Théorème de Morley dans le corps des quaternions (Denise Vella-Chemla, 15.2.2019)
Dans une conférence au Collège de France1 ”Langage et mathématique”, Alain Connes évoque le fait que le théorème de Morley s’applique à tout corps possédant une racine cubique de l’unité. C’est le cas en particulier du corps des quaternions.
On cherche 3 quaternions Q,R et S qui vérifientQRS =ravec rune racine cubique de l’unité dans le corps des quaternions, etQ3R3S3= 1.
On peut trouver de nombreuses solutions par programme : pour cibler les solutions, on pose :
? Q=a+bi+cj+dk,
? R=a0+b0i+c0j+d0k
? S=a00+b00i+c00j+d00k.
On développe le produitQRS = (a+bi+cj+dk)(a0+b0i+c0j+d0k)(a00+b00i+c00j+d00k) et on utilise le fait que dans le corps des quaternions, on a i2 =j2 =k2=−1 etij =k, ji=−k, jk=i, kj =−i, ki=j et ik=−j pour obtenir la valeur suivante pourQRS :
a00(aa0−bb0−cc0−dd0) −b00(a0b+ab0−c0d+cd0) −c00(a0c+b0d+ac0−bd0) −d00(a0d−b0c+bc0+ad0) + a00i(a0b+ab0−c0d+cd0) +b00i(aa0−bb0−cc0−dd0) −c00i(a0d−b0c+bc0+ad0) +d00i(a0c+b0d+ac0−bd0) + a00j(a0c+b0d+ac0−bd0) +b00j(a0d−b0c+bc0+ad0) +c00j(aa0−bb0−cc0−dd0) −d00j(a0b+ab0−c0d+cd0) + a00k(a0d−b0c+bc0+ad0) −b00k(a0c+b0d+ac0−bd0) +c00k(a0b+ab0−c0d+cd0) +d00k(aa0−bb0−cc0−dd0) qui est de la forme :
a00A −b00B −c00D −d00C + a00B +b00A −c00C +d00D + a00D +b00C +c00A −d00B + a00C −b00D +c00B +d00A
On trouve quelques racines cubiques de l’unité possibles, telles que (−1,1,1,1) ou bien (−1,−1,−1,−1) ou encore (−0.5,0.5,0.5,0.5).
Et on obtient par exemple par programme la solution suivante, qui vérifie bien les contraintes souhaitées.
Si
? Q=−1−i−j+k,
? R=−1 +i+j−k,
? S=−1 +i+j+k, alors
? QRS=r=−0.5 + 0.5i+ 0.5j+ 0.5j
? avec r3= 1
? et Q3R3S3= 1.
1. https://www.college-de-france.fr/site/colloque-2018/symposium-2018-10-18-10h00.htm
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