Chap 2.3. Optimisation du transport de l’électricité
Activité 3 : Modélisation d’un réseau électrique par un graphe orienté pour minimiser les pertes par effet Joule
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Transporter et distribuer l’énergie électrique sur de longues distances engendre des pertes par effet Joule. Minimiser ces pertes est un enjeu majeur, tant économique qu’écologique.
On représente le réseau de transport grâce à des modèles mathématiques qui prennent en compte les contraintes physiques du système.
Document 1 Définition d’un graphe
Des problèmes classiques sont résolus avec les graphes : coloration (nombre minimal de couleurs différentes pour que les sommets reliés entre eux soient tous de couleurs di érentes , plus court chemin, recherche du chemin de plus faible poids dans un graphe pond ré, etc. our chacun de ces probl mes, il e iste un ou plusieurs algorithmes perme ant de les résoudre l’aide d’un ordinateur.
Un graphe est un modèle mathématique défini par :
❯ un ensemble S de sommets (que l’on appelle aussi nœuds ou points ;
❯ un ensemble V d’arcs (appelés aussi arêtes .
Chaque arc relie deu sommets éventuellement identiques. Un chemin est défini par la succession d’arcs consécutifs reliant deu sommets. On peut l’e primer comme la liste des sommets ou des arcs parcourus.
Document 2 Application des graphes au réseau électrique
Un réseau de transport électrique peut être modélisé par un graphe orienté.
Dans ce modèle :
- les arcs représentent les lignes électriques ;
- les sommets représentent soit les sources distributrices (centrales , soit les nœuds intermédiaires (postes de distribution) ou les cibles réceptrices (villes).
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Activité 3 : Modélisation d’un réseau électrique par un graphe orienté pour minimiser les pertes par effet Joule
Page 2 sur 3 Document 3 Modélisation d’un réseau électrique simple
Document 4 : Les 3 contraintes du réseau modélisé
Pour respecter la réalité physique du système, le graphe doit répondre à plusieurs contraintes 1. Contrainte sur les intensités sortant des sources
L’intensité totale sortant d’une source est limitée par la puissance ma imale distribuée au utilisateurs. (les pertes par effet Joule étant limitées à 6%)
2. Contrainte sur les intensités au nœud intermédiaire : loi des nœuds
L’intensité du courant se conserve : l’intensité totale entrant dans chaque nœud intermédiaire est égale l’intensité totale qui en sort.
3. Contrainte sur les intensités arrivant aux cibles
L’intensité totale arrivant chaque cible est imposée par la puissance qui est u lisée.
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Activité 3 : Modélisation d’un réseau électrique par un graphe orienté pour minimiser les pertes par effet Joule
Page 3 sur 3 Questions :
1. Dans le document 3, identifier S1, S2, le nœud intermédiaire, C1 et C2. 2. Identifier les puissances imposées pour chaque cible destinatrice.
3. A l’aide des documents 3 et 4, établir la relation entre les intensités des courants entrant dans le nœud intermédiaire et celle des courants sortant.
4. Identifier les puissances maximales Pmax délivrée par chaque source distributrice.
5. Exprimer les pertes totales par effet Joule Pj totale sur le réseau du document 3.
6. En déduire que Pj totale = 14 I12
+ 5(174 – I1)² + 2525,4
7. Expliquer pourquoi seules les pertes des lignes sortant des sources distributrices peuvent être minimisées.
8. Calculer la tension d’alimentation de la maison. (U= /I=222 V)
9. Pour minimiser les pertes par effet Joule, on cherche la valeur de I1 pour laquelle Pj totale est minimale. Pour cela on représente PJtotale en fonction de I1.
Par lecture graphique, déterminer la valeur minimale de Pjtotale ainsi que la valeur de I1.
10. En déduire la valeur de I2 correspondante.
11. Vérifier que les 3 contraintes sont bien respectées.
