Devoir De Contrôle N°1

(1)

Lycée Rue Ahmed Amara Le Kef Habib Gammar

2009-2010

Devoir De Contrôle N°1

Mathématiques

3^ème Maths 2 Heures

1/2

www.mathsplus.12r.org

Exercice 1 (4 points)

• Pour Chacune des questions suivantes une seule des trois réponses proposées est exacte. Indiquer le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée.

1) Si 2 1

u et

3 v 2

   

   

− −

   

alors

( )

^u⁺^v ² est égal à : a) −16 b) 34 c) 18

2) f est une fonction définie sur ℝ_,

Si f est impaire et admet sur ℝ un maximum de valeur 5 alors f est minorée sur ℝ_{par :}

a) −5 b) 1

5 c) 1

−5 3) f est la fonction définie sur ℝ_par_f _{( )}_x ₌_x ² ₊₂_x ₋₅_.

Alors l’équation f (x)=0possède une solution dans :

a)

[ ]

^0,1 b)

[ ]

^{1, 2} c)

[ ]

^{2, 3}

4) f est une fonction continue sur

[ [

^{1, 2} ^{alors :}

a) f est continue à gauche en 2 b) f est continue en 1 c)

1

limf f (1)

+ =

Exercice 2 (9 points)

Dans la figure ci-dessous ABCD est un carré de centre O et de côté 3.

On désigne par E et F les points définis par : 2 EB = 3 A B

et 2

A F = 3 A D

1) Calculer OA , CE et CF 2) a) Montrer que OA EB⋅ = −3 b) Montrer que OB A F⋅ = −3 c) En déduire que (OE)⊥(OF) 3) a) Montrer que CE CF⋅ =9

b) En déduire la valeur de ^{cos E C F}

( )

^.

4) a) Montrer que E est le barycentre des points pondérés ( , 2) et (A B,1). b) En déduire que pour tout point M du plan : 2MA² +MB² =3ME² +6 c) Déterminer l’ensemble ^C¹ ⁼

{

^M ^∈^P^{, 2}^MA² ⁺^MB² ⁼¹²

}

^.

5) Soit ^C² ⁼

{

^M ^∈^{P MA}^, ² ⁺^MB² ⁺^MC ² ⁺^MD² ⁼³⁶

}

^.

Montrer que C₂ est le cercle circonscrit au carré ABCD.

A D

B C

O E

F

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Exercice 3 (7 points)

La figure ci-dessus est la représentation graphique d’une fonction g définie sur

[

⁻^2,5

]

^.

1) Les questions posées seront résolues par lecture graphique.

a) Déterminer

2 3 3 5

lim ( ) ; lim ( ) ; lim ( ) et lim ( )

x x x x

g x g x g x g x

+ − + −

→ − → → →

b) Déterminer ^g

( [

−2, 0 et g 0,5

] ) ( [ ] )

^.

c) Déterminer les intervalles où g est continue.

d) Déterminer le nombre de solution de l’équation :g x( )= −1

2) Soit f la fonction définie par :

2

2 2

4 8

2

( ) ( ) 2 5 6 5 5

4 5

x x x

x si x

f x g x si x

x x si x

x x

 + + + < −

 +

= − ≤ ≤

 − +

 >

 − −



a) Montrer que f est continue sur

]

−∞ −, 2 et 5,

[ ]

+∞

[

^.

b) Etudier la continuité de f en 5.

c) Montrer que pour tout x < −2 on a :

2

4 8 4

2 4 8

x x x

x x x x

+ + + =

+ + + −

d) Etudier alors la continuité de f en (−2).