La méthode des arbres
Cours d’introduction à la logique au semestre d’automne 2007
Feuille d’accompagnement pour le cours du 31 octobre 2007
Philipp Keller
Points à retenir du dernier cours
1. Mis à part la méthode sémantique des tables de vérité, il existe une méthode syntaxique, qui ne fait pas seulement abstraction des significations des phrases, mais aussi de leurs valeurs de vérité.
2. Il est possible de définir la syntaxe de la langue
de la logique propositionnelle de manière rigoureuse.
3. Tous les connecteurs de la logique propositionnelle sont définissables par un seul, la barre de Sheffer.
4. La logique moderne pris sa source dans les travaux de Frege (Idéographie, 1879) et les travaux de Russell et Whitehead (Principia Mathematica, 1910).
5. La révolution en logique a rendu possible d’importants progrès en mathématiques (axiomatisa- tion de l’arithmétique et de la géométrie) et leur a ajouté deux nouvelles branches, les métama- thématiques (étude des calculs formels, Hilbert) et la théorie des ensembles (Cantor, Zermelo).
6. Dans la première moitié du 20ème siècle, les trois grands courants en philosophie des mathé- matiques étaient le logicisme de Frege (les mathématiques comme partie de la logique), le for- malisme de Hilbert (les mathématiques comme manipulation des symboles) et l’intuitionnisme de Brouwer et Heyting (constructivisme, rejet du tiers exclu).
7. Un calcul consiste en des axiomes et des règles d’inférences qui permettent de déduire des théorèmes à partir des axiomes.
8. Il est possible de définir de manière purement syntaxique ce qu’est une preuve (dans un certain calcul).
9. La logique propositionnelle peut être axiomatisée de différentes manières.
10. Il faut distinguer les preuves dans le calcul (qui se font par les règles d’inférences et des substi- tutions dans des axiomes) et les preuves sur le calcul (qui parlent, par exemple, en général de l’existence de certaines preuves) qui se font par les méthodes mathématiques ‘ordinaires’.
La sémantique de la logique propositionnelle
Définition 1. Une interprétation propositionne#e atomique L
I est une fonction qui assigne à toute proposition atomique “
∗
pi”,i∈N, l’une des valeurs de véritévouf:I∗:{“pi”|i∈N} → {v,f . Étant donné une interprétation propositionnelle atomique
}
I , nous définissons une interprétation propositionne#e
∗
(qui est une fonction associant à toute formule propositionnelle une et une seule valeur de vérité, formellement :
I
I:Fml(L)→ {v,f ) par les clauses récursives suivantes :
Définition 2(Interprétation propositionnelle). Étant donné une interprétation propositionne#e ato- mique
}
I∗, nous définissons une interprétation propositionne#e (qui est une fonction associant à toute formule propositionne#e une et une seule valeur de vérité; en symboles :
I
I :Fml(L) → {v,f ) par des clauses récursives :
I1 Si
} est une phrase atomique “ ”,
φ p I(φ) :=I∗(“p” I2
) I(¬φ) :=Ω v siI(φ f
f si ) = I(φ v
1 ) =
I3 I(φ∧√) :=Ω v siI(φ) =v etI(√ v f si
) = I(φ) =f ou I(√ f I4
) = I(φ∨√) :=Ω v siI(φ) =v ouI(√ v
f si
) = I(φ) =f et I(√ f I5
) = I(φ→√) :=Ω v siI(φ) =f ou I(√ v
f si
) = I(φ) =v et I(√ f I6
) = I(φ↔√) :=Ω v siI(φ) =I(√
f si
) I(φ)6=I(√
Définition 3. Une formule propositionne#e )
est satisfaisable si et seulement si e#e est vraie sous au moins une interprétation de ses constituants simples.
Définition 4. Une formule propositionne#e est une conséquence sémantique d’une formule propo- sitionne#e (“
φ
√
φ φ|= ”) si et seulement si toute interprétation qui satisfait satisfait également .
Définition 5. Une formule propositionne#e est une tautologie si et seulement si e#e est vraie sous toutes les interprétations.
Définition 6. Une formule propositionne#e est une contradiction si et seulement si e#e n’est vraie sous aucune interprétation (e#e est donc fausse sous toutes les interprétations).
est satisfaisable
√ φ √
φ φ
φ :⇐⇒ ∃I(I(φ) = )v
est une tautologie
φ :⇐⇒ ∀I(I(φ) = )v
est une contradiction
φ :⇐⇒ ∀I(I(φ) = )f
est une conséquence sémantique de
φ √ :⇐⇒ ∀I(I(φ) =v⇒I(√) = )v
est une conséquence sémantique de
φ Thsi et seulement siTh∪ {¬φ est insatisfaisable (s’il n’y a pas d’interprétation qui ne rende vraies toutes les formules dans
} et rende faux
Th ).
Les relations entre conséquence sémantique
φ
= et déductibilité
correction :
| `
est correct : tout théorème est une tautologie.
complétude : est complet : toute tautologie est un théorème.
Théorème 7(Adéquation). Soit une théorie et HC
HC
Th φune formule propositionne#e:
HC∪Th ` φ ⇐⇒ HC∪Th|=
‘
φ
= ⇒
’ (correction): ne prouve pas trop, ne prouve pas plus que les vérités logiques‘
HC
⇐ =
’ (complétude): prouve assez, il n’y a pas de vérités logiques qui ne sont pas prouvable dans Définition 8. Une phraseHC HC
est consistante si et seulement si la clôture déductive ne contient pas une phrase et sa négation
φ φ
√ p¬√q.
est une conséquence syntaxique de
φ Th =⇒ φest une conséquence sémantique deTh
est satisfaisable =
φ ⇒ est consistant
est une contradiction = φ
φ ⇒ est inconsistant
est une tautologie = φ
φ ⇒ p¬φqest inconsistant
pφdonc√qest un argument valide =⇒ pφ∧ ¬√ est inconsistant
La nature de la logique
La logique peut être considérée comme
– l’étude des vérités logiques (des théorèmes et des tautologies) – l’étude des inférences logiques
Méthodes syntaxiques issus du deuxième paradigme : – la méthode des arbres (des ‘tableaux analytiques’) – la méthode de la déduction naturelle
Leur avantage : il ne faut plus chercher de substitutions dans les axiomes.
2
q
La méthode des arbres
F1 Si une négationp¬φqest fausse, alors est vrai.
F2 Si une conjonction
φ
pφ∧√qest vraie, alors et sont vrais.
F3 Si une conjonction
φ √
pφ∧√qest fausse, alors soit soit est faux.
F4 Si une disjonction
φ √
pφ∨√qest vraie, alors soit , soit est vrai.
F5 Si une disjonction
φ √
pφ∨√qest fausse, alors et sont faux.
F6 Si une implication
φ √
pφ→√qest vraie, alors soit est faux soit est vrai.
F7 Si une implication
φ √
pφ→√qest fausse, alors est vrai et est faux.
F8 Si une équivalence
φ √
pφ↔√qest vraie, alors soit et sont vrais, soit et sont faux.
F9 Si une équivalence
φ √ φ √
pφ↔√qest fausse, alors soit est vrai et faux, soit est faux et vrai.
Les règles de construction d’arbres :
φ √ φ √
p¬¬φq
φ pφ∧√q
φ
√
p¬(φ∧√)q
p¬φq p¬√q
❆❆
❆❆
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pφ∨√q
φ √
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❆❆
✁✁
✁✁
p¬(φ∨√)q
p¬φq p¬√q pφ→√q
p¬φq √
❆❆
❆❆
✁✁
✁✁
p¬(φ→√)q
p¬φ√q
pφ↔√q
φ√ p¬φq p¬√q
❆❆
❆❆
✁✁
✁✁
p¬(φ↔√)q
p¬φ√q p¬φq
√
Une branche se ferme si et seulement si le ‘chemin de vérité’ correspondant contient une proposition simple et sa négation. Après avoir appliqué une règle à une formule dans une branche, nous la mar- quons par le signe “
❆❆
❆❆
✁✁
✁✁
”. Après chaque application d’une règle, nous déterminons si nous pouvons déjà fermer une branche. Il est avantageux de toujours traiter d’abord les propositions qui n’ouvrent pas d’embranchements.
3 X
Quelques exemples
(p→q)∧(p∨r)∧(s∧ ¬q)
X p→q X p∨r X s∧ ¬q
p
¬sq
r
¬sq
❆❆
❆❆
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✂✂
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¬p q
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¬p q
` ` `
X ¬(p∨(q∧ ¬r))
¬p X ¬(q∧ ¬r)
❆❆
❆❆
✁✁
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¬q X¬¬r r
X ¬(¬(p∧q)∨(p∧q)) X ¬¬(p∧q) X ¬(p∧q)
X p∧q p q
❆❆
❆❆
✁✁
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¬p ¬q
` `
X p→q X q→p X ¬(p→r)
p
¬r
❆❆
❆❆
✁✁
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¬q r
❇ `
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¬p q
4
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