LE RESSAUT

DKOKMHKE 195) _ L A H O U I L L E B L A N C H E - 811

L E R E S S A U T

The hydraulic jump

P A R

J . O . D E M B L L O F L O R E S

l ' K O F E S S Ë t ' t t A I . ' l ' N I V E K S I T K D U ISHÉS1L

Les problèmes posés par le. ressaut (non ondule):

hauteurs conjuguées, longueur, perle de charge.

— Solution classique (canal horizontal, section rectangulaire). — Cas général des canaux pris- matiques de section ou de pente quelconque : expression des hauteurs conjuguées, sous forme dimensionnetle, i>uis adimensionnelle; longueur du ressaut et perte de charge. — Degré de vali- dité des équations proposées; nécessité de contrôles expérimentaux.

The problems posed bg the direct hgdrautic jump: conjuguted depths, length, energy lusses.

Classiccd solution (horizontal canal, rectangutar section). General case of prismutic canats of any section or slope: expression for the con- jngated depths, in dimensiontd form, then dimensionless : length of the jump unit head loss. Range of iniliditu of the proposed e</ua- lions; need for expérimental check.

1 ) Introduction

L e ressaut est un type connu de m o u v e - ment p e r m a n e n t b r u s q u e m e n t varié dont l ' i m - portance découle, p r i n c i p a l e m e n t , de la forte perte de c h a r g e qui s'y produit, p r o p r i é t é qui le rend utile en tant que m o y e n de dissipation d ' é n e r g i e ; p a r a l l è l e m e n t , les tourbillons qui ac- c o m p a g n e n t ce type d ' é c o u l e m e n t apportent un intérêt spécial pour le m é l a n g e des réacteurs uti- lisés dans le t r a i t e m e n t des eaux, alors que la différence de niveau bien caractérisée qu'on y observe, ainsi que sa c o r r é l a t i o n précise avec d'autres éléments du m o u v e m e n t , p e r m e t t e n t de l ' e m p l o y e r c o m m e procédé de mesure des débits.

Un ressaut peut se présenter sous deux f o r - mes : une f o r m e transitoire — pour des n o m b r e s de F R O U D E , en amont, p o u v a n t aller j u s q u ' à des v a l e u r s de l ' o r d r e de 2 — qui se p r o d u i t avec une succession d'ondulations superficielles et dont la p e r t e de c h a r g e locale est p r a t i q u e m e n t négli- geable (fig. 1 ) ; une autre f o r m e stable — pour

des n o m b r e s de F R O I D E supérieurs à la valeur ci-dessus — dans l a q u e l l e on d i s t i n g u e : une p r e - m i è r e région lourbillonnuirc à m o u v e m e n t s c y - cliques qui ne f o n t pus partie de l'écoulement g é n é r a l ; puis une r é g i o n i n f é r i e u r e où l'écoulc-

Fio. 1

inenl se produit, sous f o r m e d'une expansion p r o g r e s s i v e . L a turbulence qui naît dans la ré- g i o n supérieure et dans la zone de discontinuité

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1954057

812 L A H O U I L L E B L A N C H E DÉCEMBRE 1 9 5 4

c o m p r i s e c u i r e ces deux régions cause une forte dissipation d ' é n e r g i e (fig. 2 ) .

C'est ce dernier t y p e qui est intéressant dans les applications p r a t i q u e s citées plus haut, rai-

Fio. 2

son p o u r laquelle nous le traiterons seul dans cet article.

2 ) P r o b l è m e s d e b a s e des ressauts

2 - 1 ) G É N É R A L I T É S :

L e s p r o b l è m e s g é n é r a u x du ressaut direct sont, p o u r un canal p r i s m a t i q u e , et un débit donnés, de d é t e r m i n e r :

2 - 1 - 1 ) L a p r o f o n d e u r d'eau en a v a l (ou en a m o n t ) qui c o r r e s p o n d à une p r o f o n d e u r d'eau désirée en a m o n t (ou en a v a l ) : c'est ce que l ' o n appelle la relation entre hauteurs conjuguées.

2 - 1 - 2 ) L a longueur du canal atteinte par l ' é c o u l e m e n t b r u s q u e m e n t v a r i é ; c'est ce q u ' o n n o m m e la longueur du ressaut.

2 — 1 - 3 ) L a perte de c h a r g e qui en découle et qui mesure l ' i m p o r t a n c e de ce m o u v e m e n t en

tant que dissipateur d ' é n e r g i e .

2 - 2 ) R É S O L U T I O N mis P R O B L È M E S D E B A S E DES R E S S A U T S .

P o u r obtenir la relation qui lie les hauteurs conjuguées, on a p p l i q u e le t h é o r è m e des q u a n - tités de m o u v e m e n t qui donne une e x p r e s s i o n g é n é r a l e m e n t s y m é t r i q u e de ces deux p r o f o n - deurs.

Une telle solution a n a l y t i q u e peut être rendue rationnelle au m o y e n de g r a n d e u r s sans d i m e n - sions, y c o m p r i s les n o m b r e s de F R O U D E à l ' a m o n t :

et à l'aval :

Fy = J ^ i l

Q u a n t à la l o n g u e u r du ressaut, il n ' e x i s t e a c t u e l l e m e n t aucune t h é o r i e e n f o n c t i o n de la- q u e l l e on puisse f a i r e sa d é t e r m i n a t i o n ; de sorte q u ' o n a e x c l u s i v e m e n t recours aux résultats ex- p é r i m e n t a u x .

Enfin, la p e r t e de c h a r g e est d é t e r m i n é e par l ' a p p l i c a t i o n du t h é o r è m e de B E R N O U L L I généra- lisé entre les sections e x t r ê m e s a m o n t et aval, ce q u i est rendu possible par le fait q u e ces sections f o n t p a r t i e de courants l i q u i d e s ( é c o u - l e m e n t u n i f o r m e ) ou de courants assimilables à ces d e r n i e r s ( é c o u l e m e n t g r a d u e l l e m e n t v a r i é ) ;

3 ) Solution u s u e l l e

3 - 1 ) G É N É R A L I T É S .

L ' a p p l i c a t i o n du t h é o r è m e des quantités de m o u v e m e n t à la masse de l i q u i d e q u i c o m p o s e le ressaut ( h a c h u r é e dans la fig. 3 ) , d e v i e n t

F I G . 3

s i m p l e dans le cas présent, car la v a r i a t i o n de la quantité de m o u v e m e n t par unité de t e m p s , l'écoulement étant p e r m a n e n t , se réduit à une d é r i v a t i o n dans l'espace, a u t r e m e n t dit à la dif- férence entre la quantité de m o u v e m e n t de la masse qui entre et de celle qui sort :

A Q M ^ Q M , , — Q j , ; = f rfQ^M- f </Q.u

= / ( • ? - I X / a V - f v d \ \ v

~ a (V"<2 A>" ~~ v;2 Ai}

DÉCEMBRE 1 9 5 4 L A H O U I L L E B L A N C H E 8 1 3

où :

s : p o i d s spécifique du l i q u i d e ; g : accélération de la pesanteur;

v : vitesse en un point q u e l c o n q u e ; d A : é l é m e n t d ' a i r e ;

A,„ : aire de la section transversale a m o n t ; Aj : aire de la section transversale a v a l ; V^m : vitesse m o y e n n e à l ' a m o n t ;

Yj : vitesse m o y e n n e à l ' a v a l ;

A . . / (A) d A coefficient tenant c o m p t e de la V A distribution non u n i f o r m e des v i - tesses, soit dans le cas de la v a r i a t i o n de la quantité de m o u v e m e n t par unité de temps, soit dans celui de la v a r i a t i o n de la f o r c e v i v e pendant un déplacement dé- t e r m i n é .

Q : débit.

D ' u n autre côté, les composantes, dans la di- rection de l'écoulement, des forces en j e u , sont :

L e s pressions à l'aval : I L = 5î hj Aj et à l ' a m o n t :

1 1 m = h,„ Am

L e poids du liquide :

W S„ = m V S0

et les forces de frottement le long des parois latérales :

S /

expressions dans lesquelles :

h,„. : p r o f o n d e u r du centre de g r a v i t é de la sec- tion a m o n t ;

hj : p r o f o n d e u r du centre de gravité de la sec- tion a v a l ;

S0 : pente de la surface libre, mesurée par le sinus ;

W : poids du l i q u i d e ; V '• v o l u m e du liquide.

Dans ces conditions, et en tenant c o m p t e du l'ail que les forces de frottement S / sont, en gé- néral, négligeables devant les autres, on a :

3-2J E Q U A T I O N E T F O N C T I O N DUS H A U T E U R S C O N J U - GUÉES E N C A N A U X H O R I Z O N T A U X ,

Q u a n d la pente est nulle, le d e r n i e r t e r m e du second m e m b r e de l'équation ( 1 ) d i s p a r a î t et on peut l'écrire sous la f o r m e :

5 Q ' j _ /, A — - I - h-A- ( 2 ) il Am il Ai

C o m m e le b i n ô m e du p r e m i e r m e m b r e est une f o n c t i o n de la p r o f o n d e u r a m o n t i/„„ a l o r s q u e le b i n ô m e du second m e m b r e est une f o n c t i o n d e la p r o f o n d e u r m a x i m u m de la section a v a l il s'ensuit qu'il existe une f o n c t i o n de la p r o - fondeur m a x i m u m :

M (y) = + h A ( 3 )

g A

qui prend des valeurs identiques pour les p r o - fondeurs conjuguées a m o n t ( ; /m) et a v a l (ifj).

De là une m é t h o d e r e l a t i v e m e n t s i m p l e p o u r obtenir une p r o f o n d e u r conjuguée q u a n d l'autre est connue : elle consiste à tracer, p o u r c h a q u e débit Q et chaque f o r m e de la section t r a n s v e r - sale ( q u i donnent A et h), une courbe de c o o r -

M( yc)M( y ) M< y )

F I G . I

données y et M ( ; / ) ( l i g . 4 ) de m a n i è r e q u e , l'une des p r o f o n d e u r s conjuguées étant d o n n é e , la d e u x i è m e se déduit de Pau Ire branche de la courbe par la condition q u ' e l l e c o r r e s p o n d e à la m ê m e valeur de M t'y).

3 - 3 ) E Q U A T I O N E T F O N C T I O N mes H A U T E U R S C O N J U - GUÉES E N C A N A U X R E C T A N G U L A I R E S A P E N T E N U L L E .

Dans cette h y p o l h è s e simple, on a :

814 L A H O U I L L E B L A N C H E D É O E M H H H 1!)54

L étant la largeur el q le débit par unité de lar- geur.

L a f o n c t i o n du ressaut peut alors è l r e r a m e - née à :

m, (u) M (y) »Q2 , y-

L _OU (4)

T o u t e f o i s , il ne sera pas nécessaire de l ' e m - p l o y e r puisque, dans le cas présent, l'équation :

9Um ² gy, 2

nous d o n n e une solution a n a l y t i q u e directe : ( 5 )

V 8%cf

mim³

— 1

( 6 )

8 a g2

et c o m m e le n o m b r e de F R O U D E s ' e x p r i m e par : F = . / « v ^{3 =} / . * _ Q 1 ⁼ / j L 2 l

V #?/ V </y A - V gif

il est c o u r a n t de l ' é c r i r e sous la f o r m e : Ui _ 1

Un, Um Ui

(VI + 8 F^M = — 1 -

-j- ( V I + 8 F / — 1 )

( 7 )

T e l s sont les résultats obtenus par B A K H M E T E F F qui, au lieu du n o m b r e de F R O U D E , a utilisé son carré en l ' a p p e l a n t « facteur c i n é t i q u e de l'écou- l e m e n t » .

.'5-5) P E R T E D E C H A R G E .

C o m m e on peut le v o i r sur la figure 5, le théo- r è m e de B E R N O U L L I g é n é r a l i s é , a p p l i q u é à l'inté- rieur de l'espace c o m p r i s entre les sections a m o n t et aval du ressaut, en p r e n a n t c o m m e plan de

r é f é r e n c e le p l a n h o r i z o n t a l du f o n d de la section aval, c o n d u i t à l ' e x p r e s s i i o n suivante pour la perte de c h a r g e A H :

A H ^Un

11 c o s 0 Uj cos 0

+ (A.r - - //,„ tg 0) sin 0

— (ijj tg 0) sin 0

i

t-

+ 'Y,

^ 2g ) avec les n o t a t i o n s du p a r a g r a p h e 3 - 1 .

E n simplifiant et substituant, on a r r i v e à :

A H a Q² / 1 1 \

2 g \A„r A / J

+ Ax S⁰ — (y, — yj V1 — S^{0 2} ( 9 )

3-4) L O N G U E U R D U R E S S A U T .

L e s études e m p i r i q u e s des é l é m e n t s l o n g i t u d i - naux du ressaut, s p é c i a l e m e n t les travaux de

M O O R E et c e u x de B A K H M E T E F F E T M A T Z K E , ont

m o n t r é que le profil de ce t y p e d ' é c o u l e m e n t , l o r s - qu'il est représenté sans d i m e n s i o n s avec p o u r c o o r d o n n é e s (y — </,„)/(?/,• — ?/,„) et (x) /(y, — y,„), v a r i e peu et peut être considéré c o m m e à peu près constant.

E n p a r t i c u l i e r , l o r s q u e la l o n g u e u r du ressaut A.x est c o m p t é e p a r r a p p o r t à la différence (U) — Um\ elle ne v a r i e que d'une façon peu ac- centuée, ce qui p e r m e t d ' é c r i r e :

A x = b (y, — y,,,,) (8) b étant une constante qui, dans l ' h y p o t h è s e du canal rectangulaire à pente nulle, peut être prise égale à 6,5. Q u e l q u e s auteurs, tels S M E T A N A , ré- duisent cette v a l e u r à 6 .

Dans l ' h y p o t h è s e p a r t i c u l i è r e de canaux à pente nulle, la f o r m u l e ci-dessus se réduit à :

A H

2 g \ A , „ - A / J

Enfin, p o u r des canaux r e c t a n g u l a i r e s à p e n t e nulle, on a e n c o r e :

A H = ( ? / ; — ym)

et c o m m e :

9 on déduit que :

1-9-

.

Dr ïhr 2g

Ui II m (\li + •'/»,')

2

A H = (Uj Um)i

4 Uj Um (11)

D é c o u s u e 1954 L A H O U I L L E B L A N C H E

4 ) Solution p r o p o s é e 4-1) G É N É R A L I T É S :

E n v u e d'une étude sur les ressauts dans des conduites prismatiques à section transversale et pente quelconques, parallèlement à une étude p r i n c i p a l e sur le m o u v e m e n t p e r m a n e n t p r o g r e s - s i v e m e n t v a r i é , j ' a i présenté, sur ce sujet, en septembre 1948, à la « Escola N a c i o n a l de E n - genharia da Universidade do Brasil » , un rap- port ( * ) dont les résultats, bien que déduits d'une m a n i è r e légèrement différente de celle de l'exposé d é v e l o p p é ici, sont ceux du paragra- p h e 4-2.

P l u s tard, au début de 195(1, dans un arti- cle ( * * ) publié dans la revue Aguas c Energia Elétrica, j ' a i perfectionné cette p r e m i è r e étude en la traitant a d i m e n s i o n n e l l e m e n t , ce qui simplifie beaucoup l'application de la méthode suivie : le p a r a g r a p h e 4-3 en constitue le résumé.

B i e n que de tels résultats représentent un p r o - grès sur ceux qui existaient jusqu'alors, ils pré- sentent encore des lacunes. J'ai cherché à c o m - bler certaines d'entre elles dans le paragraphe 4-4.

A u p a r a v a n t , toutefois, j e m e dois d'exposer quelques considérations p r é l i m i n a i r e s sur les- q u e l l e s j e m e suis appuyé dans mes travaux sur les écoulements en canaux découverts.

L a p r e m i è r e concerne la généralisation de la f o r m e a n a l y t i q u e de l'aire de la section trans- versale A , en fonction de la p r o f o n d e u r m a x i - m u m y; cette fonction est donnée d'une m a n i è r e simplifiée par :

A == A¹ y^a (12)

ce qui, puisque nous avons :

d A a A

F i g . fi

( * ) « Mouvement permanent progressivement varié en conduites libres. » Rio de Janeiro, Escola Nacional de Engenharia, 1948, pp. 51-57 (Thèse pour le concours de professeur libre de la Chaire d'Hydraulique théorique et appliquée).

( * * ) « Le ressaut et ses applications aux usines hydroélectriques » (dans Agnas e Energia Elétrica, R i o de Janeiro, Conselho Nacional de Aguas e Energia Ele- Irica, 1950, .janvier, n" 3, pp. 1(5-26, et avril, n" 4, pp. 13-19).

( L étant la l a r g e u r ) nous donne : L i y

" ^ A

L a d e u x i è m e de ces considérations concerne le coefficient a :

— / ( A ) v- d A

"'• ~ Y - A "

qui lient c o m p t e de l'effet de l'inégale distribu- tion des vitesses. B i e n que l'on a d m e t t e n o r m a l e - ment que ce coefficient reslc constant, m a l g r é la v a r i a t i o n de niveau de l'eau, il a, en r é a l i t é , tendance à décroître lorsque la p r o f o n d e u r aug- m e n t e ; en elfet, si </ croit, la vitesse m o y e n n e V croît é g a l e m e n t ainsi que, en g é n é r a l , le r a y o n h y d r a u l i q u e R , ce qui a u g m e n t e le n o m b r e de R E Y N O L D S et, partant, la turbulence, rendant la distribution des vitesses plus u n i f o r m e et ré- duisant a. On a ainsi, en p r e m i è r e a p p r o x i m a - tion ;

( 1 3 ) L a t r o i s i è m e c o n s i d é r a t i o n c o n c e r n e l ' e x p r e s - sion de la p r o f o n d e u r critique, que l'on peut obtenir à partir de l'énergie spécifique :

E = y + a V2

2 g

«i Q -

y 2 g A^{2 U} 2 g A ,² ;/ + >

dont le m i n i m u m correspond à

*, Q - 2 a 9 E

3y ^{i 2 g Ax 2 yc} l i a + />"+! O C ) ou, en posant :

lie

l a 1

V 2 < / A ,2

(14) Dans le cas d'une section r e c t a n g u l a i r e , et si l'on introduit le débit par unité de largeur '/ = Q / E , on a :

lie V " 2 g (15)

Enfin, si l'on néglige l'effet dû à la v a r i a t i o n de la distribution des vitesses (x

obtient la f o r m u l e connue :

0, a, .•—• a ) , on

g

(10)

( * ) Les deux nofalions •/. et '• sont ri»oureusenienl équivalentes; si elles apparaissent différentes, c'est seulement pour des raisons typographiques.

8 1 6 L A H O U I L L E B L A N C H E DÉCEMBRE 1954

4-2) E Q U A T I O N E T F O N C T I O N D I M E N S I O N N E E E E S mes H A V T E (J R S C O N .1U G U É E S .

D a n s la déduction i n i t i a l e , j ' a i a p p l i q u é le t h é o r è m e des quantités de m o u v e m e n t à la niasse l i q u i d e qui fait r é e l l e m e n t p a r t i e de l'écoulement général.

L e s forces agissent c o m m e le m o n t r e la fi- gure 7, mais apparaissent, en plus de celles q u i i n t e r v i e n n e n t dans le r a i s o n n e m e n t habituel, les

F I G . 7

entre la q u a n t i t é de m o u v e m e n t de la masse qui entre et de la niasse qui sort p a r unité de t e m p s , c'est-à-dire :

A QM = QU.m — Q M , > — AQ M . I

car nous avons, ici e n c o r e , la niasse qui s'éloigne pour p a r t i c i p e r au t o u r b i l l o n n e m e n t c y c l i q u e su- périeur, ainsi q u e celle q u i en r e v i e n t . Ces deux niasses, par raison de continuité, sont i d e n t i q u e s , m a i s elles possèdent des quantités de m o u v e m e n t différentes à cause des pertes passives.

D a n s m e s t r a v a u x précédents, j ' a i laissé de côté le d e r n i e r t e r m e , ce qui a réduit l ' é q u a t i o n à :

A Q^M = Qiim — Qui

C o m m e :

Q M = fd Q M = f(3-vdk)v=^- a V

A

y A J A \ g j g

g A g A , y"

composantes, selon la d i r e c t i o n du m o u v e m e n t , des résultantes des pressions n o r m a l e s et des tensions tangentielles q u i agissent à la surface l i m i t a n t la z o n e supérieure t o u r b i l l o n n a i r e .

L ' é q u a t i o n du t h é o r è m e des quantités de m o u - v e m e n t d e v i e n t alors :

a Qm = h,- — n „ • 7T]

ou :

a Q M = (ri, — n j + ( s / + s —

— G

Si l'on o b s e r v e que la parenthèse ( S / + S f^M — *,„,)

représente une différence de v a l e u r n é g l i g e a b l e , et que :

<ô ( y — j / . ) r f A = E T / (y-—y ^s) a A , y -0 - 1 dij.

+•1

avec G = W S⁰, on aura, avec les notations a d o p - tées p r é c é d e m m e n t :

! l , '+, ) - W Sn ( 1 7 )

Mais c o m m e i l s'agit d'un é c o u l e m e n t p e r m a - nent, la v a r i a t i o n de la q u a n t i t é de m o u v e m e n t par unité de t e m p s se réduit à la d é r i v é e « spa- tiale » , égale, n u m é r i q u e m e n t , à la différence

on a, en tenant c o m p t e de (1.1) : A QM =

— -Sî ^j

^{3 »}

9

\y

"

ffA,

\y„

(18)

L à , surgissait un des p o i n t s difficiles du p r o - b l è m e : c o m m e n t d é t e r m i n e r la c o m p o s a n t e l o n - g i t u d i n a l e du poids, soit, en d e r n i è r e analyse, le v o l u m e de la masse l i q u i d e c o r r e s p o n d a n t e , si on ne c o n n a î t pas la f o r m e de la courbe d o n n a n t la trace de la surface supérieure sur le plan v e r - tical de la p r o f o n d e u r m a x i m u m ?

L a r é p o n s e l o g i q u e est q u ' i l v a u t m i e u x établir cette courbe a v e c q u e l q u e erreur, ce q u i e n t r a î n e s i m p l e m e n t l ' o m i s s i o n d'un t e r m e r e l a t i f à la c o m p o s a n t e l o n g i t u d i n a l e du p o i d s de l i q u i d e c o m p r i s entre la surface v r a i e et celle qui d é - coule de la courbe i m p o s é e , p l u t ô t q u e de lais- ser t o t a l e m e n t de côté l'action de la pesanteur, ce q u i r e v i e n t à n é g l i g e r un t e r m e beaucoup plus g r a n d : la c o m p o s a n t e l o n g i t u d i n a l e du poids

de la masse totale du l i q u i d e en cause.

Il reste alors à établir la f o r m e de courbe choi- sie par un c r i t è r e l o g i q u e en tenant c o m p t e des

exigences du p r o b l è m e .

P o u r cela, i l sufiit de noter q u e l'on d o i t a v o i r une courbe continue, de c o n c a v i t é t o u r n é e v e r s le haut, et q u e si l'on désire c o n t i n u e r à a p p l i - quer la m é t h o d e des p r o f o n d e u r s c o n j u g u é e s , l ' o r d o n n é e de la courbe d e v r a a v o i r une ex-

DÉCEMBRE 1954 L A H O U I L L E B L A N C H E 817

p r e s s i o n s y m é t r i q u e par r a p p o r t aux p r o f o n - deurs conjuguées a m o n t e l aval, soit :

y = 'Jmi-{X/Ax) D ^ ' ^ = Un JLl y». J

(19) où, en plus des notations précédentes, x et y sont les c o o r d o n n é e s d e la courbe rapportées au fond du canal et au tracé de la section amont, et où A x est la l o n g u e u r du ressaut, ainsi qu'on peut le v o i r sur la figure 8.

U - Ax I - ->-4

F i n . 8

D a n s ces conditions ;

%•> == / ^àx A cix —

f

*

= A ,

/*A.» / j / . \ n-v/àx / / / „ / ' | ) </x

o \ y.« / A , jt/„," Ax J / ' J / A0* ^ * l

A , Ax

« L o g ( y^;/ y , J

A,- — A „ Ax

sion q u i traduit le t h é o r è m e des quantités de m o u v e m e n t :

* i Q V i «o A

A i \ ?/,„"'

n L o g ( y , / y , „ ) (20) P o u r un canal de section transversale et de pente données, et dans un d o m a i n e res- t r e i n t de v a r i a t i o n du n o m b r e de F R O U D E , on peut a d m e t t r e une p r o p o r t i o n n a l i t é approchée e n t r e la l o n g u e u r du ressaut et le l o g a r i t h m e du r a p p o r t des hauteurs conjuguées :

Ax = K L o g ilm

(21)

(//+»,/ a + 1 V, xss A¹

— ( : ' !lm! : '

ou e n c o r e :

«i Q^J 1 _ 9 Ai Uma+K

*. Q - 1

. K S⁰ (yja — gma)

A\ „ a + 1 _ _ _

Ax

a + 1 a *^{oJ m}

.9 A , • y /

( 2 3 ) A i n s i , la f o n c t i o n du ressaut qui p r e n d des v a - leurs égales p o u r g = y ^m et y = y , sera :

J y A , y " ! * n

A , A ,

K S„ y"

( 2 4 ) ou encore :

M ( y ) « Q - f / A

A y K S„ A

a + 1

(25 >

Cette solution rend o b l i g a t o i r e , p o u r c h a q u e f o r m e de section transversale ( A , , a), la c o n s - truction d'une double infinité de courbes, soit une f a m i l l e de courbes p a r a m é t r i q u e s ( p a r a m è t r e S „ ) pour chaque débit Q ; et une autre f a m i l l e de courbes p a r a m é t r i q u e s ( p a r a m è t r e Q ) p o u r cha- que pente S0.

D a n s le cas p a r t i c u l i e r d'une section r e c t a n g u - laire, c o m m e Q = q L , A = y L , on aura :

ce qui, la l a r g e u r étant constante, nous p e r m e t d'utiliser plus s i m p l e m e n t la f o n c t i o n :

M , ( y ) de sorte que

L = J L 2 1 _|_ ( f K S „ y ( 2 0 )

!IU 2

-r k S ( l y,„ _ - — — - K S„ y,

y?/», r 2 y yy

où K est le p a r a m è t r e l i n é a i r e du ressaut. d o n n a n t la solution a n a l y t i q u e d i r e c t e

D É C E M B R E 1954

ou encore : K

V +

l> F - ( 1 / 2 ) —{.K/yJ. S0-

1

f( 2 8 ) V ^ ( 1 / 2 ) — ( K / ^ ) S0-

• — 1

\

4-3) E Q U A T I O N E T F O N C T I O N A D I M E N S I O N N E L L E S D E S H A U T E U R S C O N J U G U É E S .

E n introduisant l'expression ( 1 4 ) q u i d o n n e la p r o f o n d e u r c r i t i q u e :

g &i et en notant q u e

s = 2 a - f x - 4 - 1

on a successivement :

2 A* lJ°C yn*+* — K S„ ym« (s — l)yma+* a + 1

— 1) « + 1 a 0l/J

( « •

2 fVc

Y

*

2 « + x

V

a + 1

a y , \ yc/

2 / j ^ v

i

,^ ^ Y

-_A.JLf_&Y

« yc v j /c / E n introduisant les hauteurs conjuguées rela- tives :

N Cn) = -MSMh. = . 2 _ i

A , ; / ^1 2 « + x

_l 1 . rf+ ' — A A . .M

^ a + 1 ' a 1

(30)

L a solution d e v i e n t m a i n t e n a n t b i e n plus sim- ple que dans le cas des équations d i m e n s i o n n e l - les. E n effet, au lieu de la double infinité de courbes, il suffit de construire une f a m i l l e de courbes p a r a m é t r i q u e s , de p a r a m è t r e S⁰ ou m i e u x k S0, d o n n a n t un g r a p h i q u e semblable à celui de la figure 9.

N ( 7 ] ) F i g . 9

C o m m e il s'agit d'une section r e c t a n g u l a i r e (a = 1 ) , et en n é g l i g e a n t la distribution i n é g a l e des vitesses (x = 0 ) , on a :

N (•/)) = — — j - (ft S0) r, ( 3 1 )

et

?4- — ( * S0) t u = — + — ( * S0) T( J

'1/

( 3 2 ) u»,

Va Uo

et le p a r a m è t r e a d i m e n s i o n n e l du ressaut k = (K/yc), on a finalement :

ce qui donne une solution a n a l y t i q u e directe, avec :

r « = V / - ^ - K S 0 s + - ^ L - ( ^ fcS0

Y *- » m, \ —

i L.

•r, a + K 1

2 a + x ' V « + ^K ' « + 1

2 1 , 1

a + x 7 ) / + * a + 1

(29) ce qui conduit à la f o n c t i o n a d i m e n s i o n n e l l e du ressaut :

K S „2

et c o m m e :

gy- V \ y J

^>o

j

(33)

D É C E M B R E 1954 L A H O U I L L E B L A N C H E - 819

O n peut encore écrire : JJj

!/,„

JJjlL 2ù

\ F

2/3

2/:>,

i 0,5 - - A- S„ F A • • )

(0,5 A S0F ^ )

2 F^M- (0,5 - - A - S , , F^m--'^{: 1},)-

(34 >

(0,5

4-4) R É V I S I O N DKS É Q U A T I O N S E T DES F O N C T I O N S DU R E S S A U T .

L e s résultats auxquels on est arrivé aux paragraphes 4-2 et 4-3, bien que plus précis q u e ceux obtenus en négligeant intégralement la composante longitudinale de la pesanteur, c o m p o r t e n t encore, c o m m e nous l'avons dit déjà au paragraphe 4-1, quelques erreurs qui peuvent être en partie réduites.

L a p r i n c i p a l e erreur est faite en négligeant la variation de la quantité de m o u v e m e n t qui cor- respond à la masse liquide qui sort et entre dans le v o l u m e considéré e l qui fait partie de la z o n e t o u r b i l l o n n a i r e supérieure. L a meilleure manière de l'atténuer est encore de r e v e n i r à la solution habituelle, c'est-à-dire d'appliquer le théorème des quantités de m o u v e m e n t à toute la niasse l i q u i d e c o m p r i s e entre les sections extrêmes amont el aval du ressaut (fig. 3 ) , en imposant une f o r m e s y m é - trique à la courbe qui représente la trace de la surface supérieure e x t r ê m e du ressaut dans le plan v e r t i c a l de la p r o f o n d e u r m a x i m u m . On peul ainsi appliquer la méthode des hauteurs conjuguées, et l'erreur c o m m i s e en négligeant la composante longitudinale du poids du v o l u m e c o m p r i s entre la sur- face r é e l l e et la surface imposée sera, é v i d e m m e n t , beaucoup plus faible que celle que l'on c o m m e t en r e n o n ç a n t à tenir c o m p t e de l'action de la pesanteur.

On aura alors :

.9 At \y,

1 A ,

Vi (!// ^{.«-(•i —} (35)

avec

et :

V =

= J .

(</»

A dx = A , i ' y" dx J o

30) D a n s le cas général, c e l l e intégration conduit à des équations c o m p l i q u é e s , mais il est possible d ' a r r i v e r à un résultat plus simple au m o y e n d'un choix plus heureux de la relation s y m é t r i q u e qui lie y à ym et ijf,

T o u t e f o i s , dans le cas beaucoup plus fréquent d'une section transversale rectangulaire, l'expres- sion adoptée est assez satisfaisante. C o m m e dans ce cas, A , — L el a = 1, on aura :

Q : /

avec

ffL Xy , „1 + K

V = L i ^ y dx = L Jo

= L (ym + yj) i ^XV

J o

yj'

dx •

L y-,

= -rr {yr — .'/»•") — ^ S»

l(y»

J O IJj >

]Jj) — yinc'Ax y / - < * / * * > ] dx = y» '

(37)

dx ---=

A.r

= <y«, + y? -1

E n faisant c o m m e p r é c é d e m m e n t :

L\X — K L o g

L o g (yjyj

A.T

og Qjj/yJ ^{(tjj y m)} 1

(38)

k Va I-og rf1

.7 m

L A H O U I L L E B L A N C H E

et en a d m e t t a n t , c o m m e le l'ont de n o m b r e u x auteurs el c o m m e cela a été justifié au p a r a g r a p h e 3-1 : A n - = b {ijj— ym)

on tire :

d'où :

V • « l> I-'J/r Um">K L njj — i /^{( / i})

.9 L ; / „

- j - //,„- /' L S„ </,„- + K L S„ ;/„

et

O n peut é g a l e m e n t écrire plus s i m p l e m e n t :

! / , v » i - .V il i - /

avec :

(40) E n i n t r o d u i s a n t la p r o f o n d e u r c r i t i q u e y„ les hauteurs conjuguées r e l a t i v e s •%, et r^i} et le j ) a r a m è t r e sans d i m e n s i o n s k, on a r r i v e à l'équation sans d i m e n s i o n s :

1

qui e n t r a î n e :

1 2

- - S„ j 'o,^u'- + A- S⁰ T^{I ( ) 1} = - — ~

,-

+ ^f'-l

, 1 -t ,.•

( 4 2 )

d i r e c t e

En n é g l i g e a n t l'effet de l'inégale d i s t r i b u t i o n des vitesses, on a r r i v e à la solution a n a l y t i q u e

d'où

Ui

Y

+

V ' 1 — 2 / > S „ 'Jjl

:l - - 2 & S„) « i/,,, , 1 2 / - S „ ' '2 ; /

a 7 - K S„

(1 2 fc S,,) </?/,• \ 1 2 / > S „

- Il — o . ô — i f c - - ( K / t / j ) 1 V

?/,„ 1 — 2 / j S„

1 J 2 F , „ - ( 1 - - 2 f t S „ >

1 ( j> 3 _ r f t _ ( K / 7 ,H) l S , R

i 1, 2 1 ^ ( 1 — 2 f t S „ ) • V ^ 0 , 5 — [ 6 — ( K S ⁰

ou, sous f o r m e a d i m e n s i o n n e l l e :

( 4 3 )

( 4 4 )

T j ''3 0,5 - ( / ) • - A F^{U )}'-'''^{: i}) S„

Mm ''<„, 1 2 /> S„

\ljn_ / » 0,5 (b - A- Ff'*) S„

Ui ^ ! F,„ 1 2 6 Sⁿ

' / I L 2 F , „ - ( 1 — 2 /> Sn) V 0,5 — ( / ' — A F , „2 / : !) S„-

2 F , - ( 1 - 2 / > Sn) 0,5 — (b — A ~Fj"^/K) S^{f t 2}

( 4 5 ) _ _ 1

T e l l e s sont les expressions qui p e r m e t t e n t de calculer les hauteurs conjuguées dans des canaux rectangulaires de pente q u e l c o n q u e .

D É C E M B R E 1954 L A H O U I L L E B L A N C H E 8 2 1

4-5j L O N G U E U R UU R E S S A U T .

C o m m e cela a été dit, en anticipant, au para- g r a p h e 4-2, la longueur du ressaut peut, à l'inté- rieur de l i m i t e s rapprochées, être donnée d'une manière a p p r o x i m a t i v e par :

Ax = K L o g (ijj/y^m) ~ 2,303 K log (ijj/y^m) K étant le p a r a m è t r e linéaire du ressaut.

D a n s des canaux rectangulaires à pente nulle, pour lesquels les n o m b r e s de F R O U D E à l'ainonl (F^m) ne dépassent pas des valeurs de l'ordre de 3,5, ce p a r a m è t r e peut être pris sensiblement égal à 1 m . P o u r des n o m b r e s de F R O I D E plus grands, il tend à d é c r o î t r e . D ' u n autre côté, il parait p r o - bable que la v a l e u r de K dépend de la l'orme de la section transversale et de la p e n l e .

P a r suite, l'expression précédente, pour servir au calcul de la longueur du ressaut, doit être ainsi c o m p l é t é e :

A.r = K L o g (y³-/y^m) 9 (F^m, Sq) (40)

"0,5 — (b — À - F „ a/ 3 ) S0

D'autre part, la f o r m u l e :

A' L o g (\i/r^lm) = 2,303 log (ty/r,.

A x i/o

présente quelques difficultés d ' e m p l o i , car le pa- r a m è t r e a d i m e n s i o n n e l ne reste pas constant, ce qui amène à é c r i r e :

A x k [ L o g ( V ' O ] * (47)

11 est donc encore p r é f é r a b l e d ' e m p l o y e r l'ex- pression usuelle :

Ax- = b (</, - - ;/„,)

vérifiée dans le cas d'un f o n d horizontal, el d'in- troduire un facteur qui tienne c o m p t e de la pente et qui, en p r e m i è r e a p p r o x i m a t i o n et pour une section transversale rectangulaire, peut être donné par :

L o g

+ (Fm. S⁰) 1 — 2 b S„ + L. o g | _^V

/

;p,5 — (t> — A' F^{M 2}'^{: |}) S„ - (48) L o g [0,5 ( V I + 8 F »² — l ) j

4-6) P E R T E D E C H A R G E .

P o u r calculer la perte de charge, on r e v i e n t à l'équation ( 9 ) qui peut, en tenant c o m p t e de la v a r i a t i o n de la distribution des vitesses suivant le d e g r é de turbulence à l'amont et à l'aval, être écrite ainsi :

A H = - S ' - ^ r j 4 A.r.S,, - - - < ; / ; • 2 g ^vA ' -

En considérant maintenant les expressions ( 1 2 ) , ( 1 3 ) , el ( 2 1 ) , on a :

AH = Q^{2 i}

2 g A^¹ \y„r^

el c o m m e on déduit de ( 2 2 ) :

—¹ + K S „ L o g i V I - V (49)

"i Q - _ A^t J [ l / ( a + 1 ) ] ( . ' / / +¹ —y^{ma +} *_) zziK S „ / a ) (y? f/A> ! 9 A , ( ! / ? # « + < 0 - - ( ! / / / , < • + «)

on peut conclure que

AH — ^ 1 /(a + 1 ) ] + » - y , „ " - H ) — (K S „ / « ) (?//' + ;/„,") !/,-" + '•

2 gf y^m° + K S⁰ L o g J/i

y», - (y, — yJ V I • V (50)

Dans le cas d'un canal horizontal, on a plus s i m p l e m e n t : (?/,-^a+1 y,„"^M) (?/,-"^M - y„r"⁺^

A H —

2 (a + 1) yf y^ma (yf+« — y^ma+^K) (y. (51

,S22 — L A H O U I L L E B L A N C H E DÉCEMBRE 195'!

Les f o r m u l e s ( 4 8 ) et ( 4 9 ) découlent des études p r é l i m i n a i r e s encore i n c o m p l è t e s a u x q u e l l e s j e me suis l i v r é ; après révision et dans l'hypothèse d'un canal rectangulaire, on a :

" t f i h ) + ^KS " ^J- "^S ( £ ) ^{v / r = l i ?} et c o m m e on a, d'après ( 3 9 ) :

« i g- ⁼ ( 0 , 5 -• - b S„) (i]f - - y,,,-) + K S⁰ (y, —- yj

u " ^{1 1}

il s'ensuit q u e :

a h = -^{( 0}'⁵- ^{b So)} w — + m^Jj—JiA x if+^K-y«?^+K + k s⁰ L o g - (^V; - 1 / j v r ^ i v 2?/;.'/,,, . ' / ,^{1 + A}' — </m^{, +}'^; / / , «

(53) ou encore, en n é g l i g e a n t l'effet dû à une n o n - u n i f o r m i t é dans la distribution des vitesses :

A H - ( O . S - f c S o ^ + y J + K S ,^{>( % i _ ^ + R ^ L o g ( J / , ^ (?/; _ y J v T z r ^ 2} ( 5 4 )

T o u t e s ces relations peuvent être t r a n s f o r m é e s en expressions a d i m e n s i o n n e l l e s en y i n t r o - duisant la p r o f o n d e u r critique.

E n p a r t i c u l i e r ( 5 2 ) se t r a n s f o r m e en :

M ^ A M z z ± ^ ^ : J ^ ^ . ( v . - o - i - i f c S o L o B^ V - < • * - - - O V T = ^ 7 ( 5 5 ) E t a n t donnée la relation entre la p r o f o n d e u r r e l a t i v e et le n o m b r e de F R O U D H :

1

V ' F -

on peut avoir encore une représentation plus intéressante au point de vue rationnel, mais elle ne sera pas traitée ici.

5 ) C o n s i d é r a t i o n s finales

Dans cet article, j ' a i v o u l u contribuer à ren- dre générale la solution des p r o b l è m e s de base des ressauts. M o n but était, en particulier, de passer des cas courants : section rectangulaire, canal h o r i z o n t a l , à ceux où la section trans- versale et la pente sont q u e l c o n q u e s .

Les relations établies, q u o i q u e plus c o m p l è t e s q u e les expressions usuelles, présentent encore

quelques défauts, en particulier celui de n ' a v o i r pas été soumises à une v é r i f i c a t i o n e x p é r i m e n t a l e qui p e r m e t t e de j u g e r de leur p r é c i s i o n et de constater si les résultats obtenus justifient les c o m p l i c a t i o n s introduites.

De toute m a n i è r e , j ' a i j u g é bon de p u b l i e r cette étude, afin de la soumettre aux c r i t i q u e s et de p e r m e t t r e à ceux qui se t r o u v e r a i e n t dans des conditions propices pour f r a n c h i r le stade que j e n'ai pu dépasser, de l ' a m é l i o r e r et de la c o m p l é t e r .