118Position de droites

Couples de droites

a. Reproduis le tableau ci-dessous.

Parallèles Sécantes non

perpendiculaires Perpendiculaires

b. À vue d'œil, classe deux couples de droites dans chaque colonne du tableau.

En utilisant le quadrillage, nomme les droites parallèles et celles perpendiculaires.

Avec le codage

a. Quelles droites sont à coup sûr perpendicu- laires ?

b. Quelle semble être la position relative des droites (BA) et (GR) ?

Justifie ta réponse.

P.1. Trois droites sécantes sont concourantes.

P.2. Deux droites non parallèles sont sécantes.

P.3. Deux droites peuvent avoir exactement trois points communs.

P.4. Deux droites non perpendiculaires sont sécantes.

Dans un quadrillage

a. Reproduis la figure ci-dessous, en respectant le quadrillage.

b. Recopie et complète ce tableau avec les symboles // et ⊥.

(AB) … (BC) (BC) … (DE) (EF) … (CD) (AB) … (DE) (BD) … (DF) (DF) … (CE)

Recopie et complète les phrases suivantes.

a. (d

) est ... droite … à la droite (d

) passant par le point … ;

b. (d

) est la droite … à la droite (d

) en … ; c. (d

) est ... droite … à la droite (d

).

En observant la figure de l'exercice 12 , réponds aux questions suivantes.

a. Quelle droite perpendiculaire à la droite (GR) passe par le point A ?

b. Quelle droite perpendiculaire à la droite (AR) passe par le point B ?

c. Quelle droite perpendiculaire à la droite (LO) passe par le point I ?

10

Position de droites

(d

) (d

)

(d

) (d

)

(d

)

(d

)

B L O

A

R G

I 11

12

14

15

16 A

B

C D E

F G

H

A B

C D

E F

(d

) (d

)

(d

)

(d

) (d

)

A

B

Vrai ou Faux

13

Voici les trois étapes d'une construction.

Étape 1 Étape 2 Étape 3

Pour chacune des trois phrases suivantes, indique à quelle étape elle correspond.

Phrase A : Place un point A n'appartenant pas à la droite (d).

Phrase B : Trace une droite (d).

Phrase C : Trace la droite (d'), parallèle à la droite (d), passant par le point A.

Voici les quatre étapes d'une construction.

Étape 1 Étape 2

Étape 3 Étape 4

Pour chacune des quatre phrases suivantes, indique à quelle étape elle correspond.

Phrase A : Trace la droite (d), perpendiculaire à la droite (AB), passant par le point M.

Phrase B : Place deux points distincts A et B.

Phrase C : Place un point M n'appartenant pas à la droite (AB).

Phrase D : Trace la droite (AB).

On a écrit le programme de construction permettant de construire cette figure.

Malheureusement, les cinq étapes du texte sont dans le désordre. Récris, dans l’ordre, le programme de construction.

Étape 1 : Trace la droite (d'), parallèle à la droite (d), passant par le point S.

Étape 2 : Trace une droite (d), sécante en T à la droite (TR).

Étape 3 : Trace la droite (TR).

Étape 4 : Place deux points distincts T et R.

Étape 5 : Place un point S n'appartenant pas à la droite (d).

Pour chaque étape de la bande dessinée ci- dessous, écris la consigne qui a été donnée. (On ne tient pas compte des mesures.)

Étape 1 Étape 2

Étape 3 Étape 4

Écris un programme de construction qui permet d'obtenir la figure suivante.

Écris un programme de construction qui permet d'obtenir la figure suivante (les droites vertes sont parallèles).

M N

P (d) A

(d)

(d')

A (d)

(d')

A (d)

(d')

A

B M

A

B M

A

B M

A

B M

(d)

T S

R

(d) (d')

C E

A D

C E

A D

C E

A D

C E

A D

A B

O (d

)

(d

) (d

)

Programmes de construction

17

18

19

20

21

22

Pour les exercices 23 à 25 , reproduis la figure sur une feuille quadrillée, puis effectue les tracés demandés à la règle.

Trace la droite parallèle à la droite (d), passant par le point A.

Trace la droite perpendiculaire à la droite (d), passant par le point B.

Trace la droite (d

) perpendiculaire à la droite (d), passant par le point M, puis la droite (d

) parallèle à la droite (d'), passant par M.

Reproduis sur une feuille blanche deux figures analogues à celles ci-dessous.

 

a. Pour chacune des figures, trace...

• la droite (d'), perpendiculaire à (d), passant par B ;

• la droite (d''), perpendiculaire à (d), passant par A.

b. Que peux-tu dire des droites (d') et (d'') ?

Sur du papier blanc (sans quadrillage), reproduis une figure analogue à celle ci-dessous.

a. Trace la droite parallèle à (d), passant par C.

b. Trace (d'), la parallèle à (d), passant par A.

c. Trace (d''), la parallèle à (d), passant par B.

d. Que peux-tu dire des droites (d') et (d'') ?

Lucie a cassé son équerre.

Elle doit tracer la droite perpendiculaire à la droite (d), passant par le point A.

Son amie Sara lui dit qu'elle peut faire cette construction, même avec son équerre cassée.

Peux-tu expliquer comment ?

Décalque la figure ci-dessous.

a. Construis la perpendiculaire à la droite (d), passant par le point P. Que vaut-il mieux faire avant d'utiliser l'équerre ?

b. Est-il possible d'effectuer cette construction en utilisant l'équerre en premier ?

a. Place trois points distincts non alignés A, B et C, puis trace la droite (AB).

b. Trace la droite parallèle à la droite (AB), passant par le point C.

(d) B

A

A (d)

B

A

B C (d)

A

(d)

P

(d)

Constructions

23

24

25

26

27

28

29 (d)

A

(d)

B

(d)

(d') M

Géométrie Dynamique

30

Parallèle et perpendiculaire

a. Place trois points, R, S et T, distincts et non alignés.

b. Trace la droite (d), parallèle à la droite (ST), passant par le point R.

c. Trace la droite (d'), perpendiculaire à la droite (RT), passant par le point S.

Position relative

a. Trace une droite (d) et place un point A n'appartenant pas à cette droite.

b. Trace (d'), parallèle à (d), passant A.

c. Trace une droite (d''), perpendiculaire à (d).

d. Que peux-tu dire des droites (d') et (d'') ?

CHAT alors !

a. Place deux points distincts, C et H, puis trace la droite (CH).

b. Trace les droites (d) et (d'), perpendiculaires à la droite (CH), respectivement en C et en H.

c. Place un point A, appartenant à la droite (d'), distinct du point H.

d. Trace la droite (d''), parallèle à la droite (CH), passant par le point A.

e. Nomme T le point d'intersection des droites (d) et (d'').

f. Que peux-tu dire du quadrilatère CHAT ?

a. Construis un triangle ABC.

b. Trace en bleu la droite perpendiculaire à la droite (AB), passant par le point C.

c. Trace en rouge la droite perpendiculaire à la droite (BC), passant par le point A.

d. Nomme H le point d'intersection des droites bleu et rouge.

e. Trace la droite (BH).

f. Déplace les points A, B et C.

Comment semble être la droite (BH) ?

Vérifie ton hypothèse à l'aide d'une fonction du logiciel.

a. Place trois points L, I et N, distincts et non alignés.

b. Trace en vert la parallèle à (LI) passant par N.

c. Trace en orange la parallèle à (LN) passant par I.

d. Place O à l'intersection des droites verte et orange.

e. Quelle est la nature du quadrilatère LION ?

Avec des symboles

a. Place deux points A et B tels que AB = 8 cm.

b. Place le point L sur [AB] tel que AL = 3 cm.

c. Trace la droite (d) telle que : L ∈ (d) et (AB) ⊥ (d).

d. Place un point C tel que : C ∈ (d) et LC = 2 cm.

e. Trace la droite (d') telle que : (d') // (AB) et C ∈ (d').

f. Sur la demi-droite [BC), place le point I tel que BI = 7 cm.

g. Trace la droite (d'') telle que : I ∈ (d'') et (d'') // (AC).

Construis cette figure en vraie grandeur.

(BM) // (AN)

À partir d'un carré de 10 cm de côté et sur une feuille blanche, construis cette figure, constituée de petits carrés, en vraie grandeur.

10 cm O

B N

M A

5,5  c m 8 c m

3 c m 31

32

33

36

37

38 Géométrie Dynamique

34

Géométrie Dynamique

35

Pour quelle(s) figure(s) peux-tu être certain que la droite (d) est la médiatrice du segment [AB] ? Pourquoi ?

Figure 1 Figure 2 Figure 3

a. Place deux points distincts A et B, puis trace le segment [AB].

Utilise le bouton Médiatrice pour tracer la médiatrice du segment [AB].

b. Place deux points distincts C et D, puis trace le segment [CD].

Sans utiliser le bouton Médiatrice, trace la médiatrice du segment [CD]. Explique comment tu procèdes.

Reproduis cette figure dans un quadrillage, puis trace la médiatrice de chaque segment.

Même consigne qu'à l'exercice précédent.

Dans chaque cas, trace le segment de longueur donnée, puis trace sa médiatrice.

a. AB = 4 cm b. CD = 7 cm

c. EF = 6,4 cm d. GH = 5,6 cm

Points alignés

a. Trace un segment [AB] de longueur 7 cm.

b. Place le point C de la demi-droite [BA), situé à 12 cm du point B.

c. Trace la médiatrice ( m

) du segment [AC], et la médiatrice ( m

) du segment [AB].

d. Que remarques-tu ?

a. Construis un triangle ABC.

b. Construis les médiatrices des segments [AB] et [CB]. On appelle O leur point d'intersection.

c. Trace la droite (d), perpendiculaire à (CA), passant par le point O. Que peux-tu en dire ? d. Trace le cercle de centre O passant par A.

Que constates-tu ?

Quelle figure ci-dessous correspond au programme de construction suivant ?

Justifie ta réponse.

• Construis un triangle ABC, rectangle en A.

• Trace (d

), la parallèle à (BC), passant par A.

• Trace (d

), la médiatrice du segment [AB].

• Place D, le point d'intersection des droites (d

) et (d

).

Figure 1 Figure 2

Figure 3 Figure 4

B A

(d)

A B

(d)

B A

(d)

A B

C

(d

)

(d

) D

A B

C

(d

) (d

)

D

A B

C

(d

) (d

)

D

A B

C

(d

) (d

)

D

Médiatrice d'un segment

39

41

42

43

44

46 A

B

C

D Géométrie Dynamique

40 45 Géométrie Dynamique

N

R F

13,5 cm E

10,5 cm

6 cm Observe, recopie et complète.

a. La distance du point S à la droite (LT) est ... . b. La distance du point T à la droite ... est 6 cm.

c. Le point ... est situé à 10,5 cm de la droite ... . d. Le point ... est situé à ... de la droite (RF).

e. La distance du point E à la droite (NR) est comprise entre ... et ... .

Aïe, aïe, aïe...

a. Sur ton cahier, trace deux droites (m) et (d) ainsi qu'un point P, comme sur le dessin.

b. Jean, debout sur la digue, veut aller se baigner mais il doit d'abord passer par le parasol (au point P) pour prévenir ses parents. Représente, sur ton schéma, le trajet que Jean doit emprunter afin de marcher le moins longtemps sur le sable rendu brulant par les rayons du Soleil.

Aires de triangles

a. Trace un segment [MN] de longueur 7 cm.

b. Place trois points S, T et U, situés à 5 cm de la droite (MN).

c. Calcule l'aire des triangles SMN, TMN et UMN.

d. Que remarques-tu ?

Un point M étant donné, construis trois droites (d

), (d

) et (d

), telles que M soit situé à 4 cm de chacune d'entre elles.

Soient une droite (d), et un point E situé à 2 cm de (d).

Fais une figure, puis place tous les points situés à la fois à 4 cm de (d) et à 3 cm du point E.

Soient une droite (d), et un point T appartenant à la droite (d).

Fais une figure, puis colorie en bleu la région du plan contenant les points situés à la fois à plus de 2 cm de (d) et à moins de 3 cm de T.

Quelle est la distance entre les droites (d

) et (d

) ? Puis entre les droites (d

) et (d

) ?

Voici le plan du Jardin des Plantes à Paris.

Quelle est la distance réelle entre...

• les allées Becquerel et Jussieu ?

• la rue Buffon et l'allée Cuvier ?

• les allées Mangin et Jussieu ? 47

48

49

50

51

52

53

(d

) (d

)

(d

)

(d

)

54

Allée Mangin

Allée Becquerel

Allée Jussieu

A llé e H a ü y A llé e L a cr o ix - E d m o n d P e rr ie r A llé e C u vi e r

Lamarck Esplanade

Milne Edwards

3 1

5

2 3

4 L

S T 8 cm 6 cm

10 cm