Diffractive behavior of the wave equation in periodic media: weak convergence analysis

(1)

HAL Id: hal-00784060

https://hal.inria.fr/hal-00784060

Submitted on 4 Aug 2020

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Diffractive behavior of the wave equation in periodic media: weak convergence analysis

Grégoire Allaire, M. Palombaro, J. Rauch

To cite this version:

Grégoire Allaire, M. Palombaro, J. Rauch. Diffractive behavior of the wave equation in periodic media: weak convergence analysis. Annali di Matematica Pura ed Applicata, Springer Verlag, 2009, 188, pp.561-590. �10.1007/s10231-008-0089-y�. �hal-00784060�

(2)

!" # $%&(')# $%*,+.-/01$32%24*,+5-6')%0

798;: <>=?:.@ ACBEDGF

HJIKIMLKNPORQTSUQTVXWZY[Q]\3^_Ya`bYdc(egfihjQjkl^_Ynmporq]sutwv[xJIzyKHP{K{}|~yPxKxJoaf,v[xJIyKH{K{|~y}|~y

~

vK]]ou

o

t

rr

o ¡

¢¤£¥¦T§©¨bªa£K«¬ ®¬z¯°§z«±£³²G¦¤²µ´3ª[¯°¬¶§z«¬

¬·9¸°§Gªa£³²©¹ £K¹ º¬l¦j£K²¼»½£~¨¿¾ ¬»½£³§¼À(¶Á¬§Â

¨l²©¹¼«¬l¦bÃÄ¬Å¹Æ¨l¬§G¹°§ÇKÈ>Éd£~É

Ê/ËÌEÍTÎÏÐËRÑ(Ò3Ó¡ÓuÔ]ÏÐËÑjÕÖÔ×ËRÏuÔ×ØÏuÔÙ½Ô]ÓÐÎÚÜÛµÔ]ËÎPÕ

Ý

ÑiÞËÑàß¤áâÔ×ãä,å

æw*àæÄçTèCé =(êCëìàí1îïìïð/ñòbòzA

(3)

(4)

'()+*,%- #%&.#/ #0132+454

687:9;6=<?>@7BACEDFDGC:>@7:A

1HJI

CE7B>@CEK3>@C/KLCEDM<

ION CE7:<

2H

CEPEQSRAUTMTM7BAWVX7:CBY[Z]\

3

1 ^{^} ^u ^{^r_} ^su ~a` Q r t s a`cbLd t O t rrb HJIKIMLKNPOi t e`Ð 3b frÐ o

Ya

twvBfK

f o tt

gj

t

rr

og

2 ^_ ^©Oat ^ihÄV j`r _ `jÄ WZ u a`cb Vj` t` Ð `i`Ð LKLkLKy b `lk x |IMxK{

S uLm f bFnb ³onYd twv _ rJoOE t o pg e` o fo^r

3 ^` ^u ^u~b ^_ ^`cb ^\ ^rrq³ ^` ^_9 ^r^f~ ^3b ^Q ^r ^Qjso ]|~NJIMxKH _ V b

\bWZQo

Ya

twvdÐ

Fgj

o

a^J

tvuxwzyL{}|L~JyWE `j^ l f urrm j^` f t so ± × q³

%

x^J

Ä

a^J

t

f

a`

^r

pq³

`9

J^ o j`e^r r t ^ t × q³µ ih ui`cbEo obi

x^J b nP `j` tt f t × q³ j^± n ` Z 9uJq³ t r o

cq³ l` tr ¼e` r t ~ t µ _ q³a` )f~ f > k

`%^J j` rf fK rq³ t 9 >uJq³ t r j` r > o ±

WZ

i

^J

f l

o?

j

t

`e`C

uj^L`]lj`

t

r

o~ ^L^J f ^Je` `rq³b] ^J Ð rq³bC, ^J9>9 %rr

fK

rq³

t

P

r

t

^L`[^Je`

` uj`Ð

C

f

urrmMa^

WZ

i

^J

f

o

pF]8 f urrm 3bF t _ q³a`bG^J Ð rq³ f u r ` o

jFG} J }¡£¢ ¤3¥U¦U§¨ ¢©ª« c ¡£¬5¢"}¡ FE {® L"¯ b {®±°IMxJo

²x³µ´¶E·:¸;¹8º[»E¼5·:½¾¹8¶

¿ÀMÁÀMÂ}ÃÂ}Ä}Á)ÅÇÆ«È±ÉpÊ¨Æ«ÂxÅ0ÂxËÊ¨ÀMÁÌvÉ±Í}ÁÎÁÏjÐWÉJÊ¨Æ£Â}ÅÆ«ÅÑUÁ)ÒÆ£ÂFÓÇÆ«ÔÃÁ)ÓÇÆÕÉÆ«ÖOÉ&ÌlÁ)×«×ØÖzÊ¨ÐMÓÇÆ«Á)ÓÖÙÐMÚGÛÙÁ)ÔÊ

Ü

ÖÁÁÝÁ

³Ä

³ßÞáàJâäãÞå²±æJâçãÞå²"è"âçãÞe²à"âçãÞêéxëpâÕì³îí

ÊÆ«ÖïjÅMÂÌÅðÊ¨ÀMÉJÊ

ã

Ë@ÂxÒÅMÂ}ÅñÂ}ÖÔÆ«×«×«ÉJÊ¨Æ£ÅMÄÆ£ÅMÆ£ÊÆÕÉx×ÓWÉJÊ¨É

Ü

ÂxË¾ÊÁ)ÅÔ±Éx×£×«ÁÓ/×«ÂÌòË@ÒÙÁ)ÏjÐMÁ)ÅÇÔóÓWÉJÊ¨É

ìã

ÊÀMÁÀMÂ}ÃÂ}Ä}Á)ÅÇÆ«È)ÁÓ×«Æ«ÃÆ£ÊÆ«ÖOÉJÄLÉxÆ«ÅÉÌvÉÍxÁôÁÏjÐWÉJÊ¨Æ£Â}Å/ÌÆ£ÊÀ

Áõ;Á)ÔÊÆ£ÍxÁÔ)ÂGÁöÔ)Æ£Á)ÅLÊ¨Ö%ÊÀWÉJÊµÔ±ÉxÅ/ÚUÁÔ)ÂxÃôÑMÐFÊ¨Á)Ó+ÉxÖ%Æ«ÅÊ¨ÀMÁÖzÊaÉJÊÆ«ÔÔ±ÉxÖÙÁ ³÷ Å0Ê¨ÀMÁÂxÊ¨ÀMÁÒ%ÀWÉxÅÇÓ ã Ë@Â}Ò

Â}ÖÔÆ«×«×«ÉJÊ¨Æ£ÅMÄÎÆ£ÅMÆ£ÊÆÕÉx×EÓWÉJÊ¨ÉÆ«ÅÒÁÖÂ}ÅWÉJÅMÔ)ÁÌÆ£Ê¨À/ÊÀMÁÑ;ÁÒÆ«ÂGÓMÆ£ÔÃôÁÓMÆ«ÐÇÃ

Ü

ÖÙÂJøsÔ)Éx×«×£Á)Ó/ÀMÆ£Ä}À/Ë@ÒÁ)ÏjÐMÁÅMÔó

ÓWÉJÊaÉ

ìã

Ê¨ÀÇÁ+ÐMÖÐMÉx×ÊsÌlÂJøsÖÙÔ±Éx×£Á/ÉxÖzóFÃÑÇÊÂxÊ¨Æ£Ô0ÃÁÊ¨ÀÇÂFÓùÚÇÒÁ±ÉJïGÖÓÇÂ"ÌÅúÉJÅMÓûÂ}ÅMÁ+ÅÇÁ)Á)ÓÇÖ&Ê¨ÂÐMÖÙÁ+Ê¨ÀMÁ

ËüÉxÃôÂxÐMÖlýñþOÿùÃÁÊ¨ÀÇÂFÓ

Ü

ýXÁÅjÊÈ)Á× ã þÒ¨ÉJÃôÁÒÖ ã ÿvÒÆ£×«×£Â}ÐMÆ«Å ì Ê¨ÂÓMÁÓMÐMÔ)ÁÊÀWÉJÊÊÀMÁÉxÖzóFÃÑÇÊÂxÊ¨Æ£Ô%×«Æ£ÃôÆåÊ

ÂxËWÊ¨ÀMÁÌvÉ±Í}ÁÁ)ÏjÐWÉpÊ¨Æ«ÂxÅÆ«Ö[ÓÇÁ)ÖÔÒÆ£Ú;ÁÓÚLóÄ}Á)Â}ÃÁÊÒÆ£ÔvÂ}ÑÇÊÆ«ÔÖ ã Æ ³Á ³ Á)Æ£ïxÂ}ÅMÉx×ÇÁÏGÐMÉJÊ¨Æ£Â}ÅMÖ[Ë@Â}Ò?Ê¨ÀMÁÑMÀMÉxÖÁÖ

ÉxÅMÓÊ¨Ò¨ÉJÅMÖÑUÂ}ÒÙÊÁ)ÏjÐWÉpÊ¨Æ«ÂxÅMÖË@ÂxÒOÊÀMÁ&ÉJÃôÑM×£Æ£ÊÐMÓMÁ)ÖÂJËvÊ¨ÀÇÁôÌvÉÍxÁ)Ö

Ü

ÖÁÁÎÁ

³Ä

³/ÞáàJâäãÞe²"è"â

Â}ÒFÁÔÊ¨Æ£Â}Å

Ú;Á×«ÂÌ Ë@ÂxÒÉÚÇÒÆ«ÁË8ÉJÔ)Ô)ÂxÐMÅLÊ

ì³

(5)

¿ÀMÁÎÑÇÒÁ)ÖÙÁ)ÅLÊÌlÂ}ÒÙï/Ñ;ÁÒÙÊaÉJÆ«ÅMÖÊ¨ÂÊ¨ÀÇÁôÖÙÁ)Ô)ÂxÅMÓÔ±ÉpÊ¨Á)ÄxÂ}ÒÙó

ã

ÅWÉJÃôÁ×£ó/ÀMÂxÃôÂ}ÄxÁ)ÅMÆ£È±ÉJÊÆ«Â}Å+ÌÆåÊ¨ÀSÀMÆ«Ä}À

Ë@ÒÁ)ÏjÐMÁÅMÔóÓWÉJÊaÉ ³0/ ÂÌlÁÍxÁ)Ò ã Ê¨ÀMÁÅMÂÍxÁ)×£ÊsóÆ«ÖÊÀWÉJÊÌlÁÉJÒÁÆ«ÅLÊÁ)ÒÁÖÙÊÁ)Ó Æ«Å É+ÃÐMÔaÀ ×«ÂxÅMÄ}Á)ÒÊ¨Æ£ÃôÁ

ÖÔ±ÉJ×«Á ã ÌvÉ±óÚ;Áó}Â}ÅÇÓÊ¨ÀÇÁØÄ}Á)Â}ÃÁÊÒÆ£Ô8Â}ÑÇÊÆ«ÔØÒÁÄ}Æ«ÃÁ ³Bí ÅOÊ¨ÀÇÆ«ÖBÅMÁÌ×«Æ£ÃôÆåÊ]ÒÙÁ)Ä}Æ£ÃôÁ ã Ô±Éx×£×«ÁÓÓMÆ£õ;Ò¨ÉxÔÊ¨ÆåÍ}Á8Â}Ò

ÓMÆ«ÖÙÑ;ÁÒÖÆåÍ}Á=ÒÁÄ}Æ«ÃÁ

Þe²1xâäãÇÞe²2pâäãÇÞe²

âäã

Ê¨ÀMÁ=ÑMÀWÉJÖÁvÆ£ÖBÖÙÊÆ«×«×JÊ¨ÀMÁÖÂ}×£ÐÇÊ¨Æ£Â}ÅÂxËFÊ¨ÀMÁ=ýñþOÿSÁÆ«ïxÂxÅWÉx×LÁ)ÏjÐWÉpÊ¨Æ«ÂxÅ

ÚMÐÇÊ8ÊÀMÁÉxÃÑM×«ÆåÊ¨ÐMÓMÁ ã ÂxÒ8Á)ÅLÍ}Á×«Â}ÑUÁË@ÐMÅMÔÊ¨Æ«ÂxÅ ã Æ«Ö?ÅMÂxÊÉxÅLó×«Â}ÅÇÄ}Á)Ò8ÖÙÂ}×«ÐFÊ¨Æ«ÂxÅÂxË;ÉµÊ¨ÒÉxÅMÖÙÑ;Â}ÒzÊØÁ)ÏjÐWÉpÊ¨Æ«ÂxÅ

ÚMÐÇÊÒ¨ÉpÊ¨ÀMÁÒÖÂ}×£ÐÇÊ¨Æ£Â}ÅûÂxËÉ GÔaÀMÒ43GÓMÆ«ÅÇÄ}Á)Ò&ÊsóGÑUÁÝÁÏGÐMÉJÊ¨Æ£Â}Å

Ü

Æ«ÅúÉ ÃÂÍFÆ£ÅMÄË@Ò¨ÉJÃôÁ/ÂxËÒÙÁË@Á)ÒÙÁ)ÅMÔÁ ìc³

¿ÀMÁ)ÒÙÁË@Â}ÒÙÁ

ã

ÂxÐMÒOÀMÂ}ÃÂ}Ä}Á)ÅÇÆ«È)ÁÓÝÃÂGÓMÁ)×ØÓMÁÖÔÒÆ«ÚUÁ)ÖÓMÆ«ÖÙÑ;ÁÒÖÙÆ£Í}ÁÑMÒÙÂ}Ñ;ÁÒÙÊÆ«Á)ÖÂxËlÊ¨ÀMÁÌÉ±ÍxÁÎÁ)ÏjÐWÉpÊ¨Æ«ÂxÅ

Ë@Â}ÒÍxÁ)ÒÙóX×«Â}ÅÇÄÊ¨Æ£ÃôÁÖ

Ü

ÉxÖÉx×£ÒÁ±ÉJÓÇóSÒÁ)ÔÂ}Ä}ÅMÆ£È)ÁÓ Æ«Å É+ÖÙÑ;ÁÔ)ÆÕÉJ×lÔ)ÉxÖÁÆ£Å

Þé"â¾ìc³65

Â}ÒÁÎÑMÒÁÔ)Æ«ÖÙÁ)×åó

ã

ÌlÁ

ÖÙÊ¨ÐÇÓÇó&Ê¨ÀÇÁÀÇÂ}ÃôÂxÄ}Á)ÅMÆ£È±ÉJÊÆ«Â}ÅÎÂxË?ÊÀMÁOÖÆ£ÅMÄ}ÐM×«ÉxÒ×åóÎÑUÁ)ÒzÊ¨ÐMÒÙÚ;ÁÓÌvÉ±Í}ÁÁ)ÏjÐWÉJÊÆ«Â}Å

Ü

²}³å²"ì









 ε² ∂

∂t

ρε

∂uε

∂t

−^ÓMÆ£Í (Aε∇uε) = 0 ^Æ£Å R^N ×(0, T), uε(0, x) =u⁰_ε(x) ^Æ£Å R^N,

∂uε

∂t (0, x) = u¹_ε(x) ^Æ£Å R^N,

ÌÀMÁ)ÒÙÁ

T >0 Æ«ÖÉ87WÅWÉJ×5Ê¨Æ«ÃÁ ã Aε

ÉxÅÇÓ

ρε

ÉJÒÁOÂ}ÖÔÆ«×£×ÕÉJÊÆ«ÅMÄÔ)ÂGÁöÔ)Æ£Á)ÅLÊ¨ÖÂxËEÊ¨ÀMÁË@Â}ÒÙÃ

Ü

²}³é}ì

Aε(x) =A0

x ε

+ε²A1

t, t

ε, x,x ε

, ρε(x) =ρ0

x ε

+ε²ρ1

t, t

ε, x,x ε

,

ÌÆ£Ê¨À

ρ0(y)^ÉxÅMÓ A0(y)^ã ÒÙÁ±Éx×MÚUÂ}ÐMÅÇÓMÁ)ÓÑ;ÁÒÆ£ÂFÓMÆ£ÔlË@ÐMÅÇÔÊ¨Æ£Â}ÅMÖØÂxËUÑUÁ)ÒÙÆ«ÂGÓ

(0,1)^N ÖÙÐMÔaÀôÊÀWÉJÊ8ÊÀMÁÓMÁ)ÅFø ÖÆ£Êsó

ρ₀ Æ«ÖÖÙÊÒÆ£ÔÊ¨×åóÎÑUÂ}ÖÙÆ£Ê¨ÆåÍ}ÁÉJÅMÓÊ¨ÀMÁÊ¨ÁÅMÖÂxÒ

A₀ Æ«ÖÖzóFÃÃÁÊ¨ÒÙÆ«Ô%ÐÇÅMÆ£Ë@Â}ÒÙÃô×åóÔ)ÂGÁ)ÒÔÆ£ÍxÁ

Ü

ÖÁÁ FÁ)ÔÊ¨Æ«ÂxÅ

é Ë@Â}ÒÑMÒÁÔ)Æ£ÖÁ&ÉJÖÖÐÇÃôÑÇÊÆ«Â}ÅÇÖ ì³ ¿ÀMÁôÃÎÉJÔ)ÒÂxÖÔ)ÂxÑMÆ«ÔÃôÂGÓMÐM×«ÉJÊ¨Æ£Â}ÅMÖ

ρ1(t, τ, x, y) ^ÉJÅMÓ A1(t, τ, x, y)

ÉxÒÁÖÙÃôÂGÂxÊ¨ÀÚUÂ}ÐMÅÇÓMÁ)ÓË@ÐMÅMÔÊ¨Æ£Â}ÅMÖ8ÌÀMÆ£ÔaÀÎÉxÒÙÁÑ;ÁÒÆ£ÂFÓMÆ£ÔvÂxË;ÑUÁ)ÒÆ£ÂFÓ

(0,1)^N ÌÆåÊ¨ÀÒÁÖÑUÁ)ÔÊ=ÊÂ

y ^Ü^ÊÀMÁó

Éx×«ÖÙÂôÖÉJÊ¨Æ£ÖÙË¾óÉxÖÙÖÐMÃÑÇÊÆ«Â}Å

Ü

²}³è}ì Ú;Á×«ÂÌ

ì³

¿ÀMÁÖÙÁ)Ô)ÂxÅMÓ+Â}ÒÙÓMÁ)ÒÊ¨Æ£ÃôÁOÓMÁÒÆ£ÍJÉJÊÆ£ÍxÁÆ£Å

Ü

²}³£²ì

ÀMÉxÖÚUÁ)ÁÅ

ÌÒÆ£ÊÙÊ¨ÁÅ&Æ«Å&ÔÂ}ÅMÖÙÁ)ÒÙÍJÉJÊÆ£ÍxÁµË@Â}ÒÃîÚUÁ)Ô±ÉJÐMÖÁ%ÊÀMÁ%ÓMÁÅMÖÆåÊsó

ρε

ÃÎÉ±óÓMÁ)ÑUÁ)ÅÇÓÂxÅ&Ê¨Æ«ÃÁ ³8÷ Ë:Ô)Â}ÐMÒÙÖÁ ã Æ£Ë

ρε

Æ«ÖvÆ£ÅMÓMÁÑ;ÁÅMÓMÁ)ÅLÊÂxËBÊÆ«ÃÁ

ã

Ê¨ÀMÁµÆ«ÅMÁÒÙÊ¨Æ«Éx×WÊ¨ÁÒÃîÆ«ÖEÛÙÐMÖzÊÁ)ÏjÐWÉJ×;Ê¨Â

ε²ρε(∂²uε)/(∂t²) ÉxÖÐMÖÙÐWÉx×

³

¿ÀMÁ)ÒÙÁ

Æ«ÖÉx×£ÖÂÉxÅ

ε² ÖÔ)Éx×«Æ£ÅMÄËüÉxÔÊÂ}ÒÆ«ÅË@ÒÙÂ}ÅLÊÂJË[Ê¨ÀÇÁOÊÆ«ÃÁÓMÁ)ÒÙÆ£ÍJÉJÊÆ£Í}Á%ÌÀÇÆ«ÔaÀ0ÔÂ}ÒÒÙÁ)ÖÙÑ;Â}ÅÇÓMÖÊÂÍxÁ)Òzó×«Â}ÅMÄ Ê¨Æ«ÃÁ ³Eí ÅMÓMÁÁ)Ó ã ÐMÑUÂ}ÅÆ«ÅLÊ¨ÒÙÂFÓMÐÇÔÊ¨Æ£Â}ÅÂxË5ÉOÅÇÁÌùÊÆ«ÃÁvÍJÉxÒÆ«ÉxÚM×«Á

τ =ε⁻¹t^ã ÊÀMÁÐMÖÐMÉx×WÌÉ±Í}ÁÁ)ÏjÐWÉpÊ¨Æ«ÂxÅ

Ü

ÌÆ£ÊÀMÂ}ÐÇÊÖÙÔ±Éx×£Æ«ÅMÄ ì Æ£ÖÒÙÁ)ÔÂ"ÍxÁ)ÒÙÁ)Ó ³ ¿ÀjÐMÖ%ÉÊ¨Æ«ÃÁ

t ÂxË[Â}ÒÓMÁÒ

1 Æ«ÖÁ)ÏjÐMÆåÍJÉx×«ÁÅjÊÊÂ&Éô×£Â}ÅMÄÊ¨Æ£ÃôÁ

τ ^ÂxË

Â}ÒÓMÁÒ

ε⁻¹ ^Ü ^ÖÁ)Á ^{FÁÔÊÆ«Â}Å} ^ì³

ýXÁOÔÂ}ÅMÖÆ£ÓMÁ)ÒÊÀMÁË@Â}×«×£Â"ÌÆ£ÅMÄÊsóGÑUÁÂJË[ÀMÆ£Ä}ÀFøçË@ÒÁ)ÏjÐMÁÅMÔó ã ÌÆ£ÊÀ×£Æ«ÅMÁ)ÉxÒvÑMÀMÉxÖÁÆ«ÅMÆåÊ¨Æ«Éx×;ÓMÉJÊaÉ

Ü

²}³:9Lì

u⁰_ε(x) =ψn

x ε, θ0

e^2iπ^θ⁰^ε^·xv0(x), ^ÉxÅMÓ u¹_ε(x) = 1 ε²ψn

x ε, θ0

e^2iπ^θ⁰^ε^·xv1(x),

ÌÀMÁ)ÒÙÁ

v0

ÉxÅMÓ

v1

ÉxÒÁÖÐFöôÔÆ«ÁÅjÊ×£óÖÃÂGÂxÊ¨ÀË@ÐMÅMÔÊ¨Æ£Â}ÅMÖ?ÉxÅMÓ

ψn

Æ«Ö?ÉÖÙÂJøsÔ)Éx×«×£Á)Óÿv×«ÂGÔaÀÁÆ«Ä}ÁÅÇË@ÐMÅMÔÊ¨Æ£Â}Å

ã

ÖÂ}×£ÐÇÊ¨Æ£Â}Å&ÂxË?Ê¨ÀMÁË@Â}×£×«ÂÌÆ«ÅMÄÖÑUÁ)ÔÊ¨Ò¨ÉJ×EÔÁ)×£×5Á)ÏjÐWÉJÊÆ«Â}ÅÆ£ÅÊÀMÁOÐMÅMÆåÊÊ¨Â}ÒÙÐMÖ

T^N

Ü

²}³;1jì

−(^ÓMÆ£Í y+ 2iπθ)

A0(y)(∇y + 2iπθ)ψn

=λn(θ)ρ0(y)ψn

Æ«Å

T^N,

Ô)Â}ÒÙÒÁ)ÖÙÑ;ÂxÅMÓMÆ«ÅÇÄÊÂÊÀMÁ

n^ø ÊÀÝÁÆ«Ä}ÁÅLÍxÉJ×«ÐMÁÂ}ÒOÁÅMÁ)ÒÙÄxó×«ÁÍ}Á)×

λn(θ)^³=< ÖÐÇÖÐWÉx×ØÊÀMÁÆ«ÅLÊ¨ÁÒÑMÒÙÁÊaÉpÊ¨Æ«ÂxÅ ÂxË=Ê¨ÀMÁÿv×£ÂFÔaÀ/ÑWÉJÒ¨ÉxÃÁÊÁ)Ò

θ Æ«Ö%ÊÀWÉJÊOÆåÊÆ«ÖOÉÒÁÓMÐMÔÁ)ÓÝÌvÉ±Í}ÁÅjÐMÃÚUÁ)ÒOÉxÅMÓÊ¨ÀÇÁÁ)Æ«ÄxÁ)ÅLÍJÉx×«ÐMÁÆ£Ö%Ê¨ÀMÁ

(6)

ÖÏjÐWÉxÒÙÁÂJË8ÉÊ¨Æ£ÃôÁµË@ÒÙÁ)ÏjÐMÁÅMÔó

ωn(θ₀) ^ÓMÁ ^{7WÅMÁ)ÓÚLó} ωn(θ0) =p

λn(θ0).

¿ÀMÁµÓMÁÒÆåÍxÉpÊ¨Æ£ÍxÁµÂxË]Ê¨ÀMÁµË@ÒÙÁ)ÏjÐMÁÅMÔóôÌÆ£Ê¨ÀôÒÁÖÑUÁ)ÔÊÊÂÊÀMÁµÌvÉÍxÁ%ÅjÐMÃÚUÁ)ÒÄxÆ£Í}ÁÖlÊÀMÁµÄ}ÒÙÂ}ÐMÑÎÍxÁ)×£ÂFÔÆ£Êsó

Ü

²}³2}ì

V = 1

2π∇ωn(θ0) = 1 4π

1

pλn(θ0)∇λn(θ0),

ÉxÅMÓÊ¨ÀMÁOÓMÆåÍ}ÁÒÄ}ÁÅMÔ)ÁÂxËEÊ¨ÀMÁOÄ}ÒÙÂ}ÐMÑÍ}Á×«ÂGÔ)Æ£ÊsóÎóFÆ£Á)×£ÓMÖÉÓMÆ«ÖÙÑ;ÁÒÖÆ£Â}ÅÊ¨ÁÅMÖÂ}Ò

Ü

²}³ ì

A^∗ = 1 2π

ÓMÆåÍ

θV = 1

4π²∇θ∇θωn(θ0).

÷

ÐÇÒÃôÉxÆ£ÅúÉxÖÖÙÐMÃôÑFÊ¨Æ«ÂxÅMÖÆ«ÖÊ¨ÀWÉpÊ

λn(θ₀) ^Æ«ÖÉ ÖÆ£ÃôÑM×£Á/Á)Æ£Ä}Á)ÅLÍJÉx×«ÐÇÁÝÉJÅMÓñÊÀWÉJÊÊ¨ÀÇÁÝÃÂFÓÇÐM×ÕÉJÊÁ)Ó Ô)ÂGÁöÔ)Æ£Á)ÅLÊ¨Ö

ρ1

ÉxÅMÓ

A1

ÉxÒÁÆ£ÅjÍJÉxÒÙÆÕÉxÅLÊÉx×«Â}ÅÇÄÄxÒÂ}ÐMÑ×£Æ«ÅMÁÖ ã Æ ³Á ³åã

Ü

²}³è}ì ∂ρ1

∂τ ± V · ∇xρ1 = 0, ∂A1

∂τ ± V · ∇xA1 = 0.

í

ÅôÊ¨ÒÙÐÇÊ¨À

ã

ÌlÁ%ÖÀMÉx×«×3ÃôÉxïxÁÉÌlÁ±ÉxïJÁ)ÒÚÇÐÇÊÃÂ}ÒÁÊÁ)ÔaÀMÅMÆ£Ô±Éx×;ÉxÖÙÖÐMÃÑÇÊ¨Æ£Â}ÅôÊÀWÉxÅ

Ü

²}³è}ì

Ü

ÖÁÁ FÁÔÊÆ«Â}Å

2

Ë@Â}ÒvË@ÐMÒzÊ¨ÀMÁÒÓÇÁÊaÉJÆ«×«Ö ì³ ýÝÁOÑMÒÂÍxÁÊÀWÉJÊ ã ÉxÖ

ε ^{Ä}ÂGÁ)ÖÊÂ} ^æÇã Ê¨ÀMÁOÖÂx×«ÐÇÊÆ«Â}ÅÂxË

Ü

²}³å²"ì Æ£ÖÉxÖÙóGÃÑÇÊ¨ÂxÊÆ«Ô)Éx×«×åó

Ê¨ÀMÁÖÙÐMÃ ÂxËEÊsÌvÂÌÉ±ÍxÁÑWÉxÔaïJÁÊÖ

Ü

²}³êëLì

uε(t, x) ≈ e^2iπ^θ⁰^ε^·xψn

x

ε, θ₀

eⁱ^ωn^(θ^ε2^{0 )}^tv⁺

t, x+V εt

+e⁻ⁱ^ωn^ε2^(θ^{0 )}^tv⁻

t, x− V εt

,

Æ«ÅÉÖÁ)ÅÇÖÁÂxËWÌlÁ±ÉxïÊsÌvÂpøsÖÔ)Éx×«ÁvÔ)Â}ÅLÍ}ÁÒÄ}ÁÅMÔ)Á

Ü

ÖÁ)Áv¿ÀMÁ)Â}ÒÙÁ)Ã 2F³£² ÉxÅMÓÁ)ÃôÉxÒï 2F³;1jìc³ ¿ÀMÁÁÅLÍ}Á)×£Â}ÑUÁ

Ë@ÐMÅMÔÊÆ«Â}ÅÇÖ

v⁺ ^ÉxÅMÓ v⁻^ã ^Æ£Å ÊÀMÁÒÆ£Ä}ÀLÊÙøsÀMÉxÅMÓ ÖÆ£ÓMÁÂJË

Ü

²}³êëLìcã

ÉxÒÙÁÖÙÂ}×«ÐFÊ¨Æ«ÂxÅMÖÂxËÊsÌvÂ FÔaÀMÒ43GÓMÆ£ÅMÄ}Á)Ò

Á)ÏjÐWÉJÊÆ«Â}ÅMÖ ã ÖÁÁ

Ü

2F³é}ì ÉxÅÇÓ

Ü

2F³2}ìc³ ÉJÔaÀÂJËUÊÀMÁ)ÃòÔ±ÉxÒÙÒÆ«ÁÖ8ÀWÉx×åË3ÂxË3Ê¨ÀMÁÆ£ÅMÆ£ÊÆÕÉx×jÓWÉpÊaÉ

v⁰ ÉxÅMÓÂ}ÑMÑUÂ}ÖÆåÊ¨Á Ô)Â}ÅLÊ¨ÒÙÆ«ÚMÐFÊ¨Æ«ÂxÅMÖ=Æ«ÅôÊÁ)ÒÙÃôÖlÂxË5Ê¨ÀÇÁµÆ«ÅÇÆ£Ê¨Æ«Éx×FÍxÁ)×£ÂFÔÆ£Êsó

v¹^³ ¿ÀMÁµËüÉJÔÊÊ¨ÀWÉJÊÊ¨ÀÇÁµÀMÂ}ÃÂ}Ä}ÁÅMÆ«ÈÁ)ÓôÁ)ÏjÐWÉJÊÆ«Â}ÅMÖ ÉxÒÁÂJË FÔaÀMÒ43GÓMÆ£ÅMÄ}Á)Ò?ÊsóFÑUÁÌvÉxÖØÂ}ÚMÖÙÁ)ÒÙÍxÁ)ÓÆ«ÅÊÀMÁÑMÀLóGÖÆ£Ô)Ö=×«ÆåÊ¨Á)ÒÉJÊ¨ÐÇÒÁ

Þé1JâçãWÞêéxàJâä³[í

Ê8Æ«Ö8ÖÙÆ«ÃÆ«×ÕÉJÒ:ÊÂ%Ê¨ÀMÁ

ÓMÆ«ÖÙÑ;ÁÒÖÆåÍ}ÁÄ}Á)ÂxÃôÁÊ¨ÒÆ£ÔÂ}ÑÇÊÆ«Ô)ÖÂxË

Þå² 1xâçãEÞe²2"âäãEÞå² â

ÉxÅMÓÆ«ÖÒÁÃôÆ£ÅMÆ«ÖÙÔ)Á)ÅLÊÂxË?Ê¨ÀMÁÖÂJø Ô±Éx×£×«ÁÓÑMÉxÒ¨ÉxÚUÂ}×£Æ«Ô

Â}ÒÑWÉxÒÉ FÆÕÉx×]ÉxÑMÑMÒÙÂFÆ£ÃÎÉJÊÆ«Â}ÅôË@Â}ÒÌÉ±ÍxÁ)ÖµÑÇÒÂ}ÑWÉJÄLÉJÊ¨Æ£ÅMÄÆ«ÅÉÑMÒÙÆ£ÍGÆ«×£Á)Ä}ÁÓÓMÆ«ÒÙÁ)ÔÊÆ«Â}Å Þêè"âäã:Þé9Jâçã5Þ:9}æpâç³

WÂ}ÒÃÐÇ×ÕÉ

Ü

²}³êëLì

óGÆ£Á)×«ÓÇÖ%ÉôËüÉxÃÆ«×åóÂxËÉxÑÇÑMÒÂFÆ«ÃôÉJÊ¨ÁOÊ¨ÒÉ±Í}Á)×£×«Æ£ÅMÄôÌvÉ±Í}ÁÖÂx×«ÐÇÊÆ«Â}ÅMÖÂxË

Ü

²}³å²"ì

ÌÆ£Ê¨À+É

Ô)Â}ÀMÁÒÁÅjÊµÖÙÊÒÐMÔÊ¨ÐMÒÙÁ

ã

ÁÍ}ÁÅ+Ë@Â}Ò×«Â}ÅÇÄÊÆ«ÃÁ)Ö

³

ÁÃÎÉxÒÙïÎÊ¨ÀMÉJÊ

ã

ÌÀMÁÅ0Ê¨ÀMÁÄ}ÒÂxÐMÑÍxÁ)×£ÂFÔÆ£Êsó

V ^{Æ£ÖÈÁ)ÒÙÂ}

Ü

ÌÀMÆ£ÔaÀÝÀWÉJÑMÑ;ÁÅMÖ ã ÉJÊ×«Á)ÉxÖÙÊ ã ÉJÊOÊÀMÁôÚUÂxÊÙÊ¨Â}ÃßÉxÅMÓÝÊÂ}ÑSÂxËÁ)ÉxÔaÀÿv×£ÂFÔaÀSÚWÉxÅÇÓ ìã

Ü

²}³êëLì Æ«ÖOÒÉJÊ¨ÀMÁÒÉ

ÖÙÊaÉpÊ¨Æ«ÂxÅWÉxÒÙóÝÖÂx×«ÐÇÊÆ«Â}ÅÌÀMÆ£ÔaÀÆ£ÖÊ¨ÒÉxÑMÑUÁ)Ó ÚjóXÊ¨ÀMÁÑUÁ)ÒÆ£ÂFÓÇÆ«Ô&ÃÁ)ÓMÆ£ÐMÃ

³0<

ÖÆ«ÖÌlÁ)×£×ïjÅMÂÌÅ ÊÀMÁ)ÒÙÁ

ÁFÆ«ÖzÊ¨ÖÅMÂÑMÒÙÂ}ÑWÉxÄ}ÉJÊ¨Æ£ÅMÄÖÙÂ}×«ÐFÊ¨Æ«ÂxÅÂJË5Ê¨ÀMÁÊsóGÑ;ÁÂxË

Ü

²}³êëLì

ÌÆ£ÊÀ&ÉË@ÒÁÏGÐÇÁ)ÅMÔó

ω ^ÌÀÇÁ)Å ω² Æ«Ö=Æ«ÅÎÉÄLÉJÑ ÂxËlÊÀMÁÿv×«ÂGÔaÀÖÑUÁ)ÔÊ¨ÒÐÇÃ ã Æ ³Á ³ ÌÀMÁÅ

ω² 6= λn(θ) Ë@ÂxÒOÉx×«×

n ≥ 0 ^ÉxÅMÓ θ ∈ T^N^³ ¿ÀMÆ«ÖOÑMÒÙÂ}Ñ;ÁÒÙÊsó Æ«ÖOÉïxÁóSË@Á)ÉJÊ¨ÐÇÒÁÂxËlÑMÀMÂxÊÂ}ÅMÆ«ÔÔÒÙóGÖÙÊ¨Éx×«Ö

Ü

ÖÙÁ)ÁÁ ³Ä ³ÞêëpâçãÞêé}é"âÕì³ ¿ÀMÁËüÉxÔÊOÊÀWÉJÊOÊ¨ÀMÁÀMÂxÃôÂ}ÄxÁ)ÅMÆ£È)Á)Ó

Á)ÏjÐWÉJÊÆ«Â}ÅMÖË@Â}ÒÊ¨ÀMÁÁ)ÅLÍ}Á×«Â}ÑUÁ

v⁺ ^ÉxÅMÓ v⁻ ÉJÒÁFÔaÀMÒ43GÓMÆ£ÅMÄ}Á)ÒÁ)ÏjÐWÉpÊ¨Æ«ÂxÅMÖµÆ£ÖµÉÔ)Â}Å.7MÒÃôÉJÊ¨Æ£Â}ÅÂJË8Ê¨ÀMÁ ÓMÆ«ÖÙÑ;ÁÒÖÆåÍ}ÁÑMÒÙÂ}ÑUÁ)ÒÙÊÆ«ÁÖ

Ü Æ ³Á ³ Ê¨ÀMÁÅÇÂ}ÅM×«Æ£ÅMÁ±ÉJÒ%ÔaÀWÉxÒÉxÔÊÁ)ÒÂxËÊ¨ÀMÁÁõ]ÁÔÊÆ£Í}ÁÓMÆ£ÖÑUÁ)ÒÙÖÆ«ÂxÅSÒÙÁ)×«ÉJÊ¨Æ£Â}Å ì ÂxË

Ñ;ÁÒÆ«ÂGÓMÆ£ÔµÔ)ÂxÃôÑUÂ}ÖÆåÊ¨ÁÃôÉJÊ¨ÁÒÆ«Éx×«ÖvÉxÖÉx×«ÒÙÁ±ÉxÓÇóÎÖÙÊÐMÓMÆ«ÁÓÆ£Å Þé"âçã:Þ;9JâäãBÞå²9Jâçã:Þêéxë"âç³

ýXÁÎÄ}Æ£ÍxÁÉÌlÁ±ÉxïÝÔ)Â}ÅLÍ}ÁÒÄ}ÁÅMÔ)ÁÑMÒÙÂFÂJËÂxË

Ü

²}³êëLì

Ü

ÖÁÁ¿ÀMÁ)Â}ÒÙÁ)Ã

2F³£²ì

ÌÀMÆ£ÔaÀ Æ«ÖÚMÉxÖÁÓ Â}ÅÊ¨ÀMÁ

ÅMÂxÊ¨Æ£Â}Å&ÂxËEÊsÌlÂJøsÖÙÔ±Éx×£ÁÔ)Â}ÅLÍ}ÁÒÄ}ÁÅMÔ)ÁÌÆ£ÊÀÓÇÒÆ£Ë¾ÊÉxÅMÓÂ}ÅÉÖÆ«ÃÑM×£Á

ã

ÐMÅMÆ£Ë@ÂxÒÃ Æ£Å&Ê¨Æ£ÃôÁ

ã L² Æ£ÅÖÑWÉJÔ)Á

ã

(7)

Á)ÖÙÊÆ«ÃôÉJÊ¨ÁË@Â}Ò%Ê¨ÀÇÁÖÂ}×£ÐÇÊ¨Æ£Â}Å+ÂxË

Ü

²}³å²"ìa³ <

ÖÙÊÒÂ}ÅÇÄÔÂ}ÅLÍ}ÁÒÄ}ÁÅMÔ)ÁÑMÒÂGÂxË

Ü

Ë@ÂxÒ%ÖÃÂFÂJÊ¨À/Ô)ÂGÁöÔÆ«Á)ÅLÊÖ

ìã

Æ«ÅMÔ×«ÐMÓMÆ£ÅMÄÊÀMÁ%ÔÂ}ÅMÖÙÊÒÐMÔÊ¨Æ£Â}ÅÂxË:Æ«Å.7MÅMÆ£ÊÁ%Â}ÒÓÇÁ)ÒÉxÖzóGÃôÑÇÊÂxÊ¨Æ£ÔµÁ ÇÑMÉxÅMÖÆ£Â}ÅÂxË:Ê¨ÀMÁµÖÂ}×£ÐÇÊ¨Æ£Â}Å ã Æ«ÖÄ}ÆåÍ}ÁÅ

Æ«Å/É&ÔÂ}ÃôÑMÉxÅMÆ«ÂxÅ+ÑWÉxÑUÁ)Ò Þ:2pâä³ ÂxÊÁÊ¨ÀWÉJÊ ã Ë@Â}ÒÊ¨Á)ÔaÀÇÅMÆ«Ô)Éx×8ÒÁ)ÉxÖÂxÅMÖ ã ÊÀMÁÅMÂxÊ¨ÉJÊ¨Æ£Â}ÅMÖµÂJËÊÀMÁÑMÒÙÁ)ÖÙÁ)ÅLÊ

ÑWÉxÑUÁ)ÒÉxÅMÓÂxË

Þ2"â

ÉxÒÁOÅMÂJÊÁÇÉxÔÊ×£ó&ÊÀMÁOÖ¨ÉxÃÁ

³

¿ÀMÁÔ)Â}ÅLÊ¨ÁÅLÊvÂxËUÊ¨ÀÇÆ«ÖØÑWÉxÑUÁ)Ò=Æ£Ö=ÊÀMÁË@Â}×«×£ÂÌÆ«ÅMÄ ³ FÁÔÊÆ«Â}Å é ÒÁ)Ô)Éx×«×£Ö8Ê¨ÀMÁÅMÁÔ)ÁÖÖ¨ÉJÒÙóÊ¨ÂGÂ}×«Ö[ÂxËBÿv×£ÂFÔaÀ

Ê¨Ò¨ÉJÅMÖÙË@Â}ÒÙÃ ÉxÅMÓ ÊsÌvÂpøsÖÔ)Éx×«ÁÔ)ÂxÅjÍxÁ)ÒÙÄ}Á)ÅMÔÁ ³ FÁÔÊ¨Æ£Â}Å 9 Æ«ÖÔÂ}ÅMÔ)ÁÒÅMÁÓ ÌÆ£ÊÀ ÊÀMÁÖÆ«ÃÑM×£Á)ÒÔ±ÉJÖÁÂxË

ÑMÐMÒÁ×£óÑUÁ)ÒÆ£ÂFÓÇÆ«ÔÔ)ÂGÁöÔ)Æ£Á)ÅLÊ¨Ö

ã Æ ³Á

³åã ρ1 ≡ 0 ^ÉxÅÇÓ A1 ≡ 0 ^Æ«Å ^Ü ^²}³^é}ì³ ¿ÀMÁÉxÖzóFÃÑÇÊÂxÊ¨Æ£ÔÉxÅWÉJ×£óGÖÆ£ÖÆ£Ö ÃÐMÔaÀÖÆ£ÃôÑÇ×«Á)ÒEÖÆ£ÅMÔ)ÁvÆ£Ê8ÒÙÁ)ÓMÐÇÔ)Á)Ö8ÊÂÉ%¿?ÉóG×£Â}Ò[Á ÇÑMÉxÅMÖÆ£Â}ÅÆ«ÅÊ¨ÀMÁÁ FÑM×«Æ£Ô)Æ£Ê?Ë@Â}ÒÃÐM×ÕÉË@Â}Ò?ÊÀMÁÖÂx×«ÐÇÊÆ«Â}Å

Æ«ÅÊ¨Á)ÒÙÃôÖÂxËÿl×«ÂGÔaÀÝÌvÉÍxÁ)Ö ³ FÁ)ÔÊ¨Æ£Â}Å 1 Æ«ÖÓMÁÍxÂxÊ¨ÁÓÊ¨Â+ÉÑMÒÆ£Â}ÒÆØÁÖÙÊÆ«ÃôÉJÊ¨ÁÖË@Â}Ò

Ü

²x³£²"ì ÌÀMÆ£ÔaÀ ÉxÒÁ

ÐMÅMÆ£Ë@ÂxÒÃ ÌÆ£Ê¨ÀÒÁÖÑUÁ)ÔÊÊÂ

ε^³ ^{FÁÔÊÆ«Â}Å} ² Ô)Â}ÅLÊaÉJÆ«ÅMÖÂ}ÐÇÒÃôÉxÆ£ÅÀMÂ}ÃÂ}Ä}Á)ÅÇÆ«È±ÉpÊ¨Æ«ÂxÅ&ÒÁÖÐM×åÊ¨ÖÉxÅMÓÊ¨ÀÇÁ)Æ«Ò ÑMÒÂGÂxË@Ö ³ FÁ)ÔÊ¨Æ£Â}Å ÃôÉxïxÁÖÉÔ)Â}ÃÑWÉxÒÙÆ«ÖÂxÅÌÆåÊ¨ÀÊ¨ÀMÁÌlÁ)×«×eøsïjÅMÂÌÅÝýñþOÿÃôÁÊ¨ÀMÂGÓSÂxËÄ}ÁÂ}ÃÁÊ¨ÒÙÆ«Ô

Â}ÑÇÊ¨Æ£Ô)Ö ³

éG³¸G½ ½¾¶?¸:½

í

Å0Ê¨ÀMÁÑMÒÁÖÁ)ÅLÊOÖÙÁ)ÔÊÆ«Â}ÅÌvÁÄ}ÆåÍ}ÁÂ}ÐMÒµÃôÉxÆ£Å+ÉxÖÙÖÐMÃÑÇÊ¨Æ£Â}ÅMÖ

ã

ÖÙÁÊÖÙÂ}ÃôÁÅMÂxÊ¨ÉJÊ¨Æ£Â}ÅMÖ%ÉJÅMÓ/ÉôË@ÁÌ ÑÇÒÁø

×«Æ«ÃÆ«ÅMÉxÒÙóÒÙÁ)ÖÐÇ×£Ê¨ÖÅMÁÁ)ÓMÁÓË@Â}ÒÖzÊaÉJÊÆ«ÅMÄÉxÅÇÓÑÇÒÂÍGÆ«ÅMÄÊ¨ÀÇÁÃôÉxÆ£ÅÒÁ)ÖÙÐM×£ÊÖÂxË?ÊÀMÆ«ÖÑMÉxÑ;ÁÒ ³

ýXÁ 7WÒÙÖÙÊvÉxÖÖÙÐMÃôÁÊÀWÉJÊ=Ê¨ÀMÁÔ)ÂGÁöÔÆ«Á)ÅLÊÖ

ρ0(y) ^ÉJÅMÓ (A0(y))ij

ÉxÒÙÁÒÁ±ÉJ×ã ÚUÂ}ÐMÅMÓMÁÓ&ÉxÅÇÓÎÑUÁ)ÒÆ£ÂFÓÇÆ«Ô

Ë@ÐMÅMÔÊÆ«Â}ÅÇÖ

ã

Ê¨ÀMÁóÚUÁ)×«ÂxÅMÄÊ¨Â

L^∞(T^N)^ã ÉxÅÇÓÊÀWÉJÊ

ρ1(t, τ, x, y) ^ÉxÅMÓ (A1(t, τ, x, y))ij

ã

ÉxÖÌvÁ×«×

ÉxÖÊÀMÁ)Æ£ÒÊÆ«ÃÁÓMÁ)ÒÙÆ£ÍJÉJÊ¨ÆåÍ}ÁÖ

∂ρ1

∂t

ÉxÅMÓ

∂ρ1

∂τ

Ü

Ö¨ÉxÃÁË@Â}Ò

(A1)ij

ìã ÉxÒÁÚ;ÂxÐMÅMÓMÁÓ&Ô)Â}ÅLÊÆ«ÅjÐMÂ}ÐMÖË@ÐMÅMÔÊ¨Æ«ÂxÅMÖ ã

Ñ;ÁÒÆ«ÂGÓMÆ£ÔvÌÆ£ÊÀôÒÙÁ)ÖÑUÁ)ÔÊvÊÂ

y ^Ü Ê¨ÀMÁóÔ)Â}ÐÇ×«ÓÚ;ÁÃôÁÒÁ×£óÉxÒÉJÊ¨ÀÇÁ)ÂGÓMÂ}ÒÙóË@ÐMÅMÔÊÆ«Â}ÅÇÖ ã Æ ³Á ³åã ÃÁ±ÉJÖÐMÒÉxÚM×«Á ÌÆ£Ê¨ÀÒÁÖÑUÁ)ÔÊôÊ¨Â

y ÉJÅMÓùÔ)ÂxÅLÊ¨Æ«ÅjÐMÂxÐMÖÎÆ£Å

t, τ, x^ì³ñí ^Å ^{FÁÔÊÆ«Â}Å} ² ÌvÁÌÆ«×«×ÃôÉxïJÁ+ÉxÅ ÉxÓMÓMÆåÊ¨Æ«ÂxÅWÉx×

ÉxÖÖÙÐMÃôÑFÊ¨Æ«ÂxÅÂ}Å

ρ₁ ^ÉxÅMÓ A₁ ÌÀMÆ£ÔaÀÌlÁOÓMÂôÅÇÂxÊÖÑUÁ)ÔÆ£Ë¾óÀMÁÒÁ

³

WÐMÒÙÊÀMÁ)ÒÙÃôÂ}ÒÙÁÊ¨ÀMÁÓMÁÅMÖÆåÊsó+Ë@ÐMÅMÔÊ¨Æ£Â}Å

ρ0

Æ£ÖÐMÅMÆ£Ë@ÂxÒÃ×£óÑ;ÂxÖÆ£ÊÆ£ÍxÁ ã ÊÀMÁ)ÒÙÁÁFÆ«ÖzÊ¨ÖÉÑUÂ}ÖÙÆ£Ê¨ÆåÍ}Á

Ô)Â}ÅMÖzÊaÉxÅLÊ

C >0 ÖÐÇÔaÀ+Ê¨ÀWÉJÊ

ρ0(y)≥ C ^É ^³^Á ^³ ^Æ£Å T^N^ã ÉxÅMÓ0ÊÀMÁÁ×ÕÉxÖzÊ¨Æ«ÔÊÁ)ÅMÖÙÂ}Ò

A0

Æ«ÖÖÙóGÃôÃÁÊÒÆ£Ô ã

ÐMÅMÆ£Ë@ÂxÒÃ×£ó%ÔÂFÁÒÔÆ£Í}Á

ã

Ê¨ÀMÁÒÁlÁFÆ«ÖzÊ¨ÖØÉxÅÇÂxÊ¨ÀMÁÒ[ÑUÂ}ÖÆåÊ¨ÆåÍ}ÁÔ)Â}ÅMÖzÊaÉxÅLÊ

C >0ÖÙÐMÔaÀÊ¨ÀWÉpÊ

A₀(y)ζ·ζ ≥ C|ζ|² Ë@Â}ÒÉxÅLó

ζ ∈R^N ^ÉJÅMÓÉ ^³^Á ^³ ^Æ«Å T^N^³

ÅMÓÇÁ)Ò&Ê¨ÀÇÁ)ÖÁÉJÖÖÐÇÃôÑÇÊÆ«Â}ÅÇÖÎÆ£ÊÎÆ«ÖÌvÁ×«×åø ïjÅMÂÌÅ

ÞêàÇã²"éGãéF²xãé}èpâ Ê¨ÀWÉJÊ

ã

Ë@Â}Ò&ÉxÅLó ÍJÉx×«ÐMÁÂxËOÊ¨ÀMÁ

ÑWÉxÒ¨ÉJÃôÁÊ¨Á)Ò

θ ∈ T^N^ã Ê¨ÀMÁ/ÔÁ)×£×µÑMÒÙÂ}ÚM×«ÁÃ

Ü

²}³:1Lì ÓMÁ7MÅMÁ)ÖÉ ÖÁ×£ËÕøiÉJÓpÛÙÂ}Æ«ÅLÊÎÔ)Â}ÃÑWÉxÔÊÂ}ÑUÁ)Ò¨ÉpÊ¨Â}Ò&ÂxÅ

L²(T^N) ^ÜÌÆ£Ê¨ÀÊÀMÁ=ÖÔ±ÉJ×ÕÉxÒ5ÑÇÒÂGÓMÐMÔÊEÓMÁ 7WÅMÁÓÚLó

hu, vi=R

T^Nρ0uv dy^ì ÌÀMÆ£ÔaÀÉxÓÇÃôÆåÊ¨ÖBÉÔ)ÂxÐMÅLÊaÉxÚM×£Á ÖÁ)ÏjÐMÁÅMÔ)ÁÂxËOÒÙÁ±Éx×Æ«ÅMÔÒÁ)ÉxÖÆ£ÅMÄÁ)Æ£Ä}Á)ÅLÍJÉx×£ÐMÁ)Ö

{λn}n≥1

Ü

ÒÁ)ÑUÁ±ÉpÊ¨Á)ÓùÌÆåÊ¨ÀùÊÀMÁ)Æ£ÒÎÃÐM×åÊ¨Æ£ÑM×«Æ£Ô)Æ£Êsó

ì

ÉxÅÇÓ

Â}ÒÙÊÀMÂ}ÅMÂ}ÒÙÃÎÉJ×«Æ«ÈÁ)ÓÁ)Æ£Ä}Á)ÅÇË@ÐÇÅMÔÊÆ«Â}ÅMÖ

{ψn}n≥1

ÌÆ£ÊÀ

R

T^Nρ₀|ψn|²dy = 1^³ ¿ÀMÁÓMÐWÉx×?ÑWÉxÒÉxÃôÁÊ¨ÁÒ

θ

Æ«ÖµÔ)Éx×«×£Á)Ó0ÊÀMÁÿv×£ÂFÔaÀ+Ë@ÒÙÁ)ÏjÐMÁ)ÅÇÔóÉxÅÇÓSÆåÊ%ÒÙÐMÅMÖÆ«ÅÊ¨ÀMÁÓMÐMÉx×8Ô)Á×«×?ÂxË

T^N^ã ÚLó+ÑUÁ)ÒÙÆ«ÂGÓMÆ«ÔÆ£ÊsóÆåÊ%Æ«Ö Á)ÅMÂ}ÐÇÄ}ÀÊ¨ÂÔ)Â}ÅMÖÙÆ«ÓMÁÒ

θ∈T^N^³

÷

ÐMÒÃÎÉxÆ£ÅÉxÖÖÙÐMÃôÑFÊ¨Æ«ÂxÅÆ£ÖÊ¨ÀWÉJÊÊÀMÁ)ÒÙÁÁ FÆ«ÖÙÊµÉxÅÁ)ÅMÁÒÄxó×£ÁÍxÁ)×

n≥1 ÉxÅÇÓ0Éÿv×«ÂGÔaÀÑWÉxÒ¨ÉJÃôÁÊ¨Á)Ò

θ0 ∈T^N ÖÙÐMÔaÀÊÀWÉJÊ

Ü

éF³å²"ì

λn(θ₀)>0 Æ«ÖÉÖÆ£ÃôÑM×£Á%Á)Æ£Ä}Á)ÅLÍJÉx×£ÐMÁ ³

(8)

! "! #%$&(')*+"(!,-'.'/ 1023/465 ('7-58"9( ÞáàÇã5²"éjã3éF²}ãWé}è"â

: / ; < =,- >?$

λ1(θ) ^3A@ ^(8B<C ^3D,< E9,(GFH'I'# < CJ'

θ = 0 ^K ^')/ ^334L!<M ^E9, ^(<N

?$O'/ 4 DQP =,- R5 <N S5 6T VU,W')/ (W 4! XY'/ DZ < D' [PL'

θ = 0^X ∇θ∇θλ1(0)^X ³

5\ ' ] ;C )^.< ' _ <N ' 3 E9,M`'6a')/ b,c(,Md/\! 4e (< f@ Cg D'I [P$Q! E9,'#!<

Ü

²}³å²"ì OhW<

5M('#(,fX ' i5 *')/M'j')/ ( 7P 3(')A_5\ '] D!<M('#<\'

C >0 ^(,\/k')/M' λ1(θ)≥ C|θ|²

l <H')/ =!'/ (1/M<C!X\$Q!*<\F

n≥2^Xm')/ ⁽ ^7P 3('_<N!'/ (n5\ ' ] =!<M('#<\'

C >0 ^(,/o'/M' minθλn(θ)≥C >0

ÁÃÎÉJÒï éG³£² Æ£ÃôÑM×£Æ«ÁÖôÊ¨ÀMÉJÊ

λn(θ0) > 0 ÁFÔ)ÁÑÇÊÆ£Ë

n = 1 ^ÉxÅÇÓ θ0 = 0^³ ¿ÀÇÁ)ÒÁË@Â}ÒÁ ã Ê¨ÀÇÁ Æ«ÃÑ;Â}ÒzÊaÉxÅLÊÑWÉxÒzÊÂJËÉxÖÖÙÐMÃôÑFÊ¨Æ«ÂxÅ

Ü

éG³£²"ì

Æ«ÖOÊ¨ÀMÁÎÖÆ«ÃÑM×£Æ«Ô)ÆåÊsó+ÂxËvÊ¨ÀMÁ&ÁÆ«Ä}ÁÅLÍxÉJ×«ÐMÁ

³ /

Â"ÌlÁÍxÁ)Ò

ã

ÒÙÁ)Ô)Éx×«×

Ê¨ÀWÉJÊ?ÖÆ£ÃôÑÇ×«Æ«ÔÆ£ÊsóµÆ«Ö?Éx×£ÌvÉ±óFÖ[Ä}Á)ÅMÁÒÆ£Ô

ã

ÃÁ±ÉJÅMÆ«ÅMÄÊ¨ÀMÉJÊ8ÃÐÇ×£Ê¨Æ£ÑM×«ÁØÁÆ«Ä}ÁÅLÍxÉJ×«ÐMÁÖ8ÉxÒÙÁvÃÐMÔaÀÃôÂ}ÒÙÁlÖÙÁ)×£ÓMÂ}Ã

Ê¨ÀWÉxÅÖÙÆ«ÃÑM×«Á%ÂxÅMÁ)Ö ³

ÅMÓÇÁ)ÒÊÀMÁ&ÖÆ£ÃôÑÇ×«Æ«ÔÆ£Êsó+ÉxÖÖÙÐMÃôÑFÊ¨Æ«ÂxÅ

Ü

éF³å²"ì

Æ£ÊÆ«ÖÉ0Ô)×«ÉxÖÖÙÆ«Ô±ÉJ×lÃôÉJÊÊÁ)ÒOÊ¨Â+ÑÇÒÂÍ}Á&ÊÀWÉJÊÊÀMÁ

n^ø ^ÊÀ

Á)Æ«ÄxÁ)ÅMÔÂ}ÐMÑM×£ÁôÂxË

Ü

²}³:1Lì

Æ£ÖÖÙÃôÂGÂxÊ¨ÀÝÆ«ÅXÉ0ÅMÁ)Æ£Ä}ÀjÚ;ÂxÒÀMÂGÂFÓSÂxË

θ₀ ^Ü ^ÖÁÁ&Á ^³^Ä ^³ÝÞ^{éxæpâ¾ìc³} ¿EÂ0ÖÙÆ«ÃÑM×«ÆåË¾ó+Ê¨ÀMÁ ÅMÂxÊaÉpÊ¨Æ«ÂxÅMÖvÌlÁÆ£ÅjÊÒÂGÓMÐMÔÁ%Ê¨ÀMÒÙÁ)ÁOÂ}ÑUÁ)Ò¨ÉpÊ¨Â}ÒÙÖ ã

A_n(θ)^ã B(θ) ^ÉJÅMÓ C(θ)^ã ÓMÁ7WÅÇÁ)Ó0ÚLó

Ü

éF³é}ì

A_n(θ)ψ =−(^ÓMÆåÍ y+ 2iπθ)

A0(y)(∇y+ 2iπθ)ψ

−λn(θ)ρ0(y)ψ ∀ψ ∈L²(T^N),

Ü

éF³:9Lì

B(θ)ψ =A0(y)(∇y+ 2iπθ)ψ ∀ψ ∈L²(T^N),

Ü

éF³;1jì

C(θ)φ= (^ÓMÆ£Í y + 2iπθ)(A0(y)φ) ∀φ∈L²(T^N)^N.

pµÁ)ÅMÂJÊ¨Æ«ÅÇÄÚjó

(ek)_1≤k≤N

ÊÀMÁÔ±ÉxÅÇÂ}ÅMÆ«Ô)Éx×5ÚWÉJÖÆ«ÖÂJË

R^N ^{ÉxÅMÓÚLó} (θk)_1≤k≤N

Ê¨ÀMÁOÔÂ}ÃôÑUÂ}ÅMÁÅLÊ¨ÖÂxË

θ^ã

Ê¨ÀMÁ 7WÒÙÖÙÊÓMÁÒÆ£ÍJÉJÊÆ£ÍxÁÂxË

Ü

²}³;1jì Æ£Ö

Ü

éF³2}ì

A_n(θ)∂ψn

∂θk

= 2iπek·B(θ)ψn+ 2iπC(θ)(ekψn) + ∂λn

∂θk

(θ)ρ0(y)ψn,

ÉxÅMÓÆ£ÊÖÖÁ)ÔÂ}ÅMÓÓMÁ)ÒÙÆ£ÍJÉJÊ¨ÆåÍ}ÁÆ£Ö

Ü

éF³ ì

A_n(θ) ∂²ψn

∂θk∂θl

= 2iπek·B(θ)∂ψn

∂θl

+ 2iπC(θ)

ek

∂ψn

∂θl

+∂λn

∂θk

(θ)ρ0(y)∂ψn

∂θl

+2iπel·B(θ)∂ψn

∂θk

+ 2iπC(θ)

el

∂ψn

∂θk

+∂λn

∂θl

(θ)ρ0(y)∂ψn

∂θk

−4π²ekA0(y)elψn−4π²elA0(y)ekψn+ ∂²λn

∂θl∂θk

(θ)ρ0(y)ψn.

5 ÐM×£ÊÆ«ÑM×åóGÆ«ÅMÄ

Ü

éF³ ì ÚLó

ψ_n^ã ÒÁÔ±Éx×£×«Æ«ÅÇÄÊÀMÁÎÅÇÂ}ÒÃôÉx×«Æ£È±ÉJÊÆ«Â}Å/ÂJË

ψn

ÉxÅMÓÆ£ÅLÊ¨Á)ÄxÒ¨ÉJÊÆ«ÅMÄÚLóÝÑMÉxÒÙÊÖÌlÁ

Â}ÚÇÊaÉJÆ«Å

Ü

éF³è}ì

1 4π²

∂²λn

∂θl∂θk

(θ) = Z

T^N

2|ψn|²A0el·ek−π⁻¹ωn(θ)ρ0ψ_n

Vk

∂ψn

∂θl

+Vl

∂ψn

∂θk

+ 1 2iπ

ψ_nB(θ)∂ψn

∂θk

·el+ψ_nB(θ)∂ψn

∂θl

·ek

− 1 2iπ

∂ψn

∂θk

B(θ)ψn·el+ ∂ψn

∂θl

B(θ)ψn·ek

dy .

(9)

ýXÁÅMÂÌ Ä}Æ£ÍxÁ0ÖÙÂ}ÃôÁÒÁÖÐM×åÊ¨ÖôÂ}Å Ê¨ÀÇÁ+ÿv×£ÂFÔaÀÓMÁ)ÔÂ}ÃôÑUÂ}ÖÙÆ£Ê¨Æ£Â}ÅÉxÖÖÙÂFÔÆÕÉJÊÁ)ÓÌÆåÊ¨À Ê¨ÀMÁÖÑUÁ)ÔÊÒ¨Éx×

ÑMÒÂ}ÚÇ×«Á)Ã

Ü

²}³;1jì

Ü

ÖÁ)ÁOÁ ³Ä ³ÞáàÇã5²"é"â¾ìc³

1m 3

(' u(y), v(y) ∈ L²(R^N) ^{)^.<} ^g'/ ^023/ (<\'Y$Q!

n ≥ 1 ^<C θ∈T^N

αn(θ) = Z

R^N

ρ0(y)u(y)ψ_n(y, θ)e^−2iπθ^·^ydy , βn(θ) = Z

R^N

ρ0(y)v(y)ψ_n(y, θ)e^−2iπθ^·^ydy .

: / (<MX

αn, βn

" (3!<eO'6

L²(T^N) ^<C u(y) = X

n≥1

Z

T^N

αn(θ)ψn(y, θ)e^2iπθ^·^ydθ , v(y) = X

n≥1

Z

T^N

βn(θ)ψn(y, θ)e^2iπθ^·^ydθ ,

<CO')/ (F=9'3)$WFO'/ (]!E9,'F

Z

R^N

ρ0(y)u(y)v(y)dy=X

n≥1

Z

T^N

αn(θ)β_n(θ)dθ.

h(< !'/ ( n!7C!X1'/ ;023/L'I7<M)$Q!W

u → {αn(θ)}n≥1

3g< 3! ('WF_$W8!

L²(R^N) ^<\'6

`²(L²(T^N)) ^U,W')/ ^{(W 4!} ^X%'/ 1023/a'7<M)$Q!W C e!<f@ 1'/ (S5'#b5 (7'?! <

Ü

²x³£²"ìX

<H')/ Y (<M Y')/M'

Z

R^N

A₀(y)∇u(y)· ∇v(y)dy=X

n≥1

Z

T^N

λn(θ)αn(θ)β_n(θ)dθ.

ýXÁOÒÙÁ)Ô±ÉJ×«×]ÊÀMÁOÅMÂxÊ¨Æ£Â}ÅÂxËEÊsÌvÂJø ÖÔ)Éx×«ÁÔÂ}ÅLÍ}Á)ÒÙÄ}Á)ÅÇÔ)Á

Ü

ÖÁÁ

Þe²}ã3é

â¾ìc³

$_

(' {vε}ε>0

" 4H"(!,<C Ca E9, (<N <

L²(R^N) ^: ^/ ⁽ ^7P 3('Oo(,M"(

E9,(<N X('2C (<N!' CL"9F

ε^Xb<C ^L ^' v^∗(x, y) ∈ L²(R^N ×T^N) ^(,\/'/M' vε

ÊsÌvÂpøsÖÔ)Éx×«Á

Ô)Â}ÅLÍ}ÁÒÄ}ÁÖÌlÁ±ÉJïG×åó '6

v^∗ ^<J'/ ¹ ^(<M ^'/M' limε→0

Z

R^N

vε(x)φ x,x

ε

dx = Z

R^N

Z

T^N

v^∗(x, y)φ(x, y)dx dy

$Q!* $W,-<N('#!<M

φ(x, y)∈L² R^N;C(T^N)

K

fX (0,1)^N³⁵ ⁽ ^#9C ^{# ')/a} ⁶⁵ ^('m'? y^T

í

ÅÊ¨ÒÐFÊ¨À

ã

Æ£ÅÂ}ÒÓMÁÒ8Ê¨ÂÀMÂxÃôÂ}ÄxÁ)ÅMÆ£È)Á

Ü

²}³£²ì

ÌvÁÌÆ£×«×GÅMÁ)ÁÓÊÀMÁË@Â}×«×£ÂÌÆ«ÅMÄÁGÊ¨ÁÅMÖÆ£Â}ÅôÂJËUÊÀMÁÅMÂxÊÆ«Â}Å

ÂxË?ÊsÌlÂJø ÖÔ±ÉJ×«ÁÔ)ÂxÅjÍxÁ)ÒÙÄ}Á)ÅMÔÁÌÀMÆ£ÔaÀÌvÉxÖÆ«ÅLÊ¨ÒÙÂFÓÇÐMÔ)ÁÓÆ£Å Þé(2"âç³

$_R

(' V ∈ R^N ^" ^Ve ^] ^(< ^C ^$W'A] ⁽³ ^'IF ^(' {vε}ε>0

" ,-< $Q!W =GF

"(!,-<C C E9, (<N <

L²((0, T)×R^N) ^: ^/ ⁽ ^7P ^3(') ^*(,"( ^E9, ^(<N ^X ^('^\C ^(<N!' ^C="9F ε^X ^<Cb

'$W,<N('#!<

v^∗(t, x, y)∈L²((0, T)×R^N ×T^N) ^(,\/a')/M' vε

ÊsÌlÂJø ÖÔ±ÉJ×«ÁÔ)ÂxÅjÍxÁ)ÒÙÄ}Á)ÖÌvÁ)Éxïj×£ó

ÌÆ£Ê¨ÀÓMÒÙÆ£Ë¾Ê

'6 v^∗ ^<B')/ ^Y ^(<M ^'/M'

Ü

éF³êëLì

εlim→0

Z T 0

Z

R^N

vε(t, x)φ

t, x+V εt,x

ε

dt dx= Z T

0

Z

R^N

Z

T^N

v^∗(t, x, y)φ(t, x, y)dt dx dy