Corrigé du D.S.2 spé I-

Corrigé du D.S.2 spé

I- a=n²−n−12 ; b=2n²−7n−4

1. a=n3n−4 et b=2n1n−4 or n3∈ℕ et 2n1∈ℕ d'où n−4 |a et n−4 |b. 2. a '=n3 et b '=2n1.

a. 2a '−b '=2n6−2n−1=5.

b. Soit d∈Da ' ,b ' alors d| 2a '−b ' d'où d|5.

c. Supposons a ' et b ' des multiples de 5, alors il existe des entiers relatifs q et q' tels que : n3=5q et 2n1=5q ' d'où 2n1−n3=5q−q ' avec q−q '∈ℤ

et donc n-2 est un multiple de 5.

Réciproquement : Supposons n−2 est un multiple de 5. alors il existe q∈ℤ tel que n−2=5q, d'où n=5q2 et donc n3=5q1 et 2n1=52q1.

On a donc a ' et b ' multiples de 5.

D'où l'équivalence demandé.

3. a. a∧b=n3n−4∧2n1n−4=n−4[n3∧2n1]

or n3∧2n1=1 ou 5 d'après 2 a.

D'autre part n3∧2n1=5 si et seulement si a ' et b ' des multiples de 5, c'est à dire si et seulement si n−2=5q ou encore n=5q2.

En conclusion : Si n=5q2 alors a∧b=5n−4 Sinon alors a∧b=n−4.

b. Si n=11 n−2=9 n'est pas un multiple de 5 d'où a∧b=n−4=7. Vérification : a=98 etb=161 et 98∧161=7.

Si n=12 n−2=10 est un multiple de 5 d'où a∧b=5n−4=40. Vérification : a=120 etb=200 et 120∧200=40.

II- Congruence .

1. a . a≡b [11] et c≡d [11] alors il existe k et k' appartenant à ℤ tels que : a=b11k et c=d11k '

On a donc ac=bd11kk ' aveckk '∈ℤ

et a c=bd11k dk ' b11kk ' aveck dk ' b11k k '∈ℤ d'où ac≡bd [11] et a c≡b d [11]

b. On suppose que a≡b [11]. Posons P_n:aⁿ≡bⁿ.

● P₀ est évidemment vraie (en effet a⁰=b⁰=1)

● Supposons que la propriété P_n soit vraie pour un certain rang p, alors on a _a^p_≡b^p _[11]. on déduit de la question a. que a^p×a≡b^p×b [11] d'où a^p1≡b^p1 [11] et donc la propriété

P_n est vraie au rang p+1

● Conclusion : Par récurrence P_n est vraie pour tout n entier naturel.

2. Soit N un entier naturel dont l'écriture en base 10 est a_na_n−1⋯a₁a₀. a. On a 10=−111 d'où 10≡−1[11].

b. On a N=a_na_n−1⋯a₁a₀=

∑

k=0 n

a_k10^k or 10^k≡−1^k [11] d'où N≡

∑

k=0 n

a_k−1^k. Or N est divisible par 11 si et seulement si N≡0[11].

En conclusion : N est divisible par 11 si, et seulement si,

∑

k=0 n

a_k−1^k=a₀−a₁a₂−a₃⋯−1ⁿa_n est un multiple de 11.

c. On a, d'après 2. b.

60623456790123457989≡9−89−75−43−21−09−76−54−32−60−6 [11], or 9−89−75−43−21−09−76−54−32−60−6=12111211−4−6=0 d'où 60623456790123457989 est divisible par 11.

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III-Restes.

1. On a 7⁰=1 d'où 7⁰≡1[10], 7¹=7 d'où 7¹≡7[10], 7²=49 d'où 7²≡9[10], d'où 7³≡7×9[10] et donc ₇³_≡3[10] , et enfin ₇⁴_≡3×7[10]et donc ₇⁴_≡1[10]

Soit k∈ℕ, alors 7⁴^k≡1^k[10], d'où 7^4k≡1[10]

d'où 7^4k1≡7[10], 7^4k2≡9[10] et 7^4k3≡3[10]. (On utilise les premiers résultats et le fait que 7^4kp=7^4k×7^p) 2. A=177²⋯7ⁿ=

∑

k=0 n

7^ksupposons n=4 p, alors A=

∑

k=0 4p

7^k=

∑

i=0 p

7⁴ⁱ

∑

i=0 p−1

7^4i1

∑

i=0 p−1

7^4i2

∑

i=0 p−1

7^4i3 D'où d'après 1. A≡

∑

i=0 p

1

∑

j=0 p−1

7

∑

j=0 p−1

9

∑

j=0 p−1

3 [10] d'où A≡p17 p9p3p [10]

Conclusion : A≡20p1 [10]c'est à dire A≡1 [10]. Si n=4p1 alors A=

∑

k=0 4p1

7^k=

∑

k=0 4p

7^k7^4p1, d'où A≡17 [10], soitA≡8[10]. Si n=4p2 alors A=

∑

k=0 4p2

7^k=

∑

k=0 4p1

7^k7^4p2, d'où A≡89 [10], soitA≡7[10]. Si n=4p3 alors A=

∑

k=0 4p3

7^k=

∑

k=0 4p2

7^k7^4p3, d'où A≡73 [10], soitA≡0[10].

IV-On a 4⁰=1 d'où 4⁰≡1[9], 4¹=4 d'où 4¹≡4[9], 4²=16 d'où 4²≡7[9], et enfin 4³≡7×4[9] et donc 4³≡1[9] ,

Soit k∈ℕ, alors 4³^k≡1^k[9], d'où 4^3k≡1[9]

d'où 4^3k1≡4[9], 4^3k2≡7[9].

(On utilise les premiers résultats et le fait que ₄^3kp₌₄^3k_×4^p) On a donc :

Si n=3k alors 4ⁿ6n−1≡16×3k−1 [9] d'où 4ⁿ6n−1≡0 [9] .

Si n=3k1 alors 4ⁿ6n−1≡46×3k1−1 [9] d'où 4ⁿ6n−1≡918k≡0 [9]. Si n=3k2 alors 4ⁿ6n−1≡76×3k2−1 [9] d'où 4ⁿ6n−1≡1818k≡0 [9]. Conclusion : Pour tout n∈ℕ, 4ⁿ6n−1≡0 [9]

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