programme Valcri 81

i. Variations indépendantes des délais 81 ii. Variations simultanée des délais

8

S

f. Programme Trajcri 83

2. Résolution du deuxième problème fondamental 84

a. Programme Matori 85

b. Programme Chemin

86

3. Résolution du troisième problème fondamental 87

a. Programme Fuseli

88

C. Conclusions 89

D. Annexe 1: Description des procédures 90

Annexe 2: Description des variables 94

f

E. Bibliographie 99

Chapitre IV: Analyse d’un modèle de réseau immunitaire lOO

A. Données immunologiques lOE

1. Introduction 102

2. Structure et génétique des immunoglobulines 103

3. L’idiotypie 106

Lympocytes et collaboration cellulaire 108 a. Lymphocytes B et théorie de la sélection

clonale 108

b. Lymphocytes T 109

5. Ponts antigéniques et interactions idiotypiques 110

6

. La mémoire immur\itaire 113

B. Modélisation d’un réseau immunitaire IIA

1. Introduction 11^

2. Description du modèle ^.il5

a. Lymphocytes B 115

b. Lymphocytes T 116

c. Production d’anticorps 118

C. Résultats de l’analyse du modèle de

réseau immunitaire 119

1. Remarques pré1iminaires 119

a. Réponses primaiaT*P et secondaire 119

b. Remarques 121

c. Choix de l’outil de simulation 122

2. Réponse secondaire en présence d’antigène IHA a. Cycles finals réponse secondaire en présence

d’antigène lEA

b. Systèmes d’inéquations décrivant les cycles 125

c. Etude des trajectoires 126

d. Systèmes d’inéquations décrivant

les trajectoires 127

e. Etats critiques et conditions su'Tfisantes

à la production d’anticorps 128

3. Réponse primaire en présence d’antigène 1S8 a. Cycles finals réponse primaire en présence

d’antigène 128

b. Systèmes d’inéquations décrivant les cycles 128

c. Etude des trajectoires 129

d. Systèmes d’inéquations décrivant

les trajectoires 129

e. Etats critiques et conditions suffisantes

à la production d’anticorps 129

D. Interprétation des résultats 130

1. Présentation des résultats 130

2. Trajectoires et cycles producteurs d’anticorps 131

a. Les trajectoires 131

b. Les cycles 132

c. Solutions admissibles 133

3. Conditions de parcours des solutions 133 4. Conditions suffisantes à la production

d’anticorps 135

5. Comparaison des modèles 136

a. Les hypothèses 136

b. Les modèles 137

c. Analyse des modèles et comparaison

des solutions 138

E. Conclusions lA^l

F. Annexes 1^4

Annexe 1: Cycles finals de la réponse secondaire

en présence d’antigène 14<4

Annexe 2: A. Conditions de parcours des cycles

finals 1^7

B. Inéquations déduites des systèmes

d’inéquations 157

Annexe 3: Trajectoire du modèle de la réponse

secondaire en présente d’antigène 158 Annexe 4: Systèmes d’inéquations décrivant le

parcours des trajectoires en réponse

secondaire en présente d’antigène

159

Annexe 5: Table de correspondance entre cycles

finals et trajectoires 16E

Annexe

6

: Etats critiques et conditions suffisantes à la production d’anticorps pendant la

réponse secondaire 163

Annexe 7: Cycles finals de la réponse primaire en présence d’antigéne et avant apparition

des cellules de mémoire 16<^

Annexe

8

: Systèmes d’inéquations décrivant les conditions de maintien dans les cycles

finals 16A

Annexe 9: Systèmes d’inéquations complémentaires

en la variable bl 165

Annexe 10: Etats critiques et conditions suffisantes à la production d’anticorps pendant la

en réponse primaire 168

6

. Bibliographie 169

Conclusion; 173

1

ntroduction.

Depuis le milieu de ce siècle, la connaissance en biologie moléculaire a subi une véritable révolution. Depuis la découverte de l’acide désoxyribonucléique en tant que support de

1

’ information génétique jusqu’à l’élucidation des mécanismes d’infection de certains rétrovirus, c’est toute notre conception du vivant qui a été bouleversée. Les découvertes de certaines techniques d’investigations (séquencement automatique d’A.D.N., clonage...) ont elles-mêmes accéléré l’acquisition d’informations qui permettent de connaître, aujourd’hui, les principaux acteurs du vivant. Mais si cette accumulation d’informations enrichit notre connaissance, elle rend également plus délicate sa compréhension globale. Dans la plupart des cas, la complexité qui résulte de l’interaction de divers protagonistes est telle, que tester la cohérence d’une représentation conceptuelle devient difficile, voire impossible, si l’on ne recourt pas à des méthodes de formaiisation mathématique.

Classiquement, les méthodes de modélisation utilisent un formalisme où le modèle est représenté par un système d’équations différentielles dont la résolution fournit les comportements qualitatifs et quantitatifs. Outre les difficultés que l’on peut rencontrer dans la résolution de systèmes d’équations différentielles, ce type de modélisation perd une bonne part de son intérêt, puisqu’il ne fournit plus d’informations quantitatives précises, lorsqu’il s’agit d’analyser des systèmes dont les fonctions d’évolution ne sont pas connues avec précision.

La cinétique logique constitue en tant que formalisme et outil de modélisation une voie complémentaire importante à l’approche classique. Elle s’adresse plus particulièrement à l’étude de systèmes interactifs ou de régulation dont elle permet une description en termes d’équations booléennes.

Par le premier chapitre de ce travail, nous invitons le lecteur à découvrir ou à se remémorer les bases essentielles de la cinétique logique. Nous y décrirons la relation entre variable et fonction logique et examinerons le mode de gestion d’un opérateur temporel appelé "délai inertiel". Enfin, à l’aide d’un exemple, nous calculerons les évolutions temporelles d’un modèle et en déterminerons certaines caractéristiques cinétiques.

L’évolution d’une méthode de modélisation dépend notamment de l’apport que lui procurent l’étude de modèles théoriques (abstraits) ou "réels" (issus de données expérimenta

1

es) et du développement de nouvelles techniques d’analyse et/ou d’investigation. On ne saurait assez dire combien l’étude de modèles influence le développement de nouvelles techniques et réciproquement, l’une alimentant l’autre. Pour l’exposé de ce travail, nous avons délibérément séparé l’étude de modèles et le développement d’outils d’analyse bien qu’en réalité l’une ne se soit pas faite sans l’autre. Ainsi, le chapitre II présente une étude exhaustive des systèmes logiques asynchrones à deux variables binaires. Dans une première partie, nous proposerons à la fois une c

1

assification de ces systèmes et un mode de représentation de leurs solutions. Dans une seconde partie, nous

analyserons deux systèmes dont les comportements sont particulièrement complexes. Il s’agit du cas de deux oscillateurs indépendants et de celui de deux oscillateurs couplés. Nous montrerons par cette étude que les sytèmes logiques asynchrones à deux variables binaires ne peuvent pas adopter de comportement chaotique et que la connaissance des comportements de systèmes à deux variables binaires permet» dans certains cas, de prédire le comportement de systèmes comportant un plus grand nombre de variab

1

es.

Dans le troisième chapitre, nous exposerons la nature des trois problèmes fondamentaux posés par la modélisation en cinétique logique et proposerons de nouvelles techniques d’investigation et d’analyse. Le lecteur y trouvera également une description algorithmique des méthodes que nous avons déve

1

oppées.

Dans le chapitre IV nous modéliserons, à partir de données bibliographiques récentes, un modèle de réseau immunitaire.

Celui-ci sera analysé dans le contexte de réponses immunitaires primaire et secondaire en présence continue d’antigène. Nous calculerons les trajectoires, états finals et caractéristiques cinétiques de ce modèle et nous proposerons des représentâtions des solutions favorisant la confrontation de ces prédictions avec des données expérimentales. Enfin, nous examinerons deux hypothèses qui influencent l’évolution des populations de T suppresseurs et en testerons les implications dynamiques.

CHAPITRE I.

Introduction à la cinétique logique.

Introduction A la cinétique logique.

Apparue au cours des années septante, la cinétique logique est née du désir de modéliser des systèmes de régulations complexes comportant de grands nombres de variables. Cette méthode de modélisation a, au cours de sa génése, bénéficié de l’apport des mathématiques discrètes et des méthodes de conception d’automates des ingénieurs <

1

,

2

>.

La cinétique logique a rapidement permis l’analyse de modèles de régulation génétique <3-5> et a connu, au cours de ces dix dernières années, des développements que l’on peut regrouper autours de trois axes principaux: la généralisation de la méthode

<6-7>, le lien avec des méthodes d’analyse continues <8-12> et enfin, le développement de nouvelles techniques d’analyse <5,13—

15> .

Comme toute méthode de modélisation, la cinétique logique vise à la vérification d’hypothèses ou de concepts. Son originalité, qui réside essentiellement dans son formalisme booléen et dans la gestion de ses opérateurs temporels, lui ont ouvert des champs d’application dans des domaines aussi

différents que la génétique <3-5,

8

>, l’immunologie <16-17>, la climatologie <18>, l’océanographie <19> et l’urbanisme <20>.

Dans le cadre de ce travail, nous utiliserons des variables booléennes à deux niveaux (O et 1). Contrairement à ce que l’on pourrait croire, ce choix n’est pas arbitraire. En particulier, dans la description du modèle de réseau immunitaire, il ne nous a simplement pas paru nécessaire d’en envisager davantage. Nous ne nions pas que dans la "réalité" il puisse en être autrement, mais nous affirmons que pour décrire le modèle et l’analyser, deux niveaux par variable suffisent. Signalons par ailleurs qu’un nombre supérieur de niveaux ne constitue pas de problème pour la cinétique logique car s’il est vrai que cette méthode a originellement été développée en utilisant des variables à deux niveaux, elle a depuis subi deux généralisations:

— La première concerne le cas où des variables possèdent plus de deux valeurs que l’on désire ordonner (par exemple, des valeurs de concentrations). Pour ces variables, appelées variables multiniveaux, les transitions entre niveaux extrêmes ne peuvent se faire qu’en passant successivement par l’ensemble des niveaux intermédiaires <

6

>.

- La seconde généra 1isation a engendré les variables séquentielles, variables à plus de deux valeurs que l’on ne peut ordonner (par exemple, des saveurs) <7> .

Revenons-en à présent au cas "classique" de variables booléennes présentant deux niveaux et notons au passage qu’elles constituent à la fois un cas particulier des variables multiniveaux et des variables séquentielles.

A. Variables et •fonctions logiques.

En général, la modélisation tend à décrire un ensemble d’objets en créant entre-eux des liens sur base d’un schéma de relations de cause

à

effet. De ce point de vue, on peut lier l’évolution temporelle d’une variable à une cause physique que l’on tentera généralement de modéliser par une fonction de certaines autres variables du système.

En cinétique logique, chaque élément du modèle est décrit d’une part, par une fonction logique Yi caractérisant son évolution et d’autre part, par une variable logique vi décrivant son niveau. Dans le cas d’une substance chimique, Yi aura généralement la dimension d’un flux et yi celle d’une concentrât ion.

Lorsque les conditions nécessaires au changement de Yi sont telles qu’une transition est exigée, la valeur de la fonction logique Yi change instantanément. Par contre, l’effet produit par Yi n’apparaîtra que de manière différée dans le système.

La figure 1 montre comment le changement de Yi (la cause) est répercuté de manière différée sur une variable booléenne yi

(

1

’effet).

La figure montre que les changementE de valeurs de yi apparaissent après un délai fi lors d’un enclenchement (transition de niveaux de 0 vers 1) et après un délai fi lors d’un déclenchement (passage de 1 à 0).

Fiqure 1.

3

a

<

La variable yi, associée à Yi, ne commute (c’est-à-dire ne déclenche ou n’enclenche) que lorsqu’un laps de temps spécifique de la transition s’est écoulé. D’une certaine manière, chaque Yi préfigure l’état de la variable correspondante yi; toute la complexité de la cinétique se trouvant ainsi réduite à un couple de délais entre Yi et yi.

Lorsque plusieurs variables sont appelées à commuter, des phénomènes de course entre transitions de différentes variables peuvent apparaître car il n’y a a priori aucune raison de penser que les changements de valeur des variables se font de manière synchrone. En cinétique logique, les commutations de différentes variables sont traitées de manière asynchrone et la gestion des transitions devenant plus complexe, on la confie généralement à un opérateur délai. Le système de n équations suivant décrit

l’’évolution temporelle des variables d’un modèle.

Yi= fi(y1,..yn,X1..xn) yi= Di(Yi)

i =

1

, . . , n

Les fonctions fi utilisent exclusivement des connectifs logiques (ET, OU, NGN-ET, NON-GU). Les xi décrivent des variables logiques dont les valeurs ne peuvent ?tre modifiées que par une action extérieure, délibérée, de l’utilisateur. Par contre, les aleurs des yi peuvent changer au cours de l’évolution temporelle U modèle. Généralement, les yi sont appelées variables internes.

Les Di représentent des organes de mémoire qui associés aux variables sont gérés par un opérateur délai dont le fonctionnement est examiné dans le paragraphe suivant.

La figure

E

montre que ce système de n équations logiques représente également un système logique asynchrone.

Les xi représentent les variables externes du système. Les Yi préfigurent les valeurs des variables yi correspondantes. Enfin,

les fi et «i sont des valeurs utilisés par l’opérateur délai.

B. L’opérateur d^lai.

Dans ce travail nous utiliserons un opérateur délai» appelé délai inertiel en raison de son inertie à transmettre les ordres de tr ans i t i ons^- <5>. Cet opérateur décide, en effet, que si deux variations successives et antagonistes d’un Yi sont demandées dans un intervalle de temps inférieur au temps nécessaire à la réalisation de la première de ces variations, la seconde variation annihilera la première. Comme le montre la figure 3, la seconde variation provoque un rattrapage de l’ordre de transition précédent et annule l’effet de la première instruction-

Y I

Avant que le preiier enclenchesent n’ait eu le teispe de se réaliser, un ordre de déclenchefflent est donné. 11 en résulte un rattrapage, une annihilation de renclenchentent avec pour corollaire une valeur de yi inchangée. Le cas du rattrapage d’un ordre de déclencheaent y est égaleæent représenté.

Figure 3.

Examinons à présent comment l’opérateur délai gère les situations où plusieurs variables sont appelées à commuter . A chaque variable est associé un "reste" que l'on initialise dès qu’une demande de transition apparait. La valeur que l’on affecte à ce reste dépend de la variable et de la transition

(enclenchement ou déclenchement).

Lorsque plusieurs variables sont appelées à commuter, l’opérateur délai examine le contenu des restes associés à ces

Un autre opérateur, appelé délai d’amplitude, tient compte du temps écoulé avant l’apparition d’un contre-ordre et permet ainsi de modéliser les phénomènes d ’ accumu1 ation <5—11>. Nous ne le décrirons pas en détail ici vu que dans ce qui suit, l’opérateur utilisé sera toujours de type inertiel.

5

variables, et provoque la commutation de la variable dont le contenu du décompteur est minimum'^-.

En d’autre termes, la variable qui change de valeur est celle dont le temps de transition est le plus court (reste minimal). Pour tenir compte du temps écoulé, on recalcule par soustraction de la valeur minimale, les contenus des restes de toutes les variables appelées à commuter. Les restes courants ainsi obtenus sont plus précisément appelés restes de commutation et représentent, si la demande de commutation est maintenue, le laps de temps précédant la transition de la variable. Par contre, si le changement de valeur d’une variable n’est pas maintenu sur un intervalle de temps suffisamment long, un rattrapage intervient, la transition ne se produit pas et son reste de commutation n’est plus pris en considération pour calculer l’état suivant.

Enfin, signalons que lorsque toutes les commutations sont nouvellement excitées, les restes de commutations sont automatiquement réinitialisés avec pour conséquence

1

’oub

1

i de

l’histoire du système.

C. Evolutions temporelles et caractéristiques des cinétiques.

Deux informations s’avèrent indispensables pour caractériser entièrement 1’état d’un modèle décrit par N équations logiques:

— un N—uplet de valeurs des variables logiques, encore appelé état binaire

- un N-uplet de valeurs de restes de commutations, les contenus des décompteurs associés aux transitions des variab

1

es,

Prenons, pour illustrer nos propos, le modèle logique suivant:

Y1 = yl + y3 YE = y 1.yE + y3 Y3 = yl + yË

Ce modèle décrit par trois équations logiques possède huit états binaires correspondant aux E*'' combinaisons de variables.

A partir des équations logiques qui décrivent ce modèle, nous pouvons dresser une table des états et calculer, pour chaque combinaison des variables yi, les valeurs des fonctions logiques Yi correspondantes.

yl y

2

^{y3 Yl Y2 Y3}

ô 0 ô 1 0 1

0 ô 1 0 1 1

0 1 1 0 1 1

ô 1 ô 1 0 1

1 T 0 1 0 0

1 1 r ^{1 1 0}

1 0 1 1 1 1

1 0 0 1 1 1

table des états

Nous avons vu précédemment que les -fonctions logiques Yi reflètent les intentions de changement de valeur des variables yi. Ceci implique que les états stables peuvent aisément être détectés par cdmparaison des vecteurs variables (yi; i=l,N) et fonctions (Yi; i=l,N): il suffit, en effet, que ces deux vecteurs soient égaux (cf. l’état binaire 011). Dans les autres états, vecteurs variables et fonctions diffèrent au moins d’une valeur;

les tirets suscrits indiquent les variables appelées à commuter.

En choisissant arbitrairement OOO pour état initial, on obtient le graphe orienté des états suivant:

000

110 « y

• m

Les flèches indiquent les possibilités de transitions

entre les états du «odèle.

Suivant les valeurs des délais d’enclenchement de yl et y3 — notés £1 et €3 -, le système évoluera soit vers OOl soit vers lOÜ. Si le temps d’enclenchement de yl (£1) est inférieur

à

£3 on passera en

100

sinon, on ira en

001

, puis inconditionnellement en

011

, l’unique état stable du modèle.

7

Examinons à présent les autres parcours dans le graphe:

1

.

000

->

100

->

101

->

111

->

1 10

->

100

->

101

->

111

...

E. ÔOÔ -> lÔÔ -> lïo -> lÔÔ -> lïo •

3. ÔOÔ -> lÔÔ -> lôl ->

1

lï -> lïo -> lôô -> lïo . . .

^ . ÔOÔ -> lÔÔ -> lïo -> lÔÔ -> lôl ->

1

lï ->

110

...

En prenant £

1

< £3 , le système passe de l’état initial

à 100 où deux commutations concurrentes sont demandées. Celle qui porte sur y3 a été enclenchée précédemment et l’on doit en tenir compte pour écrire les conditions de transitions de

100

vers chacun de ses deux états suivants possibles.

Comme la commutation de y3 est demandée depuis

000

et que

1

e temps écoulé entre

000

et

100

est

€1

,

1

es conditions de transitions s’écrivent: de

100

vers lOl : £3-

£1

< £E=* et

de

100

vers

110

: £E < C3-£l.

Notons que les termes £3-Gl et €2 sont respectivement les restes de commutation associés aux variables y3 et y2 dans l’état

100

et que le choix de la variable qui commutera dépend uniquement des valeurs de ces restes'». Il en résulte, comme nous l’avons dit plus haut, que leux états ne sont identiques que s’ils possèdent m§me formule binaire et mêmes valeurs de restes de commutations.

La recherl^he d’un comportement cyclique périodique, encore appelé c i rcuit, doit donc être abordé avec prudence. Examinant la première séquence, on peut vérifier que l’état binaire lOO apparait deux fois. Toutefois, ces deux états ne sont pas identiques car les restes de commutations associés aux transitions des variables sont différents. Pour le premier état binaire 100, nous avons vu que la condition de transition de lOO vers 101 s’écrit €3-€E < £1 alors que pour le second, cette condition est £3 < £1 puisque les enclenchements des variables y2 et y3 n’apparaissent pas dans l’état précédent. Les deux états

100

ne sont donc pas identiques et l’on peut vérifier qu’il en va de même pour les états

101

dont les restes de commutation de la variable y2 sont respectivement £E-£3+£l et £E-£3. Néanmoins, l’état

101

est un état particulier dans la mesure où une seule commutation y est demandée et inconditionnellement réalisée.

Ceci conduit à la réinitia 1isation des décompteurs de toutes les variables et provoque un oubli de l’histoire du système. Le passage par l’état d’oubli

101

rend donc les deux états

111

identiques avec pour reste de commutation de y3. Il en résulte

^

Lorsqu’un état compte p commutations, le passage vers chacun de ses P états suivants possibles est décrit par p

-1

inégalités.

• que la séquence d’états peut à ce niveau être rebouclée sur elle même. En d’autres termes» une fois la transition 101 —> 111

franchie, le système adoptera le comportement périodique représenté par le graphe ci-dessous.

101

i

111

Le parcours de ce circuit est décrit par l’unique inéquation

€3 < GE.

Nous appellerons trajectoire ou chemin la séquence d’états (000 -> 100 -> 101) qui précédé l’entrée dans ce circuit. Le système d’inéquation décrivant son parcours est G1 < G3

G3-G1 < GE

Les séquences d’états E et 3 conduisent au second circuit du modèle, soit 110 <-> 100, dont le parcours est donné par GE < G3.

Ce circuit a pour trajectoires les séquences a. ÔOÔ -> lÔÔ -> iTo -> lÔÔ et

b. ÔOÔ -> lÔÔ -> lÔl ->

111

-> iTo -> lÔÔ

décrites respectivement par les systèmes d’inéquations

a. T^gi < G3 b. T^gI < G3

(_GE < G3-G1 (G3-G1 < GE

Enfin, la quatrième séquence d’états décrit une trajectoire qui bien qu’aboutissant dans le premier circuit passe

transitoirement par le second.

ÔOÔ -> lÔÔ -> iTo -> lÔÔ -> lÔl

Cette trajectoire est décrite par le système d’inéquations suivant:

TgI < G3

|_GE < G3-61

et l’on peut aisément vérifier que le parcours de cette trajectoire est incompatible avec le parcours du circuit. En effet, il est impossible de satisfaire simultanément GE < G3-G1 et la condition de parcours du circuit, G3<GE. Il en résulte que

le parcours de la trajectoire et du circuit est physiquement impossible et donc que cette solution n’existe pas.

100 I

110

9

En résumé» l’analyse d’un modèle décrit par un système d’équations logiques permet d’en calculer les comportements :

— des trajectoire: des séquences d’états qui précèdent un état

fi

na

1

- des états

f

ina

1

s : états stables ou c i rcuits (stables ou i ns tab

1

es'’ ) .

Pour chaque séquence d’états, trajectoire ou circuit, il est possible de calculer un système d’inéquations caractéristique des contraintes sur les délais et d’en vérifier l’existence par un test de compatibi

1

ité.

“1 Un circuit est i ns tab 1 e lorsque son parcours implique une égalité entre combinaisons linéaires de délais. On peut, en

D. Bibliographie.

<1> Huffman, D.A. (195^). The synthesis of sequencial switching circuits, J. of the Frank 1 in—Institute, S57, 161 — 189.

<

8

> Florine, J. (196A). La synthèse des machines logiques et son automatisation, Dunod, Paris.

<3> Thomas, R. (1973). Boolean formalization of genetic control circuits, J. Theor. Biol., ftS, 565-593.

<A> Thomas, R. & Van Ham, Ph. (197A). Analyse formelle de circuits de régulation génétique: le contrôle de

l’immunité chez les bactériophages lambdoïdes.

Biochimie, 56, 1529-15A7.

<5> Van Ham, Ph. (1975). Modèles discrets à action différée.

Thèse, U.L.B.

<

6

> Van Ham, Ph. (1979). How to deal with more than two levels.

Lectures notes in Biomathemat ics, 29^, 326-3<43.

<7> Van Ham, Ph. (1985). Modelling by asynchronous sequencial variables, Dynamical Systems and Cellular Automata, Ed.

Demongeot J., Goles E., Tchuente M., Academie Press, 283-291.

<

8

> Richelle, J. (1980). Organisation spatiale et temporelle des êtres vivants: analyse théorique de quelques modèles. Thèse, U.L.B.

<9> Richelle, J. (1983). Description a Igorithmique des approches booléenne et continue. Bull. Cl. Sc . , 5^ s., tome VXIX, 535- 565, Acad. Roy. Belg.

<10> Leclercq, J. & Thomas, R. (1981). Analyse booléenne et

continue de systèmes comportant des boucles de rétroaction.

Bull. Cl. Sc., 5” s., tome VXVII, 190-225, Acad. Roy. Belg.

<11> Thomas, R. Ed. (1979). Kinetic logic: A boolean approach to the analysis of complex regulatory Systems. Lecture notes in B i orna thema t i c s , 29^, Springer-Verlag, Berlin.

<12> Thomas, R. (1980). Logical description, analysis, and synthesis of biological and other networks comprising

feedback loops, Adv. Chem. Phys., 5^, 2A7-282.

<13> Van Ham, Ph. & Dehouck, J.L. (1979). Computer programs for simulation of logical models. Lecture Notes in Biomathematics, 29, 1A9-163.

<14> Verhamme» A. &< Van Ham, Ph. (1981). Critical delays in logical asynchronous models, Numerical methods in Study of critical Phenomena, Springer Ver 1ag, 194- 199.

<15> Verhamme, A. (1982). Représentâtion des attracteurs et de leurs trajectoires dans l’espace des délais et algorithme de calculs de conditions de parcours entre états initial et final dans les systèmes logiques asynchrones, Bull. Cl. Sc. , 5;^ s., tome VXX, 241-279, Acad. Roy. Belg.

<16> Verhamme, A. (1979). Analyse booléenne d’un modèle de réseau

immunitaire, mémoire de licence, U.L.B. _*

<17> Kaufman , Urbain, J., N.Thomas, R. (1985). Towards a

logical analysis of the immune response, J. Theor. Biol., 114. 527-561.

<18> Nicolis, C. (1982). A boolean approach to climate dynamics.

Quart. J. R. Met. Soc., 108, 707-715.

<19> Lacroix, B. (1978). Application des modèles logiques

multiniveaux à

1

’océanographie et à la biologie moléculaire, mémoire de licence, U.L.B.

<20> Boon, F. &< de Raima, A. (1979). Boolean formalism and urban development. Lectures notes in Biomathematics, 29, 402-439.

<21> Van Ham, Ph. (1982). Démonstration de deux conjectures concernant les conditions de multistationnarité et de

comportements périodiques stables dans les modèles logiques asynchrones. Bull. Cl. Sc. , 5;;^ s., tome VXVII, 267-294,

Acad. Roy. Belg.

CHAPITRE II.

Etude exhaustive des systèmes logiques asynchrones à deux variables binaires.

Première partie.

AUTRES COMMUNICATIONS

SYSTÈMES LOGIQUES

Étude exhaustive des systèmes logiques asynchrones à deux variables binaires

par Alain VERHAMME * Philippe VAN HAM (*) Service des Systimes Logique] et Numiriques

Univeraiii Libre de Bruxelles

Introduction

La cinétique logique est une méthode qui permet d’aborder l’étude des systèmes en associant aux objets qui les constituent des variables caractéristiques logiques (par exemple binaires) : chaque objet peut être vu comme un petit automate logique possédant une dynamique

« entrées-sorties » spécifique. De manière simplifiée, on peut dire que la réponse (sortie) d’un objet est une fonction logique de variables soit e.xtemes (en provenance d’un autre objet du système par exemple), soit internes (ce qui permet à l’objet d’être fonction de son passé).

Tout changement de la valeur de sortie d’un objet est, dans le cas asynchrone qui nous occupe, différé dans le temps d’un délai caracté­

ristique de l’objet et du changement opéré ; ce n’est donc qu’après ce temps spécifique que le système est informé de la nouvelle valeur de sortie de l’objet. Ainsi, plusieurs objets peuvent, en même temps, être dans la phase où le changement que chacun a calculé est en cours de propagation dans son délai associé : il y a une course entre ces diffé­

rents changements et il devient nécessaire de confier la gestion des délais à un opérateur qui définira la succession temporelle de ces changements. Dans le cadre de notre étude, cet « opérateur délai » est

« inertiel » : si un changement n’est pas maintenu pendant toute la durée du délai associé, il n’est pas transmis. Un changement pourrait ne pas se maintenir en raison de variations des variables d’entrées de l’objet suite à l’évolution des autres objets du système .

(*) Priseniés par M. R. Thomas.

-63 —

Alain Verhamme et Philippe Van Ham

La cinétique logique constitue une méthode de modélisation et d’analyse particuliérement bien adaptée à l’étude d’une large gamme de phénomènes non-linéaires. En particulier, elle convient pour la description de systèmes complexes dont les interactions sont de type distributif et dans lesquels les phénomènes de régulation jouent un rôle primordial. En ce sens, elle constitue un outil d’analyse privilégié pour l’étude de systèmes biologiques faisant l’objet de nombreux con­

trôles ou régulations [1]. De plus, les études comparatives entre cette méthode « discontinue » (équations logiques) et certaines méthodes de modélisation « continues » (équations différentielles) montrent que, dans bien des cas, l’analyse « discontinue » permet de prévoir d’une manière extrêmement économique et directe les caractéristiques d’un système en bon accord avec celles obtenues par le traitement par une analyse « continue » [2], Ces données nous ont incités à entreprendre l’analyse systématique de tous les systèmes logiques asynchrones à deux variables. L’intérêt de cette étude peut être situé à deux niveaux.

D’une part, elle offre une base de comparaison supplémentaire, per­

mettant d’approfondir ultérieurement la compréhension des liens avec les prévisions obtenues par une approche « continue ». Il est en effet essentiel que les deux approches qui se complètent, puissent avoir, dans leur description des systèmes, un vocabulaire commun et non ambigu. D’autre part, l’étude de tels systèmes devrait nous permettre de mieux comprendre et de caractériser certains comportements parti­

culièrement complexes observés dans des systèmes comportant un plus grand nombre de variables. Dans cet esprit, la transcription des équa­

tions logiques caractérisant un modèle en termes monotonisés utilisant e.xclusivement des fonctions « non-et » (nand) [7] permet d’utiliser l’ensemble des acquis de la théorie des graphes (3). Ainsi, nous pour­

rons comparer différentes structures de graphes appartenant à des systèmes comportant des nombres différents de variables. Dans cet article, nous présentons les résultats de l’analyse de la plupart des systèmes logiques à deux variables binaires et en proposons une classi­

fication ainsi qu’un mode de représentation de leurs solutions. Dans un second papier, nous poursuivrons cette étude avec l’analyse des cas les plus complexes et montrerons que certaines caractéristiques des systèmes à deux variables sont immédiatement transposables aux sys­

tèmes logiques à N variables.

-64 —

15

Étude (exhaustive) des systèmes logiques asynchrones

B- Listeexhaustivedessystèmeslogiques À DEUX VARIABLES BINAIRES

Nous conviendrons de numéroter les fonctions de la manière sui- vante :

1

: .r >-

2

:

x-y

3 :

x-p

5 :

x + y 6

: .c + >> 7:

x + p 9 : x ÿ

+ -c-^

10

:

x-y

+

x-ÿ 1 1

: -c-

13:

y

14: y 15: 1

4 :

xy 8

;

x + ÿ 12 :

^X 16:

0

où • et + sont respectivement les connectifs logiques ET et OU inclu­

sif. Ces fonctions seront affectées au calcul des variables de sorties effectives .r et

y

d’un système à deux objets. Elles servent aussi de variable d’entrée comme le montre la figure

1

.

■■■«

objet 1 objet 2

F

><

X

F

U

Y y

X ^

y

^---

l

________________-t.---

Fig. I.

Ainsi, quand on écrit X = F,(.r, et

Y

= F^(.t,>') on précise la structure de ce système à deux objets; seuls les opérateurs délais contiennent des paramètres ajustables à savoir, les temps d’enclenche­

ment et de déclenchement respectifs

ô^, 6^

des deux variables JC et

y.

Le codage (arbitraire) des fonctions permet d’exprimer simplement et de manière abrégée tout système d’équations â deux variables issu de l’une des 256 (16 x 16) combinaisons.

Ainsi, par exemple, 2,10 représente la combinaison des équations X = .c->> et

'^ = .^-y¥x-ÿ

À partir de chacun des systèmes d’équations ainsi obtenu, nous pou­

vons alors dresser une table des états ou matrice de Kamaugh qui nous permettra ensuite d’établir le graphe des états du système (4-5J.

-65 —

Alain Verhamme et Philippe Van Ham

La table des étals du système 2,10 s’écrit

X y X Y

0 0

0 1 1 1

1 1 0 0

1 0 0 1

Le vecteur variable (x,

y)

représente l’état présent du système et le vecteur fonction (X, Y) décrit les potentialités futures ou « intentions » de celui-ci. Lorsque ces deux vecteurs sont identiques on dit que les valeun des variables correspondent à un

état stable

du système (comme l’état 00 de notre e.xemple). Si les vecteurs variable et fonc­

tion diffèrent par

p (p>\)

valeurs, le système pourra, suivant les valeurs affectées aux délais des transitions de chaque variable, évoluer vers l’un des

p

états suivants ('). Afin de souligner ce phénomène de concurrence entre variables, généralement appelé course, nous utili­

sons une notation où les variables appelées à éventuellement commu­

ter sont surmontées d’une barre. Rappelons ici que nous utilisons un opérateur délai inertiel [5] : si deux variations successives et antago­

nistes d’une même variable sont demandées dans un intervalle de temps inférieur au temps nécessaire à la réalisation de la première de ces variations, on considère que la seconde variation armihile la pre­

mière. À chaque changement, on réexamine les sorties de l’ensemble des objets et l’opérateur délai calcule alors pour les objets dont les changements sont maintenus, les restes de commutations ou temps restant avant changements présumés. Enfin, quand tous les change­

ments sont nouveaux, l’opérateur délai procède à une réinitialisation des restes de commutations oubliant ainsi au niveau de l’opérateur le passé du système (dans ce qui suit cette opération sera décrite par ce que nous appelerons état d’oubli du système).

(') Ceci n'est plus valable si l'on considère des situations où plusieurs variables sont amenées à commuter simultanément : on aurait alors 1^— 1 états suivants.

-66-

17

Élude (exhaustive) des systèmes logiques asynchrones

Le graphe des états correspondant au système 2,10 est le suivant : 0

00 01

i !L

_{1 0} --- * 11

La flèche bouclée sur l’état 00 indique que cet état est stable.

Une seule tlèche représente une possibilité structurelle de transition d’un état vers un autre.

La flèche double (aller-retour) indique que structurellement les transitions entre les

2

états sont permises dans les deux sens.

Ainsi, suivant le choix de l’état initial et la valeur des paramètres (délais), le système

2,10

peut adopter un comportement cyclique tran­

sitoire ou cycle (^) métastable (^), un comportement périodique non complexe stable

01

^

11

, un état stable

00

ou plusieurs comporte­

ments périodiques complexes. Ces derniers sont constitués ici d’un cycle métastable lié à un cycle stable ; on parcourt n fois le cycle métastable avant de parcourir le cycle stable

((11

^

10

)" -♦

11

-»

01

).

En résumé, les systèmes logiques asynchrones à délais inertiels (nous sousentendons ce fait par la suite) admettent trois types d’états fïnals :

Lètat stable:

lorsque les vecteurs variables et fonctions sont iden-

'

»

tiques.

L'état périodique simple :

une succession d’états binaires et de restes de commutations associés qui se reproduisent périodiquement et qui ne comporte pas de parcours de cycle métastable.

L’état Éinal périodique complexe :

une succession d’états binaires et de restes de commutations associés qui se reproduisent périodique­

ment et qui comportetf toujours un ou plusieurs parcours de cycle métastable.

(^) Nous appelerons cycle toute séquence d'états binaires qui se reproduit un certain nombre de fois dans le système. R. Thomas considère que pour appeler cycle une telle séquence, il faut de plus que des suscrits relatifs aux étals de commutations soient les mêmes pour des séquences successives des états binaires.

(’) On appelera cycle métastable un comportement qui se reproduit un certain nombre de fois avant de diverger vers d'autres éuis du système. Étant donné la condition supplémentaire imposée aux cycles de R. Thomas. celui<i ne reconnaît pas l'existence de tels cycles métastables.

-67 -

A loin Verhamme et Philippe Kan Ham

Notons immédiatement que pour qu’un état final périodique (com­

plexe ou non) soit instable, il suffit que lors du parcours de son cycle d’états les restes de commutations de deux objets soient identiques (et donnent lieu à des changements simultanés) ; sinon il sera stable.

C

Graphesd’étatsetsymétries

Ces graphes possèdent un certain nombre de symétries qui per­

mettent dé diminuer le nombre de cas à étudier.

Ainsi le graphe __ __ 00 ;=i-oi

1 1 !

10 11

ü

auquel correspond le système d’équations logiques X = .t + ÿ &

Y =

X V

+

x y

(8-9), est symétrique du graphe du système 2,10. Et l’on peut remarquer que l’on peut obtenir 8,9 à partir de 2,10 en opérant les transformations suivantes :

.t-.r, y-y et X-X YY,

En effet, 110

X = .t-y devient X =

x-y —>X = x~^ = x + ÿ

(

8

)

Y = xy + x-ÿ

devient

Y = x-y + xÿ

(9)

Toutes les symétries structurelles des graphes peuvent être obtenues sur base de la liste des transformations reprise ci-dessous :

Table l.

.T X X i A y A

y

—» —* —«

y y y P y

A

y

A

y

A ^{ÿ .r X X X}

-* -* —•

y

A

y

»

y y y 9

-68-

19

Étude (exhaustive) des systèmes logiques asynchrones

Remarquons par ailleurs que pour une topologie donnée du graphe, le nombre de symétries envisagé est

8

et non 24 qui serait le résultat du comptage des permutations de quatre éléments (

00

,

01

,

11

, 10) sur les quatre sommets du graphe. Cela s’explique par le caractère asynchrone de ce type de modélisation qui n’envisage pas explicite­

ment les transitions entre états différant par plus d’une variable ; la simultanéité étant ici considérée comme marginale.

Par exemple, oo—ii 01 —10

est éludé et oo—

11

aussi ainsi que

1 I

10 — 01

10-01

11—10 1 1

00—10

I 1

II —01

et pour chacun leurs quatre rotations de 90 degrés.

11 reste donc bien 24 — (4 x 4) =

8

affectations permises.

Deux graphes seront semblables si l’un d’entre eux est le fruit de permutation des transitions de l’autre selon les règles énoncées au tableau I. Dans notre classification, nous avons regroupé dans une même famille les systèmes d’équations logiques à deux variables qui engendrent des graphes d’états semblables. Ainsi, l’ensemble des sys­

tèmes issus par transformations de

2,10

se retrouvent au sein de la famille 14.

Il est important de noter que ces transformations conservent non seulement les types et nombre respectifs d’états finals mais aussi cer­

taines propriétés fondamentales des systèmes données par le graphe monotonisé des variables (*) [7].

Ainsi, nous avons remarqué que le nombre et la parité des boucles dans le graphe monotonisé de différents systèmes appartenant à une même famille est conservé.

(*) Pour pauer d'un graphe « classique » des variables au graphe monotonisé des variables on transforme l’ensemble des équations du système en un ensemble d’équations logiques utilisant pour unique connectif logique le NAND (non-et). Cette transformation permet de ne pas devoir tenir compte du signe (positif ou négatif) des interactions entre variables puisque toutes les interactions sont définies négatives. Nous rappelons briève­

ment. que dans le graphe classique des variables, le signe d'une boucle est donné par la parité du nombre d’interactions négatives alors que, dans le graphe monotonisé le signe d’une boucle dépend seulement du nombre d’éléments qui la compose.

-69-

Alain Verhamme et Philippe Van Ham

En reprenant l’exemple 2,1Ô on peut obtenir le graphe monotonisé des variables suivant :

X = xy

Xl=NAND(.t2)

Y = .f->' + .v >- X2 = NAND X3 = NAND(.rl) Y1 = NAND (.t2,j'2) Y2 = NAND (.tl.yS) Y3 = NAND(>'1)

avec NAND(.f) =

x

; NAND(.r.

y) = x - y = x + ÿ

Il contient deux boucles impaires (négatives) X1-X3-X2 & Y1-Y3- Y2 et deux boucles paires (positives) Y1-X2, X1-Y2-Y1-X2 et tous les systèmes issus des transformations de

2,10

auront un graphe monoto­

nisé contenant des variables impliquées dans deux boucles impaires et deux boucles paires.

La conservation de propriétés au sein de systèmes appartenant à une même famille réduit considérablement le nombre de cas à analy­

ser et l’on est passé de 256 combinaisons possibles à l’étude de 43 familles (voir tab. II).

D.

RÉStn.T.\TS ET CIASSIFICATION

Dans la table II. à chaque famille (colonne I) est associé un tableau (colonne II) qui restitue les systèmes d'équations obtenus en appli­

quant les transformations décrites au tableau 1. Pour chaque famille la description comprend :

— le nombre de systèmes d’équations différents qui la composent (colonne III) ;

— le graphe d’états représentatif de cette famille (colonne IV) ;

— le nombre de liaisons simples (colonne V) et doubles (colonne VI) ;

— le nombre et la parité des boucles dans le graphe monotonisé (colonne VII) avec « + » pour paire et « — » pour impaire ;

— la nature et le nombre d’états fmals (colonne VIII). (E.st. pour état stable et C.st. pour cycle stable).

-70-

21

Étude (exhaustive) des systèmes logiques asynchrones

Notons que certains états stables (E.st.) ne peuvent être atteints que si l’on choisit précisément pour état initial cet état stable. Nous con­

viendrons d’appeler de tels états : états stables isolés (E.st.is). On notera s’il y a lieu entre parenthèses le nombre d’états stables isolés que l’on trouve parmi les états stables.

L’ensemble des systèmes qui admettent des trajectoires et états finals non-comple.\es se trouvent ainsi complètement décrits dans le tableau II grâce au.\ caractéristiques définies ci-dessus et n’appellent selon nous pas d’autres commentaires.

Enfin, un nombre restreint de familles (notées d’astérisques dans la colonne I) peuvent présenter des comportements périodiques com­

plexes. Ces systèmes ont fait l’objet d’une étude particulière dont les résultats sont exposés dans la section 5.

Le lecteur trouvera en annexe une table de correspondance entre tout couple d’équations logiques XY et sa famille.

-71

Table II.

I II in IV V VI VII VIII

7.9 3,10 10,1 9.5 0 0î=î01 1 1 3b+ 2E.st.

n 8

,

2b- (lE.is. )

9.6 10.2 1,10 5.9 1 0 11 IC.St.

O VJ tl

1,1 5.5 3.6 7.2 0 0-«—01 2 0 2b+ 2E.st.

F2 4 (lE.is.)

n

5.5 7.2 3.6 10 11

t'i O

' .2 5,6 1.6 5.2 00 01 2 0 2b+ 2E.st.

F2 8

1

^{1b- (lE.is)}

3.1 7.5 7,1 3.5 1 oy—11

O

1.3 5.7 4,6 e

.2

00*—01 2 1 2b* 1E.st.

F4 8 Ib- IC.St.

2.1 6,5 7,4 3.6 Tô jz^iT

1 .4 5.9 2,6 6.2 0ô oT 2 î lb+ IC.st.

r 5 8 2b-

4,1 3,5 7,3 3.7 T0 •«— iT

n ri

1 .5 5.1 7,6 3.2 0 0 01 2 0 3b* 3E.st.

c Z 4 (lE.is.)

0

5,1 1.5 7.6 3.2 10 —fil

1 .7 5.3 e

,6

4.2 0 0i=ï-01 2 1 2b* 1E.st.

F7 8 1b- IC.st.

6,1 2.5 7.8 3.4 T O

0---- » 11

-72-

83

Élude (exhaustive) des systèmes logiques asynchrones

I II III IV V VI VII VIII

a

i ,e 5.4 6.6 2.2 0 0--- *01 2 1 lb+ lE.st.

F8 8 2b- IC.st.

8.1 4.5 7.7 3.3 1-01 1

1 .9 5,10 10,6 9.2 0 0î=;0i 1 1 2b+ 1E.St.is

F9 8 2b- lC.5t.

9,1 10,5 7,10 3.9 10 - 11

1

• • * 2,3 6.7 8.4 8,4 0

(

—01 ft 1

2 2 Ib*

F10 4

II

^2b-

• * * 2.3 6.7 4.3 4.5 1

• * * 2,4 6.9 2.S 5.< 0

ï 11

2 2 3h-

Fl 1 3

11

* • • 4,3 3.7 9.3 4.5 T0«— 11

2.7 6.3 8.3 4.4 OOîz^Ol 2 2 1b<- 2C.st.

Fl 2 4

1

^{■ 2b-}

6.3 2,7 8,8 4.4 10--->• 11

2.9 6,10 10,8 9.4 0Ô=;01

t.

1 2 2b* 2C.st.

Fl 3 8

Il

^3b-

9.3 10,7 8,10 ■ 4,9 1 0 11

• • • 2,10 6.9 9,8 10,4 0 0 010

i.

1 2 2b+

F14 a

11

^2b-

• • • 10,3 9.7 8.9 4.10 10 n

-73-

Alain Verhamme et Philippe Van Ham

-74-

25

Étude (exhaustive) des systèmes logiques asynchrones

I II II IV V VI VII VIII

13,7 13.3 6,12 4,12 0 0^=Î0

T

3 1 1b+ lE.st.

F22 6 1b- IC.St.

6,11 2,11 14.8 14,4

T

ô--->-1 1 C3

« • ♦ 15.4 15.8 2,16 6,15 ô0 1 3 1

r 2’ 8

♦ • * 4.15 6,16 16,3 15.7 1o-<—n J-

11.9 11,10 10,13 9.13 00 ii^OI 0 1 2b+ 2E.St.is.

F24, 4 1b- IC.st.

9.13 10,13 11 ,10 11,9 10 11

& Cf

>

13.2

1

J (O 1.12 5.12 0 0 0 1 3 0 1b- 1

Z.sz.

F25 O _1b-

11

\

X

3,11 7,11 14,1 14,4 10-*---1 1

1i

O

1

16*2 15,5 15,1 5,15 0 0 01 3 0 ib* 2E.st.

F26 3 ■

»

3,15 7,15 1 .15 15,5

T

1

^ ~ C-*

—T

r

T

15.2 16«6 1,16 5,15 ô 0 ô

1

3

0

lE.st.

F 27 6

■

3.15 7,16 16,1 15.5 10-,---11 Cr

a

14.2 14,6

1.11

^5,11

0

0 01 3

0

2b+ 2E.st.

F28 6

3.12 7.12 13,1 13.5 1

^ I

0^

—

T

1

O

-75-

Alain Verhamme et Philippe Van Ham

-76-

27

Élude (exhaustive) des systèmes logiques asynchrones

F3(

II

9,12 10.12 13,9 13,10 TU

14,9 14,10 9,11 10,11

IV

00-

11

O

► 01

10

-«---

1 1

VI VII

2b+

2b-

VIII

lE.st.

IC.st.

F37

9,15 10,16 15,9 16,10

15,9 16,10 9,15 10,15 00

10 ■

9

► 01

0

► Il

lb+

1

b-

2E.!=t.

F36

9,16 10,15 16,9 15,10

16,9 15,10 9,16 10,15

01 1

b+

Ib-

IC.st.

lO'^----

11

F39

11,11 13,13 14,13 14,13

’3,13 11,11 11,12 11,12 O 00 •

10

•01

■11

U

Ib-^

2

E.S!:.

F40

11,13 11,13 11,13 11,13

11,13 11,13 11,13 11,13 O 00

n

10 01

O

11

?b- 4E.st.is.

F41

11,15 11,16 15,13 16,13

15,13 16,13 11,15 11,16 00

10 •

O

•01

n

1b* 2E.st.

F42

12,11 12,11 14,14 14,14

13,14 13,14 12,12 12,12

00

01

Il 11

10

---►!!

1

b- 3C.st.

- 77 —

Alain Verhamme et Philippe Van Ham

£■ Analyse decascomplexes

Dans ce qui suit, nous appellerons solution analytique toute solu­

tion d’un problème obtenue sans recours à des méthodes de résolu­

tions numériques où l’on attribue des valeurs aux délais. Remarquons tout d’abord que dans tous les cas étudiés (43 familles), la matrice de Kamaugh fournit une solution analytique au problème de l’e.xistence des états stables. Ainsi, certaines solutions périodiques particulière­

ment complexes seront considérées comme non-analytiques étant donné qu’elles n’ont pu être mises en évidence que par simulations numériques:’^ Notons également que dans un petit nombre de cas (9 familles), le graphe des états représentatifs d’une famille contient un ou plusieurs cycles métastablcs, de ce fait, l’évolution de ces sys­

tèmes peut devenir très complexe.

On peut classer ces graphes en trois groupes de complexité crois­

sante :

I.

Cas ne comportant pas d'états finab complexes.

a _ ___ _

no. 00«--- 01 F23. O0ï=r01

10 2=;i 1 10

■*

---11

O

_ O _ _

-37 00 ---p. 01 r<J3 00---* 01

ti 11 11

Tô---

*115

Tô--->Ti 78-

29

Étude (exhaustive) des systèmes logiques asynchrones

Ces graphes d’états, bien que différents, possèdent une propriété commune : l’état final n’est jamais complexe. En effet, ils possèdent soit des états stables (F 10. F23. F37) ou des cycles périodiques (F43)

— ne contenant Jamais de cycle métastable.

Les états finals sont respectivement 00 pour F10. 10 pour F23, 01 ou 11 pour F37, et enfin, 01 ^11 pour F43. Bien entendu, pour des valeurs appropriées de délais, ces systèmes pourront adopter des tra­

jectoires complexes dans l’espace de leurs états avant d’aboutir dans un état final non<omplexe.

II.

Cas comportant des états Jînals complexes.

(\

F14. 00 01

TÔ

2

=?TT F32. ôôî=;.oT

.1 10

---;

1 1

Fil. oor=;oi

1 11

10

---

11

F29. OÏÏ^rÔT

Tôe—;TT

Pour tous ces graphes, le cycle métastable se trouve intimement lié à au moins un cycle stable du graphe. Par exemple dans le cas de la famille

11

, le cycle métastable

01

^

11

se trouve inclus dans le cycle

OÔ-ÔT-TT-TO.

L’ensemble ainsi constitué forme ce que nous appellerons des « structures imbriquées ♦. De tels systèmes peuvent adopter des trajectoires et états finals périodiques comple.xes. Ainsi, le système représentatif de la famille

11

peut, suivant des valeurs appropriées de délais, adopter les états périodiques finals suivants :

(a)

00-01

(b)

00

-

01

-

11-01

(c)

00

-

01

-

11-10

(d)

00-01

-

11-(01

-

11)'’-01

(e)

00-01

-

11-(01

-

11)"-10

Les formules (d) et (e) représentent des parcours de cycles com­

plexes et n est un nombre entier stnctement positif qui décrit le -79-