CHAPITRE 10

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

I Qu’est-ce qu’une équation différentielle ? . . . . 3

II Équations différentielles linéaires du premier d’ordre . . . . 4

II.1 Généralités . . . . 4

II.2 Ensemble des solutions de l’équation homogène associée. . . . 4

II.3 Solutions d’une équation différentielle du premier ordre . . . . 7

II.4 Déterminer une solution particulière d’une équation différentielle du premier ordre . . . . 8

II.5 Problème de Cauchy. . . . 11

III Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants . . . . 13

III.1 Généralités . . . . 13

III.2 Ensemble des solutions de l’équation homogène associée. . . . 14

III.3 Forme des solutions de (E) . . . . 18

III.4 Déterminer une solution particulière de (E) . . . . 18

III.5 Problème de Cauchy. . . . 20

CONTENUS CAPACITÉS&COMMENTAIRES b) Équations différentielles linéaires du premier ordre

Équation différentielle linéaire du premier ordrey⁰+a(x)y=b(x) où aetbsont des fonctions réelles ou complexes définies et continues sur un intervalleIdeR^.

Équation homogène associée.

Cas particulier où la fonctionaest constante.

Ensemble des solutions de l’équation homogène.

Principe de superposition.

Description de l’ensemble des solutions de l’équation à partir d’une solution particulière et des solutions de l’équation homogène asso- ciée.

Méthode de la variation de la constante.

Existence et unicité de la solution d’un problème de Cauchy.

c) Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients

constantsy⁰⁰+a y⁰+b y=f(x) oùaetbsont des scalaires etfest une fonction réelle ou complexe, définie et continue sur un intervalle.

Équation homogène associée.

Ensemble des solutions de l’équation homogène. Siaetbsont réels, description des solutions réelles.

Principe de superposition.

Description de l’ensemble des solutions de l’équation à partir d’une solution particulière et des solutions de l’équation homogène asso- ciée.

Les étudiants doivent savoir déterminer une solution particulière dans le cas d’un second membre polynôme, de la formex7→Ae^λx avec (A,λ)∈C^2,x7→Bcos(ωx) etx7→Bsin(ωx) avec (B,ω)∈R^2. Existence et unicité de la solution d’un problème de Cauchy. La démonstration de ce résultat est hors programme.

I. Qu’est-ce qu’une équation différentielle ?

Uneéquation différentielleest une équation dont l’inconnue est une fonction y:t7→y(t) et dans laquelle peuvent figurer la variablet, la fonction yet ses dérivées successives y⁰, y⁰⁰,...

On rencontre régulièrement des équations différentielles en physique et en chimie :

1. Réponse d’un circuit RC à un échelon de tension. On considère un circuit électrique composé d’un générateur de tension continueE, d’un condensateurCet d’une résistanceR. La tensionuaux bornes du condensateur vérifie l’équation différentielle :

du dt + 1

R×C×u= E

R×C, (I.1)

oùE,RetCsont des réels connus et oùuest la fonction inconnue.

2. Réponse d’un circuit RLC série à un échelon de tension. On considère un circuit électrique composé d’un générateur de tension continueE, d’un condensateurC, d’une bobineLet d’une résistanceR. La tensionuaux bornes du condensateur vérifie l’équation différentielle :

d²u dt² +R

L×du dt + 1

L×C×u= E

L×C, (I.2)

oùE,R,LetCsont des réels connus et oùuest la fonction inconnue.

3. Pendule simple.Un objet de massemest accroché à une tige inextensible, de longueur_`et de masse négligeable (devant celle du système tout entier).

Le pendule se déplace autour d’un axe horizontal fixe dans le champ de pesanteur−→g. L’angle_θentre la tige et sa position d’équilibre stable vérifie l’équation différentielle :

θ¨+g

`×sin(_θ)=0. (I.3)

Nous ne sommes pas en mesure d’exprimer la fonction_θà l’aide des fonctions usuelles ; cependant, nous verrons en informatique qu’il est possible de tracer « approximativement » le graphe de la fonction_θà l’aide de la méthode d’Euler.

Sous l’approximation des « petits angles », c’est-à-dire lorsque les oscillations sont faibles, on remplace sin(_θ) par_θ (nous verrons en mathématiques une justification de cette approximation). On obtient alors l’équation différentielle :

θ¨+g

`×θ=0 (I.4)

qu’on apprendra à résoudre cette année.

4. Système harmonique. Un point matériel M_t de massemest lié à un ressort horizontal. L’autre extrémité du ressort étant fixe en O. Le ressort a une longueur à vide_`0 et une constante de raideurk.

Pour toutt∈R+, on notex(t)=OM_t−`0 l’allongement du ressort.

Le principe fondamental de la dynamique montre quexest solution de l’équation différentielle :

¨ x+ k

m×x=0. (I.5)

On note_ω0= s

k

m la pulsation propre du système.

5. La concentrationc_Ad’un réactif Adurant une transformation chimique dont la loi de vitesse est d’ordre 1 vérifie l’équation différentielle :

−dc_A

dt =k×c_A oùk>0 est la vitesse de réaction.

On rencontre également des équations différentielles lors de l’étude de modèles épidémiologiques, de l’évolution de populations, des marchés financiers,. . .

II. Équations différentielles linéaires du premier d’ordre

Dans tout le chapitreK^désigneR^ouC^.

Dans cette partie, on considère unintervalle IdeR^. II.1. Généralités

Définition 10.1 – Équation différentielle linéaire du premier ordre

On appelleéquation différentielle linéaire du premier ordretoute équation de le forme

y⁰+a(t)×y=b(t) (E)

oùa:I→K^etb:I→Ksont des fonctions continues.

• Lafonction yest l’inconnue de l’équation différentielle.

• La fonctionbest appelée lesecond membrede l’équation différentielle.

On dit que (E) esthomogène(ousans second membre) lorsquebest la fonction nulle.

Définition 10.2 – Solution d’une équation différentielle linéaire du premier ordre On appellesolution de(E)sur Itoute fonction f qui vérifie les deux conditions suivantes :

1. f est dérivable surI;

2. pour tout t∈I, f⁰(t)+a(t)×f(t)=b(t).

Résoudre (E) surIsignifie : déterminertoutesles solutions de (E) sur I.

Soit f une solution de (E) sur I.

Par définition, f est dérivable surI, donc continue surI.

Or, pour toutt∈I, f⁰(t)= −a(t)×f(t)+b(t).

Donc, f⁰est continue comme somme et produit de fonctions continues.

Ainsi, f est de classeC¹ surI.

Remarque 10.1 – Une solution sur I d’une équation différentielle linéaire du premier ordre est de classeC¹ surI

Dans ce cas, l’équation différentielle (E) se réécrit : y⁰=b(t).

L’ensemble des solutions est donc l’ensemble des primitives deb.

Exemple 10.1 – Cas oùaest la fonction nulle

II.2. Ensemble des solutions de l’équation homogène associée

Définition 10.3 – Équation homogène associée

Avec les notations de la définition10.1, on appelleéquation homogène associée à(E) l’équation différentielle

y⁰+a(t)×y=0. (H)

On noteS(H)l’ensemble des solutions de (H) surI.

Proposition 10.1 – Structure de l’ensemble des solutions de (H) ÏLa fonction nulle est solution de (H) surI.

ÏS(H) est stable par combinaison linéaire.

Autrement dit, pour toutes solutions f etgde (H) surIet (_λ,_µ)∈K², la fonction_λ.f+µ.gest solution de (H) surI.

Démonstration

ÏLa fonction nulle est dérivable surIet, pour toutt∈I, 0+a(t)×0=0.

ÏSoientf etgdeux solutions de (H) surIet (λ,µ)∈K^2.

La fonctionλ.f+µ.gest dérivable comme combinaison linéaire de fonctions dérivables. De plus, pour toutt∈I, (λ.f+µ.g)⁰(t)+a(t)ס

λ.f(t)+µ.g(t)¢

=λס

f⁰(t)+a(t)×f(t)¢ +µ×¡

g⁰(t)+a(t)×g(t)¢

=λ×0+µ×0=0.

Donc,λ.f+µ.gest solution de (H) surI.

Dans un chapitre ultérieur, on dira queS(H)est un sous-espace vectoriel deC¹(I,K^).

Remarque 10.2

Théorème 10.1 – Forme générale des solutions de y⁰+a(t)×y=0(H) Les solutions de

y⁰+a(t)×y=0 (H)

sont les fonctions de la forme :

t7→λ×e^−A(t), définie surI, où_λ∈K^etAest une primitive deasurI. Autrement dit :

S(H)=

½ I → K t 7→ λ×e^−A(t)

¯

¯

¯^λ∈K

¾ .

Démonstration

Soity:I→Kune fonction.

yest solution de (H) surI si, et seulement si, yest dérivable surI

pour toutt∈I,y⁰(t)+a(t)×y(t)=0 si, et seulement si, yest dérivable surI

pour toutt∈I,e^A(t)ס

y⁰(t)+a(t)×y(t)¢

=0 (exp ne s’annule pas) si, et seulement si, yest dérivable surI

pour toutt∈I, _dt^d¡

e^A(t)×y(t)¢

=0

si, et seulement si, t7→e^A(t)×y(t) est constante (exp ne s’annule pas, exp etAsont dérivables surI) si, et seulement si, il existeλ∈Ktel que, pour toutt∈I,e^A(t)×y(t)=λ

si, et seulement si, il existeλ∈Ktel que, pour toutt∈I,y(t)=λ×e^−A(t) (exp ne s’annule pas).

On note f₀:t7→e^−A(t). Les solutions de (H) sont les fonctions_λ.f₀avec_λ∈K^.

Dans un chapitre ultérieur, on dira queS(H)est l’espace vectoriel engendré parf₀ et on écriraS(H)=Vect(f₀).

Remarque 10.3

Résolvons surRl’équation différentielle :

y⁰− 1

1+t²×y=0.

La fonction t7→ − 1

1+t² est continue surR(son dénominateur ne s’annule pas surR) et une primitive de cette fonction est−Arctan.

Les solutions de y⁰− 1

1+t²×y=0 sont les fonctions de la forme :t7→λ×e^Arctan(t)où_λ∈K^. Exemple 10.2

Il ne faut pas se tromper lorsque l’équation différentielle est écrite sous la forme y⁰=a(t)×y. Dans ce cas, les solutions sont de la forme

t7→λ×e^A(t) où_λ∈K^etAest une primitive deasurI.

Comment ne pas se tromper ? C’est simple ! On vérifie en dérivant au brouillon que les solution données sont bien solutions.

Attention

En effet, sit7→λe^−A(t)s’annule ent₁∈I, alors_λ×e^−A(t1)=0.

Or, exp ne s’annule pas, donc_λ=0.

Donc, t7→λe^−A(t)=0 est la fonction nulle.

Le graphique suivant représente les graphes det7→λ×e^Arctan(t)avec_λ∈ ‚−3, 3ƒ.

4 2 0 2 4

10 5 0 5 10

y = 3e^arctan(x) y = 2e^arctan(x) y = e^arctan(x) y = 0 y = e^arctan(x) y = 2e^arctan(x) y = 3e^arctan(x)

Remarque 10.5 – La seule solution de (H) qui s’annuleau moins une foisest la fonction nulle.

Théorème 10.2 – Cas particulier oùaest une fonction constante

Soita∈K. L’ensemble des solutions de l’équation différentielles : y⁰+a×y=0 est S(H)=

½ I → K t 7→ λ×e^−a×t

¯

¯

¯^λ∈K

¾ .

Démonstration

La fonction constantet7→aest continue et une primitive surIde cette fonction estt7→a×t.

Ï Les solutions surRde l’équation différentielley⁰−2y=0 sont les fonctions de la forme : R → R

t 7→ λ×e^2×t, où_λ∈R^.

Ï Circuit RC : régime libre. Les solutions surR+ de l’équation homogène associée à (I.1) page3sont les fonctions de la forme :

R+ → R

t 7→ λ×e^−R×Ct , où_λ∈R^.

Exemple 10.3

II.3. Solutions d’une équation différentielle du premier ordre

Théorème 10.3

Soit_ϕune solution particulière de (E) surI.

Les solutions de (E) surI sont les fonctions de la forme : f_(H)+ϕ, oùf_(H)est une solution de (H) surI.

Démonstration

Soity:I→Kune fonction.

yest solution de (E) surI si, et seulement si, yest dérivable surI

pour toutt∈I,y⁰(t)+a(t)×y(t)=b(t) si, et seulement si, yest dérivable surI

pour toutt∈I,y⁰(t)+a(t)×y(t)=ϕ⁰(t)+a(t)×ϕ(t) (ϕsolution de (E)) si, et seulement si, y−ϕest dérivable surI

pour toutt∈I, (y−ϕ)⁰(t)+a(t)×(y−ϕ)(t)=0 (ϕdérivable surI) si, et seulement si, y−ϕ∈S(H)

si, et seulement si, il existef_(H)∈S(H)telle quey−ϕ=f_(H)

Méthode 10.1 – Plan de résolution dey⁰+a(t)×y=b(t)sur I

1. On commence par résoudre l’équation homogène associée y⁰+a(t)×y=0. Il suffit pour cela de déterminer une primitive deasur I.

2. On déterminer une solution particulière de (E). Pour cela, plusieurs méthodes sont décrites dans le para- graphe suivant.

3. On conclut :

Solution générale

de (E)

=

homogène associée (H)

+

II.4. Déterminer une solution particulière d’une équation différentielle du premier ordre

Méthode 10.2 – « Intuition »

Parfois, on trouve une solution particulière évidente. C’est le cas, par exemple, lorsque le seconde membre est une fonction constante.

La fonction constante égale àEest solution particulière de (I.1) page3.

Les solutions surR+ de (I.1) sont les fonctions de la forme : R+ → R

t 7→ λ×e^−R×Ct +E, où_λ∈R^.

Exemple 10.4 – Circuit RC

Méthode 10.3 – Variation de la constante

Le nom de cette méthode est étrange au premier abord, mais il est justifié.

On a déjà vu que les solutions dey⁰+a(t)×y=0 sont les fonctions de la forme :t7→λ×e^−A(t), où_λ∈K^{et Aest} une primitive deasurI.

On cherche une solution particulière de (E) sous la forme_ϕ:t7→λ(t)×e^−A(t)où_λest une fonction dérivable sur I. On applique ensuite les étapes suivantes.

1. On justifie que la fonction_ϕest dérivable.

Puis, comme A⁰=a, on a, pour toutt∈I,

ϕ⁰(t)=λ⁰(t)×e^−A(t)−λ(t)×A⁰(t)×e^−A(t)=λ⁰(t)×e^−A(t)−λ(t)×a(t)×e^−A(t). 2. On injecte dans (E) : pour toutt∈I,

ϕ(t) = λ(t)×e^−A(t) ×a(t)

ϕ⁰(t) = λ⁰(t)×e^−A(t)−λ(t)×a(t)×e^−A(t) ×1 ϕ⁰(t)+a(t)×ϕ(t)

| {z }

=b(t)

= λ⁰(t)×e^−A(t).

3. On en déduit que, pour toutt∈I,_λ⁰(t)=b(t)×e^A(t). 4. On choisit alors_λune primitive det7→b(t)×e^A(t)surI.

On n’apprendra pas les formules par cœur, on retiendra les différentes étapes.

Déterminons l’ensemble des solutions surR^?₊^{de :} y⁰+1

x×y= x x+1. Ï On résout d’abord l’équation homogène associée :y⁰+1

x×y=0.

Une primitive de x7→1

x surR^?₊^estx7→ln(x).

Exemple 10.5

Donc, les solutions de y⁰+1

x×y=0 sont les fonctions : R^?₊ → R

x 7→ λe^−ln(x)=^λ x, où_λ∈R^.

Ï On détermine une solution particulièrey⁰+1

x×y= x

x+1 par la méthode dela variation de la constante.

On en cherche une sous la forme :_ϕ:x7→^λ(x)

x où_λest une fonction dérivable surR^?₊^.

La fonction_ϕest dérivable surR^?₊(quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas) et, pour toutx>0,

ϕ(x) = ^λ(x)

x ×1

x ϕ⁰(x) = ^λ

0(x) x −^λ(x)

x² ×1

ϕ⁰(x)+1 x×ϕ(x)

| {z }

=_x+^x₁

= ^λ

0(x) x .

Donc, pour toutx>0,_λ⁰(x)= x² x+1.

Le problème est alors ramené au calcul d’une primitive de x7→ x²

x+1=x²−1+1

x+1 =(x−1)×(x+1)

x+1 + 1

1+x=x−1+ 1 1+x. On choisit alors,_λ:x7→x²

2 −x+ln(1+x), qui est bien dérivable surR^?₊^. Une solution particulière de y⁰+1

x×y= x x+1 est x7→^λ(x)

x =

x²

2 −x+ln(1+x)

x =x

2−1+ln(1+x)

x .

Ï Ainsi, les solutions de y⁰+1

x×y= x

x+1 surR^?₊ sont les fonctions : R^?₊ → R

x 7→ ^λ x+x

2−1+ln(1+x)

x .

où_λ∈R^.

Méthode 10.4 – Second membre exponentiel

Cette méthode ne s’applique que lorsque la fonctionaestconstante. Par abus, on notera encoreasa valeur.

SoitK∈C^.

On cherche une solution particulière de l’équation différentielley⁰+a×y=e^K×tsous la forme

½ t7→C×e^K×t siK,−a t7→C×t×e^K×t siK= −a oùC∈Kest une constante à déterminer.

Déterminons une solution particulière de l’équation différentielle y⁰+2y=3e^−2x.

On cherche une solution particulière de la forme_ϕ:t7→µ×x×e^−2x, où_µ∈R. La fonction_ϕest dérivable surR^et, pour tout x∈R^,

ϕ(x) = µ×x×e^−2x ×2 ϕ⁰(x) = µ×e^−2x−2_µ×x×e^−2x ×1

ϕ⁰(x)+2_ϕ(x) = µ×e^−2x.

Donc,_ϕest solution si, et seulement si, pour toutx∈R^{, 3e−2x}=µ×e^−2x. Ce qui est équivalent à_µ=3.

Ainsi,_ϕ:x7→3x×e^−2xest une solution particulière de l’équation différentielle y⁰+2y=3e^−2x. Exemple 10.6

La méthode précédente s’applique encore lorsquea∈Ret le second membre est de la formet7→γ×e^α×t×cos(_β×t) out7→γ×e^α×t×sin(_β×t) où_α∈R^,β∈R^etγ∈R^.

Pour cela, on utilise les nombres complexes : pour tout t∈R^, γ×e^α×t×cos(_β×t)=Re³

γ×e^(α+iβ)×t´

et _γ×e^α×t×sin(_β×t)=Im³

γ×e^(α+iβ)×t´ . Remarque 10.6

Déterminons une solution particulière de l’équation différentielle y⁰+2y= −e^x×sin(x).

Ï On a, pour toutx∈R^,−e^x×sin(x)=Im¡

−e^(1+i)×x¢ .

Ï On cherche une solution particulière de l’équation différentielley⁰+2y= −e^(1+i)×xsous de la forme_ϕ:t7→µ×e^(1+i)×x où_µ∈C. La fonction_ϕest dérivable surRet, pour toutx∈R^,

ϕ(x) = µ×e^(1+i)×x ×2 ϕ⁰(x) = µ×(1+i)×e^(1+i)×x ×1

ϕ⁰(x)+2_ϕ(x) = µ×(3+i)×e^(1+i)×x.

Donc, _ϕest solution si, et seulement si, pour tout x∈R^, −e^(1+i)×x=µ×(3+i)×e^(1+i)×x. Ce qui est équivalent à µ×(3+i)= −1.

Autrement dit,_µ= −1 3+i=−3

10+i 1 10. Ï On note_ψ:x7→Im¡

ϕ(x)¢ . Comme_ψ⁰=¡

Im(_ϕ)¢₀

=Im(_ϕ⁰), on en déduit que_ψest une solution particulière dey⁰+2y= −e^x×sin(x).

Or, pour toutx∈R^, ψ(x)=Im

µµ−3 10+i 1

10

¶

×e^(1+i)×x

¶

=e^x×Im µµ−3

10+i 1 10

¶

ס

cos(x)+i sin(x)¢

¶

= e^x 10ס

cos(x)−3 sin(x)¢ .

Ainsi,_ψ:x7→ e^x 10ס

cos(x)−3xsin(x)¢

est une solution particulière de l’équation différentielle y⁰+2y= −e^x×sin(x).

Exemple 10.7

Théorème 10.4 – Principe de superposition

On suppose que le second membrebde l’équation différentielle y⁰+a(t)×y=b(t) s’écrit sous la forme d’une somme dep∈N^? fonctions continues :b=b₁+ · · · +b_p.

Si, pour touti∈ ‚1,pƒ,_ϕi est une solution particulière de l’équation différentielle y⁰+a(t)×y=b_i(t), alors ϕ=ϕ1+ · · · +ϕpest solution particulière de y⁰+a(t)×y=b(t).

Démonstration

La fonctionϕ=ϕ1+ · · · +ϕpest dérivable surIcomme somme de fonctions dérivable surI.

Pour touti∈ ‚1,pƒett∈I,ϕ⁰_i(t)+a(t)×ϕi(t)=b_i(t).

En sommant lespéquations, on a, pour toutt∈I,ϕ(t)+a(t)×ϕ(t)=b(t).

Déterminons une solution particulière de l’équation différentielle y⁰+2y=3e^−2x−e^x×sin(x).

On a vu que_ϕ:x7→3x×e^−2xest une solution particulière de l’équation différentielley⁰+2y=3e^−2x. De plus,_ψ:x7→ e^x

10ס

cos(x)−3 sin(x)¢

est une solution particulière de l’équation différentielle y⁰+2y= −e^x×sin(x).

Par le principe de superposition x7→3x×e^−2x+ e^x 10ס

cos(x)−3 sin(x)¢

est une solution particulière de y⁰+2y=3e^−2x−e^x×sin(x).

Exemple 10.8

II.5. Problème de Cauchy

Définition 10.4 – Problème de Cauchy

Soientt₀∈Iet y₀∈Kfixés. On appelleproblème de Cauchyla donnée d’une équation différentielle et d’une condition initiale :

½ y⁰+a(t)×y=b(t) y(t₀)=y₀.

Théorème 10.5 – Cauchy linéaire

Avec les notations précédentes, le problème de Cauchy

½ y⁰+a(t)×y=b(t) y(t₀)=y₀

possède une unique solution surI. Démonstration

Les solutions de l’équationy⁰+a(t)×y=b(t) sont les fonctions de la forme : f_λ: I → K

t 7→ λ×e^−A(t)+ϕ(t)

oùϕest une solution particulière dey⁰+a(t)×y=b(t),Aest une primitive deasurIetλ∈K^.

La fonctionf_λest solution du problème de Cauchy si, et seulement si,λ×e^−A(t0)+ϕ(t₀)=y₀. Comme la fonction exponentielle ne s’annule pas, cela est encore équivalent àλ=¡

y₀−ϕ(t₀)¢

×e^A(t0).

Ainsi, il existe bien une et une seule solution au problème de Cauchy.

Méthode 10.5 – Résoudre un problème de Cauchy Pour résoudre le problème de Cauchy :

½ y⁰+a(t)×y=b(t) y(t₀)=y₀,

on procède de la manière suivante :

1. On résout l’équation homogène associée y⁰+a(t)×y=0 dont les solutions sont les fonctions de la forme :

I → K

t 7→ λ×e^−A(t) oùAest une primitive deasurI.

2. On détermine une solution particulière_ϕde l’équation différentielle y⁰+a(t)×y=b(t).

3. Les solutions dey⁰+a(t)×y=b(t) sont les fonctions de la forme :

I → K

t 7→ λ×e^−A(t)+ϕ(t)

Il reste alors à déterminer la constante_λ. Pour cela, il suffit de résoudre l’équation : ϕ(t₀)+λ×e^−A(t0)=y₀.

À l’instant initiale, on suppose le condensateur déchargé :u(0)=0.

On noteul’unique solution du problème de Cauchy :





 du

dt + 1

R×C×u= E R×C u(0)=0.

On sait qu’il existe_λ∈Rtel que, pour touttÊ0,u(t)=E+λ×e^−R×Ct .

On détermine_λà l’aide de la condition initiale : 0=E+λ×e^−R×C0 . Donc,_λ= −E.

Ainsi, pour touttÊ0,u(t)=E׳

1−e^−R×Ct ´

Exemple 10.9 – Réponse d’un circuit RC à un échelon de tension (charge d’un condensateur)

III. Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants

Dans cette partie,Idésigne unintervalledeR^.

III.1. Généralités

Définition 10.5 – Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants

On appelleéquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantstoute équation de le forme

y⁰⁰+b×y⁰+c×y=d(t) (E)

oùbetcsont des réels ou complexes etd:I→Kest une fonction continue.

• Lafonction yest l’inconnue de l’équation différentielle.

• La fonctiond est appelée lesecond membrede l’équation différentielle.

On dit que (E) esthomogène(ousans second membre) lorsquedest la fonction nulle.

On est parfois amené à résoudre l’équation différentielle :

α×y⁰⁰+β×y⁰+γ×y=g(t) où_α,_βet_γsont des réels ou complexes avec_α,^0.

En divisant l’équation par_α,0, on se ramène à la définition précédente.

Remarque 10.7

Définition 10.6 – Solution d’une équation différentielle linéaire du second ordre

On appellesolution de(E)sur Itoute fonction f qui vérifie :

½ f est deux fois dérivable surI,

pour toutt∈I, f⁰⁰(t)+b×f⁰(t)+c×f(t)=d(t).

Résoudre (E) surIsignifie : déterminertoutesles solutions de (E) sur I.

Soit f une solution de (E) sur I.

Par définition, f est deux fois dérivable, donc f etf⁰ sont continues.

Or, pour toutt∈I, f⁰⁰(t)= −b×f⁰(t)−c×f(t)+d(t).

Donc, f⁰⁰est continue comme somme de fonctions continues.

Ainsi, f est de classeC² surI.

Remarque 10.8 – Une solution sur I d’une équation différentielle linéaire du second ordre est de classeC² surI

III.2. Ensemble des solutions de l’équation homogène associée

Définition 10.7 – Équation homogène associée

On appelleéquation homogène associée à(E) l’équation différentielle

y⁰⁰+b×y⁰+c×y=0. (H)

On noteSHl’ensemble des solutions de (H) surI.

Proposition 10.2 – Structure de l’ensemble des solutions de (H) ÏLa fonction nulle est solution de (H) surI.

ÏSHest stable par combinaison linéaire.

Autrement dit, pour toutes solutions f etgde (H) surIet (_λ,_µ)∈K², la fonction_λ.f+µ.gest solution de (H) surI.

Démonstration

ÏLa fonction nulle est deux fois dérivable surIet, pour toutt∈I, 0+b×0+c×0=0.

ÏSoientf etgdeux solutions de (H) surIet (λ,µ)∈K^2.

La fonctionλ.f+µ.gest deux fois dérivable comme combinaison linéaire de fonctions deux fois dérivables. De plus, pour toutt∈I, (λ.f+µ.g)⁰⁰(t)+b×(λ.f+µ.g)⁰(t)+c×(λ.f+µ.g)(t)=λס

f⁰⁰(t)+b×f⁰(t)+c×f(t)¢ +µ×¡

g⁰⁰(t)+b×g⁰(t)+c×g(t)¢

=λ×0+µ×0=0.

Donc,λ.f+µ.gest solution de (H) surI.

Proposition 10.3

Soitr∈C. La fonctionf_r:t7→e^r×test solution de (H) surI si, et seulement si,r²+b×r+c=0.

Démonstration

La fonctionfrest deux fois dérivable surI.

De plus, pour toutt∈I,

f_r⁰⁰(t)+b×f_r⁰(t)+c×fr(t)=¡

r²+b×r+c¢

×e^r×t.

Comme la fonction exponentielle ne s’annule pas,f_rest solution de (H) si, et seulement si,r²+b×r+c=0.

Définition 10.8 – Equation caractéristique

On appelleéquation caractéristiquede (H) l’équation :

r²+b×r+c=0. (EC)

Théorème 10.6 – Résolution de (H) lorsqueK=C

On note∆=b²−4cle discriminant du trinômer²+b×r+c.

ÏLorsque∆,0, l’équation caractéristique (EC) possède deux solutions complexes distinctesr₁ etr₂ et les solutions de (H) sont les fonctions :

I → C

t 7→ λ1×e^r1×t+λ2×e^r2×t, avec (_λ1,_λ2)∈C^2.

ÏLorsque∆=0, l’équation caractéristique (EC) possède une racine doubleret les solutions de (H) sont les

fonctions :

I → C

t 7→ (_λ1+λ2×t)×e^r×t, avec (_λ1,_λ2)∈C^2.

Démonstration

ÏSoitr∈Cune solution de l’équation caractéristique.

Soitf:I→Kune fonction. Pour toutt∈I, on posez(t)=e^−r×t×f(t).

Pour toutt∈I,e^−r×t,^{0, d’oùf(t)}=e^r×t×z(t). On en déduit que,zest deux fois dérivable surIsi, et seulement si,f l’est.

Supposonsf (et doncz) deux fois dérivable. Soitt∈I. On a :

f⁰(t)=r×e^r×t×z(t)+e^r×t×z⁰(t) et f⁰⁰(t)=r²×e^r×t×z(t)+2re^r×t×z⁰(t)+e^r×t×z⁰⁰(t).

D’où,

f⁰⁰(t)+b×f⁰(t)+c×f(t)=£

(r²+b×r+c)×z(t)+(2r+b)×z⁰(t)+z⁰⁰(t)¤

×e^r×t. Or,rest solution de (EC), donc,

f⁰⁰(t)+b×f⁰(t)+c×f(t)=£

(2r+b)×z⁰(t)+z⁰⁰(t)¤

×e^r×t. De plus,e^r×t,^0.

Donc,f est solution de (E) si, et seulement si, pour toutt∈I, (2r+b)×z⁰(t)+z⁰⁰(t) Ce qui est équivalent à :z⁰est solution de l’équation différentielle du premier ordre à coefficients constants :

y⁰+(2r+b)×y=0. (E₁)

ÏIl y a alors deux cas :

• Cas 1 :∆=0. Dans ce cas, (EC) possède pour unique solutionr=−b

2 . D’où, 2r+b=0.

On en déduit que,f est solution de (E) surIsi, et seulement si,z⁰⁰=0.

D’où,

f est solution de (E) surI si, et seulement si, z⁰⁰=0.

si, et seulement si, z⁰est constante surI.

si, et seulement si, il existeλ∈Ctel que, pour toutt∈I,z⁰(t)=λ.

si, et seulement si, il existe (λ,µ)∈C²tel que, pour toutt∈I,z(t)=µ+λ×t.

si, et seulement si, il existe (λ,µ)∈C²tel que, pour toutt∈I,f(t)=(µ+λ×t)×e^r×t. (e^r×t,⁰⁾

• Cas 2 :∆,0. Dans ce cas, (EC) possède deux racines distinctesr₁etr₂. On suppose avoir choisir=r₁au début de la démonstration.

D’où,

f est solution de (E) surI si, et seulement si, z⁰est solution de (E₁) surI.

si, et seulement si, il existeλ∈Ctel que, pour toutt∈I,z⁰(t)=λe^−(2r+b)×t.

si, et seulement si, il existe (λ,µ)∈C²tel que, pour toutt∈I,z(t)=µ+_−2×r^λ_1−be^{−(2r1+b)×t}. si, et seulement si, il existe (λ1,λ2)∈C²tel que, pour toutt∈I, f(t)=λ1e^r1×t+λ2e^−(r1+b)×t. Or,x²+b×x+c=(x−r1)×(x−r2)=r²−(r1+r2)×x+r1×r2. D’où, en identifiant les coefficients,r₁+r2= −b. Donc,r₂= −(r₁+b).

On considère l’équation différentielle y⁰⁰+2y⁰+2y=0 dansC^.

L’équation caractéristique associée estr²+2r+2=0, dont les solutions sontr₁= −1+i etr₂= −1−i.

Les solutions de y⁰⁰+2y⁰+2y=0 sont les fonctions :

I → C

t 7→ λ1×e^(−1+i)×t+λ2×e^{(−1−i)×t}, avec (_λ1,_λ2)∈C^2.

Exemple 10.10

Théorème 10.7 – Résolution de (H) lorsqueK=R

On note∆=b²−4cle discriminant du trinômer²+b×r+c.

ÏLorsque ∆>0, l’équation caractéristique (EC) possède deux solutions réelles distinctes r₁ et r₂ et les solutions de (H) sont les fonctions :

I → R

t 7→ λ1×e^r1×t+λ2×e^r2×t, avec (_λ1,_λ2)∈R^2.

ÏLorsque∆=0, l’équation caractéristique (EC) possède une racine double réelleret les solutions de (H) sont les fonctions :

I → R

t 7→ (_λ1+λ2×t)×e^r×t, avec (_λ1,_λ2)∈R^2.

ÏLorsque ∆<0, l’équation caractéristique (EC) possède deux racines complexes conjuguées r=α+i_β et r=α−i_β, avec_α∈R^etβ∈R^?, et les solutions de (H) sont les fonctions :

I → R

t 7→ ¡

λ1×cos(_β×t)+λ2×sin(_β×t)¢

×e^α×t, avec (_λ1,_λ2)∈R^2.

Démonstration

ÏLes cas∆>0 et∆=0 se traitent comme dans le cas complexe (il suffit de remplacerC^parRdans la démonstration).

ÏTraitons le cas∆<0. Dans ce cas, les solutions de (EC) sont complexes conjuguées :r=α+iβetr=α−iβ, avecα∈Retβ∈R^?.

• On plonge dansC. D’après le théorème précédent,f est solution de (E) si, et seulement si, il existe (µ1,µ2)∈C²tel que, pour tout t∈I,f(t)=µ1×e^(α+iβ)×t+µ2×e^{(α−iβ)×t}.

• Parmi les solutions précédentes, déterminons les solutions réelles.

Supposons, pour toutt∈I, f(t)∈R, on a alorsf(t)=f(t). D’où, pour toutt∈I,

µ1×e^(α+iβ)×t+µ2×e^{(α−iβ)×t}=µ1×e^{(α−iβ)×t}+µ2×e^(α+iβ)×t. En prenantt=0, il vient :µ1+µ2=µ1+µ2.

En prenantt= π

2β, on ae^(α+iβ)×t=e^α×t×e^iπ2=ie^α×tete^{(α−iβ)×t}=e^α×t×e^−iπ2= −ie^α×t. D’où,µ1−µ2= −µ1+µ2. Donc, en sommant les deux équations trouvées,µ1=µ2. Ou encoreµ2=µ1.

Réciproquement, siµ2=µ1, alors, on a bien : pour toutt∈I,f(t)=f(t) (l’égalité précédente est clairement vérifiée) etf est à valeurs réelles.

• Mettons f sous le forme de l’énoncé du théorème. On écritµ1=A+iBavecAetBréels.

On a alors :

f(t)=(A+iB)×e^r1×t+(A−iB)×e^r2×t=(A+iB)×e^r1×t+(A+iB)×e^r1×t=2 Re

³

(A+iB)×e^(α+iβ)×t

´

=£

Acos(β×t)−B×sin(β×t)¤

×e^α×t.

En factorisant par

qλ²₁+λ²₂ dans le cas ∆<0, on peut mettre _λ1×cos(_β×t)+λ2×sin(_β×t) sous la forme A×cos(_β×t+ϕ) où AÊ0 et_ϕ∈R. Voir le chapitre NOMBRES COMPLEXES(application à la trigonométrie).

Remarque 10.9

L’équation caractéristique de l’équation ¨x+ω²₀×x=0 estr²+ω²₀=0 (EC).

Les solutions de (EC) sont complexes conjuguées : r₁=i_ω0etr₂= −i_ω0. Exemple 10.11 – Système harmoniqueI.5