La fonctionf® peut être écrite sous la forme
f®(x) =x1¡x® = exp [(1¡x®) ln x]: Ce qui prouve que les assertions 01 a), b) et c) sont fausses.
Examinons l’assertion 01 d).
ln f®(x) = (1¡x®) ln x d’où
x® = 1¡ ln f®(x) ln x : Ce qui prouve que l’assertion 01 d) est vraie.
Nous répondons :
Question 01 : a) Fausse b) Fausse c) Fausse d) Vraie e) Fausse Nous avons pour ® = 1
f1(x) = exp [(1¡x) ln x]: (0.1) Il est clair que lim
x!0+ (1¡x) ln x = ¡1 donc lim
x!0+ f1(x) = 0: Nous en déduisons que l’assertion 02 a) est vraie et que l’assertion 02 b) est fausse.
Nous dérivons l’expression(0:1) f10(x) =
·
¡ln x+1¡x x
¸ f1(x)
= ¡x ln x+ 1¡x
x f1(x):
Ce qui donne une forme indéterminée pour x! 0+: Il est donc préférable de déterminer la limite du taux d’accroissement
f1(x)
x =x¡x = exp (¡x ln x)
qui admet pour limite 1. Donc f1 admet un prolongement à droite de 0 en posant
xlim!0+f10(x) = 1:
L’assertion 02 c) est vraie et l’assertion 02 d) est fausse (si l’on accepte que la référence est faite encore à f1).
Toutefois nous allons montrer que f¡1 n’est pas prolongeable par continuité en x = 0 donc même si la référence est faite à f¡1 pour l’assertion 02 d), elle est encore fausse. Ce résultat est logique car dans ce type de QCM, il y a au plus deux réponses exactes. Ce qui permet de ne pas examiner l’assertion 02 d), si on est sûr de son raisonnement.
Nous répondons :
Question 02 : a) Vraie b) Fausse c)Vraie d) Fausse e) Fausse
f¡1(x) = exp
·µ 1¡ 1
x
¶ ln x
¸
Suite question 21 à 40.
¸ est une valeur propre si et seulement si
dim (ker (M-¸ I))>1:
Ce qui est di¤érent de non vide. Donc l’assertion 21 a) sont fausse.
En dimension 4, le polynôme caractéristique peut n’avoir que des racines complexes. Par exemple
M = 0 BB
@
0 ¡1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ¡1 0 0 1 0
1 CC
A (0.2)
> with(linalg) :
> M := matrix( [ [0,-1,0,0], [1,0,0,0], [0,0,0,-1], [0,0,1,0] ] ) :
> eigenvects(M) ;
i; ¡i; i; i
admet quatre valeurs propres complexes. Donc l’assertion 21 b) est fausse.
Pour l’assertion 21 c), il peut y avoir confusion entreX di¤érent du vecteur nul (condition nécessaire) et ¸6= 0 (Condition pouvant être réalisée). Ainsi cette assertion est fausse.
En…n, si nous rejetons l’assertion 21 b), nous devons aussi rejeter l’assertion 21 d) dans le cas où les valeurs propres étant complexes, il ne peut y avoir de vecteurs propres dans R4:
Toutes les assertions proposées étant fausses, nous devons accepter l’assertion 21 e).
Nous répondons :
Question 21 : a) Fausse b) Fausse c) Fausse d) Fausse e) Vraie La matrice M dé…nie par(0:2) n’est pas trigonalisable dans R mais elle le serait dans C: Nous rejetons l’assertion 22 a). Nous savons que le rang¤d’une matrice n’intervient pas dans la diagonalisation. Par exemple la matrice symétrique
M = 0 BB
@
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 CC A est de rang 1 et diagonalisable.
> M := matrix( [ [1,1,1,1], [1,1,1,1],[1,1,1,1],[1,1,1,1] ] ) :
> eigenvects(M) ;
4; 1;
8>
><
>>
: 1 1 1 1
9>
>=
>>
;
; 0; 3;
8>
><
>>
:
¡1 1 0 0
;
¡1 0 1 0
;
¡1 0 0 1
9>
>=
>>
;
Si les valeurs propres de M sont réelles, nous ne sommes pas assurés de diagonalisation.
Il faut la concordance entre ordre de multiplicité et dimension du sous espace propre correspondant. Nous n’acceptons pas l’assertion 22 c).
¤SiRgM <4alors¸= 0est valeur propre etkerf est le sous espace propre associé.
S’il existe des valeurs propres réelles, nous avons obligatoirement des sous espaces propres qui par dé…nition sont stables par M d’après la relation M X = ¸ X. L’assertion 22 d) est donc vraie.
Nous répondons :
Question 22 : a) Fausse b) Fausse c) Fausse d) Vraie e) Fausse Pour les questions suivantes, déterminons les valeurs propres et vecteurs propres de M:
> A := matrix( [ [7,4,0,0], [-12,-7,0,0], [20,11,-6,-12], [-12,-6,6,11]] ) ;
A :=
0 BB
@
7 4 0 0
¡12 ¡7 0 0 20 11 ¡6 ¡12
¡12 ¡6 6 11 1 CC A
> eigenvects(A) ;
¡1; 1;
8>
><
>>
: 1
¡2 2
¡1 9>
>=
>>
;
; 1; 1;
8>
><
>>
: 2
¡3 1 0
9>
>=
>>
;
; 2; 1;
8>
><
>>
: 0 0 3
¡2 9>
>=
>>
;
; 3; 1;
8>
><
>>
: 0 0 4
¡3 9>
>=
>>
;
(0.3)
Les valeurs propres de A sont
¸1 =¡1; ¸2 = 1; ¸3 = 2 et ¸4 = 3:
Ainsi 0 n’est pas valeur propre, donc f est un automorphisme de E: En particulier A est inversible. L’assertion 23 a) est donc vraie, les assertions 24 a) et 24 b) sont fausses et les assertions 24 c) (ker f =
n¡!0 o
½ Im f =E) et 24 d) sont vraies.
Vous constatez ici l’importance des questions liées. Une bonne lecture et une bonne compréhension donnent beaucoup de résultats ... ré‡exion à méditer.
Nous savons (la preuve étant la loi du rang) que pour un endomorphisme il y a équivalence entre injection, surjection et bijection. Donc l’assertion 22 b) est fausse.
Le rang de la matrice A est 4 car 0 n’est pas vecteur propre, c’est aussi le rang de sa transposée tA: Nous pouvons considérer les vecteurs colonnes de tA, qui ne sont autres que les vecteurs lignes de A; comme une famille génératrice deIm tf =E:Ce qui prouve que l’assertion 23 c) est vraie.
Nous pouvons le véri…er par calcul du déterminant de tA:
> det(transpose(A)) ;
¡6 (0.4)
Ce qui précède établit que Im f est de dimension 4, donc ne peut être engendré par la famille
³¡! k ; ¡!
l
´
: L’assertion 23 d) est donc fausse.
Nous répondons :
Question 23 : a) Vraie b) Fausse c)Vraie d) Fausse e) Fausse
Question 24 : a) Fausse b) Fausse c)Vraie d) Vraie e) Fausse Il est clair que l’assertion 25 a) est fausse car ¸2 = 1; que l’assertion 25 b) est vraie
¸1 = ¡1 = ¡¸2; que la trace (somme des valeur propres) Tr A = 7¡ 7 ¡6 + 11 =
¸1 + ¸2 + ¸3 + ¸4 = 5 donc que l’assertion 25 c) est vraie. L’assertion 25 d) est obligatoirement fausse (cause deux assertions vraies au plus), ce que nous avions trouvé par le calcul des valeurs propres.
Nous répondons :
Question 25 : a) Fausse b) Vraie c)Vraie d) Fausse e) Fausse Les vecteurs propres de la matrice A déterminés à la relation (0:3) donne pour matrice de passage la matrice P proposée au liminaire de la question 28
P =M atF;B0 =
¡!u1 ¡u!2 ¡!u3 ¡u!4
0 BB
@
1 2 0 0
¡2 ¡3 0 0
2 1 3 4
¡1 0 ¡2 ¡3 1 CC A
¡!i
¡!j
¡!k
¡! l
Ainsi l’assertion 26 a) est fausse car F est une base de E et c’est aussi une base de Im f car f est bijectif. l’assertion 26 b) est à moitié vraie et à moitié fausse donc fausse.
La lecture de la matrice P prouve que l’assertion 26 c) est vraie et que l’assertion 26 d) est fausse.
Nous répondons :
Question 26 : a) Fausse b) Fausse c)Vraie d) Fausse e) Fausse Pour les assertions de la question 27, il faut bien lire le texte proposé.
F est une famille génératrice de Im f = E donc l’assertion 27 a) est vraie et l’assertion 27 b) est fausse.
Une combinaison linéaire de vecteurs peut être nulle, si tous les scalaires formant la 4-liste sont tous nuls. Ainsi l’assertion 27 d) est vraie et l’assertion 27 c) est fausse.
Nous répondons :
Question 27 : a) Vraie b) Fausse c) Fausse d) Vraie e) Fausse La familleBn’est autre que la familleF doncBest une base deR4et doncP est inversible.
L’assertion 28 a) est fausse et l’assertion 28 b) est vraie.
Calculons le déterminant de P:
> P := matrix( [ [1,2,0,0], [-2,-3,0,0], [2,1,3,4], [-1,0,-2,-3]] ) :
> det(P) ;
¡1
ce qui est di¤érent de det(A) d’après (0:4) donc l’assertion 28 c) est fausse.
De manière générale, Tr P etTr P¡1 peuvent être di¤érents. Il faut donc faire le calcul
> inverse(P) ; 0
BB
@
¡3 ¡2 0 0
2 1 0 0
0 1 3 4
1 0 ¡2 ¡3 1 CC A
Nous constatons que Tr P = 1¡3 + 3¡3 =¡2 et queTr P¡1 =¡3 + 1 + 3¡3 = ¡2:
Donc l’assertion 28 d) est vraie. C’est dur dur les Questionnements Automatisables, il faut tout véri…er.
Nous répondons :
Question 28 : a) Fausse b) Vraie c) Fausse d) Vraie e) Fausse Par hypothèse les matrice Ci où16 i64 sont
C1 = 0 BB
@
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 CC
A; C2 = 0 BB
@
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 CC A;
C3 = 0 BB
@
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
1 CC
A etC4 = 0 BB
@
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
1 CC A:
Les valeurs propres de A sont simples donc A est diagonalisable. Si D est sa réduite diagonale alors
A=P D P¡1 et nous pouvons écrire
D = ¸1C1+¸2C2+¸3C3+¸4C4
= ¡C1 +C2+ 2C3+ 3C4:
Ce qui établit l’existence des matrices B1; B2; B3 etB4 telles que
A =¡B1 +B2+ 2 B3+ 3B4 (0.5)
car nous pouvons écrire
A = ¡Q C1Q¡1+ Q C2Q¡1+ 2Q C3Q¡1+ 3Q C4Q¡1
= Q (¡C1+C2+ 2C3+ 3C4) Q¡1
= Q D Q¡1:
La seule possibilité est que Q soit une matrice de passage, nous savons que cette matrice n’est pas unique mais que
Bi =Q CiQ¡1
elle est unique. Nous notons P la matrice de passage proposée.
Nous obtenons alors pour unique solution possible
Bi =P CiP¡1 avec16 i64:
Donc les assertions 29 a) et 29 b) sont fausses et l’assertion 29 d) est vraie. Pour 29 b), il est clair que dim M4(R) = 42 = 16 et non 4.
Nous en déduisons aussi que l’assertion 31 c) est vraie et que l’assertion 31 d) est fausse.
E¤ectuons le calcul de B1 par exemple pour contrôler l’assertion 29 c).
> C1 := matrix( [ [1,0,0,0], [0,0,0,0], [0,0,0,0], [0,0,0,0]] ) :
> B1 :=evalm(P &* C1 &* P^(-1)) ;
B1 :=
0 BB
@
¡3 ¡2 0 0 6 4 0 0
¡6 ¡4 0 0 3 2 0 0
1 CC A
Ce qui prouve que l’assertion 29 c) est fausse. Attention aux assertions à moitié vraie et à moitié fausse, elles sont fausses.
Nous répondons :
Question 29 : a) Fausse b) Fausse c) Fausse d) Vraie e) Fausse Il est évident que Ci2 = Ci pour tout i; donc les assertions 30 b) et 30 c) sont fausses.
Pour 30 b) nous avons pris i=j:
Il en est de même pour l’assertion 30 d) qui est fausse par exemple pour i=j = 1:
L’assertion 30 a) est vraie pouri =j:En particulier Bi2 = P CiP¡1P CiP¡1
= P Ci2P¡1
= P CiP¡1
= Bi: (0.6)
Si nous supposons i 6=j alors nous pouvons écrire
BiBj = P CiP¡1P CjP¡1
= P Ci CjP¡1
= O (0.7)
car Ci Cj =O: Nous pouvons donc accepter l’assertion 30 a).
Nous répondons :
Question 30 : a) Vraie b) Fausse c) Fausse d) Fausse e) Fausse D’après(0:5);(0:6) et(0:7)nous avons immédiatement par récurrence pour tout entiern
An =¸n1 B1 +¸n2 B2 +¸n3 B3+¸n4 B4: (0.8) Donc l’assertion 31 a) est vraie. Attention : il faut examiner le cas n= 0 ce qui prouve que l’assertion 33 b) est vraie.
Nous répondons :
Question 31 : a) Vraie b) Fausse c)Vraie d) Fausse e) Fausse Nous pouvons écrire la relation (0:8) sous la forme
An = P (¸n1 C1 +¸n2 C2+¸n3 C3+¸n4 C4) P¡1
= P DnP¡1 ce qui est un résultat logique et bien connu.
Calculons An:
> Dn := matrix( [ [(-1)^n,0,0,0], [0,1,0,0], [0,0,2^n,0], [0,0,0,3^n]] ) :
> An :=evalm(P &* Dn &* P^(-1)) ; An : =0
BB
@
¡3 (¡1)n+ 4 ¡2 (¡1)n+ 2 0 0
6 (¡1)n¡6 4 (¡1)n¡3 0 0
¡6 (¡1)n+ 2 + 4£3n ¡4 (¡1)n+ 1 + 3£2n 9£2n¡8£3n 12£2n¡12£3n 3 (¡1)n¡3£3n 2 (¡1)n¡2£2n ¡6£2n+ 6£3n ¡8£2n+ 9£3n
1 CC A L’examen du résultat permet de conclure que seule l’assertion 32 d) est vraie, les autres
étant toutes fausses.
Nous répondons :
Question 32 : a) Fausse b) Fausse c) Fausse d) Vraie e) Fausse L’assertion 33 a) est fausse car (nous l’avons déjà dit)dim M4(R) = 16et il en de même pour l’assertion 34 a).
A est bien inversible donc l’assertion 33 c) est fausse. Nous pouvons calculer A¡1 en écrivant
A¡1 = P D¡1P¡1
= P µ1
¸1
C1 + 1
¸2
C2+ 1
¸3
C3 + 1
¸4
C4
¶ P¡1
= P µ
¡C1+ C2 + 1
2C3+ 1 3C4
¶ P¡1
= ¡B1 + B2 + 1
2B3+ 1
3B4: (0.9)
Ce qui prouve que l’assertion 33 d) est vraie.
Nous répondons :
Question 33 : a) Fausse b) Vraie c)Vraie d) Fausse e) Fausse La famillefC1; C2; C3; C4gest manifestement libre donc la familleS =fB1; B2; B3; B4g aussi. Il en résulte queG est bien de dimension 4 et queS en est une base.
La matrice nulleO appartient àGet n’est pas inversible, donc l’assertion 34 c) est fausse.
D’après (0:8) la matrice An pour n 2 Z appartient à G; donc les assertions 34 b) et 34 d) sont vraies.
Nous répondons :
Question 34 : a) Fausse b) Vraie c) Fausse d) Vraie e) Fausse Par hypothèse la matrice M =
X4 i=1
®iBi appartient à G. Et nous avons en multipliant par P¡1 à gauche et par P à droite
P¡1M P = X4
i=1
®iP¡1BiP
= X4
i=1
®iCi =N: (0.10)
Ce qui prouve que l’assertion 35 a) est vraie et que l’assertion 35 d) est fausse.
M etN sont deux matrices semblables dont ayant même rang, ce qui prouve que l’assertion 35 b) est fausse.
En…n si nous acceptons (ce qui est normal) l’assertion 33 b), il faut aussi accepter l’assertion 35 c) qui ne fait que dire la même chose. Il est fréquent, les exemples en sont multiples, de rencontrer des questions liées. Cela permet d’éliminer les farfelus.
D’après (0:10)si M est inversible alors N est aussi inversible.
N = X4
i=1
®iCi
= 0 BB
@
®1 0 0 0 0 ®2 0 0 0 0 ®3 0 0 0 0 ®4
1 CC A:
Ce qui établit que M donc N est inversible si et seulement si det (M) =®1®2®3®4 6= 0:
Ce qui prouve que l’assertion 36 a) est vraie et que l’assertion 36 b) est fausse.
Nous avons accepter l’assertion 33 d), donc il faut aussi accepter l’assertion 36 c) avec d’après (0:9)
®1 =¡1; ®2 = 1; ®3 = 1
2 et ®4 = 1 3:
M ne peut être inversible pour toute 4-liste, il su¢t de considérer la 4-liste
®1 = 0; ®2 = 0; ®3 = 0 et ®4 = 0:
Remarquer qu’un seul des ®i nul su¢t.
Nous répondons :
Question 36 : a) Vraie b) Fausse c)Vraie d) Fausse e) Fausse Les séries entières (en fait des séries géométriques) u(i) sont exprimées par
u(1)(t) =
+1
X
n=0
(¡1)n tn; u(2)(t) =
+1
X
n=0
tn
u(3)(t) =
+1
X
n=0
2ntn et u(4)(t) =
+1
X
n=0
4ntn: Il est immédiat que les rayons de convergence sont
R(1)= 1; R(2) = 1; R(3) = 1
2 et R(4) = 1 3;
où R(i) est le rayon de convergence de u(i) avec 16i64 et que leurs sommes sont u(1)(t) = 1
1 +t; u(2)(t) = 1
1¡t; u(3)(t) = 1
1¡2t etu(4)(t) = 1 1¡3t:
Ces résultats permettent de répondre à de nombreuses assertions. Nous rencontrons ici le cas, très fréquent, où il est souhaitable de convertir le QCM en problème classique. Ne pas oublier que le concepteur de ce type de QCM prend appui sur des sujets classiques. C’est cela le Questionnement Automatisable, à ne pas confondre avec un QCM banal.
Les assertions 37 a), 37 b), 37 c) (Déduites des rayons de convergence), 38 a), 38 b) (Convergence normale implique la convergence uniforme), en…n l’assertion 38 c) (La somme est 1
1¡2t et non 1
2¡t) sont toutes fausses.
Les assertions 37 d) (Elle est encore vraie pourt >1) et 38 d) (Elle est encore vraie pour t < 1) sont vraies.
Nous répondons :
Question 37 : a) Fausse b) Fausse c) Fausse d) Vraie e) Fausse
Question 38 : a) Fausse b) Fausse c) Fausse d) Vraie e) Fausse
D’après ce qui précède nous pouvons écrire Sn =
Xn k=0
tkAk
= P Xn k=0
tk (¸1C1 +¸2C2 +¸3C3+¸4C4)k P¡1
= P Xn k=0
tk ¡
¸k1C1 +¸k2C2+¸k3C3 +¸k4C4
¢ P¡1
= Xn k=0
tk ¸k1B1+ Xn k=0
tk ¸k2B2+ Xn k=0
tk ¸k3B3+ Xn
k=0
tk ¸k4B4
= Xn k=0
u(1)k (t) B1+ Xn
k=0
u(2)k (t) B2 + Xn k=0
u(3)k (t) B3+ Xn
k=0
u(4)k (t) B4: (0.11) Ce qui prouve que Sn (et sa limite éventuelle) appartient à G, donc l’assertion 39 b) est vraie et les assertions 39 a) et 40 b) sont fausses.
L’expression (0:11)admet une limite pour n!+1 qui peut s’écrire L =
+1
X
k=0
u(1)k (t) B1+
+1
X
k=0
u(2)k (t) B2 +
+1
X
k=0
u(3)k (t) B3+
+1
X
k=0
u(4)k (t) B4
= 1
1 +t B1 + 1
1¡tB2+ 1
1¡2tB3 + 1
1¡3tB4: (0.12)
Ce qui prouve que L ne peut exister pour t > 3; donc l’assertion 39 c) est fausse, mais que L existe pour t = 0 (C’est la matriceI), donc que les assertions 39 d) et 40 a) sont fausses.
En…n l’expression (0:12) prouve que l’assertion 40c) est vraie et que l’assertion 40 d) est fausse.
Nous répondons :
Question 39 : a) Fausse b) Vraie c) Fausse d) Vraie e) Fausse
Question 40 : a) Fausse b) Fausse c)Vraie d) Fausse e) Fausse
