Équation d'onde dans un domaine non régulier

R´ epublique Alg´ erienne D´ emocratique et Populaire

Minist` ere de l’enseignement Sup´ erieur et de la Recherche Scientifique Universit´ e Mohammed Seddik Ben Yahia - Jijel

Facult´ e des Sciences Exactes et Informatique D´ epartement de Math´ ematiques

M´ emoire de fin d’´ etudes

Pr´ esent´ e pour l’obtention du diplˆ ome de Master

Sp´ ecialit´ e : Math´ ematiques.

Option : EDP et Applications.

Th` eme

Equation d’onde dans un domaine non r´ ´ egulier

Pr´ esent´ e par Rekima Zeyneb

Devant le jury compos´ e de :

Pr´ esident : Menniche Linda Maˆıtre de Conf´ erences B Universit´ e de Jijel

Encadreur : Chikouche Wided Professeur Universit´ e de Jijel

Examinateur : Bekkouche Fatiha Maˆıtre de Conf´ erences B Universit´ e de Jijel

Promotion 2019/2020

Remerciements

Ces quelques lignes ne pourront jamais exprimer la reconnaissance que j’´ eprouve envers tous ceux qui, de pr` es ou du loin, ont contribu´ e, par leurs conseils, leurs encouragements ou leurs amiti´ es ` a l’aboutissement de ce travail.

Mes vifs remerciements accompagn´ es de toute ma gratitude vont tout d’abord ` a mon encadreur W. CHIKOUCHE, professeur ` a l’universit´ e de Jijel, pour m’avoir propos´ e ce su- jet int´ eressant, pour ses conseils et orientations. je la remercie surtout pour m’avoir fait confiance durant toute cette ann´ ee.

Mes plus sinc` eres remerciements s’adressent aux membres de jury Menniche Linda et Bekkouche Fatiha pour avoir accept´ e de juger ce travail.

Un grand ”MERCI” imperceptible se lance vers ma famille pour leurs sacrifices et encou-

ragements.

R´ esum´ e

Nous ´ etudions dans ce travail l’existence et la r´ egularit´ e des solutions d’une ´ equation du type onde de la forme :

∂

p − ρ

c

div( 1

ρ

grad p) = 0 dans ]0, T [×Ω,

avec des donn´ ees initiales appropri´ ees dans un domaines Ω du plan et T > 0 donn´ e. Les

fonctions ρ

et c

, ind´ ependantes du temps, sont constantes par morceaux. Elles pr´ esentent

des sauts le long d’une ligne bris´ ee Σ qui coupe la fronti` ere de Ω transversalement. On ´ etudie

la r´ egularit´ e de la solution de part et d’autre de Σ et on analyse son comportement singulier

au voisinage des points singuliers de Σ.

TABLE DES MATI` ERES

Introduction 2

1 Pr´ eliminaires 5

1.1 Notations . . . . 5

1.2 R´ egularit´ e des domaines . . . . 5

1.3 Rappels sur les espaces de sobolev H

(Ω) . . . . 6

1.4 R´ esultats de densit´ e . . . . 7

1.5 La g´ eom´ etrie polygonale . . . . 8

1.6 Rappels sur les espaces de traces dans un ouvert polygonal . . . . 9

1.7 Le lemme de Lax-Milgram . . . . 11

1.8 Une formule de Green sur un polygone . . . . 11

2 Probl` eme stationnaire 14 2.1 Position du probl` eme . . . . 14

2.2 Formulation variationnelle du probl` eme stationnaire . . . . 16

2.3 R´ egularit´ e en dehors du point singulier de l’interface . . . . 18

2.3.1 R´ egularit´ e au voisinage d’un point r´ egulier de Σ . . . . 18

2.3.2 R´ egularit´ e au voisinage des points anguleux de Γ

et des points angu-

leux de Γ

∩ Σ . . . . 19

2.4 R´ egularit´ e au voisinage du point singulier de l’interface . . . . 19

2.4.1 Estimation a priori pour les solutions r´ eguli` eres . . . . 19

2.4.2 L’espace N . . . . 24

2.4.3 D´ ecomposition de la solution variationnelle . . . . 36

3 Etude du probl` eme d’´ evolution 38 3.1 R´ eduction d’ordre . . . . 38

3.2 Existence, unicit´ e et r´ egularit´ e de la solution . . . . 39

Appendice 42 3.3 Th´ eor` eme de Hille-Yosida . . . . 43

3.4 Th´ eorie spectrale des op´ erateurs autoadjoints ` a r´ esolvante compacte . . . . . 43

Bibliographie 45

INTRODUCTION

La th´ eorie des singularit´ e des probl` emes elliptiques a suscit´ e l’int´ erˆ et de plusieurs cher- cheurs. En effet, ils s’int´ eressent depuis longtemps au comportement de la solution au voisi- nage des singularit´ es g´ eom´ etriques.

Une ´ etude tr` es d´ etaill´ ee de la th´ eorie des singularit´ es des probl` emes elliptiques du second ordre a ´ et´ e men´ ee par P. Grisvard [9].

La solution variationnelle u ∈ H

(Ω) du probl` eme de Dirichlet pour le laplacien :

−∆u = f dans Ω, u = 0 sur Γ,

est r´ eguli` ere (de classe H

) dans le cas o` u la fronti` ere Γ est r´ eguli` ere.

Supposons que Ω est un domaine plan ` a fronti` ere polygonale et que Ω a un seul coin rentrant de mesure ω > π ` a l’origine d´ efini par 0 < θ < ω dans les coordonn´ ees polaires (r, θ). La solution u admet la d´ ecomposition

u = u

+ c S, o` u

• u

∈ H

(Ω) est la partie r´ eguli` ere dont le comportement n’a pas ´ et´ e affect´ e par la pr´ esence des coins,

• c S est la partie singuli` ere, S -appel´ ee fonction singuli` ere- est explicitement donn´ ee par S = r

sin

π ω θ

,

et c est une constante appel´ ee coefficient de singularit´ e qui d´ epend seulement de la donn´ ee f .

milieu h´ et´ erog` ene. Nous supposons que ce dernier est bidimensionnel constitu´ e d’une partie fluide et d’une partie solide ou bien de deux solides ´ elastiques de caract´ eristiques physiques diff´ erentes. Les deux milieux occupent des r´ egions s´ epar´ ees par une interface non r´ eguli` ere dans le sens qu’elle pr´ esente des angles.

Nous nous pla¸cons dans la situation o` u les caract´ eristiques de chacun des milieux sont constantes et dans le cadre de la th´ eorie lin´ earis´ ee. Les ´ equations lin´ eaires qui r´ egissent ce ph´ enom` ene ´ ecrites en variables d’Euler ou de Lagrange sont les mˆ emes et conduisent aux syst` emes suivants :

Dans les liquides, l’´ etat du milieu physique est d´ ecrit par une pression acoustique p et une vitesse acoustique u. La conservation de la masse et de la quantit´ e de mouvement et l’´ equation d’´ etat donnent :

(P

)



 

 

 

 

∂

ρ + ρ

div u = 0, ρ

∂

u + grad p = 0, p = c

ρ,

o` u ∂

d´ esigne la d´ erivation par rapport au temps, div et grad les op´ erateurs diff´ erentiels usuels de divergence et du gradient. ρ

et c

correspondent respectivement ` a la densit´ e et la vitesse d’amplitude infinit´ esimale du fluide au repos. Ces deux fonctions sont ind´ ependantes du temps.

Le syst` eme d’´ equations aux d´ eriv´ ees partielles (P

) est valable de part et d’autre de l’in- terface. Il faut par la suite lui ajouter (en plus des conditions initiales et ´ eventuellement aux limites) des conditions de transmission ` a travers l’interface pour tenir compte des quantit´ es physiques (pression ou ´ equivalent, composantes de vitesses, composantes de contraintes . . .) qui doivent ˆ etre continues ` a travers cette interface. Nous ne reviendrons pas ici sur la mod´ e- lisation du probl` eme que l’on peut trouver dans P. Germain [4] et [5] et B. Poir´ ee [13], [14]

et [15].

Le plan de ce travail est le suivant :

1) Dans le premier chapitre, on rappellera les d´ efinitions des espaces utilis´ es en ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles et quelques r´ esultats de traces inspir´ es de P. Grisvard [7].

2) Dans le deuxi` eme chapitre, compos´ ee de trois paragraphes, on ´ etudie la r´ egularit´ e de la solution du probl` eme stationnaire en pression.

3) Le dernier chapitre sera consacr´ e ` a l’´ etude de l’existence et de la r´ egularit´ e de la solution

du probl` eme d’´ evolution d’acoustique en pression.

CHAPITRE 1

PR´ ELIMINAIRES

Dans ce chapitre, on rappelle les notions de base utilis´ ees tout au long du m´ emoire. En particulier, les d´ efinitions et les propri´ et´ es de base des espaces de Sobolev usuels lorsqu’ils sont d´ efinis sur des polygˆ ones. Pour les preuves des propositions et des th´ eor` emes ´ enonc´ es dans ce chapitre, le lecteur peut consulter par exemple [1, 2].

1.1 Notations

• Soit Ω un sous-ensemble ouvert de R

de point g´ en´ erique (x

, x

, ..., x

). On note par D(Ω) (resp. D(Ω)) l’espace de toutes les fonctions ind´ efiniment continument diff´ erentiables et ` a support compact dans Ω (resp. l’espace des restrictions ` a Ω des fonctions de D( R

)).

On note aussi par ∂

la d´ eriv´ e partielle par rapport ` a la variable x

, 1 ≤ i ≤ n et pour tout α = (α

, α

, ..., α

) ∈ N

on a ∂

= ∂

∂

...∂

.

• On note D

(Ω) l’espace des distributions sur Ω comme ´ etant l’espace dual de D(Ω), c’est-` a-dire l’espace des formes lin´ eaires continues sur D(Ω).

1.2 R´ egularit´ e des domaines

D´ efinition 1.2.1. Soit Ω un ouvert de R

. On dit que sa fronti` ere Γ est lipschitzienne ou que Ω est lipschitzien (resp. de classe C

) si pour tout x ∈ Γ, il existe un voisinage V de x dans R

et des nouveaux axes de coordonn´ ees orthogonaux {y

, y

, ..., y

} tels que

1. V est un hypercube dans les nouveaux axes de coordonn´ ees :

V = {(y

, ..., y

), −a

< y

< a

, 1 ≤ j ≤ n}.

1.3. Rappels sur les espaces de sobolev H

(Ω)

2. Il existe une fonction lipschitzienne (resp. de classe C

) ϕ, d´ efinie dans V

= {(y

, ..., y

), −a

< y

< a

, 1 ≤ j ≤ n − 1}

et telle que

|ϕ(y

)| ≤ a

2 pour tout y

= (y

, ...y

) ∈ V

, Ω ∩ V = {y = (y

, y

) ∈ V, y

< ϕ(y

)}, Γ ∩ V = {y = (y

, y

) ∈ V, y

= ϕ(y

)}.

En d’autres termes, dans un voisinage de x, la fronti` ere Γ est le graphe de ϕ.

1.3 Rappels sur les espaces de sobolev H ^s (Ω)

D´ efinition 1.3.1. On note H

(Ω) l’espace des distributions u d´ efinies dans Ω telles que 1. ∂

u ∈ L

(Ω) pour |α| ≤ m lorsque s = m est un entier positif.

2. u ∈ H

(Ω) et

Z

Ω

Z

Ω

|∂

u(x) − ∂

u(y)|

|x − y|

dx dy < +∞

pour |α| = m lorsque s = m + σ est non entier et positif avec m entier et σ la partie fractionnaire de s, 0 < σ < 1.

On munit H

(Ω) de la norme (naturelle)

kuk

=



 X

|α|≤m

Z

Ω

|∂

u(x)|

dx





1/2

dans le cas 1 et

kuk

=



kuk

+ X

|α|=m

Z

Ω

Z

Ω

|∂

u(x) − ∂

u(y)|

|x − y|

dxdy





1/2

dans le cas 2.

Proposition 1.3.1. H

(Ω) est un espace de Hilbert pour la norme k · k

. D´ efinition 1.3.2. H

(Ω) note l’adh´ erence de D(Ω) dans H

(Ω).

Remarque 1.3.1. H

(Ω) est un espace de Hilbert pour la norme k · k

, car H

(Ω) est un sous-espace ferm´ e de H

(Ω) donc complet.

D´ efinition 1.3.3. Pour s < 0, H

(Ω) est le dual de H

(Ω).

1.4. R´ esultats de densit´ e

Th´ eor` eme 1.3.1 (In´ egalit´ e de Poincar´ e). On suppose que Ω est un ouvert born´ e quelconque de R

. Alors il existe une constante c(Ω) qui ne d´ epend que du diam` etre de Ω telle que

(1.1) kuk

≤ c(Ω)

n

X

i=1

k∂

uk

!

pour tout u ∈ H

(Ω).

Corollaire 1.3.1. Soit Ω un ouvert born´ e de R

, on a :

kuk

≤ p

1 + c

(Ω)

n

X

i=1

k∂

uk

!

pour tout u ∈ H

(Ω), o` u c(Ω) est la constante de l’in´ egalit´ e de Poincar´ e.

Lemme 1.3.1. D( ¯ Ω) est dense dans D(∆, L

(Ω)) tel que : D(∆, L

(Ω)) =

v ∈ L

(Ω)| ∆v ∈ L

(Ω) muni de la norme

v 7→ kvk

+ k∆vk

.

D´ efinition 1.3.4. On note H e

(Ω) le sous-espace de H

(Ω) des fonctions u dont le prolonge- ment e u par z´ ero en dehors de Ω appartient ` a H

( R

).

Remarque 1.3.2. Si le domaine Ω est ` a fronti` ere lipschitzienne, la D´ efinition 1.3.4 est ´ equi- valente ` a

(1.2) H e

(Ω) =

u ∈ H

(Ω) | ∂

u

ρ

∈ L

(Ω), |α| = m

,

o` u ρ(x) d´ esigne la distance de x ` a la fronti` ere Γ de Ω, et s = m + σ pour un entier m et σ ∈ [0, 1[ (voir Corollary 1.4.4.10 dans [6]). Par cons´ equent, on peut d´ efinir une norme sur H e

(Ω) par

(1.3) kuk

=



kuk

+ X

|α|=m

Z

Ω

|∂

u(x)|

ρ(x)

dx





1/2

.

1.4 R´ esultats de densit´ e

Nous rappelons ici les principaux r´ esultats de densit´ e. Remarquons que les r´ esultats n’ont

´

et´ e ´ etablis que dans le cas d’un domaine ` a fronti` ere lipschitzienne.

Th´ eor` eme 1.4.1. Soit Ω un ouvert de R

` a fronti` ere lipschitzienne. Alors D(Ω) est dense

1.5. La g´ eom´ etrie polygonale

Th´ eor` eme 1.4.2. Soit Ω un ouvert de R

` a fronti` ere lipschitzienne. Alors D(Ω) est dense dans H e

(Ω) quel que soit s ≥ 0.

Th´ eor` eme 1.4.3. Soit Ω un ouvert born´ e de R

` a fronti` ere lipschitzienne. Alors D(Ω) est dense dans H

(Ω) quel que soit s ∈ [0, 1/2], autrement dit H

(Ω) = H

(Ω).

1.5 La g´ eom´ etrie polygonale

Nous allons donner dans ce paragraphe les notations concernant les domaines polygonaux de R

. Nous appelons ”polygone du plan” un domaine Ω ⊂ R

` a fronti` ere lipschitzienne et polygonale (ce qui exclut un domaine contenant une fissure ou coupure). La fronti` ere Γ est constitu´ ee des segments Γ

, j = 1, ..., N o` u les Γ

sont deux ` a deux disjoints. On note S

le sommet commun aux arˆ etes Γ

et Γ

qui forment l’angle ω

vers l’int´ erieur de Ω. Enfin, n

d´ esigne la normale orient´ ee vers l’ext´ erieur de Ω et τ

la tangente dans le sens direct. Il est clair qu’un domaine polygonal v´ erifie les conditions de la D´ efinition 1.2.1 puisque chaque arˆ ete Γ

peut ˆ etre repr´ esent´ ee par une fonction f : x 7→ ax + b, f est lipschitzienne car :

|f (x) − f (y)| = |a||x − y|.

Fonctions ayant une singularit´ e isol´ ee

Nous donnons ici un crit` ere qui permet de v´ erifier si ou non une fonction appartient ` a un espace de Sobolev donn´ e.

Proposition 1.5.1. Soit Ω un polygone du plan. Supposons que 0 ∈ Γ. Soit V un voisinage de 0 tel que

V ∩ Ω = {(x, y) = r(cos θ, sin θ)| 0 ≤ r ≤ R, a ≤ θ ≤ b},

pour un r´ eel positif R et b − a < 2π. Soit enfin u une fonction r´ eguli` ere dans Ω\{0} qui co¨ıncide avec r

ϕ(θ) dans V ∩ Ω, ϕ appartenant ` a H

(]a, b[). Alors, quel que soit s < s

, on a

u ∈ H

(Ω) si α > s − 1, (1.4)

u 6∈ H

(Ω) si α ≤ s − 1 et r

ϕ(θ) 6∈ R [x, y], (1.5)

o` u R [x, y] d´ esigne l’anneau des polynˆ omes en coordonn´ ees cart´ esiennes x et y.

1.6. Rappels sur les espaces de traces dans un ouvert polygonal

1.6 Rappels sur les espaces de traces dans un ouvert polygo- nal

Consid´ erons un ouvert polygonal Ω de fronti` ere Γ = ∪

Γ

; o` u Γ

pour j = 1, 2, . . . , N est un segment de droite d’extr´ emit´ es S

et S

(en convenant que S

= S

). Un tel ouvert est au mieux lipschitzien. Cela est une source de difficult´ es pour d´ efinir les espaces de traces sur Γ des fonctions de H

(Ω) d` es que l’on a s > 3/2. En effet, il n’y a pas de proc´ ed´ e simple permettant de d´ efinir de mani` ere globale les espaces du type H

(Γ). On est donc amen´ e

`

a consid´ erer ces espaces de traces comme des sous espaces du produit : Q

j=1

H

(Γ

)qui lui est bien d´ efini d’apr` es le paragraphe pr´ ec´ edent :

D´ efinition 1.6.1. On note H

(Γ) l’espace des fonctions f ∈ L

(Γ) telles que (1.6)

Z

Γ

Z

Γ

|f(x) − f(y)|

|x − y|

ds(x)ds(y) < +∞.

Cet espace est justement l’espace des traces sur Γ des fonctions de H

(Ω) :

Th´ eor` eme 1.6.1. L’application trace u 7→ u

qui est bien d´ efinie sur C

(Ω) se prolonge par densit´ e en un op´ erateur lin´ eaire continu surjectif, γ, de H

(Ω) sur H

(Γ) dont le noyau est l’espace H

(Ω).

Afin de mieux caract´ eriser l’espace des traces H

(Γ), on consid` ere la restriction ´ e cha- cune des arˆ etes Γ

des ´ el´ ements de H

(Ω). Comme chaque Γ

est un ouvert de R , la restriction f

= f

d’un ´ el´ ement de H

(Γ) appartient ` a H

(Γ

) au sens de la D´ efinition 1.3.1.

Au voisinage des sommets, les ´ el´ ements de H

(Γ) satisfont certaines conditions de raccord qui sont pr´ ecis´ ees dans la proposition suivante.

Proposition 1.6.1. La fonction f appartient ` a H

(Γ) si et seulement si f

∈ H

(Γ

) pour tout j et si en plus (pour ε assez petit)

(1.7)

Z

|f

(x

(−σ)) − f

(x

(+σ))|

dσ

σ < +∞ ∀ 1 ≤ j ≤ N,

o` u, la notation x

(+σ) (resp. x

(−σ)) d´ esigne le point de Γ

(resp. Γ

) ` a distance σ du sommet S

.

On peut dire que la condition (1.7) exprime le fait que les fonctions f

et f

se raccordent en S

en un sens faible, et on ´ ecrit, pour all´ eger les notations,

f

≡ f

en S

.

1.6. Rappels sur les espaces de traces dans un ouvert polygonal

Enfin, on introduit encore l’op´ erateur lin´ eaire continu surjectif de H

(Ω) sur H

(Γ

) qui d´ efinit la trace d’une fonction sur Γ

par

(1.8) γ

u = (γu)

.

Corollaire 1.6.1. L’application u 7→ {γ

u}

est lin´ eaire continue surjective de H

(Ω) sur le sous-espace de

N

Q

j=1

H

(Γ

) d´ efini par les conditions de raccord :

(1.9) γ

u ≡ γ

u en S

, ∀ j = 1, N . Traces des ´ el´ ements de H

(Ω)

La situation se r´ ev` ele plus compliqu´ ee si on s’int´ eresse aux traces des fonctions appar- tenant ` a l’espace H

(Ω) pour m > 1. Dans la suite, nous n’aurons besoin de donner un sens ` a ces traces que si m = 2. Ainsi, nous allons caract´ eriser l’espace des traces dans ce cas sp´ ecifique et nous renvoyons ` a [9] pour un entier m quelconque.

Consid´ erons dans un premier temps les traces d’une fonction de H

(Ω) sur une seule arˆ ete Γ

.

Proposition 1.6.2. Soit Ω un polygone du plan. Alors, quel que soit j , l’application u 7→ {γ

u, γ

∂

u},

qui est d´ efinie pour u ∈ C

(Ω) se prolonge de fa¸ con continue en une application lin´ eaire et surjective de H

(Ω) sur H

(Γ

) × H

(Γ

).

On est maintenant en mesure de caract´ eriser de fa¸con compl` ete l’espace des traces de H

(Ω) :

Th´ eor` eme 1.6.2. L’image de H

(Ω) par l’application u 7→ {g

, h

}

o` u l’on a pos´ e g

= γ

u et h

= γ

(∂

u), est le sous-espace de

N

Y

j=1

H

(Γ

) × H

(Γ

),

1.7. Le lemme de Lax-Milgram

d´ efini par les conditions de raccord

g

(S

) = g

(S

) ∀1 ≤ j ≤ N, (1.10)

g

≡ − cos(ω

)g

+ sin(ω

)h

en S

∀ 1 ≤ j ≤ N, (1.11)

h

≡ − cos(ω

)h

− sin(ω

)g

en S

∀ 1 ≤ j ≤ N.

(1.12)

1.7 Le lemme de Lax-Milgram

D´ efinition 1.7.1. Soit E un espace de Hilbert r´ eel. Une application a(·, ·) : E × E → R

(u, v) 7→ a(u, v),

est une forme bilin´ eaire sur E si elle est lin´ eaire par rapport ` a chacune de ses deux variables.

D´ efinition 1.7.2. On dit qu’une forme bilin´ eaire a(·, ·) : E × E → R est 1. Continue sur E × E s’il existe une constante C > 0 telle que

| a(u, v) |≤ Ckuk kvk ∀ u, v ∈ E.

2. Coercive (ou E-elliptique) s’il existe une constante α > 0 telle que a(v, v) ≥ αkvk

∀ v ∈ E.

Lemme 1.7.1 (Lemme de Lax-Milgram). Soient :

(i) E un espace de Hilbert r´ eel de produit scalaire h·, ·i et de norme k · k.

(ii) Une forme bilin´ eaire (u, v) 7→ a(u, v) continue sur E × E.

(iii) Une forme lin´ eaire L continue sur E.

On suppose que la forme bilin´ eaire a(·, ·) est E -elliptique alors le probl` eme variationnel sui- vant :

(P )

( T rouver u ∈ E tel que a(u, v) = L(v) ∀ v ∈ E, admet une solution unique u ∈ E.

1.8 Une formule de Green sur un polygone

Rappelons d’abord les formules de Green usuelles qui sont valides dans tout domaine

lipschitzien born´ e suivant Neˇ cas [12] :

1.8. Une formule de Green sur un polygone

Th´ eor` eme 1.8.1. Soit Ω un ouvert born´ e de R

de fronti` ere lipschitzienne Γ. Alors pour u, v ∈ H

(Ω), on a :

(1.13)

Z

Ω

v ∂

u dx = − Z

Ω

u ∂

v dx + Z

Γ

γu γv n

dσ.

Ici, n

d´ esigne la i ` eme composante du vecteur normal ` a Γ orient´ e vers l’ext´ erieur de Ω.

Par cons´ equent, sous les mˆ emes hypoth` eses sur Ω, on a la demi-formule de Green Z

Ω

u ∆v dx + Z

Ω

∇u ∇v dx = Z

Γ

γu γ ∂v

∂n

dσ ∀u ∈ H

(Ω) et v ∈ H

(Ω), ainsi que la formule de Green

Z

Ω

u ∆v dx − Z

Ω

v ∆u dx = Z

Γ

γu γ ∂v

∂n

dσ − Z

Γ

γv γ ∂u

∂n

dσ ∀u, v ∈ H

(Ω).

Th´ eor` eme 1.8.2. Soit Ω un ouvert born´ e de R

de fronti` ere lipschitzienne ∂ Ω. Alors pour u ∈ H(div, Ω) et v ∈ H

(Ω) on a :

(1.14)

Z

Ω

div u v dx = − Z

Ω

u ∇v dx + hu.n, vi

, tel que

H(div, Ω) =

u ∈ L

(Ω)

; div u ∈ L

(Ω) . Proposition 1.8.1. Soit v ∈ D(∆, L

(Ω)). Alors, on a

(1.15) (u, ∆v)

− (v, ∆u)

= X

j

hγ

∂

v, γ

ui

− hγ

v, γ

∂

ui

,

quel que soit u ∈ H

(Ω) telle que γ

u ∈ H e

(Γ

) et γ

∂

u ∈ H e

(Γ

) pour 1 ≤ j ≤ N, o` u h·, ·i

(resp.h·, ·i

) d´ esigne le produit de dualit´ e dans H e

(Γ

) × H e

(Γ

) (resp. H e

(Γ

) × H e

(Γ

)), et (·, ·)

d´ esigne le produit scalaire dans L

(Ω).

Proposition 1.8.2. Soient Ω un ouvert de R

et Ω = Ω

∪ Ω

une d´ ecomposition de Ω telle que :

1. Ω

est un ouvert de R

de fronti` ere lipschitzienne Γ

.

2. Ω

∩ Ω

= ∅ et Ω

∩ Ω

= Σ (on note n

la normale orient´ ee vers l’ext´ erieur de Ω

).

On suppose que v ∈ H

(Ω

) telle que v

= v

sur Σ ( v

repr´ esente la restriction de v sur

Ω

). Alors v ∈ H

(Ω).

1.8. Une formule de Green sur un polygone

Lemme 1.8.1. pour toute fonction u ∈ H

(Ω), on a l’estimation suivante :

(1.16) k∆uk

≤ √

2kuk

,

par cons´ equent ∆ est un op´ erateur continu de H

(Ω) dans L

(Ω).

Proposition 1.1. Soit v ∈ H

(Ω) et ∆v ∈ L

(Ω). Alors, l’application v 7→ γ

∂

v

qui est bien d´ efinie pour les fonctions de H

(Ω) permet un prolongement unique et continu en une application de l’espace

E(∆, L

(Ω)) =

v ∈ H

(Ω)| ∆v ∈ L

(Ω) , dans H e

(Γ

). De plus, on a

(1.17) (∆v, u)

= −(∇v, ∇u)

+

N

X

j=1

hγ

∂

v, γ

ui

quel que soit u ∈ H

(Ω) tel que γ

u ∈ H e

(Γ

) pour tout 1 ≤ j ≤ N.

CHAPITRE 2

PROBL` EME STATIONNAIRE

2.1 Position du probl` eme

On s’int´ eresse ` a l’´ etude de la r´ egularit´ e de la pression p, solution du probl` eme (P

), qui devient par ´ elimination de la vitesse u

(P

)



 

 

 



 

 

 



∂

p − ρ

c

div( 1

ρ

grad p) = 0 dans Ω × ]0, T[, T > 0, p(0, x) = p

(x) dans Ω,

∂

p(0, x) = p

(x) dans Ω, p = 0 sur ∂Ω×]0, T[,

p

, p

sont des donn´ ees que l’on pr´ ecisera ult´ erieurement et ∂Ω d´ esigne la fronti` ere de Ω.

Afin de faciliter l’´ etude, on se place dans le cas d’un quadrilat` ere convexe Ω dont Ia fronti` ere rencontre Σ suivant des angles droits comme le montre la figure suivante :

Γ

Γ

P

Γ

Γ

Σ

Q

Ω

ρ

c

ω

Σ

O

Ω

ρ

c

2.1. Position du probl` eme

On notera dans la suite par : Ω = Ω

∪ Σ

∪ Σ

∪ Ω

;

∂ Ω = Γ

;

∂ Ω

= Σ

∪ Σ

∪ Γ

;

∂ Ω

= Σ

∪ Σ

∪ Γ

;

Σ = Σ

∪ Σ

est l’interface dont le point singulier est plac´ e en O.

ω d´ esigne l’angle int´ erieur de Ω

au sommet O .

ρ

est une fonction constante par morceaux valant ρ

dans Ω

et ρ

dans Ω

. On suppose : ρ

, ρ

> 0 et ρ

6= ρ

.

Nous nous int´ eressons ` a la singularit´ e g´ en´ er´ ee par un point anguleux de Σ. Cette sin- gularit´ e est ind´ ependante des donn´ ees p

et p

d` es que l’on s’int´ eresse ` a des solutions p suffisamment r´ eguli` eres.

L’´ etude du probl` eme (P

)

n´ ecessite d’abord l’´ etude de probl` eme stationnaire associ´ e suivant :

(P

)







−div( 1

ρ

grad p) = f dans Ω, p = 0 sur ∂Ω,

avec l’hypoth` ese f dans L

(Ω) pour assurer l’existence et l’unicit´ e d’une solution variation- nelle p dans H

(Ω). Cette solution p n’est pas dans H

(Ω) en g´ en´ eral, et notre but est de donner de mani` ere pr´ ecise la structure de cette solution.

La solution p ∈ H

(Ω) de (P

)

v´ erifie

(2.1)



 

 

 

 

 

 

 

 

− 1

ρ

∆p

= f

dans L

(Ω

), p

= 0 sur Γ

,

p

= p

sur Σ, 1

ρ

∂p

∂n

+ 1 ρ

∂p

∂n

= 0 sur Σ

∪ Σ

,

o` u p

et f

(resp. p

et f

) sont les restrictions respectivement de p et f ` a Ω

(resp. Ω

).

n

(resp. n

) d´ esigne la normale ` a Σ orient´ ee vers l’ext´ erieur de Ω

(resp. Ω

), on note [v ]

le saut de v ` a travers l’interface Σ,

[v]

= (v

− v

)

.

La derni` ere ´ equation de (2.1) est entendue au sens de H

(Σ).

2.2. Formulation variationnelle du probl` eme stationnaire

2.2 Formulation variationnelle du probl` eme stationnaire

Une solution de (2.1) se raccorde en valeurs ` a travers l’interface Σ et s’annule sur le bord de Ω. Ainsi, nous somme amen´ es naturellement ` a rechercher la solution dans H

(Ω).

Comme p

∈ H

(Ω

), alors d’apr` es la premi` ere ´ equation de (2.1), p

∈ E(∆, L

(Ω

)) et on a

− X

±

Z

Ω±

1

ρ

∆p

v

dx = Z

Ω

f v dx ∀v ∈ H

(Ω).

De plus, du fait que v ∈ H

(Ω), on a (v

)

= 0 ∈ H e

(Γ

); et (v

)

= (v

)

∈ H e

(Σ).

On est alors en mesure d’appliquer la formule de Green (1.17), d’o` u

− 1 ρ

Z

Ω+

∆p

v

dx = 1 ρ

Z

Ω+

∇p

∇v

dx − 1

ρ

h ∂

p

, v

i

, et

− 1 ρ

Z

Ω−

∆p

v

dx = 1 ρ

Z

Ω−

∇p

∇v

dx − 1

ρ

h ∂

p

, v

i

, En tenant compte des conditions de transmission, on trouve :

− X

±

Z

Ω^±

1

ρ

∆p

v

dx = Z

Ω

1

ρ

∇p ∇v dx.

Ainsi la formulation variationnelle du probl` eme stationnaire est :

(P

)







Trouver p ∈ H

(Ω) tel que a(p, v) = L(v) ∀v ∈ H

(Ω), o` u pour tous p, v ∈ H

(Ω)

a(p, v) = ( 1 ρ

∇p, ∇v)

et L(v) = (f, v)

.

R´ eciproquement, si p ∈ H

(Ω) est solution de (P

), on a en particulier pou tout v ∈ D(Ω

) a(p, v) =

2

X

i=1

( 1

ρ

∂

p

, ∂

v)

= 1

ρ

2

X

i=1

h∂

p

, ∂

vi

= − 1

ρ

h∆p

, vi

= hf , vi

,

2.2. Formulation variationnelle du probl` eme stationnaire

ce qui donne

(2.2) − 1

ρ

∆p

= f

dans D

(Ω

).

Comme f

∈ L

(Ω

), cette ´ equation est v´ erifi´ ee dans L

(Ω

), donc presque partout sur Ω

. De mˆ eme, en choisissant v dans D(Ω

), on obtient

(2.3) − 1

ρ

∆p

= f

dans Ω

,

d’o` u la premi` ere ´ equation de (2.1). La deuxi` eme et la troisi` eme ´ equation de (2.1) sont satis- faites car p ∈ H

(Ω).

Pour v´ erifier la derni` ere ´ equation de (2.1), on applique la formule de Green (1.17) ` a la formulation variationnelle (P

). On obtient en tenant compte de (2.2) et (2.3)

alors

(2.4) h( 1

ρ

∂

p

+ 1 ρ

∂

p

)

, v

i

= 0 ∀v ∈ H

(Ω).

Soit h ∈ H e

(Σ), alors (h, 0, ..., 0) ∈

N±

Q

j=1

H

(Γ

) et les conditions de raccord (1.9) sont v´ erifi´ ees, d’apr` es le Corollaire 1.6.1 (appliqu´ e ` a Ω

et Ω

s´ epar´ ement) il existe v

∈ H

(Ω

) et v

∈ H

(Ω

) tels que (v

)

= (v

)

= h, (v

)

= (v

)

= 0. En posant v = v

dans Ω

et v = v

dans Ω

, il r´ esulte alors de la Proposition 1.8.2 que, v ∈ H

(Ω). Ceci nous permet d’´ ecrire (2.4) comme suit :

h( 1

ρ

∂

p

+ 1

ρ

∂

p

)

, hi

= 0 ∀h ∈ H e

(Σ), d’o` u la derni` ere ´ equation de (2.1). En r´ esum´ e, on vient de d´ emontrer la

Proposition 2.2.1. Une fonction p telle que p

∈ H

(Ω

) est solution du probl` eme station- naire (2.1) si et seulement si p solution du probl` eme variationnel (P

).

Proposition 2.2.2 (Existence et unicit´ e de la solution variationnelle). Pour tout f ∈ L

(Ω), le probl` eme (P

) admet une solution unique p ∈ H

(Ω).

Preuve. Pour tous p, v ∈ H

(Ω), on a par l’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz

|a(p, v)| ≤ Z

Ω

1

ρ

(x)∇p(x)∇v(x) dx

≤ max 1 ρ

, 1

ρ

|p|

|v |

≤ max 1 , 1

kpk kv k ,

2.3. R´ egularit´ e en dehors du point singulier de l’interface

d’o` u la continuit´ e de la forme bilin´ eaire a(·, ·) sur H

(Ω) × H

(Ω).

D’autre part,

a(v, v) = Z

Ω

1

ρ

(x)(∇v(x))

dx

≥ min 1

ρ

, 1 ρ

|v|

,

≥ min 1 ρ

, 1

ρ

c(Ω)kvk

,

grˆ a¸ce l’in´ egalit´ e de Poincar´ e (1.1), d’o` u la H

(Ω)-ellipticit´ e de a(·, ·).

Finalement, on a par l’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz

|L(v)| ≤ kf k

kvk

≤ kf k

kvk

, d’o` u la forme lin´ eaire L est continue sur H

(Ω).

On conclut grˆ ace au lemme de Lax-Milgram.

2.3 R´ egularit´ e en dehors du point singulier de l’interface

2.3.1 R´ egularit´ e au voisinage d’un point r´ egulier de Σ

La r´ egularit´ e H

` a l’int´ erieur de Ω

ou Ω

est bien connue [6]. Tout revient alors ` a ´ etudier p dans un voisinage d’un point de Σ qui ne contient pas le point singulier O et des points anguleux de ∂Ω. On consid` ere par exemple un point M de Σ

.

Soit ϕ une fonction C

` a support compact au voisinage de M , paire par rapport ` a y et ´ egale a un pr` es de M .

On consid` ere alors q = ϕp, prolongement de f ϕ p par z´ ero ` a R

tout entier. Alors q est solution de

−div( 1

ρ e

grad q) = f

dans R

, avec ρ e

= ρ

(resp. ρ e

= ρ

) dans R

(resp. R

) et f

∈ L

( R

).

D’apr` es [11], la restriction q

de q ` a R

est dans H

( R

) et la restriction q

de q ` a R

est

dans H

( R

). Ainsi, la solution p de (P

)

ne pr´ esente pas de singularit´ e autre que le saut

de la d´ eriv´ ee normale sur Σ.

2.4. R´ egularit´ e au voisinage du point singulier de l’interface

2.3.2 R´ egularit´ e au voisinage des points anguleux de Γ ₀ et des points anguleux de Γ 0 ∩ Σ

La r´ egularit´ e H

au voisinage des sommets de Ω est une cons´ equence de notre choix. En fait, les angles de Ω en ces sommet sont inf´ erieurs ` a π et les conditions aux limites choisies sont celles de Dirichlet.

La r´ egularit´ e H

de part et d’autre de Σ au voisinage d’un des points P ou Q peut ˆ etre obtenue par la m´ ethode des r´ eflexions apr` es localisation qui nous permet de nous ramener

`

a la situation du paragraphe 2.3.1. Par suite, les singularit´ es sont localis´ ees au voisinage de l’origine O. En conclusion nous avons :

Proposition 2.3.1. Soit V un voisinage de l’origine O. Soit p

(resp. p

) la restriction de p, solution variationnelle du probl` eme (P

)

, ` a Ω

(resp. Ω

). Alors p

∈ H

(Ω

− V ) et p

∈ H

(Ω

− V ).

2.4 R´ egularit´ e au voisinage du point singulier de l’interface

L’´ etude de la r´ egularit´ e de la solution au voisinage du point anguleux de Σ sera faite en utilisant la technique des estimations a priori d´ evelopp´ ee par Grisvard [8].

2.4.1 Estimation a priori pour les solutions r´ eguli` eres

D´ efinition 2.4.1. On d´ efinit l’espace des solutions r´ eguli` eres du probl` eme (P

) de la mani` ere suivante :

W = n

p = (p

, p

) ∈ H

(Ω

)×H

(Ω

); p

= 0, (p

−p

)

= 0 et 1

ρ

∂p

∂n

+ 1 ρ

∂p

∂n

|

= 0 i = 1, 2 o .

W est un sous-espace ferm´ e de H

(Ω

) × H

(Ω

) pour la topologie associ´ ee ` a la norme : kpk

= k(p

, p

)k

= kp

k

+ kp

k

.

On notera que si p = (p

, p

) ∈ W alors :

• p ∈ H

(Ω) grˆ ace ` a la Proposition 1.8.2.

• −div 1

ρ

grad p

∈ L

(Ω) puisque −div 1

ρ

grad p

= − 1

ρ

∆p

∈ L

(Ω

).

D´ efinition 2.4.2. On note W

le sous-espace de W form´ e des fonctions p nulles ` a l’origine.

La proposition suivante [3, Proposition 4.1] permet de pr´ eciser les espaces des traces des

2.4. R´ egularit´ e au voisinage du point singulier de l’interface

Proposition 2.4.1. L’application T : p = (p

, p

) 7−→ ((p

, p

), (p

2

, p

), ( ∂p

∂n

|

, ∂p

∂n

|

), ( ∂p

∂n

|

, ∂p

∂n

|

)), est lin´ eaire, continue et surjective de W

sur le sous-espace de H e

(Σ

) × H e

(Σ

) × H e

(Σ

)

× H e

(Σ

)

form´ e des triplets (g

, g

), (h

, h

), (h

, h

) tels que :

1

ρ

h

+ 1

ρ

h

= 0 sur Σ

, 1

ρ

h

+ 1

ρ

h

= 0 sur Σ

.

Remarque 2.4.1. Introduisons une fonction ϕ

∈ D( R

) ` a support dans Ω, qui vaut 1 au voisinage de l’origine O et qui ne d´ epend que de r, distance ` a l’origine O.

On v´ erifie facilement que ϕ

∈ W . De plus, on peut ´ ecrire tout ´ el´ ement p de W sous la forme :

p = p(0, 0) ϕ

+ ¯ p avec p ¯ ∈ W

.

Ainsi, l’espace des traces des fonctions de W est celui des traces des fonctions de W

aug- ment´ e de l’espace engendr´ e par celles de ϕ

.

Dans la suite, on aura aussi besoin de la proposition suivante : Proposition 2.4.2. Pour tout p ∈ W , on a :

Z

Ω+

1

ρ

|∆p

|

dx + Z

Ω−

1

ρ

|∆p

|

dx = 1 ρ

Z

Ω+

∂

p

∂x

2

+

∂

p

∂y

2

+ 2

∂

p

∂x∂y

2

! dx

+ 1 ρ

Z

Ω−

∂

p

∂x

2

+

∂

p

∂y

2

+

∂

p

∂x∂y

2

! dx.

Preuve. Voir la preuve de la Proposition 2.2.2 de [10].

Finalement nous avons le

Th´ eor` eme 2.4.1. Il existe une constante C > 0 ne d´ ependant que des diam` etres de Ω

et Ω

et de la densit´ e ρ

telle que :

(2.5) kpk

≤ C(k∆p

k

+ k∆p

k

) ∀p ∈ W.

2.4. R´ egularit´ e au voisinage du point singulier de l’interface

Preuve. Soit p ∈ W . Posons

f =



 

 



 

 



− 1

ρ

∆p

dans Ω

,

− 1

ρ

∆p

dans Ω

. Alors p est solution variationnelle du probl` eme :







−div( 1

ρ

grad p) = f ∈ L

(Ω), p ∈ H

(Ω).

i.e. p est solution de Z

Ω

1

ρ

∇p ∇v dx = Z

Ω

f v dx pour tout v ∈ H

(Ω).

En particulier, pour v = p, on obtient : Z

Ω

1 ρ

|∇p|

dx = Z

Ω

f p dx.

Alors

min( 1 ρ

, 1

ρ

) k∇pk

≤ kf k

kpk

, ce qui donne par application de l’in´ egalit´ e de Poincar´ e (1.1)

min( 1 ρ

, 1

ρ

) k∇pk

≤ c(Ω) kf k

k∇pk

, donc

α k∇pk

≤ c(Ω) kfk

≤ c(Ω)βk∆pk

, o` u α = min( 1

ρ

, 1

ρ

) et β = max( 1 ρ

, 1

ρ

).

Ainsi

(2.6) k∇pk

≤

c(Ω)β α

k∆pk

.

On en d´ eduit en utilisant encore une fois l’in´ egalit´ e de Poincar´ e que (2.7) kpk

≤ c(Ω)k∇pk

≤ c(Ω)

β α

k∆pk

.

2.4. R´ egularit´ e au voisinage du point singulier de l’interface

Il en r´ esulte de (2.6) et (2.7) que kpk

+ k∇pk

≤ c(Ω)

β α

k∆pk

+ c(Ω)

β

α

k∆pk

,

d’o` u

(2.8) kpk

≤ c(Ω)

(1 + c(Ω)

) β

α

k∆pk

.

La majoration de la semi norme d’ordre 2 de p est obtenue en utilisant la proposition 2.4.2.

En effet, on a 1

ρ

k∆p

k

+ 1

ρ

k∆p

k

= X

±

1 ρ

k ∂

p

∂x

k

+ k ∂

p

∂y

k

+ 2k ∂

p

∂x∂y k

.

Donc X

±

1 ρ

k ∂

p

∂x

k

+ k ∂

p

∂y

k

+ k ∂

p

∂x∂y k

≤ 1

ρ

k∆p

k

+

+ 1

ρ

k∆p

k

≤ β k∆p

k

+ k∆p

k

. Alors

(2.9) X

±

k ∂

p

∂x

k

+ k ∂

p

∂y

k

+ k ∂

p

∂x∂y k

≤ β

α k∆p

k

+ k∆p

k

.

On est maintenant en mesure de majorer kpk

. En effet : kpk

= kpk

+ X

±

X

|α|=2

k∂

p

k

.

En utilisant (2.8) et (2.9), on obtient : kpk

≤ c(Ω)

(1 + c(Ω)

)

β α

+ β α

!

k∆p

k

+

+ k∆p

k

.

Par cons´ equent

kpk

≤ β α

c(Ω)

+ c(Ω)

+ α β

k∆p

k

+ k∆p

k

,

ce qui ach` eve la d´ emonstration.

2.4. R´ egularit´ e au voisinage du point singulier de l’interface

Consid´ erons l’op´ erateur diff´ erentiel d’ordre 2, not´ e L, d´ efini par L : W −→ L

(Ω

) × L

(Ω

)

(p

, p

) 7−→ L(p

, p

) = ( 1

ρ

∆p

, 1

ρ

∆p

).

Proposition 2.4.3. L est un op´ erateur injectif ` a image ferm´ ee.

Preuve. Soit p ∈ W tel que Lu = 0, alors ∆p

= 0, ce qui permet de conclure grˆ ace ` a l’in´ egalit´ e (2.5) que

kp

k

= kp

k

= 0, par cons´ equent p

= p

= 0.

Montrons maintenant que Im(L) est ferm´ ee dans L

(Ω

) × L

(Ω

). En effet, soit (p

) une suite de W telle que Lp

converge vers (v

, v

) dans L

(Ω

) × L

(Ω

). Ceci implique que ( 1

ρ

∆p

) converge vers v

dans L

(Ω

), donc (∆p

) est une suite de Cauchy dans L

(Ω

).

On d´ eduit alors de l’in´ egalit´ e (2.5) que (p

) est une suite de Cauchy dans H

(Ω

) qui est complet, ainsi (p

) converge dans cet espace. Soit

p

:= lim

m→∞

p

dans H

(Ω

).

Comme l’op´ erateur de Laplace ∆ est continu de H

(Ω

) dans L

(Ω

) (Lemme 1.8.1), ( 1

ρ

∆p

) converge alors vers ( 1

ρ

∆p

) dans L

(Ω

). Par cons´ equent v

= ( 1

ρ

∆p

) d’apr` es l’unicit´ e de la limite.

Il reste ` a v´ erifier que p

∈ W . En effet, il est clair que p

∈ H

(Ω

). D’autre part, grˆ ace ` a la continuit´ e de l’application :

p

7→ {p

, ∂

p

} de H

(Ω

) dans H

(Γ

) × H

(Γ

) (Proposition 1.6.2), on a : (p

±

) converge vers p

dans H

(Γ

), (2.10)

(p

) converge vers p

dans H

(Σ), (2.11)

et (∂

p

) converge vers ∂

p

dans H

(Σ).

(2.12)

Tenant compte de (2.10) et du fait que p

±

= 0 (p

∈ W ), on obtient p

= 0.

D’autre part, (2.11) avec la continuit´ e de p

` a travers l’interface (p

= p

) permet de conclure que p

= p

.

Finalement on a ( 1

ρ

∂

p

+ 1

ρ

∂

p

)

= 0 grˆ ace ` a (2.12) et la condition de transmission ( 1

ρ

∂

p

)

= (− 1

ρ

∂

p

)

,

2.4. R´ egularit´ e au voisinage du point singulier de l’interface

v´ erifi´ ee par p

puisque p

∈ W.

2.4.2 L’espace N

L’objectif de cette section consiste en l’´ etude du suppl´ ementaire orthogonal de Im(L) dans L

(Ω

) × L

(Ω

). Pour cala, on notera : R = Im(L) et N = (Im(L))

son orthogonal dans L

(Ω

) × L

(Ω

). Par d´ efinition

(2.13) N =

q

∈ L

(Ω

) | 1

ρ

(q

, ∆p

)

+ 1

ρ

(q

, ∆p

)

= 0 ∀p

∈ W

. On notera aussi

D(L, L

(Ω

)) =

q

∈ L

(Ω

) | ∆q

∈ L

(Ω

) ,

le domaine d’extension maximale de l’op´ erateur L. Dans la suite, on aura besoin du r´ esultat suivant qui permet de donner un sens ` a la trace des ´ el´ ements de D(L, L

(Ω

)).

Lemme 2.4.1 (Prolongement de l’application trace pour les ´ el´ ements de D (L, L

(Ω

))).

L’application trace γ, d´ efinie par (2.14) γ : (q

, q

) 7→

(q

)

, [q]

, ( 1 ρ

∂q

∂n

+ 1 ρ

∂q

∂n

)

pour (q

, q

) ∈ D(Ω

)×D(Ω

) se prolonge par continuit´ e en une application de D(L, L

(Ω

)) sur

H e

(Γ

) × H e

(Σ) × H e

(Σ).

De plus, on a la formule de Green 1

ρ

(∆p

, q

)

− 1

ρ

(p

, ∆q

)

+ 1

ρ

(∆p

, q

)

− 1

ρ

(p

, ∆q

)

(2.15)

= X

±

hq

, 1

ρ

∂

p

i

−h[q]

, 1

ρ

∂

p

i

+h( 1 ρ

∂q

∂n

+ 1 ρ

∂q

∂n

)

, p

i

pour toute fonction p ∈ W qui v´ erifie la condition

(C) (∂

p

)

∈ H e

(Γ

) , (∂

p

)

∈ H e

(Σ) et (p

)

∈ H e

(Σ).

Preuve. Voir Proposition 2.3.2 dans [10].