QUELQUES RÉSULTATS THÉORIQUES RÉCENTS CONCERNANT LES ÉCOULEMENTS DES NAPPES D'EAU SOUTERRAINES

(1)

744 L A H O U I L L E B L A N C H E N ° 5 - OCT.-NOV. 1955

Quelques résultats théoriques récents concernant les écoulements

des nappes d'eau souterraines

A few récent theoretical results concerning ground water flow (*)

PAR K. M E Y E K

INGÉNIEUR AU LAliORATOIRE D A U P H I N O I S D ' H Y O B A U I . I Q U E , GRENOBLE

La présente partie de cet article contient les justifications théoriques des assertions énoncées précédemment et concernant l'étude de l'ap- proximation de Dupuit et l'étude des nappes de faible épaisseur d'une façon gértérale. Elle con-

tient aussi un certain nombre de remarques d'ordre physique. Ainsi on montre que les écou- lements transitoires dans une nappe sont com- parables aux phénomènes de houle et d'ondes dans les canaux : tous ces phénomènes sont des

« ondes de surface » et disparaissent quand on s'éloigne trop de cette surface. Néanmoins, alors que les ondes à l'air libre ont en général un amortissement très petit, celles se propageant dans les nappes s'amortissent très rapidement à cause de la dissipation de l'énergie. Vue sons cet angle l'approximation de Dupuit est le pen- dant de la « shallow water theory » des écou- lements à surface libre et les simplifications à faire pour arriver à ces approximations sont fort semblables. Par contre l'analogie s'arrête là dans le cas de ces approximations; le calcul effectif des écoulements est fort différent et, en général, plus aisé dans le cas des nappes d'eau souterraines. En effet les êqiiation's sont du type « chaleur » alors que celles de la « shallow water theory » sont du type « onde » .

L'équation de la. chaleur a des propriétés de régularisation très nettes (un peu comparables à celles des équations du type « elliptique » ) . Les solutions en sont donc, en' général plus simples que celles des équations du type onde (surtout quand il y a de multiples réflexions).

This section of the article contains theoretical justifications of statements mode previously in connection with Dupuit's approximation, and a gênerai investigation of shallow ground water.

It also contains a number of observations of a physical nature. It is shown that transient flows of ground water can be compared with swell and wave phenomena in canals, for ail such phenomena are " surface waves " and vanish when the distance from the surface hecomes great. However dumping in free sur- face waves is usually slight, whereas the dissipation of energy expended by waves propagated in ground water causes them lo die away rapidly. Looked at in this way Dupuil's approximation is the counterpart of the shallow water theory in free surface flows, and the simplifications that have to be made to obtain the approximations are very similar. But here the analogy stops short, for where ground water is concerned the actnal flow calculations are qnite différent and are usually much easier.

In actual fact the équations are in the " heat "

category whilst those connected with the shal- low water theory are wave équations.

The heat équation has very marked regulariza- tion properties and for this reason is to some extent comparable with elliptic type équations.

Its solutions are generally simpter than those of wave équations, especially where there are multiple reflections.

.(*) Cf. La Houille Blanche, n" 1, 1955.

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1955058

(2)

OCT.-NOV. 1055 - N ° 5 L A H O U I L L E B L A N C H E

S O M M A I R E

745

O H A P I T E E I I I . — C O N S I D É R A T I O N S T H É O R I Q U E S

3-1. — ÉQUATIONS DE L'ÉCOULEMENT DE VEAU DANS LES MILIEUX POREUX.

3-2. — VARIATIONS SINUSOÏDALES DANS UNE NAPPE SANS ÉCOULEMENT MOYEN ET SUR UNE ASSISE IMPERMÉABLE HORIZONTALE.

3-3. — APPROXIMATION DE DUPU1T, OU DES « NAPPES DE FAIBLE ÉPAISSEUR » , EN RÉGIME SINUSOÏDAL.

3-4. — NAPPES DE FAIBLE ÉPAISSEUR EN GÉNÉRAL.

3-5. — DISCUSSION PHYSIQUE DES HYPOTHÈSES ET RÉSULTATS DU PARA- GRAPHE 3-4.

(Ici s'arrête la publication réservée au présent numéro) 3-6. —- NAPPES DE GRANDE ÉPAISSEUR.

3-7. — SURPRESSIONS SUR LES MURS DE QUAI DUES A LA MARÉE.

3-8. — PHÉNOMÈNES NON SINUSOÏDAUX DANS LES NAPPES DE GRANDE ÉPAISSEUR.

3-9. — CONCLUSIONS DU CHAPITRE III.

C H A P I T R E I I I

C O N S I D É R A T I O N S T H É O R I Q U E S

C o m m e i l a été exposé dans la p r e m i è r e p a r t i e de cet a r t i c l e , le c h a p i t r e I I I c o n t i e n t les j u s t i - fications t h é o r i q u e s des assertions énoncées p r é - c é d e m m e n t et q u e l q u e s r e m a r q u e s d ' o r d r e p h y - sique. O n aura avantage, au c o u r s du c h a p i - tre I I I , à se r e p o r t e r s o u v e n t aux figures c o r r e s - p o n d a n t e s de la p r e m i è r e p a r t i e .

3-1. — E q u a t i o n s d e l ' é c o u l e m e n t d e l ' e a u d a n s les m i l i e u x p o r e u x .

N o u s ne v o u l o n s i c i q u e rappeler b r i è v e m e n t les é q u a t i o n s de l ' é c o u l e m e n t et les hypothèses de base. Ces é q u a t i o n s sont d'ailleurs traitées dans de n o m b r e u s e s p u b l i c a t i o n s classiques ( v o i r par e x e m p l e [ 2 ] ; [ 3 ] ) ; [ 4 ] ( * ) ; e t c . ) .

HYPOTHÈSES PHYSIQUES DE BASE

a) L a l o i de D a r c y généralisée s ' a p p l i q u e par- t o u t au sein de la r é g i o n étudiée :

(*) Les chiffres entre crochets [ ] renvoient à la b i b l i o - graphie, p. 758.

v = — K . grad h

—> Q — » v = -7T- . e

S : surface plane située dans le m i l i e u p o r e u x , p e r p e n d i c u l a i r e au flux m o y e n d'eau q u i y passe et g r a n d e devant les d i m e n s i o n s des p a r t i c u l e s du m i l i e u p o r e u x .

Q : débit passant par S.

e : v e c t e u r u n i t a i r e p e r p e n d i c u l a i r e à S.

v : v e c t e u r appelé : « vitesse de filtration » ou plus s o u v e n t « vitesse » (ce n'est pas u n e vitesse m o y e n n e de l'eau p u i s q u e la surface S c o m p r e n d é g a l e m e n t des p a r t i e s s o l i d e s ) .

K : tenseur de p e r m é a b i l i t é . E n général on le c o n s i d è r e c o m m e un scalaire : K .

h : c h a r g e h y d r a u l i q u e au p o i n t c o n s i d é r é et r a p p o r t é e à u n p l a n de r é f é r e n c e u n i q u e p o u r t o u t l ' é c o u l e m e n t h — z + ( p / w ) : z : c o t e du p o i n t c o n s i d é r é à p a r t i r du p l a n de r é f é r e n c e ; p : p r e s s i o n sur la sur- face S; w : p o i d s s p é c i f i q u e de l'eau.

5

(3)

746 L A H O U I L L E B L A N C H E N " 5 - O C T . - N O V . 1955

b) L e fluide et le m i l i e u p o r e u x sont i n e o m - h⁰ : c h a r g e dans l'eau l i b r e , pressibles, d'où l ' é q u a t i o n :

e) A la surface l i b r e de l'eau s o u t e r r a i n e , on a:

div v = 0

qui s ' a p p l i q u e é g a l e m e n t dans t o u t l ' é c o u l e m e n t . \dx ) \dy J \dz J dz K 9/

c) Sur les obstacles fixes et i m p e r m é a b l e s on

a d m e t : et h — z.

9/j oxyz : t r i è d r e de r é f é r e n c e ;

V" ~ ~dn~ ~® ^o^z '• v e r t i c a l e ( p o s i t i v e vers le haut") ; n : n o r m a l e à la surface de l'obstacle. 1 '' temPs'

J, o ,^r ,^t , m : p o r o s i t é effective;

a) Sur les surfaces de c o n t a c t e n t r e 1 eau l i b r e

et l'eau s o u t e r r a i n e , on a : f) O n a d m e t q u e les p a r a m è t r e s K et m ne va- h — h0 r i e n t pas dans le t e m p s .

EQUATIONS DK DÉPART TIRÉES DES HYPOTHÈSES DE BASE :

On p e u t é l i m i n e r v e n t r e les d e u x é q u a t i o n s valables dans t o u t le m i l i e u p o r e u x d'où : d i v ( K ' g r a d A ) = 0 au sein du m i l i e u ;

- J ^ - = 0 sur les obstacles i m p e r m é a b l e s ; on

h = h^i} sur les surfaces de c o n t a c t avec l'eau l i b r e . m dh / dh \ » . / 3/j \ 2 , / 3/i \2 dh

i H- i

K dt \ dx ) \ dy \ dz j dz > à la surface l i b r e . ii = z)

L ' e n s e m b l e des é q u a t i o n s ( I ) p e r m e t t h é o r i q u e m e n t de r é s o u d r e le p r o b l è m e . HYPOTHÈSES SUPPLÉMENTAIRES NÉCESSAIRES AUX CALCULS EXPOSÉS CI-APRÈS : a) K est un scalaire ne p r e n a n t q u ' u n n o m b r e l i m i t é de v a l e u r s constantes.

Dans une r é g i o n où K = Cs t e, on a alors : Â3ft = FJ

'³ ~ dx^{2 +} dy*⁺

3F

b) E n vue de la l i n é a r i s a t i o n du p r o b l è m e ainsi défini, on a d m e t que l ' é c o u l e m e n t c h e r c h é reste v o i s i n d'un c e r t a i n é c o u l e m e n t d o n n é par h — H (x, y, z, t) et d o n t il ne diffère q u e par les c o n - d i t i o n s aux l i m i t e s sur les surfaces de c o n t a c t avec l'eau l i b r e . N o u s p o s o n s alors p o u r n o t r e é c o u l e -

m e n t : h = H -j- h^x.

C o m m e H et h sont deux é c o u l e m e n t s satisfaisant à toutes les é q u a t i o n s I, sauf à h = /?„, on a:

AS H = 0; A3 h = A3 H -f- A8 /i, = 0 : dans t o u t le m i l i e u ;

/ 3H \ „ dh 3H . 9/i, „ , K . i

' ' = u , — — = —— -F- — - = u : sur les obstacles; 3n J ' dn dn dn

; H — z;

9 H Y . / 3 H \2 . 9H 3H m 9H

+ r ^ 7 + i "57

\

dx j ' V 9?/ / 1 \ dz J dz K dt

dx J ^ { dy j ^ \ dz } dz ^ " dx dx ^ dy dn⁺ 1 J F dz l ^s û^r ^t â^c ê

» l i b r e

r V dx J ' { dy J ' \ dz I dz K V dt ' dt J'^{+ 1}

(4)

OCT.-NOV. J955 - N " 5 L A H O U I L L E B L A N C H E 747

D ' o ù , par s o u s t r a c t i o n des deux séries d'équations : A³/ i j = 0 : dans t o u t le m i l i e u p o r e u x ,

0 : sur les obstacles i m p e r m é a b l e s , dn

2² ÔH _,_ m dhj _ m dh, ^

dx dx dy dy dz dz dz K dt j à la

surface l i b r e

Seule la t r o i s i è m e é q u a t i o n est n o n l i n é a i r e . Si les p e r t u r b a t i o n s par r a p p o r t à l ' é c o u l e m e n t H sont faibles, o n peut la l i n é a r i s e r ; ceci r e v i e n t à égaler à zéro le m e m b r e de d r o i t e . E n plus, si h^x

est p e t i t , la surface l i b r e p e u t être c o n s i d é r é e c o m m e étant en z = H.

N o s é q u a t i o n s de départ s e r o n t d o n c les é q u a t i o n s suivantes ( o n s u p p r i m e l ' i n d i c e 1) : , A3 h = 0 : dans t o u t le m i l i e u p o r e u x ;

dh

dn = 0 : sur les obstacles i m p e r m é a b l e s ;

II h = h⁰ ; sur les surfaces de c o n t a c t .

9 3 H _ _ 9 ^ L ,⁹ ^ H _ a h . , ² i Ë L dx dx " dy dy dz dz

dh m_ dh ( à la surface l i b r e

~dz ~~ K ~dt\ fiu i est en z — H Si l ' é c o u l e m e n t H (,x, y, z, t) est le r e p o s absolu, on a : H = 0, d'où

' A„ h = 0 : dans le m i l i e u ; dh

I I I

= 0 : sur les parois i m p e r m é a b l e s ; ÎS surfaces de c o n t a c t ave

= 0 : à la surface l i b r e q u i est en z — .r„ = ( > " ' . dn

h — h⁰ : sur les surfaces de c o n t a c t avec l'eau l i b r e ; dh m_ dh

'dz ' K dt

N o u s d i s c u t e r o n s par la suite la l é g i t i m i t é de la l i n é a r i s a t i o n .

3-2. — V a r i a t i o n s sinusoïdales d a n s u n e n a p p e sans é c o u l e m e n t m o y e n située sur u n e assise i m p e r m é a b l e h o r i z o n - tale.

L a figure 34 m o n t r e cette nappe. Les é q u a t i o n s de départ sont les é q u a t i o n s ( I I I ) ; on place le

p l a n xoz dans le plan de la surface l i b r e de l«a nappe au r e p o s .

C o m m e le p r o b l è m e est l i n é a i r e , i l existe des é c o u l e m e n t s tels q u e toutes les g r a n d e u r s v a r i e n t

s i n u s o ï d a l e m e n t . Ce sont ces é c o u l e m e n t s q u e nous allons étudier m a i n t e n a n t . P o u r cela, posons :

h (z; y; z; t) = H0 (x; y; z) cos (<o t + ?) L e s calculs se s i m p l i f i e n t b e a u c o u p si on

adopte les n o t a t i o n s c o m p l e x e s de F R E S N E L ( * ) : h = 61 [ H e'*'] avec H = H⁰ & f

<R.[...} : p a r t i e réelle d e . . .

, -onde (surface libre)

! r'0 assise imperméable T T r f y f ' rv' r ' FH r \ i \ r \ t \'

Km. 34

(*) Ce mode de calcul est employé entre autres par les électriciens pour l'étude des courants alternatifs.

(5)

L a f o n c t i o n H (z, y, z) satisfait alors aux équa- t i o n s :

A , H = 0 : dans le m i l i e u ( 3 ; 4) 3H

dz 0 : p o u r z — — H⁰;

JËL⁺ "*j «^H = 0 : p o u r z = 0.

dz K

et aux c o n d i t i o n s aux l i m i t e s en p i a n d é t e r m i - n a n t l ' e x c i t a t i o n de p u l s a t i o n w. O n résoud ces é q u a t i o n s par la m é t h o d e classique des f o n c - tions p r o p r e s , q u i se d é c o m p o s e n t i c i en p r o d u i t de f o n c t i o n s :

H = S A ( z ; n).B (x; y; n)

n

On déduit de (3,4) :

• U )

A " , à² B ⁽^x.^y⁾ ^ ^x2 ( = C s t e )

B A., = - ^ - T - -t-

3 x² 3 y²

D ' o ù :

A = C cos (X z + o) A² B = X² B

L a c o n d i t i o n ( 3 H / 3 z ) — 0 p o u r z = exige que «p = X H⁰,

H⁰

d'où :

A == C cos X (z -f H⁰)

L a c o n d i t i o n à la surface l i b r e exige que :

allons étudier de plus près deux cas p a r t i c u l i e r s i m p o r t a n t s p o u r la suite : é c o u l e m e n t plan et é c o u l e m e n t de r é v o l u t i o n . Dans ces deux cas, B(x;y;n) est é g a l e m e n t d é c o m p o s a b l e en une s o m m e de p r o d u i t s de f o n c t i o n s o r t h o g o n a l e s .

D a n s le p r e m i e r cas :

B (x; y; n) se r é d u i t à B (x; n)

D o n c :

B " -— X² B = 0 B = E e** + F e-**

D ' o ù :

H — S cos X„ (z + H„) F E „ + F „ c-*-*]

Les E „ et F » sont à d é t e r m i n e r par les condi- tions aux l i m i t e s en plan. Soit par e x e m p l e :

H H² ( z ) en z — L H = H^x ( z ) en x = 0

point considéré

bordée la naÇPe\-

réflexion

réflexions-

~\ bordée nappe

F I G . 35

X sin X H⁰ = ; cos X H⁰ ( 3 ; 5) O n en déduit :

Cette é q u a t i o n possède une i n f i n i t é (.dénom- b r a b l e ) de s o l u t i o n s c o m p l e x e s : X„.

Ht ( z ) = S cos X„ (z + H⁰) ( E „ + F » )

H² (z) = S cos X„ (z + H⁰) ( E „ + F „ e - * « L ) D ' o ù :

L e t h é o r è m e de F O U R I E R p e r m e t de c a l c u l e r H = S c o s Xⁿ( z + H⁰) B ( x ; z / ; n ) ( 3 ; 6) E „ et F^B :

ru

Les f o n c t i o n s B ( x ; y ; n) sont à d é t e r m i n e r à J-n^ ^H ^l ^ °°^S ^^K ^ ^ ^d ^z p a r t i r dès c o n d i t i o n s aux l i m i t e s en plan. N o u s ^ » + ^F" ~ "h⁰/2 -j- [ l / f 4 X„) 1 sin 2 X„ ~ ⁹^l ^

(6)

OCT.-NOV. 1955 - N ° 5 L A H O U I L L E B L A N C H E 749

E „ e * »L+ F „ e - ^L = D ' o ù f i n a l e m e n t :

H = S cos X„ (z -f- H0)

O n appelle l ' e x p r e s s i o n :

H „ = cos X„ (z + H0)

I H^x (z) cos Xⁿ (z 4 - H0) y- H „

H „ / 2 + [ l / ( 4 Xn) ] s i n 2 X „ H0

<?i (n) sh X„ ( L — x) - f ?² C"0 sh Xn x sh X„ L

?! (n) sh X„ ( L — x) -f cp² ( n ) sh X„ a:

sh X„ L

o n d e é l é m e n t a i r e d ' o r d r e « n » .,11 est d o n c la s u p e r p o s i t i o n d'une i n f i n i t é d'ondes é l é m e n t a i r e s . O n p e u t é c r i r e H „ sous une autre f o r m e :

H„. = cos X, (z + H⁰) -j ?! ( n ) [ E - * - — e - x < * + 2 < L — » _^e- x < * + 2 I . >

_J_^e- \ < * » - t » 2 L + 2 ( L - * ) > ± . . . j _|_ Ç² ( n ) [ e - X < L - X >^E- X < L - A . - + 2.T>

g - X < L — J + 2 1 > .L. g - X < l - I + 2 I . + 2 I > ± . . . ] }•

Sous cette f o r m e on v o i t q u e l'onde <f^± p a r t de x — 0, passe au p o i n t c o n s i d é r é , se r é f l é c h i t sur x = L , repasse au p o i n t considéré, se réflé-

c h i t sur x = 0, etc. D e m ê m e p o u r l ' o n d e ?o ( v o i r fig. 3 5 ) .

O n v o i t donc c o m m e n t les ondes sont engen- drées par les c o n d i t i o n s aux l i m i t e s . L ' o n d e p u r e sans r é f l e x i o n est de la f o r m e :

H „ = cos X„, (z + H⁰) e~^x'*'

P h y s i q u e m e n t , c'est la seule intéressante, les autres s'en d é d u i s a n t par des r é f l e x i o n s .

Dans le cas d'un é c o u l e m e n t de r é v o l u t i o n : B(x;y;n) se r é d u i t à B ( p ; n ) et est donné par :

B " + . l / p B ' — X „2B = 0 D o n c :

B = E I0A » P ) + F K0 ( X „9)

O n p o u r r a i t faire les m ê m e s calculs q u e p o u r le cas p r é c é d e n t . O n t r o u v e finalement q u ' i l existe aussi i c i des ondes p u r e s d ' o r d r e n, m a i s il y en a de deux sortes : l'une p r o v e n a n t de la l i m i t e i n t é r i e u r e , l'autre de la l i m i t e e x t é r i e u r e . Dans le cas d'un é c o u l e m e n t plan, il y a une seule espèce d'onde p a r c e q u e les deux l i m i t e s j o u e n t e x a c t e m e n t le m ê m e r ô l e .

E t u d i o n s de p l u s près les ondes pures. L e s n o m b r e s X,^t H⁰ sont donnés par l ' é q u a t i o n (3,5) que nous p o u v o n s é c r i r e :

(X„ H0) tg (Xs H0) = j o) m H⁰ K

L e s s o l u t i o n s X» H⁰ ne sont l ' o n c t i o n q u e du p a r a m è t r e w m H⁰/ K . O n p e u t se faire u n e idée de ces s o l u t i o n s en t r a ç a n t le réseau i s o t h e r m e Z = z . t g z . Ce réseau est schématisé sur la fi- g u r e 36. O n y a tracé en traits p l e i n s q u e l q u e s c o u r b e s sur lesquelles la p a r t i e i m a g i n a i r e de Z est c o n s t a n t e et en t r a i t s p o i n t i l l é s la c o u r b e sur l a q u e l l e la p a r t i e réelle est n u l l e . L e s s o l u t i o n s de l ' é q u a t i o n en X„ H⁰ se t r o u v e n t é v i d e m m e n t sur cette d e r n i è r e c o u r b e .

3IR/E Zir Sir/2 3ir Fie. 36

71T/2

O n v o i t que la p a r t i e r é e l l e de X„ H0 est c o m - prise e n t r e n r. et n % ~f^T-/2.

D a n s le cas d'un é c o u l e m e n t plan, l ' o n d e p u r e d ' o r d r e n est donnée par une e x p r e s s i o n du g e n r e :

H „ = e - « » (*/H.) . c o s ( b ^ ~ ~ ) ^±bn w m • cos ( AB- ~ -

ou

X„ H0 = an -f j bn

( 3 ; 7)

O n v o i t q u ' i l y a des o n d u l a t i o n s s u i v a n t les deux axes O x et Oz. E n t r e O et — H⁰, il y en a j u s t e « n » ( p o u r l ' o n d e d ' o r d r e « n » ) . L e s o n - d u l a t i o n s s'éteignent dans le sens ox et c e c i

5*

(7)

750 L À H O U I L L E B L A N C H E N » 5 - OCT.-NOV. 1955

d'autant plus r a p i d e m e n t q u e n est g r a n d . P r a - t i q u e m e n t , X^{n + 1} H⁰ — X„ H⁰ est réel et de l ' o r d r e de 7 t . '

L e r a p p o r t des a m o r t i s s e m e n t s de deux ondes d'ordre n + 1 et n est d o n c de l ' o r d r e de :

Si les ondes o n t une i n t e n s i t é c o m p a r a b l e au départ et si on se c o n t e n t e d'une p r é c i s i o n de 5 %, on p e u t n é g l i g e r les ondes d ' o r d r e supé- r i e u r à :

— zéro : à p a r t i r de x ^ H⁰

— un : à p a r t i r de x ^ ( 1 / 2 ) H⁰

— deux : à p a r t i r de . x ^ ( l / 3 ) H⁰, e t c . . A l'aide des f o r m u l e s de d é v e l o p p e m e n t asymp- t o t i q u e s des f o n c t i o n s I⁰ et K⁰, on vérifie q u ' i l en est de m ê m e dans le cas des é c o u l e m e n t s de r é v o - l u t i o n . D ' u n e f a ç o n générale on p e u t d é m o n t r e r que le m i l i e u p o r e u x « filtre » les ondes. P o u r x ^ H0, on p e u t en général se c o n t e n t e r de la p r e m i è r e onde et é c r i r e :

H = cos X⁰ (z + H⁰) [ E⁰ e*<* + F⁰ ] dans le cas des é c o u l e m e n t s p l a n s ;

et :

H = cos X⁰( z + H⁰) B ( x ; y; 0) ( 3 ; 8) avec :

A , B — X⁰- B = 0 dans le cas général.

On en déduit dans le cas général : 3-H , 32H , , „ S x² a i , *

(3; 9)

Vues de cette façon, les ondes d ' o r d r e élevé apparaissent c o m m e des p e r t u r b a t i o n s t r a n s i - toires r a p i d e m e n t a m o r t i e s dans l'espace ser- vant à ajuster les c o n d i t i o n s aux l i m i t e s . L e m ê m e p h é n o m è n e a lieu — d'une façon beau- c o u p plus m a r q u é e d'ailleurs — dans le cas de la h o u l e ( v o i r par e x e m p l e l ' a r t i c l e de M M . B I E - SEL et SUQUET dans la Houille Blanche, n° 4, j u i l l e t - a o û t 1951, page 476), et d'une façon géné- rale dans le cas des ondes sans dissipation d'énergie.

D ' u n e façon e n c o r e plus i n t u i t i v e , on peut d i r e que le p h é n o m è n e devient à deux d i m e n s i o n s si le p o i n t considéré est distant de la l i m i t e de la nappe de plusieurs fois l'épaisseur de la nappe.

Ceci est un p h é n o m è n e général et bien c o n n u ; il p e r m e t de r é d u i r e le n o m b r e des d i m e n s i o n s à considérer dans un p r o b l è m e p h y s i q u e donné

et de p a r l e r p h y s i q u e m e n t par e x e m p l e de pla- ques ou de p o u t r e s (considérées c o m m e i n l i n i - m e n t m i n c e s ) . Il est n é a n m o i n s i n t é r e s s a n t de p o u v o i r chiffrer dans c h a q u e cas ( c o m m e cela v i e n t d'être fait i c i ) la distance m i n i m u m à respecter à p a r t i r des l i m i t e s .

3-3. — A p p r o x i m a t i o n d e D u p u i t e n r é g i m e sinusoïdal.

E t u d i o n s d'abord cette a p p r o x i m a t i o n dans le cas d'une n a p p e au repos sur une assise i m p e r - m é a b l e h o r i z o n t a l e . O n p e u t alors la r a t t a c h e r a i s é m e n t aux calculs faits au p a r a g r a p h e 3-2.

D ' a b o r d si H⁰ est faible, la r é g i o n x ^ H⁰ est très petite, d o n c on n'a pas à se p r é o c c u p e r des ondes d ' o r d r e plus élevé q u e z é r o . E n o u t r e , on peut e x p r i m e r f a c i l e m e n t X⁰ en f o n c t i o n de M m Hn/ K si ce n o m b r e est p e t i t devant 1.

D a n s ce cas, l ' é q u a t i o n : (X⁰ H⁰) tg (Xo H⁰) = j p e u t s'écrire :

m H „

(X0 H0) 2 + l / 3 F /0H0) 4 + . . . = = ; . ça m H„

K ou :

.. „ / o) m H „ N¹/² I 1 + 7 , 1-—/ rrrOimHo , X . H o ^ — — , [ - ^i + V ^V ^f ~ T ^J ^{! +}

L ' a p p r o x i m a t i o n de D U P U I T r e v i e n t j u s t e m e n t à a d m e t t r e q u e <» m H⁰/ K est p e t i t devant 1 et q u ' o n p e u t é c r i r e :

X0 H0 : ^{•' co}^m H » y /² 1 -f j

K ) V F

L ' é q u a t i o n ( 3 ; 9) d e v i e n t alors :

3 x² 1 % ²

(3; 10)

Ceci est l ' é q u a t i o n de base des études des nappes dans l ' a p p r o x i m a t i o n de D U P U I T .

R e m a r q u o n s que H d o n n e d i r e c t e m e n t la cote de la surface l i b r e en f o n c t i o n de x et y.

O n p e u t f a c i l e m e n t évaluer les e r r e u r s c o m - mises en e m p l o y a n t cette a p p r o x i m a t i o n . Il y en a deux sortes :

a) E r r e u r s dues aux ondes d ' o r d r e s u p é r i e u r ; leur o r d r e de g r a n d e u r est g - n O " / ^ ) ^e ⁿ^v^a_ leur r e l a t i v e ;

(8)

O C T . - N O V . 1955 - N " 5 L A H O U I L L E B L A N C H E 751

b) E r r e u r s dues à l ' a p p r o x i m a t i o n de la valeur A⁰H⁰; ils sont de l ' o r d r e de :

_ V - ( i " » ï i il/! ce

l ___ g 12 \ K I HO

E n o u t r e , on n é g l i g e en général le facteur : cos l0 (z -f Hn)

cos X⁰ H^p

ce q u i r e v i e n t à l ' a d m e t t r e égal à 1. Il est m i n i - m u m en z = — H⁰ et égal à l / c o s X⁰H⁰.

O n p e u t aussi o b t e n i r l ' é q u a t i o n ( 3 ; 1 0 ) par une a u t r e m é t h o d e q u i consiste à faire, à p r i o r i , des hypothèses sur l ' é c o u l e m e n t . N o u s allons e m - p l o y e r cette m é t h o d e p o u r t r o u v e r une é q u a t i o n plus générale q u e ( 3 ; 1 0 ) .

Soit une nappe de faible épaisseur c o u l a n t sur une assise i m p e r m é a b l e (fig. 3 7 ) .

P o u r a r r i v e r à l ' é q u a t i o n de l ' é c o u l e m e n t , c o m p t e t e n u de l ' h y p o t h è s e de D U P U I T , n o u s ferons les hypothèses suivantes :

1) L a vitesse de l'eau est c o n s t a n t e sur c h a q u e v e r t i c a l e ;

2) L e s v a r i a t i o n s des c a r a c t é r i s t i q u e s de la nappe et de l'assise i m p e r m é a b l e sont suffisam- m e n t petites.

L a p r e m i è r e h y p o t h è s e r e v i e n t à a d m e t t r e q u ' u n e f o n c t i o n analogue à cos X⁰ (z -J- H⁰) est à p e u près c o n s t a n t e e n t r e la surface l i b r e et le f o n d de la n a p p e . L a d e u x i è m e g a r a n t i t q u e les réflexions des ondes dues aux c h a n g e m e n t s de c a r a c t é r i s t i q u e s sont faibles.

M o y e n n a n t ces hypothèses, nous allons étu- dier les nappes de faible épaisseur.

Soient :

H⁰ ( x ; y) : l'épaisseur d'un é c o u l e m e n t n o n per- turbé au p o i n t x ; y (fig. 4) ;

h(x;y;t): la différence e n t r e l'épaisseur d'un é c o u l e m e n t p e r t u r b é et H⁰( x ; j / ) ; U0; V „ : vitesse de l ' é c o u l e m e n t n o n p e r t u r b é ; u ; v : (idem ~ h) ;

j , ; i^v : pente des coupes de l'assise i m p e r - m é a b l e par des plans parallèles aux plans de c o o r d o n n é e s .

L ' é q u a t i o n de c o n t i n u i t é est alors :

9 [ ( H0 + / i ) ( U „ + a)1 , 9 [ ( H0 + ft) ( V „ + o ) ] 3x ^ dy

m dh dt

L a l o i de D A R C Y d o n n e :

U⁰ + n = — K 9 ( H⁰ + / i ) , •

_ — _ F~ i^x

dx

v , + „ _ _ k [ » & ± » + , ,

i assise imperméable Fto. 37

en t e n a n t c o m p t e des é q u a t i o n s analogues p o u r l ' é c o u l e m e n t n o n p e r t u r b é et en l i n é a r i s a n t o n o b t i e n t (si K est c o n s t a n t ) :

H⁰ K A² h — ( U⁰ — K

dx "*

9 H^{f t}\ dh dx J dx

9 V0

dy — m V⁰-

dh dt

K 9 H⁰\ 3/

dx J dy

( 3 ; 1 1 )

Si H⁰ == C^ste, d o n c U⁰ — V „ = 0, o n r e t o m b e p o u r les r é g i m e s s i n u s o ï d a u x sur l ' é q u a t i o n

( 3 ;

10).

3 - 4 . — A p p r o x i m a t i o n d e D u p u i t e n g é n é r a l . J u s q u ' i c i nous avons supposé que le r é g i m e de la n a p p e v a r i a i t s i n u s o ï d a l e m e n t dans le t e m p s . E t u d i o n s m a i n t e n a n t des r é g i m e s p l u s c o m p l e x e s . Si on s o u m e t u n e nappe à des e x c i t a t i o n s n o n sinusoïdales, on p e u t c a l c u l e r l ' é c o u l e m e n t en d é c o m p o s a n t l ' e x c i t a t i o n en série ou en i n t é - grale de F O U R I E R . P a r t r a n s f o r m a t i o n de F o u - RIER i n v e r s e , l ' é q u a t i o n ( 3 ; 1 0 ) d e v i e n t :

9-h _j_ d-h m

dx2

%

²

9/i K Hf l dt

= 0

q u i a été étudiée très en détail par divers au- t e u r s ( é q u a t i o n dite « de la c h a l e u r » ) . L ' é q u a - t i o n ( 3 ; 11) est d'un type u n p e u p l u s c o m p l i q u é .

C'est c e t t e é q u a t i o n q u e n o u s allons é t u d i e r dans le cas H „ = C^{s t c}; U⁰ = C^{B t e}; V „ = 0.

E l l e d e v i e n t alors :

H⁰ K A² h — U⁰ - g - =^m^{^{3 ;} 1²) E l l e d o n n e l ' é c o u l e m e n t d'une n a p p e c o u l a n t

(9)

752 — — • • • — L A H O U I L L E B L A N C H E N* 5 - O c r . - N o v . 1955

u n i f o r m é m e n t sur une assise i m p e r m é a b l e de p e n t e c o n s t a n t e et p e r t u r b é e par une cause q u e l - c o n q u e (fig. 38). L ' a x e O x est suivant les lignes de p l u s grande p e n t e ; on a é v i d e m m e n t :

U⁰ - Kf

-assise imperméable F I G . 38

P r a t i q u e m e n t , les p e r t u r b a t i o n s les p l u s i n t é - ressantes sont : les p o m p a g e s et les i n j e c t i o n s . N o u s allons étudier une i n j e c t i o n p o n c t u e l l e .

L ' é q u a t i o n ( 3 ; 12) est une é q u a t i o n de la chaleur avec source m o b i l e . O n en c o n n a î t une solu- t i o n f o n d a m e n t a l e .

A_

hi (x; y; t) t

Cette s o l u t i o n satisfait à

lm— (rjd/BtXp-f-yg

h — 0 p o u r x et y ~ » oo, q u e l q u e soit t, h~Q p o u r t = 0, sauf en .r --~ y 0.

Si o n calcule le v o l u m e d'eau i n j e c t é V en f o n c - t i o n du t e m p s :

V ( f ) — A m on t r o u v e :

lh (x; y; t) dx dy

4 r. A K H„

Ce v o l u m e est c o n s t a n t . L a s o l u t i o n :

4 % K-H„ t ,e

r e p r é s e n t e d o n c l ' é c o u l e m e n t o b t e n u par une i n - j e c t i o n p o n c t u e l l e et i n s t a n t a n é e d'un v o l u m e d'eau V⁰ au temps t = 0 et au p o i n t x — y — 0.

Si on i n j e c t e u n débit Q⁰ c o n t i n u et constant à p a r t i r de l'instant t = 0, o n o b t i e n t :

n = f* Qoàdh, (t- Jo

•6)

P o s o n s t -— ? = u, d'où ; h— f Q⁰ h^x (u) du

Jo.

I n t r o d u i s o n s des variables sans d i m e n s i o n s

H⁰ K U0 2*

% 2 H„ K^{; n}

V . • 02 _ ?2 _!_ Tl2 2 H0 K ' • K + !

• ,, uo2» • r f e 4 s K H0 . 2 H⁰ K m ' 2 H⁰ K m 'd C Q⁰ - O n en- d é d u i t :

du _ £ ± j f / dp _ILR£>±HE . n di

Jo O Jo V

O n pose (v- + p²) / 2 v p = a, la r e l a t i o n e n t r e œ et P est alors schématisée par la c o u r b e de la figure 39.

F I G . 39

+ ( / Y C 2e

p V a2 — 1 » : si i> < s O n a d o n c

<^P ; 9t = «* / c? a

,E- A P '

? : 3C = ei

Jl/Z(p/r+T/p) V * " — t

T =^P : SC = ei K⁰ ( p )

Ku (?) + / — - — — e -gp

x ; ne 2 K^{f l} (p) D ' u n e f a ç o n générale, n o u s é c r i r o n s :

Si on fait l ' a p p r o x i m a t i o n c o n s i s t a n t à a d m e t - t r e U⁰ n é g l i g e a b l e ( d o n c aussi 0 » on o b t i e n t :

(10)

OCT.-NOV. 1955 - N " 5 L A H O U I L L E B L A N C H E 753

Cette a p p r o x i m a t i o n est b o n n e dans le cas où T est p e t i t .

O n p e u t f a c i l e m e n t évaluer l ' o r d r e de gran- deur de l ' e r r e u r c o m m i s e . E n effet, p o u r ( T / O ) = 6

petit, on p e u t é c r i r e : / ( p ; T )

C- ( P V 2 T ) «

I+e2 V I — ( 4 e2/ u2) du

E n p o s a n t ( P²/ 2 T) == y et en d é v e l o p p a n t par r a p p o r t à e2, on t r o u v e :

/ ( p ; = — Ë i (— Y) — «2 Y [e-y + y E i (— v ) 1 L ' e r r e u r r e l a t i v e est donc de l ' o r d r e :

•0 # e2 T

-Ei ( — y ) + T

L ' a p p r o x i m a t i o n est donc b o n n e si P est grand devant T et si l est p e t i t devant 1. L e r é g i m e p e r m a n e n t f o u r n i par T —> °o n'est a b s o l u m e n t pas c o m p a r a b l e , q u e l q u e p e t i t soit z. A p a r t i r de SC = et f ( P ; T ) , on p e u t t r a c e r les lignes de c o u r a n t de l ' é c o u l e m e n t . 3t est une h a u t e u r ré- duite m e s u r é e à p a r t i r du plan h = ix. Les v i - tesses étant f o u r n i e s par les h a u t e u r s mesurées à p a r t i r d'un plan h o r i z o n t a l , nous i n t r o d u i r o n s la h a u t e u r 7^ = h-— ix (le sens des axes est

F I G . 40

défini par la figure 40; sur cette figure, z est p o s i t i f ) .

Qo

4 K K H, •eif (P; T ) — 2 H0Ç P o s o n s

# e3 = /z, d'oïi :

9Ci =ei.f ( O ; T ) 4 r, K J 1 „

8 « K H0 2

Qo

Les lignes % = C^{s t e} sont o r t h o g o n a l e s aux

lignes de c o u r a n t . L a f o r m e du réseau des lignes de c o u r a n t dépend d o n c de deux p a r a m è t r e s : T et p = (.8 % K H0/ Qo) . E n r é g i m e p e r m a n e n t , P seul i n t e r v i e n t .

E n p r a t i q u e , p est t o u j o u r s très grand (au m o i n s de l ' o r d r e de 100). Les f o r m e s du réseau d ' é c o u l e m e n t sont alors d é t e r m i n é e s par des va- leurs l et 7) très faibles en général. C o n s i d é r o n s par e x e m p l e l ' é c o u l e m e n t figure 41 r e p r é s e n t a n t

F I G . 41

une i n j e c t i o n au p o i n t O dans une n a p p e en é c o u - l e m e n t parallèle. L a f o r m e de l ' e n s e m b l e de l ' é c o u l e m e n t est d é t e r m i n é e par ce q u i se passe au v o i s i n a g e de O. L a distance O P d o n n e une m e s u r e de ce « v o i s i n a g e » . E n P, la vitesse sui- v a n t O % est n u l l e et P = O n en d é d u i t :

3t^x = ei K0 (S) — PÊ

( 3# e, / 3 Ç ) = 0 d o n n e e« [ K „ (?) — K, « ) ] P Or, si p est grand, la s o l u t i o n \ de cette der- nière é q u a t i o n est f o r c é m e n t p e t i t e , d o n c : e « # l ; Ko ( \ ) négligeable devant K,, (Ç) et : K i (S) #

On en déduit : O P # l / p .

P a r ailleurs, t a n t que l et P sont de l ' o r d r e de q u e l q u e s 1/p s e u l e m e n t , on a :

K0( e ) # — l o g e et e « # l

Les f o r m e s des lignes de c o u r a n t sont d o n c les m ê m e s q u e celles du réseau dt = — log P — p i . Ce réseau est i s o t h e r m e et d é r i v e du c h a m p à p o t e n t i e l : Z = p z - F log z (z — l + ; T,). O n se rend a i s é m e n t c o m p t e q u e si le réseau des lignes de c o u r a n t est d é t e r m i n é p o u r les faibles v a l e u r s de ? et de S, il l'est é g a l e m e n t p o u r les grandes.

L e réseau entier de c o u r a n t a d o n c p r a t i q u e - m e n t la f o r m e d'un réseau i s o t h e r m e . Il n'en est pas du t o u t de m ê m e p o u r la g r a d u a t i o n des lignes d'égale h a u t e u r 3t. Sur l'axe Or, par e x e m - ple, 3t c r o î t dans un cas c o m m e — l o g -o, dans

(11)

754

LA HOUILLE BLANCHE

N " 5 - OCT.-NOV. 1955

l'autre c o m m e K⁰ (-n). Or, si T, - » » : log t\ -> — « et K⁰ 0|) - * 0 (fig. 4 2 ) .

P o u r les grandes valeurs de r„ l'erreur devient de plus en plus grande et tend vers l'infini.

F i n a l e m e n t , i l semble donc b i e n que les ré- seaux i s o t h e r m e s d o n n e n t dans tous les cas une image très b o n n e des lignes de c o u r a n t en régime permanent. Par c o n t r e , la c o t a t i o n des lignes Se = C^{s t p} donnée par ces réseaux est en général fausse. E n plus, cette s c h é m a t i s a t i o n n'a pas de sens en r é g i m e t r a n s i t o i r e .

J u s q u ' à présent nous avons admis la nappe i l l i m i t é e de tous les côtés. P r a t i q u e m e n t elle est t o u j o u r s l i m i t é e . N o u s allons étudier q u e l q u e s cas de nappes l i m i t é e s .

Si la nappe est l i m i t é e par une p a r o i v e r t i c a l e ( o u s i m p l e m e n t d o n t la pente est b e a u c o u p plus grande que f ) , le flux d'eau à t r a v e r s une telle p a r o i est n u l l e . P o u r faire a p p a r a î t r e les flux, on peut é c r i r e l ' é q u a t i o n ( 3 ; 12) sous la f o r m e :

9 f H W ³^/¹

3 x \ ° 9Ï* 3 ? A 3?/ dt

O n peut é g a l e m e n t c o m p a r e r l ' é c o u l e m e n t que nous venons d'étudier à l ' é c o u l e m e n t sur une assise i m p e r m é a b l e h o r i z o n t a l e (fig. 43).

*, il < r s i Kl v r'K \ '- terrain imperméable

F I G . 43

Dans ce cas o n a (sans l i n é a r i s a t i o n ) : 3 l . H U ) , 3 ( H V )ⁿ , . . . .

-J — — = 0 : c o n t i n u i t é .

dx 3?/

U = — K 3H 3x l

f l n i loi de DARCY V = — K - ^ - \ 3H

D o n c :

A ( H²) = 0

Les é c o u l e m e n t s de ce type sont donnés par des réseaux i s o t h e r m e s gradués en H². Les lignes de c o u r a n t sont celles du réseau i s o t h e r m e ; par c o n t r e , les valeurs absolues des vitesses ne sont pas données par la g r a d u a t i o n des é q u i p o t e n t i e l - les, mais sont en plus f o n c t i o n de la hauteur locale de H.

3

dl

1 dSl \

T " 3 T ~ ^ J⁺

1

dst\

2 3*1

)

dSC

L e s expressions entre parenthèses sont m a n i - festement les flux s u p p l é m e n t a i r e s dus à la per- t u r b a t i o n de l ' é c o u l e m e n t . Soit u n é c o u l e m e n t avec u n puits à l ' o r i g i n e de c o o r d o n n é e s et une p a r o i r e c t i l i g n e d o n t l ' é q u a t i o n est :

l

cos a + t\ sin a = d (fig. 4 4 ) .

Fin. 44

L e flux p e r p e n d i c u l a i r e m e n t à cette p a r o i est :

•9e ) cos a + -¹- ^ p - sua * f

i dse

\ 2 Z\ "~ ) ' 2 3-n L e p r o b l è m e est d o n c le suivant :

O n c h e r c h e une f o n c t i o n St satisfaisant à ;

A

²

se dse dse

3; dx

dans un d e m i - p l a n et à la c o n d i t i o n :

dse dsf

- 5 = - cos a -f sin a = 2 St cos a ai 3r)

sur la d r o i t e D : ; cos a -f- t i sin tt = d

(12)

OCT.-NOV. 1955 - N ° 5 L A H O U I L L E B L A N C H E ?55

l i m i t a n t ce d e m i - p l a n , et q u i en plus se c o m - p o r t e à l ' o r i g i n e c o m m e le p u i t s étudié précé- d e m m e n t , c'est-à-dire c o m m e :

8t = etf{$\x)

P o u r r é s o u d r e ce p r o b l è m e , nous i n t r o d u i r o n s deux n o u v e a u x systèmes d'axes, c o m m e le m o n - tre la figure 45.

et % à :

pu/fs—¹

F I G . 45

D ' o ù la c o n d i t i o n ( 3 # £ / 3 v ) — 2&Z cos a = 0 sur la d r o i t e D : v = 0.

P o s o n s :

3# e

2 m COS A

# satisfait alors à l ' é q u a t i o n 3<I> 3 #

dl dt '

à la c o n d i t i o n f» = 0 sur v = 0 et, au p o i n t -ri = 5 = 0 ( p u i t s ) , à :

* = *

^{1 = =}

[ _ A - _ 2 c o s

*\e*.f (g; * ) ] L a s o l u t i o n de ce p r o b l è m e est donc la s o m m e de et de son i m a g e par r a p p o r t à D . Cette image est v i s i b l e m e n t :

*2 = — 1 + 2 cos a ) [ * & . / ( e x ; T ) ] L a s o l u t i o n en 9t du p r o b l è m e est d o n n é e par :

3v 2 36 COS a = # ! + *2

O n p e u t d é c o m p o s e r 3t et é c r i r e :

où 5 € I satisfait à :

-2ére

¹

cos* = *

^l

3v 2 3€² cos a = $o O n a é v i d e m m e n t :

5 €1 == e ê . / (?; T )

est d o n n é e par une é q u a t i o n différentielle linéaire. O n p e u t f a c i l e m e n t e x p l i c i t e r 9€2 sous f o r m e d'une i n t é g r a l e p o r t a n t sur e k . f (o, ; - r ) .

pbrp,

7/

FIG. 46

•V,.

paroi

/ - ,

/ /

FIG, 47

(13)

756 L A H O U I L L E B L A N C H E N ° 5 - O C T . - N O V . 1955

P o u r abréger les é c r i t u r e s , n o u s é t u d i e r o n s par E n i n t é g r a n t par partie, on o b t i e n t : la suite le cas a = 0. D a n s ce cas on a :

^p--2%

= - ( ~ - + 2 ) [e**-t.f(^9l;x]

— ....^c^d-i / (^F^L;^T) + / '^A( P I ; T )

9i ..

L a m é t b o d e classique de r é s o l u t i o n d o n n e : -Sv > ( p²; ^ ) + f , ²( p ²^ ) ^ avec :

?22>= = ^ + (!)_ 2 d )2

C o m m e :

ifC'j ~> 0 si l — » =c-, on a : C — ce

O n peut é c r i r e cette d e r n i è r e i n t é g r a l e : p e-i» ev if (^{p a ;} 4- f „ (^{P 2}; t ) ] }• dy

J —os

Si T est p e t i t devant p, le d e u x i è m e t e r m e est n é g l i g e a b l e . O n t r o u v e alors :

Dans le cas a ^ O , ce d e u x i è m e t e r m e est en-

^y c o r e p l u s n é g l i g e a b l e ; p o u r a. = (rc/2) il est abso- l u m e n t nul,

#e2 = — . / (Pl; t )

r e p r é s e n t e l ' i m a g e au sens h a b i t u e l de : 3Cx^ei.f (P I; T )

R é s u m o n s le c a l c u l q u e n o u s v e n o n s d'ex- poser :

L a présence d'une p a r o i i m p o s a i t à 3t une

FIG. 48 a

FIG. 48 c _FIG. 48 d

Fœ. 48 b

(14)

OCT.-NOV. 1955 - N° 5 L A H O U I L L E B L A N C H E 757

c o n d i t i o n du type m i x t e ; p o u r r é s o u d r e le p r o - b l è m e il a suffi de c h a n g e r de f o n c t i o n p o u r se r a m e n e r à une c o n d i t i o n * = 0 sur la p a r o i . O n t r o u v e q u e la s o l u t i o n en 3C c o n t i e n t une i m a g e

« u n peu d é f o r m é e » du p u i t s par r a p p o r t à la p a r o i . L a m é t h o d e e m p l o y é e i c i est générale ainsi q u e le r é s u l t a t t r o u v é .

Les p r o b l è m e s de p a r o i i n t r o d u i s e n t d o n c des images, c'est-à-dire des c o m b i n a i s o n s de singula- rités. D ' u n e façon p l u s générale, on p e u t étudier d'autres c o m b i n a i s o n s de s i n g u l a r i t é s .

A i n s i l ' é c o u l e m e n t d'une s o u r c e dans une bande (fig. 46) s'obtient en c o n s i d é r a n t une infi- n i t é de s i n g u l a r i t é s situées sur une d r o i t e per- p e n d i c u l a i r e aux bords de la bande. D e m ê m e on peut o b t e n i r des é c o u l e m e n t s a u t o u r d'obstacles ( e x e m p l e fig. 4 7 ) . O n p e u t aussi étudier des doublets constitués de p l u s i e u r s sources et p u i t s i n f i n i m e n t voisins. A i n s i :

lit — C •= l K j ( p ) — M

est un é c o u l e m e n t p e r m a n e n t de ce genre. O n se r e n d c o m p t e de la m u l t i p l i c i t é des cas de figures en ne d i s c u t a n t q u e le cas de deux sources s i m - ples (fig. 4 8 ) .

D ' u n e façon générale, les r e m a r q u e s faites au sujet de la s c h é m a t i s a t i o n des é c o u l e m e n t s per- m a n e n t s par des réseaux d ' i s o t h e r m e s r e s t e n t p r a t i q u e m e n t valables dans tous ces cas.

3-5. — Discussion p h y s i q u e d e s h y p o t h è s e s et résultats d u p a r a g r a p h e 34.

A u p a r a g r a p h e 34, n o u s n ' a v o n s pas a p p r o - f o n d i les discussions soulevées par l ' a p p r o x i m a - t i o n de D U P U I T , et ceci p o u r alléger le texte q u i c o n t i e n t de n o m b r e u x calculs. N o u s allons m a i n - t e n a n t discuter les différents p o i n t s i m p o r t a n t s suivants :

cr) I n f l u e n c e de la c o u r b u r e de la surface l i b r e , obstacles et i r r é g u l a r i t é s locales de la n a p p e ;

b) C o n d i t i o n s aux l i m i t e s ; c) R é g i m e s n o n s i n u s o ï d a u x .

N o u s avons v u q u e la s o l u t i o n exacte d'un p r o - b l è m e d ' é c o u l e m e n t en m i l i e u p o r e u x était d o n - née par la r é s o l u t i o n d'un e n s e m b l e d ' é q u a t i o n s et de c o n d i t i o n s aux l i m i t e s très c o m p l i q u é à r é s o u d r e . Cette r é s o l u t i o n étant difficile, on p e u t penser e x p r i m e r la s o l u t i o n au m o y e n d'une sé- rie. M . F R I E D E R I C H S [ 6 ] a m o n t r é (à p r o p o s des é c o u l e m e n t s à surface l i b r e ) c o m m e n t on p o u -

vait f o r m e r une série en f o n c t i o n de la c o u r b u r e de la surface l i b r e . Sa m é t h o d e p e u t être adaptée à n o t r e cas. O n v o i t ( c o m m e dans le cas des é c o u - l e m e n t s à surface l i b r e ) q u e le p r e m i e r t e r m e du d é v e l o p p e m e n t est p r é c i s é m e n t la s o l u t i o n du p r o b l è m e posé en faisant l ' h y p o t h è s e de D U P U I T . Des c a l c u l s de ce genre o n t d ' a i l l e u r s été faits par p l u s i e u r s c h e r c h e u r s à la suite des t r a v a u x o r i g i n a u x de BOUSSINESQ [ 7 ] . L a d e u x i è m e a p p r o x i m a t i o n ( o u le d e u x i è m e t e r m e de la série) f o u r n i t l ' a p p r o x i m a t i o n dite des

« ondes c n o ï d a l e s » .

D a n s le cas des m i l i e u x p o r e u x , M . JAEGER [ 4 ] a t r o u v é une m é t h o d e très i n t é r e s s a n t e et très s i m p l e p o u r t r o u v e r la d e u x i è m e a p p r o x i m a - t i o n . S i g n a l o n s d'ailleurs q u e différentes m é t h o - des m è n e n t à des r é s u l t a t s u n p e u différents.

N o u s ne v o u l o n s pas e n t r e r i c i dans le détail de ces résultats très i n t é r e s s a n t s mais s e u l e m e n t r a p p e l e r q u e l ' a p p r o x i m a t i o n de D U P U I T n'est va-

lable q u e t a n t q u e la c o u r b u r e de la surface l i b r e reste faible, de m ê m e d'ailleurs q u e sa p e n t e (ce d e r n i e r p o i n t aussi à cause de la linéarisa- t i o n q u i a fait s u p p r i m e r un t e r m e en i²) .

Q u a n d on r é s o u d u n p r o b l è m e à l'aide de l'ap- p r o x i m a t i o n de D U P U I T , deux cas p e u v e n t se p r é s e n t e r :

1) L a s o l u t i o n t r o u v é e c o n t i e n t des p a r t i e s p o u r lesquelles la c o u r b u r e de la surface n'est pas n é g l i g e a b l e ;

2) L a c o u r b u r e de la surface l i b r e est p a r t o u t n é g l i g e a b l e .

Seuls les cas de la p r e m i è r e espèce p o s e n t un p r o b l è m e . I l est b o n de les c o n n a î t r e à p r i o r i . P o u r cela, il faut faire appel à l ' e n s e m b l e des

connaissances existantes. R a p p e l o n s q u e (.con- t r a i r e m e n t à ce q u i se passe p o u r les é c o u l e - m e n t s à l'air l i b r e ) , la surface l i b r e ne p e u t q u e s'abaisser le l o n g des filets fluides et par a i l l e u r s toutes les o n d u l a t i o n s o n t t e n d a n c e à disparaî- tre, le m i l i e u étant f o r t e m e n t f i l t r a n t . L e s f o r t e s c o u r b u r e s ne p e u v e n t d o n c a p p a r a î t r e q u ' a u v o i - sinage des l i m i t e s ou des v a r i a t i o n s r a p i d e s de l'assise i m p e r m é a b l e . O n p e u t é t u d i e r c e r t a i n s de ces cas, en p a r t i c u l i e r c e u x o ù l ' é c o u l e m e n t est p l a n (dans des sections v e r t i c a l e s ) . N o u s r e v i e n - drons sur ce sujet dans u n a u t r e a r t i c l e . L e s zones de v a r i a t i o n s rapides de l'assise i m p e r m é a - ble p e u v e n t être e x c l u e s du d o m a i n e des nappes par des f r o n t i è r e s (fig. 4 9 ) .

Ces zones d o i v e n t être étudiées à t r o i s d i m e n - sions.

S'il est l i c i t e de l i n é a r i s e r les é q u a t i o n s i n d é - finies, il est t o u t aussi l i c i t e d ' a p p l i q u e r des c o n - d i t i o n s aux l i m i t e s l i n é a i r e s p o u r p e u q u ' o n ad- m e t t e c o m m e l i m i t e une f r o n t i è r e fictive dis-

(15)

F I G . 49

tante de q u e l q u e s fois l'épaisseur de la nappe de la f r o n t i è r e réelle. L e s c o n d i t i o n s à la l i m i t e possèdent alors la f o r m e :

dn¹

A i n s i par e x e m p l e dans le cas de la r e n c o n t r e d'une nappe avec u n p l a n d'eau à l'air l i b r e p l u - sieurs cas p e u v e n t se p r é s e n t e r (fig. 5 0 ) .

Il est p h y s i q u e m e n t clair q u e le coefficient k dépend e s s e n t i e l l e m e n t de la d é n i v e l l a t i o n e n t r e la nappe au l o i n et le p l a n d'eau de la r i v i è r e , r a p p o r t é e à l'épaisseur de la nappe. P l u s cette d é n i v e l l a t i o n est grande en v a l e u r absolue, plus k est p e t i t .

Dans le cas C on a k = ce, c'est-à-dire la c o n - d i t i o n à la l i m i t e d e v i e n t :

H = 0

E n ce q u i c o n c e r n e les é c o u l e m e n t s n o n sinu- soïdaux, on p e u t les d é c o m p o s e r en série ou i n t é g r a l e de F O U R I E R . O n v o i t alors f a c i l e m e n t q u e les é c o u l e m e n t s sont bien représentés q u a n d

les v a r i a t i o n s sont lentes, ils sont par c o n t r e très m a l représentés q u a n d les v a r i a t i o n s sont r a p i - des. N é a n m o i n s , c o m m e le m i l i e u p o r e u x est

« filtrant » par r a p p o r t aux ondes sinusoïdales

F I G . 50

et q u ' i l arrête les ondes rapides, les e r r e u r s c o m - mises sont en général p e u i m p o r t a n t e s , sauf au v o i s i n a g e des l i m i t e s . N o u s v e r r o n s ce p o i n t plus en détail dans le p r o c h a i n p a r a g r a p h e .

(A suivre.)

BIBLIOGRAPHIE

[ 1 ] P O L U B A R I N O V A K O T C H I N A . — n o J i y ô a p i m O B a - KOMHIla-

TEOPHH JLBHJKEHHH rpyHTOBHX Bofl" Gostekhizdat, Moscou ( 1 9 5 2 ) .

[ 2 ] M U S K A T . — « The flow of homogeneous Fluids through porous média » . J. W. E D W A R D S Inc. Ann Arbor

Michigan ( 1 9 4 6 ) .

[ 3 ] T I S O N . — « Cours d'hydraulique » , 2" partie, Gand,

1950.

[ 4 ] JAUGER. — « Hydraulique technique » (traduction de Mme M. L A R O N D E ) . Dunod, 1 9 5 4 , Paris.

[ 5 ] JAHNKE-EMDE. — « Tables of Functions » . Dover Publications ( 1 9 4 5 ) , New-York.

[ 6 ] F R I E D R I C H S . —- Appendice intitulé « On the Dérivation of the Shallow Water Theory » à l'article : « The formation of Breakers and Bores » de Mr. J.

S T O K E R dans Communications on Applied Mathe- matics, vol. 1, n° 1, pp. 8 1 et suivantes.

[ 7 ] BOUSSINESQ. —• « Essai sur la théorie des eaux cou- rantes » dans les « Mémoires présentés à l'Aca- démie des Sciences » , Sciences mathématiques et physiques. Tome 23", pp. 252 et suivantes. Impri-

merie Nationale, Paris ( 1 8 7 7 ) .

[8J F R I T Z John. •— « Waves in the présence of an in- clined barrier » publié dans Communications on Applied Mathematics, vol. 1, n" 2. pp. 149 et sui- vantes.