Extrêmes multifractals, incertitudes et estimation des quantiles hydrologiques, enjeux pour la région parisienne

Extrêmes multifractals, incertitudes et estimation des quantiles hydrologiques, enjeux pour la région parisienne

CNFSH ’09 I. Tchiguirinskaia (1,2), P. Arnaud (2), D. Schertzer (1,3), J. Lavabre (2)

(1) Univ. Paris-Est, Cereve ENPC-UPVM-ENGREF, France (2) Cemagref, Aix-en-Provence, France

(3) Meteo-France, Paris, France

- Hydrology - Ecology

- Socio-economy

0 10 20 30

01.08.95 01.10.95 01.12.95 31.01.96 01.04.96 01.06.96

Niederschlag [mm/h]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

01.08.1995 01.10.1995 01.12.1995 31.01.1996 01.04.1996 01.06.1996 01.08.1996

Abfluss [m_/s]

gemessener Abfluss simulierter Abfluss

Precip. [mm/h]discharge [mm/h] obse

rved simu lated

– mais surtout complexes:

• fortement nonlinéaires --> comportements non triviaux,

• variabilité sur de grandes gammes d’échelles spatio-temporelles

• --> intermittences:

Basins naturels et anthropisés

– non seulement compliqués:

• Grand nombre de composantes, disciplines diverses, degrés de conceptualisation divers…

• flux (quantité et qualité) pluviaux essentiellement sur quelques événements par an !

• statistiques fortement non- gaussiennes,

• persistance: corrélations à longue portée

Le cœur du problème reste méthodologique

Estimation du nombre de logements exposés au risque d’inondation

(en milliers)

R. NUSSBAUM, 2006

Incertitudes sur l’évolution des

extrêmes

hydrologiques…

Estimation du pluie annuelle

Loi de Montana

) ,

, _T ( , ) ^b ( ^{d T}

d a d T d

I = !

) , (

, _T ( , ) 1 ^{b d T}

d a d T d

h = " ^!

Intensité moyenne de l’averse de durée d et de période de retour T :

Hauteur cumulée :

Cumuls maximaux de pluies

A. Muller, 2005

A. Muller, 2005

Utilisation des informations locales:

•Travail important de validation

•Caractérisation des événements

•Période de retour (cadrage avec MF)

Les données pluviométriques sont l’entrée du système:

complexité du réseau (ex. Seine-Saint-Denis)

Descendre les échelles?

Alternative:

• étudier et prendre en compte l’évolution des flux à travers les échelles!

• Exemple: taux de précipitation pour le cycle de l’eau.

Consensus sur la nécessité (GIEC, GICC-2, etc. ) :

• en dessous du kilomètre pour modéliser les villes?

• en dessous du 5 min pour la gestion des réseaux urbains

mais un obstacle fondamental:

• relations grandes/petites échelles non perturbées?

UTILISATION DES DONNEES PLUVIOMETRIQUES

Comparer les courbes HdF et le comportement des

extrêmes issus des observations*, de SHYPRE et des modélisations multifractales.

• des précipitations observées au pas de temps horaire (252 postes),

• de la chronique des événements pluvieux (définis par une hauteur journalière de pluie supérieure à 20 mm),

• des séries de hyétogrammes simulés par SHYPRE

* Météo-France, 1999. Estimation des hauteurs de précipitations d'occurrence rare pour des durées de

cumul de 1 heure à 24 heures en France. Etude réalisée pour la DPPR. Equipe SCEM/CBD/Hydro.

UTILISATION

DES DONNEES PLUVIOMETRIQUES

0 5 10 15 20 25 30

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40

Data length in years

Number of stations

Histogram of number of stations having the data length of indicated number of years. The pick of 30 stations corresponds to the data length of 20 years.

252 postes au pas de temps horaire

0 5 10 15 20 25 30

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

Dpt.

0 5 10 15 20 25 30

49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97

Dpt.

UTILISATION

DES DONNEES PLUVIOMETRIQUES

252 postes au pas de temps horaire

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

temps (* 5 minutes) P

r (

% )

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Alpha=1.2 C1=0.35

Temps(*5 minutes) P

r (

% )

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

temps (* 5 minutes) P

r (

% )

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0 10 20 30 40 50 60 70 80

temps (* 5 minutes) P

r (

% )

la série de Marseille

simulations multifractales 5 bonnes années (1984-1988)

5 mauvaises années

Probabilité des durées des épisodes

Hoang, 2008

Effet de la méthode d’échantillonnage sur la distribution de fréquences empirique des valeurs observées et sur l’estimation des quantiles (poste d’Aix-en-Provence, 1961-1994).

Guide méthodologique sur l’approche SHYPRE

Patrick Arnaud, Jacques Lavabre

Effet de la méthode d’échantillonnage

Séries de hyétogrammes simulés par SHYPRE

SHYPRE calé sur les épisodes;

Comportement des extrêmes

•impact de l’origine des données utilisées

Multifractals

• En observant le phénomène à toutes les échelles, λ

• Si on observe de lois d’échelle

• On peut créer un échantillon de variables ‘γ ‘ qui contient

l’information à toutes les échelles:

• Et estimer une fonction c(γ) qui décrit une probabilité a toutes les échelles:

( ^#

^{> "}

) ^{% "}

^{( )}

Pr

( )

ë

å ã = log

N

N

!

= =¹ 2 1

"

"

#

#

!

"

!

$

l

= L

!

Macor, 2007

1. Description parcimonieuse: seulement 3 exposants:

– intermittence de la pluie:

- Intermittence moyenne C

: combien rare est la pluie moyenne?

C

≠ 0: il ne pleut pas tous les jours, ni partout ! - Variabilité de l’intermittence α : diversité des

régimes de pluie

α ≠ 0 : pas seulement l’alternative pluie non pluie!

– dépendance H du taux moyen de pluie <R

>

de l’échelle d’observation l ? Pour la pluie H≈0

!

"

Multifractals

1. Conséquences triviales pour les extrêmes:

C₁ et α ↑ => extrêmes ↑ ou C₁ et α ↓ => extrêmes↓

2. Plus généralement:

- ces exposants définissent les courbes Intensité-Durée-Fréquence (IDF) sur une grande gamme d’intensité et durée (Benjdoudi et al., 1987) ;

- permettent l’intercomparaison des quantiles

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

-0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

! c(!)

Multifractals

Pr( !

# "

⁾ % "

Analyses multifractales de la structure temporelle des précipitations

1.5 – 2.0 0.18 – 0.33

1.3 – 1.5 0.15 – 0.18

1.0 – 1.3 0.12 – 0.15

0.5 – 1.0 0.07 – 0.12

α C1

Analyses multifractales de la structure temporelle des précipitations

0.08 – 0.10 6e-4 – 3e-3

0.06 – 0.08 4e-4 – 6e-4

0.04 – 0.06 2e-4 – 4e-4

0.02 – 0.04 2e-5 – 2e-4

H 1-R2

Intercomparaison des quantiles

(d=1h, T=10 ans)

MeteoFrance/SHYPRE MeteoFrance/UM

SHYPRE/UM

-60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120

1 20 39 58 77 96 115 134 153 172 191 210 229 248

MF/SH MF/UM SH/UM

Tri par ordre décroissant

Intercomparaison des quantiles

(d=1h, T=100 ans)

-80 -40 0 40 80 120 160

1 20 39 58 77 96 115 134 153 172 191 210 229 248

MF/SH MF/UM SH/UM

MeteoFrance/SHYPRE MeteoFrance/UM

SHYPRE/UM

Tri par ordre décroissant

Intercomparaison des quantiles (d= 6h)

-60 -40 -20 0 20 40 60 80

1 19 37 55 73 91 109 127 145 163 181 199 217 235

MF/SH MF/UM SH/UM

-60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120

1 20 39 58 77 96 115 134 153 172 191 210 229 248

MF/SH MF/UM SH/UM

-100 -50 0 50 100 150 200

1 20 39 58 77 96 115 134 153 172 191 210 229 248

MF/SH MF/UM SH/UM

T=10 years

T=1000 years

T=100 years

For 10-year return period and independently from the duration, distributions of relative errors between the UM and Meteo-

France qantiles remain symmetric and with in 50% absolute error value.

Intercomparaison des quantiles (d= 24h)

-80 -40 0 40 80

1 19 37 55 73 91 109 127 145 163 181 199 217 235

MF/SH MF/UM SH/UM

-100 -50 0 50 100 150

1 20 39 58 77 96 115 134 153 172 191 210 229 248

MF/SH MF/UM SH/UM

-100 -50 0 50 100 150 200

1 20 39 58 77 96 115 134 153 172 191 210 229 248

MF/SH MF/UM SH/UM

T=10 years

T=1000 years

T=100 years

For 24-hour duration the SHYPRE and UM error distributions become very close,

while for 72-hour duration they become almost indistinguishable.

Analyses multifractales de la structure temporelle des précipitations

1.5 – 2.0 0.18 – 0.33

1.3 – 1.5 0.15 – 0.18

1.0 – 1.3 0.12 – 0.15

0.5 – 1.0 0.07 – 0.12

α C1

Comportement de HdF (SHYPRE)

0 400 800 1200 1600

1 10 100 1000

T

Q(P)

0 400 800 1200 1600

1 10 100

Log d

Log Q(P)

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

0,1 1 10

QT(P)/QT(Pn)

Log T

2 2,2 2,4 2,6 2,8 3

0 0,5 1 1,5 2

Log d

Log Q(Pn)

Comportement de HdF (SHYPRE)

Comportement scalant et multifractals

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

0,1 1 10

QT(P)/QT(Pn)

Log T

2 2,2 2,4 2,6 2,8 3

0 0,5 1 1,5 2

Log d

Log Q(Pn) 0

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

-0,1 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1

γ

c()

Q

Q < >= #

) (!

"

T =

Comportement scalant et multifractals

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

-0,1 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1

γ

c()

Q

Q < >= #

) (!

"

T =

Descendre les échelles!

•Extrêmes:

-dépasser les limites de la théorie actuelle des extrêmes, -générateurs de pluie et hydrologie opérationnelle.

•Démarches et outils adaptés aux enjeux.

•Une exploitation largement insuffisante du potentiel applicatif des méthodes multiéchelles, notamment multifractales, en hydrologie.

Les questions fondamentales :