PHEC1 devoir surveillé n 1 2005-2006
La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d’aucun document ni d’AUCUNE DISCUSSION sous peine d’annulation de leurs copies; seule l’utilisation d’une règle graduée est autorisée. L’utilisation de toute calcula- trice et de tout matériel électronique est interdite. Les téléphones portables doivent être éteints.
Le devoir est composé de 1 page et de quatre exercices indépendants qui peuvent être traités dans l’ordre souhaité par le candidat.
Durée du devoir : 3h
Bonne chance
Exercice 1 (ECRICOME 1995) Pourx2R;on pose :f(x) =x3+ 5x 1
1. Etudier les variations def surR:
2. Montrer que l’équationx3+ 5x 1 = 0 admet une unique solution dansR: 3. Etablir que0< < 1
2: Exercice 2 (ECRICOME 1999)
On noteU l’ouvert deR2 dé…ni parU = 1 3;2
3 ]0;1[etf l’application dé…nie sur U par : f : (x; y)!f(x; y) =x2 x+xy2 xy
1. Calculer les dérivées partielles du premier ordre et du second ordre.
2. Expliciter les points critiques def sur l’ouvertU:
3. Montrer quef admet un unique extremum sur U et que celui-ci est un minimum dont on donnera la valeur.
Exercice 3 (EDHEC 2004)
On notef la fonction dé…nie sur R+ par : f(x) =xexp 1
x si x >0 etf(0) = 0.
1. (a) Montrer quef est continue en 0.
(b) Montrer que f est dérivable en 0 et donner la valeur de f0(0).
2. (a) Montrer quef est dérivable sur]0;+1[.
Pour tout réel xnon nul, calculer f0(x) puis étudier son signe.
(b) Calculer la limite de f en+1. Exercice 4 (EML 1997)
1. On considère la fonctiong dé…nie surRpar g:x7! 1 +x 1 +ex x:
(a) Justi…er que g est dérivable surR et expliciter sa dérivée sous la formeg0(x) = h(x) (1 +ex)2:
(b) Après avoir écrit g(x) sous la forme d’un quotient, déterminer les asymptotes en 1 et +1 de la courbe représentative de g:
2. Montrer que l’équation 1 +x
1 +ex =xadmet une solution et une seule sur R+:On notex0 cette solution.
3. Justi…er que0< x0 <1:
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