DEVOIR DE CONTROLE N°1

(1)

Lycée Rue A.Amara Hichem Khazri Le Kef 06/11/2012- 2h 4

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T4

DEVOIR DE CONTROLE N°1

Le sujet comporte deux pages EXERCICE N°1(4pts)

Pour chaque question, une seule une seule des trois propositions est exacte. L’élève indiquera sur la copie le n° de la question et la lettre correspondante à la réponse choisie.

1) Un argument du nombre complexe −1 i+ 3 est : a) 3

−π b) 3 2π

c) 3 π 2) Une solution de l’équation z²+z =1+iest :

a) i b) 1+i c) 2-i 3) Soit A, B et C trois points d’affixes respectives a, b et c tel que i

a c

a

b =2

−

− alors :

a) BC=AC b) ABet AC sont colinéaires c)

(

^AB^,^AC

)

^≡⁻^π₂

^{[ ]}

²^π

4) =

+∞

→ 1)

sin(x x Lim

x

a) 0 b) 1 c) +∞ EXERCICE N°2 (6pts)

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct

(

^O^,^u^r^,^v^r

)

^.

1) Résoudre dans C l’équation : z²+2iz+3=0 Soit les points A, B et C d’affixes respectives i, -3i et –i

Pour tout point M du plan d’affixe z (z≠-3i) on associe le point M’ d’affixe

i z z iz

3 ' 1

+

= − 2) Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que z’ soit réel 3) Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que z' =1 4) a) Vérifier que (z’-i)(z+3i)=2

a. En déduire que AM’.BM=2 et que

(

^u^r^,^AM^'

) ( )

⁺ ^u^r^,^BM ^≡⁰

^{[ ]}

²^π

5) Soit le point E d’affixe 3 2 ⁴

iπ

E i e

Z =− − a) Calculer BE

b) Déterminer

( )

^u,^r ^BE

EXERCICE N°3(6pts)

Soit la fonction définie sur IR par : 1 cos

si 0

1 ² 1

si 0 1 ( )

² 2

si 1 1

(0) 0

x x

x

x x

f x x

x x

x f

−

 <



+ −

 < <

=

 −

 ≥

+

 =



1) Montrer que pour x <0 on a : 2

( ) 0

x ≤f x ≤ . En déduire lim ( )

x f x

→−∞

(2)

2) Montrer que f est continue en 0

3) Etudier la dérivabilité de f en 0 et interpréter graphiquement

4) On donne pour x ≥1 l’équation (E ): ( )g x =0avec 1

( ) ( )

g x f x

= −x . a) Montrer que (E ) admet une solution α ^dans

] [

^{1; 2}

b) Montrer que α³ =3α+1 EXERCICE N°4(4pts)

On donne dans un repère orthonormé la représentation graphique d’une fonction f définie sur IR

1) Justifier la continuité de f sur IR 2) Déterminer lim ( )

x f x

→+∞ et lim ( )

x f x

→−∞ puis dresser le tableau de variation de f 3) f est elle dérivable en 0 si oui Déterminer la valeur exacte de f ’(0)

4) Montrer que l’équation f(x)=0 admet une unique solution α dans [-1,0]

5) Sachant que f x( )=x³+ +x 1 donner un encadrement de α d’amplitude 0.5

DEVOIR DE CONTROLE N°1

Lycée Rue A.Amara Hichem Khazri Le Kef 06/11/2012- 2h 4

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DEVOIR DE CONTROLE N°1

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