République Algérienne Démocratique et Populaire
Ecole Normale Supérieure Kouba-Alger
THESE
Présentée pour l’obtention du grade de :
MAGISTER EN MATHEMATIQUES
Option : Equations aux Dérivées Partielles
Par
DEBBA MOSTEFA Sujet
Etude d’un problème parabolique dans un domaine plan non régulier (non rectangulaire)
Directeur de thèse : B.K. Sadallah
Soutenue le : 20 / 05 /2002 Devant le jury composé de :
M. S. Mouley
professeur (USTHB) PrésidentY. Atik
professeur (ENS –Alger) ExaminateurA. Mokrane
Maître de conférences (ENS –Alger) ExaminateurB.K. Sadallah
Maître de conférences (ENS –Alger) RapporteurTable des Matières
1 Problèmes aux limites : Des domaines réguliers aux domaines non
réguliers 7
1.1 Introduction . . . . 7
1.2 Quelques méthodes de résolution des EDP . . . . 8
1.2.1 Estimations à priori . . . . 8
1.2.2 Intégrales singulières . . . 10
1.2.3 Techniques de Leray-Schauder (Méthodes topologiques) . . . 11
1.2.4 Théorie des opérateurs pseudo-di*érentiels . . . 16
1.2.5 Sommes d’opérateurs . . . 18
1.2.6 Méthode de Hill-Yosida . . . 21
1.3 Des domaines réguliers aux domaines non réguliers . . . 22
1.3.1 Exemple 1 [28.1] : Le laplacien . . . 23
1.3.2 Exemple 2 [28.2] : Deux opérateurs liés au laplacien . . . 27
1.3.3 Exemple 3 [28.2] : Problème mal posé pour l’équation de la chaleur 30 1.3.4 Exemple 4 [28.2] : Problème mal posé pour l’équation des ondes . . 31
1.4 Types de problèmes étudiés dans les domaines non réguliers . . . 34
1.4.1 Cadres fonctionnels . . . 34
1.4.2 Problèmes étudiés . . . 35
2 Existence et unicité de la solution d’un problème parabolique dans un domaine plan non régulier (cas du disque) 41 2.1 Introduction . . . 41
1
2.2 Résolution du problème (P) . . . 45
2.2.1 Résolution du problème (P) dans 1 . . . 45
2.2.2 Résolution du problème(P) dans 2 . . . 59
2.2.3 Résolution du problème(P) dans 3 . . . 60
2.3 Construction de la solution de (P) dans . . . 70
2.4 Remarques . . . 73
2.4.1 Remarque 1 . . . 73
2.4.2 Remarque 2 . . . 74
2.5 Références Bibliographiques . . . 76
2
Résumé
Le présent travail se compose de deux parties.
Dans la première partie, on présente une description des problèmes aux limites et de quelques méthodes de résolution des équations aux dérivées partielles. On remarque que lors du passage des domaines réguliers aux domaines non réguliers, certains résultats classiques tombent en défaut.
Un aperçu historique sur les travaux dans les domaines non réguliers nous a paru indispensable et d’un intérêt certain pour saisir la différence entre ces deux types de problèmes.
Dans cet aperçu on a tenté de rassembler certains exemples se rattachant à ce vaste domaine de recherche mathématique.
Dans la seconde partie, on se propose de résoudre un problème
parabolique dans un domaine plan non régulier. Plus précisément, on étudie l’existence et l’unicité de la solution du problème de Dirichlet
( )
=
=
Γ 0
u f Lu
P
posé dans le disque Ω=B
(
0,r)
,r >0deIR2 décrit par les variables t et x ,Γ étant la frontière de Ω, où :
( ) ( )
c( )
t x Id x xt x b x t t a
L , 2 , ,
2
∂ + + ∂
∂
− ∂
∂
≡ ∂ ,
avec a,b,cdes fonctions ayant une certaine régularité et f ∈L2
( )
Ω donnée.On démontre que le problème (P) admet une solution unique dans
( )
Ω ∩ 01( )
Ω2 ,
1 H
H ,
Où
( ) ( ) ( ) ( )
∈ Ω =
∂ Ω ∂
∂ ∈ Ω ∂
∈
=
Ω 2 : 2 , 2 , 1,2
2 ,
1 L j
x L u
t L u
u
H j
j
et
( ) {
2( )
:(
2( ) )
2, 0}
1
0 Ω = u∈L Ω ∇u∈ L Ω uΓ =
H
Notre méthode repose sur une approximation du domaine Ω par des domaines se ramenant à des rectangles par des changements de variables réguliers. Moyennant des estimations a priori, on établit l’existence et l’unicité de la solution du problème (P) dans Ω par le recollement des solutions.
Mots clés : Opérateur parabolique, domaine non régulier, espace de Sobolev anisotrope H1,2
