Mouvement Brownien Bte(0,1) ,Constructions et propriétés

f

l

Q

o,oz8

tldpulbliq-ue

_Algdrienne

_D.mocratique

et

populaire

Ministi:re

_de

_{l'Enieignement}

Supdrieur et de

ra

_Recherche

Scientifique

Universitd

₈

_Mai

₁₉₄₅

_{_ Guelma}

Facurltd

_de

_Mathdmatique

_et

de

I'Informatique

_et

_des

_sciences

de

_{la Matidre}

D6partement

_de

_Mathdmati

_ques

Mdmoire

de

Fin

d'Etude

Master Acaddmique

_en

_{Mathdmatiques}

Option

:

Probabilitds

_et

_Applications

THEI\/tE

]Wouvement

_Brownien

_Br.Jo,r,,

Constructions

_et

propri6i6s

lPr6seq!6

par

:

Azfu.

ZARITT

_SOUMIA

lDevant

le iurty:

I'rdsident

:

_Ezzebsa.

_A.

Eixaminateur

:

Benchaabane.

_A

Dirie6 par

_:

_KERBOUA.M

Univ-Guelma

Session

_{Juin 2012}

ffi€#ffiffiwffiffiffi

-[e

ffi6e

ce

mo&ste

tran

ai{

d

_{{euxversannes quiso-nt}

_Esvfur

_cfudres

au

mnn&

qrui

m'o'nt

comSEs

&

_{Eurc amaurs et Gurs}

ffictions

,A

j/,2

mtir,e

_{qui miz taqiours}

_soutenue

_dquis

_{monirremtervas}

jusquhi

cejour

et

qui

a

tozgiours

su

trcuyer

E mnt

qu'ifahltvour

mbncouragen

.A

manyere

qui a

toutlfuttvour

queje

ne marzque

&

rien.

,A

,taus

nees

enregrnants

qui

ont contriSud

oi

ma

_farmation"

.A

toute

hfami{fr

_-Zantt

et

_QtuSai/f.

.A

tou:s

frs cofrgues et

frs amies

etVarttcu/idrement:

lvnfnMbsem..rShssem.zau/f66aAnlzz.sl3{gftt.Z/J/TB.J(i&.wrA.

.3.tolfSifreres

:

Jmnfs

et

lrucef

.Aryrramntfun

zorr-2orz

,A

toutes

frs1:,srso,mxes

qui

m'ont aiffies

&rrrds

ou

&

hin

oi

rdalissr

mon

recfrercfre.

Tout

tct\ord

_{Je fiens}

_d

_exvrimer

_toutes

rnes

_{recorwtaissqnces d Jvtonsieur}

Kfl&8OU&

_MOU&AD

Jvton

ertcadreu'r,

_{{e m'Avoiryroyos|}

_ce

_sujet

de

_{recfr.ercfie et}

_{avoir

_erisd

mon

_trayai{

Je

fui

tdmoign'e

_arussi"

_ma

_{gratitu{epour}

son souti.en"

sa

grartde

{uyoni6ifrt6

et

surtout

ses

canseifs

et

ses

erlcourcl7ements

_tout

_au

_tong

_{de mes}

_{recfi.ercfi.es.}

J'afi

f

fronnzur

_{^iresser

_{nrc' vifs}

_{remerciem.ents}

aumembre

de

jury

:

lM,onsieur

tEzzefisa

_{Ahdefa.fi" et Jvlonsieur}

_{tsetrcfiaafuanc,}

A66es.

.J'

etyrimtz

aussi

Tnes

remerctments

_d

_tous

_fes

_enseignm*s

_fu

&yartemnnt

_{e

toIatfrematiques

_qui

_{ont contrihud}

d.

ma

_forrnation

J

'

_exltririne

_d'gafement

_{mps rem.erctrnents}

fes

yfus

chafeureux d

_tous

mn's

c:o{kgtLes

_Your

_{eurs

_ai^{es

_durant

_tout

_ce

trantaif et

feurs

encouragemcnts.

'Tnfinje

rem'erycie

_tous

_ceux

_qui

_{ont contri6u6}

de

toin

ou

deyrbs

d.

.[ntroduction

Le

norn cle

m.uvement

Brownien

_{vient du}

botaniste

Rob"*

_Brown.

Ilrown

n'a _{pas d6couvert le mouvernent brownien, ca,r n,importe qui}

regarde clans

un

miscroscope

peut voir

le mouvement rapide

et

irr6gulier des

parti

cules de po,llen _{en suspension dans ce I'eau. cependant, avant}

_lui

on pensait que les particules dtaient vivantes.

une

autre

tl6orie

expliquait que le mou_ vement des _{particu.les 6taient}

_d0

d la diffdrence de temp€ratur"

"otr"

l,eau et

l<: milierr arnbiant provoqrrant

_l'

6w.r,poration _{de l,eau, ainsi}

_qu,alx

_courants

d'air,

Brorvn(I'828)

rdfuta

ces th6orirs

et 6tablit

que les particules _6taient

i'anim6es.

Il

expli,qua que

Ia

matidre

6tait

cornposZe de petites particules, appel6es moi6cules actives,

qui

mo:rtrent

un

mouvement rapide

et

irr6g,r*

lier, dont

I'origine

vient

des_particrrres.

puis

_au

_{d6but des ann6es}

_1g00.

_le urouvement brownien

fut

ca,r.act6ris,j de la fagon suiante :

-

Le

_{rrouvement est trds irr6gulier, compos6 de translations}

_et

_de

rota,

tions,

ia

trajectoire _{ne semble pas avoir de tangentes.}

- Der.rx _{particules semblent bouger de fagon ind6pendantes, mOme} si elles sont trr's proches.

-

Le

'ouvemenr; esb

d'autant

plus

actif

que les particules sont petites.

-

La _{':rurpositiorn} et

la

densit6 des particules

_n'ont

_{pas d'influence.}

-

Le m()uvemenr; est

d'autant

plus

actif

que le fluide n,est pas

trop

vis-queux.

-

Lemouvcment est plus

actif

en tempdrature haute.

-

Le mouvement est sans fin.

Les traverux de

Irlorbcrt

'wiener

_{aux Etats-unis,}

_{Andrer Kolmogorov}

en URSS stu: la th6orie des p;obabilit6s, _et

paul

_L6vy

_{en Flance vont contri_}

buLer de fagon ddcisi,ve a, faire

du

brownien un

_objet

_{math6matique. C,est d,}

wiener

(L894-1964)

que I'on

doit

_{la v6ritable forma,lisatiol du}

_r,r3.t

_,

_,o1

idiie

initiale.f0t

d'dtudier l'ensenrble des chemiru des particules en

tant

qu,es-pace fonctionnel.

orr

peut i, ce sujet citer Doob

:

_{"Dans une s6rie d,articles} d,

Chapitre

₁

tQuelques

_{notions sur}

_les

processus stochastiques

I

.1

P'ocesisus

_al6atoires

_:

_{d6finition, continuitd,}

loi.

Le

triple*

(e,f',tr)

_{d€signera en g6n€ral}

_un

espace de

probabilit6

_et

_le

co,uple

_(E,8:)

_{un espace mesurable.}

On d6signe pa.r. 12" un ensemble quelconque,

1.1.1

Notion

de

processus

La notion de processus _{stochastiques permet de}

repr6senter pax _{un moddle} mer,th6matique _r'6ta1;

_d,un

_systdme -d6pendant

d,un

p*"*ldisouvent

_re

ternps) et du. hasard.

D6ffnitions

:

o

_soit

T

_{un ensemble}

_d'indic:s,

on appele proces\sus _{stocha.stique (ar6a,}

toi::e) definie sur

_?

d valeurs dans l'espace _{m"su"rble (.8,}

_s)

_re

_terml

_(e,

_f

,p,

(xr),."')

telle que

(xr',rro

_{est une famillc de}

_{variables,r6utoir",}

aeh"i"r

r",

(e,;r,rp)

d valeurs dans

(.o,6)

Z

est appel6 espace _{des temps.} ,,,",11"1i

tout

c,.r

e

fl

et

t

e

T

L

_quantit6

_X,

_(w)

est

l,6tat

du processus _d

(E,B)

_{est appeld espace des}

2ICHAP,THE

L

_{qUELQUES NO?IONS}

SUR

IES

PROCESSUS _{STOCHASTIQTJES} Pour

tout

r,.r

€

_O

I'applicatior

f

_-___+

_X,

_(w)

d6finie de

?

d, _{.E est appel6}

t:rajectoi:re du processus.

e

Un

processus stochastique _{X1,

_t

_€,

_T}

_{est une collection}

des variables a.l6atoireri _{index6es pa,r un paramdtre}

"t"

ei

cl6finies

; ;

_{m0me espace de} probabilib6s

(o,f,F)

_{,Le paramdtre}

"t"

est g6n6ralement _{interpret6 comrne} Ie temps

et

appartient d, un _{ensemble donn6 ?.}

L.L.z

Lois

du

processus

on

appelle

loi

de

x

Ia

mesure

de probabilit6

_rpx

_d6finie

_sur

_R

_par

tr:r

(A):

_F(X

_€

A):

_F(cu

_€

_a

I

X@)

e

A),

Ae

rfni.

-1,1-.3

Continujt6

du

processus

Prenorrs .E

:

IRd _{et 6(lRd), on}

_dit

_que

_(Xr)rrrest

JF_p.s. cont,inud, clroite (re,sp. :tF _{--p.s.contirr,u d, gauch..}

"oniin

)

J;;;p

-_

oi"rnu"

tout,

w

e

dt,

,

--*

Xt

(ar) est

co'tinue

a

droite

_{(resp. : continue a gauche, continue).}

(Q,f

_,tr).

Un

temps

d'an€t

relativement

Q

_--+

_f0,

_+m]

_telle

_que

_pour

_tout

_t

_€

(fr)ren*ternps d'arr6t

ssi V

I

€]0, Lmi,

_{?

<

L'2

rbmps

dtarrGt

pour

des processsus

conti-nus

L.tl.L

D6finition

Soit (-fr,)r.*+

une

filcration

sur

A

(4)tun*

_{est une application}

_?

_:

R*, {7

>_t}

_e

_ft.

On noter

r

_{la famille des temps d,arr€t.}

L.2.2

FLemarque

0n

a le r6sultat suivant :

.

1l : f,)

_--r

_[{),

_+oo]

_est

_in

13.

INF;GALITII)

DE

DOOB POIJRLES MARTINGAI,ES

A

TEMPS CON?JNU3

1.2.3

Propr:i6t6s de

temps

d'arr6t

o Si ?' =.

t,

T

est un temps d'arr€t.

o Si ?'

e

r

el

si

S: ?+t

avec

t

€

Ra

alors,S

€

r.

o Si

T'€

r

alors

T

est fr-mesurable.

o Si

S,T e

r,et

si,9

5

7

alors

fs

C

fr.

o Si

S,T

€.r,

alors,S

AT

e

z

et,5VT

e

r.

L.2.4

Tribu.

des

6'r6nements

ant6rieurs

e

un ternps

d'ar-r€t

soit

?'

un

termps

d,arret sur

un

espace

(Q,f

_,lF)

relatif

i

une certaine

filtration

(ft)tenn,

fa

I'ensel nble d'6v6nements

J:y::{Aef

,

Vr>0,

An{T<t}eft}.

f7

est une

tribu,

appel6e

tribu

des 6v6nements ant6rieurs d

7'

L.3

Jtn6gerlit6

de

l)oob

pour

les

martingales

A

l;emps

continu

On commence par donner la d6finition d'une martingale dans le cadre de la th6orie des processus A, temps continu.

L.3.L

D6finitions

:

Soit

(.Fr)rem+ une

fiitration.

D6ftnftion

l.L

Un .I"racaleur (Xr)renn d'efi,ni,

lur

un

espace d'e

probabi'-ute

(fi,T',P)

est une marti,ngale adapt^e d,Ia

filtration

(F)ir;F(+

si

les troi,s conditi,ons suiuantes

sont

u*ri,fi€es :

1. Po',ur

tout

t

€

R+,

)Q

est

ft-

mesumble.

2. Po'ur

tout

t

€ R+, X1

tBt P-i'ntegrable.

3. Po'ur

tout

t

>

s

>

0,

F'lxtf

f"l : &

pr\esque

silrement-D6ftnrition L,2

un processus

(Xt)tenn d€fini

sur un espa,ce de probabili,tE

(Q,F,P)

est ltne sow-n'rartingal'- adaptde d,la

filtration

(F)1ae+

si

les trois

condi,tions su'i,aantes sont a*rifi1es :

4'CH API'TRE

1.

_QWLQUES

_{NO TIONS SUR}

_IES

_PROCESSUS

ST O CHA S

TI

Q|f,s

2. Polur

tout

t

€

R-,

X1

est p_int6grable.

3.

Pour tout

t

>

.s

i

0,F,,lXt/F"]

_>

X,

_{presque sil,rement.}

D6finition

L.B

un

processus

_(&)ten*

_{d,6fi,ni, sur un es,ace}

d,e probabilitc

(Q,F,F)

_{est une sur-rrrartingale}

_iaiiii"

_{d, ra}

fi,rtrati,on (.F1)1Es+

_si,

_{Ies troi,s}

cctnd'iti,ans su,iuantes sont u1rifites :

1.

Four tout

t

€

R+,

X1

est

F1-

mesurable, 2.

Pour tout

t

€

k+,

X1

est

p-int6grable.

3. Pou,r

tout

t

)

.s

)

0,M[X'/F"]

_{S X"}

_{presque sd,rement.}

1.3.2

tn6galit6

de Doob

.

solt

(f!)reg*

ddfini sur l'espace de probabilit6 (rr,

f,JF)

une sous-martingale adaptde

d

la filtration

(.fr)16s+, d, trajectoires _{presque s0rement continues.} Alors, que,l que soit

)

)

0, et fs

)

0,

n[*rp

_{Xt.r)<+El,xlt.}

\03t<to

/

^

ot

Xr+ est Ia partie positive de X1.

L.4

F'rocessus Gaussien

_-

_{Espaces Gaussiens}

L,,L.I

ly'ecteurs gaussiens

Rappel,rns

la

d6finition des _{variables aldatoires gaussiennes r6elles :} o Une rrariable al6atoirr: rdelle

Z

est dite gaussienne cerrtree r6duite si elle acrnet pour densit6 par

rapport

d, la _{mesure de Lebesgue sur lR la fonction}

:

/('):

_*""p(4)

Onnote

Z-N(O,I).

r

IJne variable al6atoire r6elle

x

est

dite

gaussienne

s'il

existe

(p,o)

e

IR

x

IR+

et

z -Ir(0,1)

ters que

x:

_{F*oz.Lade'sit6}

_deX

_{est arors:}

1i.4. PRO(]ESSU$ GAUS,SIEN

.

ESPACES GAUSSIENS

On note

X

_^,JV(p,,o2).

o Un

yecteur _at6atoire

X

i,

valeurs dans IRd

est

dit

gaussien

si

toute

combinaison lin6aire de ses conrposantes est une variable al$atoire gaussienne'

SiX:(Xr,..,Xa)'estunvt'cteurgaussien,ond6finitsonvecterumoyenne

nI(X)

par

E(X)

:

(E(X1),.',E(Xa))''

'

"i

g,

rnatrice

de variancerc(,variance

Var(X)

par

Var(X)

:

E((X

-rD(x))(x-- E(x))').

r

Soit .X

-

(Xi,

..',

Xa)t

ur

vecteur gaussien' On note rru

:

E(X)

et

t

'=

Var(X).

X

adrrret une

dersit6

/

pal

rapport

d

la

mesure de Lebesgue

su'

R'd si

et seuieme,nt si

det(f)

10.

v,z €

Rd,

_/(r)

: (;u)'fr

o*

(-(c-,"r'r-rt'--t)

,

L.4.2

.Processus

gaussien

Un processus ii, valeur r6elles,

(Xr)rer

est un processus gaussien (ou alors

Ia

fonciion

a,l6atoire

X: {Xt,t

€.T

}

est gaussierure) si

tout

sous-vecteur

fini

(X1,

_,...,Xr^)

(avec n,

)

1

et

{tr,

"',t'}

c

?

est un vecteur gaussien'

1.4.3

Sous

(3space

gaussien

Un so*s €sp&ce gaussien est ,tn solrs espace vectoriel ferm€ de "L2 (Q,

f,

F)

constitu6 de va,::ierbles al6atoires gaussiennes centrdes'

Remerque 1

:

Soit

I

un sout3 espaee gaussiel

I

. Alors le vecteur aldatoire ( X1,

Soit rc

€

N* et

Xl,

_"',

X,,

des 6l€ments de

..,Xrr)

est un vecteur gaussien'

Remuque

2i :

Soit

('X,,),,€N une suite de veriables al6atoires garrssiennes

sur

(0,

f,

iF) qrri .on

r"rg"

Jo"t

/,2 (sous entendr'r tr2

(Q,f

_'F))

vers-X'

Alorsi

X

est gaussienne,

et

si

X"

-

N(mn'o?')'

x - I/(,1* -''J*

o?,).

Remarque

tl

:

soit

(X,),E5r lrrr€ suite de varitubles aleatoires gaussiennes

sur

(o,f,JF)

qui convt,rl;.

""

foi vers

X,

avec

X,,

*

-N-.(mn'"?l.Alott;,,

'1.2.

PRO]AHIETI'S

alors on distingue

*

_{Soit F est Pair,}

_i

lie prernidrer moiti6 de

-

Soit _.p est i

irrt+1,2k+L est Ia d

21,.2.2 LrcS

de

tr2([0;

Le

but

,ie ce qui

Proposiition

2.L

L,2 (10; 1 _{[, Blrr;r1, l1o;r1;),}

1.

C'est un

2.

C'est un I'espace uectoricl

au

serls d,e

la

norm:,e I

Preuve de la

a)

IVlont;rons qu,e dr: tr2([0; 1[, B1o,r1, )10;r1

Par

constructio.n

tout

rn

)

0. Reste rl, On pose

rrll

:

)nt

couple

tel

que nili s'

-

Soit rlt

:

t7z et

Ainsi,

f,r, n f,*,

--Soit

n1f

n2etp

soit

1-,

11In"r:

_$

soit

_f,,

t.i1,,,2

_#

_A

qure

l'un

des deux in pa,r exemple sa,ns

T

_-'p

.p+Ll

utr*\tp

_-

_{.liETIr tiFT}

L t

\

p:2Je

pour un certain _{/c et aJors}

Jn*r,p:

_{J,r+r,zr est}

Jrr.k,

,

ie

p

:

2k

+

1

pour

un

certain

k

et

alors Jn+L*

:

ne moitid de

Jn*.

ions

de

Haar

comme base

hilbertienne

t)

sera de d6montrer

la

proposition _suivante.:

foneti,ons de _{Haar Jorment une} bose hilber-tienne de

'est d, dire :

or+,honormE.

'llz

n,dr{ Ttar ces fonctions est d,ense dans L2([0;1[, 610;11, )to;ri),

osltion

fonctions de Haar forment

un

systdme orthonormd

nonne

2

de chaque h,r, est

1

(cf

calcul de crr) pour

q'le

< h^r,hro

):

0 pour

mt

_*

mz.

Et nt2

: 2'

+p,

Eyec ,rrr1

*

mz,

et (nirp;)

I'unique

ainsi et

pt

€

_{0,...,2nn

_-

1}.

On distingue detrx cas :

I

pz et orr a alors :

t*,

:

_Ii.

+

_,="*'rlet

I,,r: lffi;ft

₊

_fi-1,

,hr,r,

)':

fr^rnr^rh*rhrnrdAp;r[

:

0

-

pz et on distingue encore deux sous cas :

on est ramen6 au premier cas.

dans ce cas, les rappels sur les dyadiquqs

justifient

est inclus dans une moiti6 de

I'autre

: supposons

10

CIIAPITRE

2.

L'ESPACO .f2110; 1[, Bto,rt, )10;11) :

FONCTION

DE HAAR

et

1,,,

d'arnplitude 1f2"2. Alors /r,1 est inclus dans I'une des moiti6s de

frn,

En particudier,

h^"

est constante

sul

.frr,, 6gale d, cn2 ou

_-cnz

: notons c cette rraleur :

t

hrrt, hro,

): I

_r^rnr^" hrrrhrn"d,\p;t1

:

_{ft^rh*'h^'d'APit1}

:

c

'[I'^'h'""d\P;t1

=cX0*0.

b)

Morrtrons que les fonctions de Haar forment un syst6me

total

ie

W;

@\

ll.lb

-

;z([o;

1 _[, 610,11, ]10;rr)

Donnons deux m€thodes pour ddmontrer ceci :

Premittre

m{thoile.'

On montre

directement

la

densit6

du

sous espace vectoriel e:ngendr6

par

les lbnctions de Haar.

On util.ise le lemme suivani; :

Lemme 2.2

Auec les notat'i,ons pr4cCdentes, pou,r

tout

m

€

N* tel

qae

TL:2" -

I,

uect{hi,

i

:

0,

...,rn}

:

uect{L1..*, k

:

0,...,2''

_-

1}

Preuve du

lemme

On montre l'6galit6 des dimensions des deux sous espaces et une inclusion :

Tout d"abord, pour

m

)

0r les (h;);=6,...,- sont orthogonaux deux A, deux, dorrc lin6airement ind6pendants. Ainsi,

dimuect{hi,

i

:

0,

...,mI

:

rn

*

L

:

2'o;

l)c

tn0ruc, lcs (,/r,,*)t=0,.,.,2*-t sont des dyadiques d'une mdme g6n6ration donc les indicatrices associ€es sont orthogonales dans .L2, donc forment ttne

famille

libre

et

I'on

a

dimuect{LJo,x,

k

_-

0, _{.. ,2n}

_-

L}

:

card{LJ^,r,

k:

0, ...,

2"

_-

L}

:2n

ce qui prouv(j que les sous espaces vectoriels consid6r6s ont mOme

dimen-siorn.

2.2.

PR.()rnrErEs

11

uect{ha.,

i:0,

_'-.,*}

Cuect{Lr,,,u,

k:0,"',2 -L}'

Fixons,i

€

{0,

...,m}.

On

a.I.

:Wlz',$''+t)/z'lavec

I 3n-

1' Douc

'I'

eist

un

ttascendant" de certains Jr,,; pour k variant de 0 d,2"

-I

dans I'arbo-rr3scence des jntervalles dyadiques.

Ainsi

chaque

moiti6

de

I

s'6crit

comme

union

d.isjointr,

de

certains

de

ces J'o,,, donc, comme

h,

est

constante sru chaque

*t,itie

de J,, elie est bien combinaison lin6aire d'indicatrices d'inter'-valles dyadiques d'ordre rr,. D'ori I'inclusion cherchee et la

fin

de la preuve du

L:mme.

Itetour

A

la

prreuvtr

de la proposition

On est donc ramen6 d montrer que :

,*,tT];ffill'lb

-

r'([o;

1 _{[, 6p,11,} )p;r1)

On mo:ntre ensruite que

toute

fonction continue

sur

_[0;1[ s'approche- par une cornbi:raison lin6aire d'indi,:atrices de dyadique, ie par une suite de

fonc-tions

6tag(:es dyailiques

: soit

_/

e

C0([0;1])' On

d6finit

(/')'ende

Ia

fa'gon

siuivante :

Yn

€

N, Vr e

,I.-J,:

lh;#|,

J"@)

_':

f

(*)

Alors on a, pour

tout n

€ N

et fr

€

Jn,1r,

lJ@)

-

f,,(")l ==l/(")

-

f

(k12")l<

,

sup

l/(")

-

/(v)l

':

w7(112")

la-sl3l/2^ {.,,

oiwy(112")

d€signe le mocl.ule d'uniforme continuit€ de

/

:

{

*"}i"}".tu

i,

|0;r]doncunifornr6mentconr,inuesurcesegmentparIeth6ordmedeHeine,

ainsi, Ve

> 0,

=d

>'0,V(r.v)

€

[0;1.]2,

l*

*al(

_{d =+}

_{l/(') -}

_/(v)l

S

e; puis

Vd>0,

:lly' €

N,

Vn

)

N,

_{# tt;}

et par suite Ve

>

0, 3N

e

N,

Vn

) N, sup

l/(")

-

/(g)l

t:

w7(L12")

<

e; la-sl<\/2"

:2CHAPI'TRja

2.

L'ESPACE f,2([0; 1[, B1o;r1, )10,11)

'

FONCflON

DE

HAAR

et finailement :

Ve

)

0'

lN

e

N,

Vn'

>

N, ll/

-

/'ll-

3

t'

ce qui termine de prouwer que les fonctions 6tag6es dyadiques sont denses dans les fonctions

"ootir.o,t*

ru

[0;1'[,

pour

la

norme

_ll'll*'

donc

a

fofliori

pour

la

norrne

_ll.ll,

sur

t'([0;1f

. cela

resulte de I'in6galit6 suiva,nte : poru.

/

e Co([0;1[,

/ ^ l1/2

ll/ll,

,:

_up,ul@)'dr)

<

ll/ll*

Enfin

on utilise

la

densit6 des fonctions continues dans

I'([O;1[)

pour

la

norm.e

_ll.ll,

(r6sultat se

l6montrant

d ]'aide de

la

r6gularit6 de

la

mesure

d.e Lebesg;ue

et

en s'appuyarrt sur Ia densito des fonctions 6tag6es dans 'L2)' Cin conalut

par

transitiviie

ae

la

relation

de densit€

:

les fonctions 6tag6es dlladiqueri sont denses dans les fonctions continues

poul

ll-llz, les fonctions ci,ntinues sont denses dans .L2

pour Ia

m6me norme,

et

ainsi les fonctions 6tag6es d;yadiques sont denses

dars

I2([0;1[)'

c

Deucicme m€thod,e;

on

rappelle qu'un sous espace vectoriel est dense ,;. et seuiement si son orthogonal est rOduit

d'{0i'

on

considdre donc

/

dans

I'orthogo[al

du sous espace vectoriel engendre

p,*',*u

fonctions de Haar, et on va montrer que

_,f

est

nulle'

On a donc'

vm20,

(

_"f,

h*2:

Ito,rtfh^d\o;rl

:0

(*)

comnne

/

esc rlans

Lr(10;1[),

avec

[0;1[

de r4asse

totale finie,

elie est

a'ussi dan.s

ft([0;1[)

et on peut

d6finir

:

I

F

: _[0;1]

_-r

R

u,-.

ft

f

(r)dr

On

traduit

alors I'hypothdse

(*)

: pour

nL:2'o

f

k,

on a

lk+r 3k+2

[',Y

_"^l@)d,

- I#ii

_""f

(")dt:

o,

.:

- LnT't 2n+L

,

ce qui s'6crit encor€..

zh+r. 2h / . zr+z - 2ktl \

2,2.

Pmop,rufrEs

13

et pa,r sutte :

-,r

(#,)

+2F

(W)

_-

r

(W):

o

.(o)

On va en d6duire que

F

est nulle

sur

_[0;L], en commengant par montrer que

_F

est rruile sur tous les nombres dyadiques.

On remarque tctut d'aborc'i :

F(Cr)

:

0

et

F(1)

: I:

i@)h

:4

J,ho

):0

par hypothdse,

puis on

fait

"tournertr la rela',ion

(o)

:

-

si

n

:

0,

et

k;

:

0,

la relation

(o) donne

-F(o)

+

2r(*)

-

F(r;

:6

:

Comme F'(0)

:'

F(1)

:

0, On a F

(|)

:

g'

-

si ru

:

1 :

pour

/c':

0,

-r(0)

+2F(4!)

-

F(*)

:

0'

Donc

F(i)

:o'

pour

k

:

1,

--Il(*)

+

zF(l -

F(1)

:

0'

Donc F(314)

:

0'

On en ct6duit a:inii par r6ctrtrence sur 7?, que

F(i

_lzp)

:

0 pour

tout p

(

n

et,'i:0,,,.,2"'

: Ai:nsi

F

s'anntile sur tous les dyadiques'

Ivlontrons ensuite que

F

,:st continue. Soient Ao et A

e

[0; 1] : consid6rons U

I

go, sans Perte de g6n6rr.Jit€

ll7(go) --

p(y)l

:

_{llw",,tJ@)arl}

rlAotUl _{.',' '}

: llfllrtffi

1

:

De ld,, ern

utilisant

Ia continuit6 de la fonction

J

"n

Ao, on a Ia continuit6

ile F.

Reste ensuite ir,

utiliser

la

densit6 des nombres dyadiques de

[0;1[

dans

[,C;1[

:si

g

€

[0;li,

on

prend

(d,,,1n suite de dyadiques

qui

converge veIS 3r'

Co*rn.

F (d,,,)'

:

0 quel que soit n, le continuit6 de

F

nous perrnet de conclure

que

F(g)

.=

₀

el; donc que

F

:

0,

puis

_{/ :}

0, par le

lemme d'integration

.,rri.rarri, et les fcnctions de Haar sont donc bien un systBme

total

de .L2.

Enonc6 du lemme

utilis€

:

Lemme

2.3

soit

f

une _{foncti,on mesurable}

deR

ilaru

R

d'i,nt€,grale nulle sur

tout

i,nterualle [a;b] de IR.

/Jors,

/ :

0 presque silrement'

TACHAPITRE

2.

L'ESPAtle

-f21[o; 1[, B1o;r1, ]10,11) : FONCTyON

DE

HAAR

2.9

l-,es

fonctions

de

Schauder

On aura aussi besoin dars ce qui suit des primitives des fonctions de Haar

qui sont les fonctions suiva,ntes :

Definition

2.3'On

d,tfi,nit les fonctions de Schauder

(g*)*en

cornn'Le

Ctrmt les _;primi,tiues d,es _{foncti,ons de}

Haar'

Plus pr6cisCment,

Yrn

e

Nl,g-

:

[0;

t]

---+

lR'

I

r->

<

110; _4i

hr,

]

.

C'est d, dire, _Pou,r

tout

t

€

_[0;1],

go(r)

:

t,

Vm

€

N*,

g,,(t)

:

_flh,"(s)d's'

IL:miarque

: comme pour les fonctions de Haar,

il

peut €tre pa,rfois

utile

de noter

gtn:

gn,p

polu

rn

:2"

*P,

of

P

e

{0r

"',?

-

1}'

Lemrne 2.4

Pour

n,

€

N*

et

p e

{0, ...,

2"

- t},

les

propri't4s

sui,uantes sont u1ri.fi,iles :

(

039,,,p32-"/2,

t

o",o1t;>o<+

#<t'#,

et po'rur

n

_fue

le's _{fonctions !n,p,} P

€

{0,"',2"

-L]l

sont d' supports

d'is-joints.

Preuve

ta

preuve consiste rrniquement en des

majoratiors

de I'integrale

d6finis-,,*t

g,,,

en fonction d.r'

I'intervalle

dans lequel se trouve

t'.'

on

peut

aussi

"orrrtiut",r cela graphiquernent en

tra4ant les courbes repr6sentatives des

tChalritre

3

(Constructions

_du

mouvement

.Brownien

iS.L

Definiition

-

Enonce

du

th60r€me

dtexis-

tenceetdnunicitddumouvementbrow-nrien

D6finition

3.L on

appelle rnouaernent broumien en d,imension

d,

tout

pro,""rrru

(Br)r.n.,

d, ualeurs

dorr

(lRd; Beo)

d\fini

sur un

espace probabilis€

(Q,f ,P)

tl,el que :

1. le

pro""rr*

(Bt)t

est d' accrt''i'ssements i'nd'6penilants' et

Bs:0

ps (on

d,i,t.

qu'iJ

s'ag'i't d,u mouuement browr'i'en issu d'e

A)'

'

'

2. pou""

tout OS

s

<

t,

Bt

_-8"

_-'A/a(0,(t

_-

s)Ia)'

3.

Ie procest*

(Bt)

est d' traizctoi'res ps conti'nues'

Th6or.6me

3.1

It

y

a etistence et

unicit|

d,u mouuement brownien, c'est

d, d,ire qu,il eriste un

"ipo""

d,e probabili,l,€ conaenable et

un processus

(Bt)t.n*

,u,

""i

es:pace qui udrifie les

conditio"s

ile

la

d'6finiti'on'

3.2

1;ensrbructions

du brownien

(Bt)tero;rl

Le

but

de cetl,e partie est de d6montrer :

Th6c:rdrne

3.2

n

esi,ste

un

processlts (Br)r.fn,tt

u1rif'ant

les propri'Et4s de dtfi,ni'ti'on du tnouaement brounien'

].6CHA]>ITI]E3'coNsTRuCTIoNsDI]M}IWEMENTBROWNIEN

on.,,ra dorrner cleux constructions cl'uu tel processus._cependant' une par-tie, est contmune aux deux constructions, elle constitue les deux pa'ragraphes suivants :

il

s,agit de construire un processus gaussien d' accroissements

ind*'

3,,2.L

Rdalisation

de

l'espace

de

Hilbert

_'L2([0;

L]'

B1o;r1'

]lo'tl)

coml]feunespacegaussien-Constructiond'un

premier

_Processus

^

L'espace

I'([0,

L],610;11, )10;11) or] [0;1] est la mesure.de Lebesgr-ie sur [0;1]

"srt ur, *r1ru"u

a" HitU"t['tep"tuUt"

pour Ie

produit

scalaire :

VX,Y

₌

L2(10;1], B1o;r1, )10;11),

<

X,Y

>:

E(XY)'

onsauitqu,uneba*.ehilbertiennedecet"'lT"estdorrndeparlafamille

d'es fonctions de

ttua"

_'

(h,o),.>o, Le

resuitat

_"i

d""'o'

sru Ia realisation des

espaces cle

Hilbert

s6parables

co**u-""paces

gaussiens p-ermet donc d'affi'r-mer l'existence d.'un

Lrpu""

de

probabilite

(f,t,ftT):

_"!,3'une

mesure

gaus-il;;";;il".iteilo'11

qui

permet d'identifier

''(lo;11)

e un so's

espace

gaussien

G

:

o'

,ti*punu

i"

_C,4,,*6

1l1l€ suite de variables ai6a'toires rle loi

iTfo,rl

i.ndependantes

sur

(o,F,w;,

qui

constitue

un

systdme orthonorm€ "ai,r'

*

(r,,F,F;

_{1t'irracpcnd.ance} impiiquant

la

non cc.trr6iati.n), et m€me une

L,ase hi.lL,ertienne de I'cspace gaussien :

lrendants.

Le troisiOme ParagtaPhe est jer:toires dlu processus construit'

consacr6 d, I'6tude de

la

continuit6 des

tra-On distinguera alors les deruc m6thodes'

I

<

/,

h^7

N,n

m=O

G

:iecTM^,

rn,

e

N)'

On

d6finit

donc lrien une isom6trie en posant :

B

:

,'(lO:

11,610,4,

)10;rl)

'-+

G

r-*

B(f)

:

,.

rj _r, ,r,,

't**'

Soit

_/

€

I'([0;

1], B1o;r1, )10;11)' On remarque

E[B(/)'?]

: ll/ll;

p"r

]u

p::

rprieie a

iroorettL

p-t1"ffi";i;';

que

E[B(i)]

:

0 puisque les variables

N"

3t'

2.

COMiTRUC'IIONS

D U B'R'OWNIEN (Br )

r'

to''l

tut

B(/):.lim t<"f,h^)N*,

_Nl+6)

tn:O

dorrcB(/)estgaussienrreUommelimited'unesuitedevariablesal6atoires

ESaussiennes (une

.o**"

fini;

de gaussiennes ind6pendantes est gaussienne)'

,iir'*i,

B(-f

₎

-

I/(1, ll/ll;

).

r

_\

On remarqu*

ulr..i,"inu

.f, 9

e

L2(10;1], B1o;4' l1o;r1)' Que

cou(B(r),8(g)rr

=

fi|f,fi]Bg]l

_l'"{r]rm!rto)r

_.

:.rSf,9>' d:,:", " ttt''

':"ri

puisqu'une lE-qp€t:&rpr6serr e le

produit

scalaire'

-

o;

aennit

atori

un

processus

en posant

:

Vt

€

[0;

L],

Br:

B([0;l])

::

B(lto;

q)

(ouplusexactementE6estunrepr6sentarrtdelaclassed,6quivalence

s([o;t])).

3,2.2

Etude

des

propri6t6s

du

processus

construit

proprrsition 3.1

Le

processus (Br)r.to,rl ainsi' construit

'u,rifie

les

pro'

pri,itEs su'iaantes

-

II

es,t d, acctoissements ind'6pen'd'ants'

-

C'est.

un

prrlcessu,s gaussien, et

pour

tout

t

€

[0;1]'

Bt

- N(l't)'

en

par-ticul'iet', Bo

:

0

Ps'

-

Pot

r

totts

t >

s

&aect,s

e

[0; L),

B'-

B"

*'A/(O't

-

s;'

Preuve

-

Soient n,

€

IN* et 0

:

to

1tt 1t21"'

< t"'Pour

a

e

_{1'

"''n]l'

B"

-

R"-

'

.=

3[f;l:]f;,

:]13'

tr-rl)'

"o

.rttiti.urrt les-notations et Ia

lin6arit6 de

B

:=

B(114_r; _ul)

cornrrre les intelvalles

_]t;-1;t;]

sont disjoints (i'

:

7,

_"',n),

on

obtient

que

les variables

B(1tr*,,

r"f

)

to"f

ind6pendantes :

cf'

Iemme

ci

dessus' ou

direc-tement :

].8

CH"APITHE

3.

CO]VSTRUCTIONS

DU

MOWEMENT

BROW?\r/EN

cou(f.1,

_-

Bro-r, Rr,

_-

Brr*r)

:

E[(gr,

_-

Bro-)(Bri

_-

Brr-r)]

: (

111i_1,rd,11t;_r,q)

>

:0,

et cers variables gaussiennes sont d6corr6l6es, donc ind6pendantes puisque

l'on

vdri:fie facilement que le vecteur

(Br,

Br"

_-

8rr,...,

Brn- Bt"-r)

est gaus-. siien :

si

(*t,...,arr)

€

IR",

,, / t, \

la;(Bt,

-

Br,-,)

_-

B

(

_E

arllt,-,,

rnl

_J,

i:t -'

\r=1

/

qui suit une

loi normile. ce

qui prouve que les accroissements 81,

-

Btn*, i;ont ind6pendants.

-

So:ient

n € N*

et

0

:

ts

t

h

1

tz

1,..

1

t,,.

Montrons que Ie vecteul

.By:

(8,4,...,8r,,)

est un vecteur gaussien' Soit

a:

(ao,

...,ar,) €

IR"'+l.

1B1,tt;- : for"rr

_i:o

^

:

_D

_7i(Bri

_-

Br,_r),

ot pj

€

IR,

.t:n

et le dernier mcmbte de gauche est bien une vaxiable gaussienne comme sornrne de gaussienues ind6pendantes pa,:r le prernier

point'

Concernant Ia

loi

de chaque 81, c'est bien s0r une

loi

gaussienne centr6e

par consitruction,

et

:

EtB;l

:

re[B([0;

r])rl

:

_ll11o;

_alll

:

_{/rro, 4d)s*(t)}

:

t. En p,a,rticulier ts[En2]

:

0 donc BZ

:

O ps puis Bo

:

0 ps.

-

Soient t, s tels que

t

)

s. On sait que

Bt- B,

est une variable gaussienne r:entr6e par construction (puisque

(&)

est un processus gaussien). On calcule

:r,lors sa variance :

Var(81-

B")

:

IEI(B1

-

B")']

:

_llBr

-

B,ll,

(lT

variables sont cenbr6es),

:

_ll11o; t]

-

1[o;"]ll,

(propriet6 d'isom6trie)'

: lllr,'trll,

i

3.2. CO

ISTRU(ITIONS

DU

BRO\4

1:fEN

_(Br)re

_to;rj

3.2.3

Continuit6 du

processus

construit

On distingue ,:lerx rn€thodes.

Modi,ftcatiorr continue

du

processus

construit

:

application

critdre

de

conti.nuit6

de

Kolrnogorov:

_'

I

'

.

'

i:l-

"

cette

premidre methode con;iste en une application directe du theordme g6n6ral, .\/alrblu pour des processus quelconques, donnarrt un critore de conti-nuit6.

On co:mmenc€rpar rappeler brievement le calcul des mornents d'ordre pair d'une

loi

gaussienne centr€e'

Lemrne

3'1

,Si

X

suit ttne loi

-'r/(0;a2)

alors pour

tout

n'

€

N,

wlx'")-4y

Proposition

3.2 Le

processus (Br)reto;rl constrant ci-d,essus admet une u,nique mod,ificatiion d, trajectoires pr3sque sarement continues.

Preu've

Pour

bout,

e

_[0;1]

et h

]

0 per;it,

Bt*r,-

Bt

suit

une

loi,A/(o,h).

Donc pa,r le lenrme,

E[(B,*n

_{-Br)n]:m:3h2.}

Par

une

proposition

(corollaire

du

th6ordme de continuit6 de

Kolmogo-rov),

il

existe une unique

modification

continue

du

processus (81)iE16,11(et

dont les .;rajectoi.res sont mOme 1/2-hdlderiennes)'

C'est

aJors

ctltte modification

continue

du

processus' que

I'on

note en-core (Br)te1u;r1

qui

constitue

le

mouvement brownien que

l'on

cherchait d, construir,e. C,:ci termine donc une premidre construction'

Preuve directe de la

continuit6

de

(B*)r.1o.r1

On vzr, cette fbis demontrer directement Ia coritiniuit6 des trajectoires du

processrxi (Bt)teto;rl1 c'esl

la

m6thode proposee dans [4]. Consid6rons' pour

t

€

_{[0;1], la defirrition} de

@

:

Bti--.8(1to,rl)

: i

<

110;rl,

h,nl

N,o: i

g,

(t)N,^,

i:O

m:O

of

I'c,n rappelle Que 9n, :l6signe Ia fonction de Schauder,

primitive

de Ia

fonction de HaaL.

On sait

que cette s6rie converge dans

L'(n,.F,lF),

poru chaque

, e

_[0;1]

(p*

d6finition

d'une base hilbertienne). On 'va montrer Ie

rdsultat suivant :

19

du

i;""i

2IO

CH'+PITHE

_3.

CONSTRUC?JONS DT]

MOWEMENT

BROW?WEN

Proposition

8.3 La

shrie d,e

_fonctiow

t

*,

Br(w):

i

g*Q)N^(w),

c'nuerge uni,formhment (en

t)

sur

_[0;L], presque

sh,rementTor.

Pour d6montrer

ceti,

on aura besoin du lemme suivarrt :

Lem:me

3.2

soit

r\r

une uariable _{ar1atoire gaussienne centrEe rEd,ui,te.}

lllors,

Va

)

1,

F(ll/l

>

a)

<

e-o'/2.

Preuve

du

lenune

On

6crit

:

P(

_lNl

,z

")

2P(,^f

)

a) par symdtrie de la

loi

de-N.

2lD[11ru2,11, 2,

_{IL1l|:1,yffi,}

2!f

_fie-""/2d,r

pat

la

formule de

transfert,

,',

h If

'r"-'"

/2

d,

_("n

_{remarquant que}

_{polu n}

)

&, r _f a

>

I),

.;fue-""

/z

3

e-"2 /z .

Preu'ye

de la proposition

Ou rappelle que

pourrn

€ N*,

il

ociste un unique couple

(n,p)

e

N:,, tel

que rn

:

2"

*

pet

p €

_{0,...,

2"

_-

7}.

Pour d6montrer la propositiou on va avoir besoin de corrsid6rer une telle d6cornposition de

m.

on

_"a

donc cha^nger un peu les notations : polrr un tel

m,,

on note

maintenant

la

fouction

de Schaudet

g^

:

gn,p

et

de

la

m6me manidre,

la

variable gaussienne

:

N-

:

l/,,o.

On peut

alors r6€crire, p<.rur

t

,:

_[0;1],

81:

s6(t)N6*

i

'bt

9,,*(t)N,,,o.

n=e p=e

Il

s'agit

maintenant de majorer, quel que

soit

t

e

_[0;1]

et pour

presque

tout

c.r

€

0,

la quantitd

l'f'

n^*@w**l

s.2.

CONS?RUC?IONS

DU.BROI4/MEN

(Br)r.ro,rt

zt

pa,r le terme g6n6ral d'une s6rie convergente indic6e par rz et ind6pendante

de

t.

Cela prouvera

la

convergence'rniforme de la s6rie ddfinissarrt

Bt.

Comme

pour

7? fix6 et

p:

0,...,2n

-

1, les go,o sont d supports disjoints

l2'-1

I

t€[0;1] |

P=a

I

te[o;r] r-0'...'2D-1

(un-se'"rl terme est non

nul

dans

la

somme),

<

.2-nlt-

sup

_lN,,*|,

j

_l-'l-

-'

_''=0,"',2'-1

or) Ia dernidre majoration est obtenue en

utilisant

un majorant des

fonc-tions de fjchauder' (cf. c]rapitre pr6c6dent). ontrons maintenant que presque s0rement,

8up

lN^*l

s

2"/a.

' P:o'""2o-l

On pose

tout

d'abord :

.q,:

_{

sup

_ll.r,,,rl

>

2/4)

.

\P:o'...'2"-1

)

Et

on

6crit

: /2n _-l \

P(,4,)

:

PI

_U

_{l}/",o1

>2/n}1,

\p:o

/

2-L

P'=0 2n -_l

pio

\

4 /t.. lt

{,

:

i"

exp

(-Zt-t)

.

{L*Y.

t","t

On en d6duit, pax comparaison de s6ries d, termes positifs, que

;i

n1a,;

.

_-,

n=O

et

donc par le lemme

d"r1?j:lcantelli,.,que

A

(,-l ; n^t+

t

"

r,'

_,:""

_{r-i r., .'-^^ o{o1 f {'i": "ji}

_'*.i'-

*hc..,,' L .;

t

" t'" " r " ts lLr.., it' .'( i'. :..

::,.,.,,.

{.,... ,, .f\,'., .\

_''l! - a'

22

CHAPITHE

3.

CONSTRUC?/ONS

_DU

_{MO:r]ilEMENTBROWIfIEN}

/\

tr[limsupA^]:0,

\ rl-5e /

soit

aulors .4

:

lmsupA^. on

sait

que .4 est lP-n6gligeable, et pour

tout

rL-co

u,

_#

A,

cu

f

limsrrp

An,

ie.

/

\"

,€lnUlul :

\z€N /s)zr / ce quiL _{signifie que} pour

rl

assez

grmd,

o_oll,B,_,

lN.o(r)

l

S 2/a.

Pa,r suite, pour ?t assez grand et pour lP-presque

tout

t^.r,

l'Vt

n*,o(r)w,,o@)l

12-n/z

x

zn/4

:2-n/4.

l#t

|

-a

comme

Z-n/a

est le terme g6n6ral d'une s6rie convergente et, on obtient

Ie r6sr-rltat voulu, d savoir

la

convergence uniforme de

la

s6rie d6finissant

Bi

sur

I'intervalle

_{[0; 1].}

3.3

(lonstruction

_du

_{mouvement brownien}

_en

dimension

d

3,3.1-

Existence

du

mouvement

brownien

Th6orrdme 8,3

Le nl,ouaernent browni,en eriste.

Preurre

Le processu.l (8x)x constrrrit

p:ur

i

€

[0;1] convient. I1 reste d se d6bar, rasser de lla contrainte

f

€

[0; 1], et de la contrainte

(&)r

e',raleurs r6elles. On

r6pdte plusieurs .ois Ia construction pr6c6dente

:

on

prend

(Bji))1.1e,11 pour

i

c

N des process,rrs d, trajectoires ps continues construits en prenant A, chaque fo:is une suite (.M"1"),, de va,riables al6atoires gaussiennes ind6pendantes, et

in-dt:pendanbe des

suit:s

pr6c6dentes. On pose ensuite :

\/t€lR+,2

e

Ntelque

te[i,;?+1[,

Br:

Blt)

+Bl2)

+...+B{t)+

Bl":'),

U

NA2,

3.4. UNICITE

L'T]

MOT]VEMENT

BROI4AIIEN

23 ce qui revient a, poser par r6currence, en supposant le processus (81)o<r<,,

construit,

Yt

<=

_ln;n

*

1[,

81

:

B^+ B!:It),

:

brownien d, f

instaut

n*

accroissements

du brownien entre

n

et

t'

Alors Ie processus ainsi d6fir"i v6rifie les propri6t6s suivantes :

-

il

est; d trajentoires ps contitrues (comme somme de tels processus).

-

il

esrh A, accrr:issements ind6pendants : cela se

voit

bien sur

la

d6finition

par

r6currence, puisque cela r6sulte d.e I'inddpendance des (Bft))1.[0;1] pour

ieN.

Pour passer d,la dimension d quelconque' on se donne d mouvements

brow

niens en climension 1 (ie Avaleuls r6elies) ind6pendants : (B])1ge*,

"',

(Bf)r.n*'

On pose alors

Vt €

lR+,

F.1=.

(B|,...,8|,).

3.4

.Unic:it6

du

mouvement brownien

Comrnengons pax clonner

un

rdsultat

sur Ia

loi

d'un

sous vecteur

fini

exbrait d''un mouLvement brownien'

On :rote poul: a

€

Ri

:

.fo:

IRd

---'

lR+

r

+

f"(*):

_dFr*o

(-BF)

,

Ia derrsit6 d'un vecteur gaussien de loi I/a(0;a.Ia) par

rapport

d,la mesure

cle Lebesgue sur ]Rd, orl

_ll.ll

est

la

norme euclidienne usuelle de IRd.

Lemrme

B.J

Soit

(&)r.o*

un

rnouaernent brownien d, aaleurs dans Rd sur

un

ettpace

probabilis|

(Q,

jr,lP).

Soient

0

(

tr

est

un

ue.cteur de densita par rapport d, Ia mesure de Lebesgue

szr

IR'

d'onn€e

par

:

24

CHAPITRE

_3.

CONSTRUC?/ONS _DT]

_{MOUVEMENT.DROI4/NIEN}

Preuve

t*

On.sait, avec la convention fo

:

_{0, que le vecteur}

\ou,V:r:.,..,Vr.)

:

.(Bu

-

-Bro,

Bt"

-

Btr,..., Bt^

-

Bt._r)

est composd de

va^riabres _{ar6atoires ind6pendantes (r:n mouvement}

_trownien

e$

a, accroissements ind€pendarrts) et que

_{Btr_}

Btr_,

suit

une

loi

Ifd(0,

(tj

_{: tr-)Ii,}

de densit e

_{lr,_rr_,}

par

rapport

d

la

mesure de Lebessue

_,

ry

lRd ,

pou'i

:

L,...,

n. Soii

Joi,

₉

boielienne

U"*e"

_{,", @}

W[p(Br, 8r",...,

3r,)] :

_M[p(Br,

_A1r

₊

_V,t2,

_Btr

_*

_V"

_*

Vr,,..,

Btr

*

_V"

*

...

+

V^)],

B*;

_Q;'4,

l;tv(!,y,,f,,

*

V,,Br,+i,+ir",...,8r,+vr,+

_*ir,jm,

t

'1

f

*

r:,.'S/,u

/r'x'ii

:

Jp"d(br'b1*tt2'bt*uz*t'3.,"',br*uztt"',rr)

'

_r

_{",. 1r ,}

_''n't

''"

!

.ftr(br)7rr-tr(uz).'.1t,-t,-r(uo)d,b1d,ir...io^,

'"'

.g

_i'{*i

:, ,

i

(en

utilisant

la formule de

transfert.

.. .

l'ind6pend.a.nce des v.a, et

f"*

J"*i&1.

.,,

{

ad

'r'

_'

.'ilt

On poee _{le changernent de rnriables :}

a1 --

br,

a2

:

bt*w,

as :

bt*uz*us,,

<+

an :

b, 1l ,,,

*

...

*

un, i,

* L'"

"

i.1 t, t"'A c) :'

100

-1 100

0-1

100

0 0 -1 1 ...

0

:'

o

...

o

_-i

1

\:aLt

u2 :

a2-aL,,

u3 :

as-a2t

'Un : An-An-lt

L'application

tfs :

(or,...,an)

*

(br,ur,...,un)

est un

Cr-diff6omorphisme

de lRd" sur

lui

meme, de matrice jacobienne

:

i[i iii

_,,-,

_!

,

-t;{

l" i{r"u

i i ' I lr'! i <rst. _{.r ,;: .::} f r "]i

i i. ,"t,i'

Tt'i{

lr ir' -' 'l rl. '\. , ," ,:..' ,' L, t irti ;

[s",

6(at,az, ...t

ao)ftr(at\frr-rr(o"

_-

ar)...ft--r*-r(ct.

_-

on-r)d,a1d,a2.,.d,ao, T

et ceci 6ta.nt

wai

poirr toute fonction bor6lienne bomde, on peut ainsi

in-dentifier la densitd cherch6e du vecteur.

et donc de jacobien 1. On en

ddduit

.

\..

_J,.-

_-

,1.:-Elp(Br,

Btr,...,Br")l

:

"''"'6'''l'

-Chapitre

4

Propri6t6s

du

mouvement

rl _.

orownl€)n

On

va

6tudier

ici

quelques propri6tes

du

processus qu'est le mouvement brownien : propri6rbds _{d'inva: iance permettant d'obtenir d'autres mouvemenrs}

browniens d,

partir

d'un seul, propri6t6s de Ma.rkov (taible et forte), mais aussi propri6t6s plus anralytiques

et

moins probabilistes coulme

la

non diff6rentia,

bilitd

des brajectoires,

la

non

monotonie

et

les comportements

limites

du

processus. Mais

tout

d'abord, on

6nonce de

petits

rdsultats

utiles

darrs les d6monstrarlions qui suiwont.

4.L

_Quelques

petits

r6sultats

sur le

mouve-ment

'brownierr

4.L.t

(lovariance

Lemme

4.L

iioit

(Br)re,u*

un

n'Louuen'tent

brownien.

Alors

pour

tout

f,s)0,

Cou(F.1,B"):tAs.

Preuvel

On prend par exemple s <,

t

:

26

CHAPITHE

.T,

_PROPHIETES

_NU

_{MOUVEA,IEN? BROI4A//EN}

Cou(1)1,

B")

EltS"Btl

_-

E[B"]E[BrJ,

II[B"B,],

E[B"("B,+8,-&)],

D[8,']

+E[8"(4-ii")],

s,

ptr

ind6pendance de

B"

et

81-

8".

4,L,2

Le

mouvement

_brownien

_comme

_martingale

Prop'osition 4.1

Le mouuement browni,en

(Br)ren*

d,6fini,

_{sur un}

espace prcbabilisc (Q,

f

,r)

_{esr une rnartingare}

_pour

_ta

fi,itiation

natureile

(rr)r.o*

dLfi,ni,es

pour

t)

0

par

:

Ft:o{8",0(s(l}.

Preurre

Il

est

clair

que

pour tout

t

>

0,

B,

est mesurable

_{pour la tribu}

ft

et IP-intdgrable puisqu'il s'agit d'une variable gaussienne. Enfin, pour

_t

)

s

)

s,

Et4\.f"1

:

1B[(Br

_-

B")

+

B,\.f"]

:

E[8,

_-

B"]

+

B":

8,,

en

utilisant

I'ind6perrda,nce de Br

_-

Bu

par rapport

a.f,

(inddpenrlance qu.i r6sultr: de celle des acrroissernents _{du brownien),}

_et

_Ia

_-F"'

_mesurabilit6 de .B".

4.L.3

Une

propri6t6

de

continuit6

Propcrsition

4.2

soi,t

(B)6[oiL]

un m,ouuetnent broumien

_{sur [0;L]}

d, ua-leu,rs d,ans IRd szr

un

efir)ace probabiiisf, _{(fl, F}

_,p).

_{Soit, (Xr)r.to,rl}

_un

_processus

tr,',yq"l6yrt dons lRd Eur

un

autre espace probabilis|

tel

_ry,e':

-

(Xr)

est d, trujectoires presque sil,rement continues

sur

_l0;f].

-Pourtoutn€N*,0(tr

mt\me

loi

que

(Br,

Br", ..., Br_),

Alors,

s'i I'on pose

X6::0

pts, (Xt)telo;rl est encore un rnouuernent

brow-\Lien.

On cornmence pax une observation simple :

],€rrulr€ 4.3

Soit

I

intertsalle de lR. Soi,ent

(Xr)rr,

un

processLls

_sur

_un espacp. de

probabilit|

(Q,f

,,P),

et

(Xr)rs

une mod,ifi,u,tion

ilu

premier pro-cerisw sur Ie m€nre espace. Alors,

si (Xr)

et

(Xr)

sont d, trajectoires presque

Q U

;'

r, _QU E

ti

Jlf yARTANCES

27

Preuve

oe

ler

proposition

Il

s'agit _{fiuele:ment uniquement de d6montrer}

_la

continuit6 en 0 des

tra,

,iectoires d.u processus _{construit, puisque le processus}

_(xr)

a la _{bonne roi sur}

[r];1] et est A, trajr:ctoires

continul*.rrr

1O;1i.

---

\"1''

Le critdre

de r:ontir:uit6 cle

Kolmogo.oi

_s,applique

_{ici e}

_{(Xx)6to;r1 de la}

:mdme _{fagon que dans}

_la

_construction

_du

mouvement brorpnien au.chapitre

pr6c6dent.

_on

_{obtient donc une modification}

d, trajectoi.es pr"sque sorement continues :not6e X.,

:

_lXSre

[o;r1.

Il

reste d, appliquer le lemme ci-dessus pour

conclure : les processus (Xs)

et

(xr)

_{sont donc 6gaux presque s0rement}

(in-<l6pendarnment

_du

t

_choisi)

_.t

_{donc en}

_particulier,

en 0, les trajectoires cle

(Xr)

sont r:ontinues.

.L.2

_Quelq,ues

_invariances

4.2.L

Propri6t6

de

Nlarkov

simple

Proposition

_{<l.S Homog6n6it6 temporzlle}

,Soil

_{(Il)xEen un}

_{rnouaernent brownien.}

_Alors,

_quel

_que

soi,t

s

>

0

le Frocessus (Br")run*

,

d€.fi,ni,,

pou; tout

_t

)

₀

_par

_:

Bi:Br+,-F",

est

un

?nou7)ernent _{brownien ind,1pendant de}

_{la tribu}

_{f" :}

_o(8r,0

(

_r

(

s).

Preuver

Pour toLrt

t

)

0t

Bf

:

Bt+,

_-

B,

est un accroissement du brownien

(4)r

donc

suit

une loi 1f(0,

t

*

s

_-

s)

:

I/(0,

t).

De plus _{les accroissernents de} (Br")1 sont d.es accroissements du processus irLitial

(Br)r

donc sont encore ind6pendants.

Enfin,

t

+--+

Bi'@)

est cr:ntinue

po*r

presque

rour

u

comme diff6rence

d'applications continues

:

,s F-

-,

B"(u)

_{est ps continue,}

_et

f

r-r

_{@1"(c..,) est}

ps continue comme composde de

I

r---+

_t

*

_s

_et

_{, ,--+}

_Bt.Ce

_{qui prouve que} (j3f)1 est en.core un tnouvement brownien.

concernant _{I'in,cdpendance de ce nouveau processus avec}

_la

_{tribu Fr,}

_il

s',agit de v€rrifier I'lnd6pendance cle

tout

sous vecteur

fini

exbrait

ae

_1a;y,

arrec 1o,t, sous vect;eur'

_{fini extrait}

_de

_(Br)r.".

_soient

_donc

_n

_et

_p

_deux

en-tiers

positifrs stricterment,

0

( lr

<

...

_1t,,

et 0

(

rr

(

...

<

rp

<

s.

On cc,nsiddre les vecteurs

_W

:

(8f.,

...,

Bi,)

:

(Brr*"

_-

8",

...,

Br^i" _ B")

_et