NANOPOLY LM 250
Critère de Riemann. JSoit a ∈ R etα ∈ R. Soit f continue par morceaux sur [a,+∞).
– Si f(x) = O x−α
en +∞ et α >1, alors Z +∞
a
f(t)dt converge absolument, – si x−α =O f(x)
en +∞ et α≤1, alors Z +∞
a
|f|(t)dt diverge I Soit b >0 et α ∈ R. Soit f continue par morceaux sur ]0, b]
– Si f(x) = O x−α
dans un voisinage de 0+ et α <1, alors Z b
0
f(t)dt converge absolument, – si x−α =O f(x)
dans un voisinage de 0+ et α≥1, alors Z b
0
|f|(t)dt diverge.
Corollaire 0.1. Soit f continue sur [a, b] et g est dérivable sur [a, b]. S’il existe x0 ∈ [a, b] tel que f(x0)6= 0, et g(x0) = 0 alors
Z b
a
f(x) g(x)
dx diverge.
Définition:Si X
un converge, Rn=
+∞
X
0
uk−Sn =
+∞
X
k=n+1
uk est le reste d’ordren.
Proposition 0.1. (C.S.I.) Soit f : R+ −→ R+ une fonction continue décroissante. Alors Xf(n) et
Z +∞
f(t)dt sont de même nature.
Critère des séries alternées CSA. Soit (un)n∈N une suite monotone tendant vers 0. Alors X(−1)nun CV. De plus pour toutn≥0, Rnest du signe de(−1)n+1u0 et vérifie
Rn
≤
un+1
.
Sous les hypothèses du CSA,
+∞
X
n=n0
(−1)nun est du signe de un0.
Critère d’Abel monotone. Soit (un)n∈N une suite réelle et (vn)n∈N une suite quelconque.
Si N lim
n−→+∞un= 0 et (un)n∈N est monotone, H ∃M >0 tel que
N
X
k=0
vk
< M pour tout N, alors X
unvn CV.
Soit X
unune série convergeant simplement sur un intervalle I et soitU =
+∞
X
0
un. Définition:La sérieX
unestnormalement convergentesurI s’il existe une suite(mn)n∈N
telle que
+∞
X
0
mn<+∞ et un(x)
≤mn pour tout x ∈ I et n ∈ N. Proposition 0.2. Si les un sont continues sur I et X
un CV normalement sur I, alors U est continue sur I.
Pour montrer queU est continue surI, il suffit de montrer que X
un CV normalement sur les intervalles fermés bornésinclus dans I. C’est la localisation. Idem pour ce qui suit.
2
Proposition 0.3. Si les un sont dérivables sur I et si X
u0n converge normalement sur I, alors U est dérivable sur I et U0 =
+∞
X
0
u0n.
Fubini : cas positif. Si les un sont continues sur I et positives ainsi que U alors Z b
a +∞
X
0
un(t)
! dt=
+∞
X
0
Z b
a
un(t)dt
.
Donc dans le caspositif Z b
a +∞
X
0
un(t)
!
dt <+∞ ⇐⇒
+∞
X
0
Z b
a
un(t)dt
<+∞.
Fubini : cas général. Si les un, U et Uv :x−→
+∞
X
0
un(x)
sont continues sur I et si Z b
a +∞
X
0
un(t)
!
dt < +∞ ou
+∞
X
0
Z b
a
un(t) dt
<+∞,
alors
Z b
a +∞
X
0
un(t)
! dt=
+∞
X
0
Z b
a
un(t)dt
Définition:Soitf définie au voisinage de0. S’il existe une série entièreanXn de RCVR6= 0 f(z) =
+∞
X
0
anzn dans un voisinage de 0, alors f admet un DSE en 0. Ce DSE est unique.
SiX
anXn a pour rayon de convergence R >0 z −→
+∞
X
0
anzn est C∞ sur D(0, R).
D’Alembert. Si l= lim
n−→+∞
an+1 an
existe, alors le RCV R de X
anXn vaut R= 1 l. Soit f une fonction 2π- périodique. La fonction x −→ 1
2π
Z x+2π
x
f(t)dt est constante. Sa valeur est la moyenne def notée
I
f(t) dt ou I
f(X).
Corollaire 0.2. Une fonction périodique continue admet une primitive bornée ssi elle est de moyenne nulle.
Déf : Pourn ∈ Z,Cn(f) = I
f(x)e−inxdxest le coefficient de Fourier complexe de f.
Identité de Parseval. Si f est 2π- périodique continue par morceaux, alors C0(f)
2+
+∞
X
1
Cn(f)
2 +
C−n(f)
2
= I
f(x)
2dx.
Théorème de Dirichlet. Soit f est C1 par morceaux, alors sa série de Fourier converge simplement sur R et ∀x ∈ R, C0(f) +
+∞
X
1
Cn(f)einx+ C−n(f)e−inx
= 1
2 f(x−) +f(x+) .
