Feuille d'exercices 5. Systèmes linéaires
Exercice I.
Résoudre les systèmes homogènes suivants :
(A)
x−4y+ 3z= 0 2x+y−z= 0
x−y+z= 0
(B)
−3x+y+z+t= 0 x−3y+z+t= 0 x+y−3z+t= 0 x+y+z−3t= 0
(C)
−x+ 3y−t= 0 2x−y+ 2z+ 2t= 0
5y+ 2z= 0 x+ 2y+ 2z+t= 0 Exercice II.
Résoudre les systèmes suivants :
(A)
2x+y= 2 x+ 2y= 1 x+y= 1
(B)
2x+y+z=−5 2x+ 9y−7z=−1
x−y+z= 1
(C)
3x−2y+ 2z= 1 4x−y+ 3z=−1
2x+ 5y+z= 1
(D)
u+w= 1 v+w= 0 u+v= 12 u+ 3v= 0
(E)
y+z+t=−1 x+z+t= 0 x−y+t= 4
(F)
2x+ 5y−7z−3t= 2 x+ 3y−z+t= 3
x−y+z+t= 1 x−7y+ 4z+t=−2
(G)
5x−y+ 2z−t= 1 2x+y+z+ 4t=−5 2x+ 3y−3z+t=−1
(H)
−x+y+z= 0 x+y−t= 1
−y+z+t= 0 x−z+t= 1
(I)
x+y+z−3t= 1
−3x+y+z+t=−1 x−3y+z+t=−1
x+y−3z+t= 1 Exercice III.
Résoudre de tête les systèmes suivants : (A)
x−y= 4
x+y=−2 (B)
x+y+z= 3 x−y+z=−1
x+y−z= 4
(C)
3x+y+ 2z+t= 3 3x−2y+ 2z= 1
3x+y+ 2z= 2 3x+ 2z= 4 Exercice IV.
Résoudre les systèmes linéaires suivants en fonction des réels a,b etc:
(A)
5x−6y=a
7x+ 11y=b (B)
x−4y+ 3z=a 2x+y−z=b
x−y+z=c
(C)
2x−3y+ 4z=a
−3x+ 4y+ 2z=b
−4x−2y+ 3z=c Exercice V.
Résoudre les systèmes (non linéaires !) suivants :
(A)
x2− 2
y+ 1=−1 3x2+ 1
y+ 1 = 2
(B)
2×2x−y=−4
−5×2x+y= 2 (C)
3ex−2 y = 1
−5ex+4 y =−3 1
Exercice VI.
1. Pour quelle valeur de λles systèmes suivants sont-ils de Cramer ?
(A)
λx+y= 2
x+λy= 2 (B)
(2−λ)x+ 3y= 5
3x+ (2−λ)y= 4 (C)
−λx+ 2y−z= 0 x−λy+z= 0 2x−3y+ (3−λ)z= 0 2. Résoudre ces systèmes.
Exercice VII.
Discuter l'existence et le nombre de solutions du système suivant, selon les valeurs prises par le paramètre λ, et les déterminer.
(S)
(3−λ)x−2y= 2 2x−λy−4z= 3 y−(3 +λ)z= 1 Exercice VIII.
1. On considère la somme Sn= X
0≤k≤n
k.
On admet que cette somme s'exprime sous la forme d'un polynôme de degré 2 en n, ie :
∃(a, b, c)∈R3/Sn=an2+bn+c.
L'objectif de l'exercice est de retrouver ces trois réels.
a. Calculer S0,S1 etS2.
b. En déduire quea,b etc sont solutions d'un système linéaire carré d'ordre 3, et le résoudre.
c. Retrouver le résultat usuel, à savoir Sn= n(n+ 1) 2 . 2. Retrouver de façon analogue la somme Sn= X
0≤k≤n
k2. 3. Question analogue pour Sn= X
0≤k≤n
k3, pour Sn= X
0≤k≤n
k4.
Exercice IX.
1. Déterminer les polynômes P de degré 3 tels que P(1) =P(−1) = 1etP0(1) = 0. 2. Déterminer les polynômes P de degré 2 tels que P(1) = 3etP(2) =−2.
3. Existe-t-il un polynômeP de degré 2 tel queP(0) = 1,P(−1) = 2etP(3) = 0?
4. Existe-t-il un polynômeP de degré 2 tel queP(0) = 2,P(1) = 0,P(2) = 2etP(3) =−1? 5. Existe-t-il un polynômeP de degré 2 tel que :
P(0) =−1,P(1) =−2,P(2) =−1,P(3) = 2,P(−1) = 2,P(0.5) =−1.75?
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