TDn 3 ◦ InformatiqueThéorique:Minimisation

Polytech Paris Sud - ET4 Année 2018-2019

Informatique Théorique : Minimisation

TD n ^◦ 3

Semaine du 1 octobre

Résiduels

Exercice 1. ( ♣ ) Soit X le langage dénoté par l'expression rationnelle (ba + (a + bb)a

b)

. Calculer directement à partir de cette expression l'ensemble des résiduels du langage X, puis le doter de sa structure d'automate minimal.

Exercice 2 (calcul de résiduels). Calculez les automates minimaux des automates sui- vants (par résiduel !) :

1. L

= (ab)

a.

2. L

= a(ba)

. 3. L

= b(ab)

a .

Avez-vous des remarques pertinentes ?

Minimisation d'automates

Exercice 3. ( ♣ ) On considère l'automate :

A

start D E

B C

F G H K

a

a a

b a

b

b a

b b

a b

b a

a b

b a

1

1. Cet automate est-il déterministe ? Complet ? Accessible ? 2. Le rendre minimal par l'algorithme de Moore.

Exercice 4. ( ♣ ) Dans l'exercice 7 du TD1, on a construit un automate déterministe accessible complet qui reconnaît le langage X décrit par l'expression rationnelle (ba + (a + bb)a

b)

. Un tel automate possible est :

A start

C

B

F E

G D

b a

a a

b b

a

b b

a

b a

b a

Minimiser cet automate par l'algorithme de Moore et montrer que l'automate ainsi obtenu est isomorphe à l'automate des résiduels de X construit dans l'exercice 1.

Exercice 5. Minimiser par l'algorithme de Moore l'automate construit à la question 4 de l'exercice 1 du TD2, et remis ci-dessous :

A

start C

B

D E

K

I

F

G H J

1

0

0 1

0 1

0 1

1

0 1

0 0,1 0

1 0

1

0 1

1

0

Comparer entre eux expressions rationnelles et automates

Exercice 6. ( ♣ ) Parmi les expressions rationnelles et les automates suivants dire lesquels correspondent au même langage.

2

(ab

a + b(a + b))

(ab + b(a + b))

1 start

2 0

4 5

3

b a

b b

a, b a b

a

b b

a

0 start

1 2

3 4 5

a b

b b

a a

b b

b

a a a

Automate et barman

Exercice 7. Le jeu du barman aveugle consiste à poser quatre verres en cercle sur un plateau. Les verres peuvent être retournés ou non. Le but du barman est de s'arranger pour que tous les verres soient dans le même sens, mais sans les voir. Le but de son adversaire est qu'il n'y arrive pas. Le jeu se joue par tours. Un tour s'organise comme suit :

Le barman retourne un ou deux verres de son choix. Pour qu'il ne récupère pas d'information en les touchant on lui met des gants de boxe ;

L'adversaire fait faire un nombre quelconque de quarts de tours au plateau. Si le barman place les verres dans le même sens, le jeu s'arrête aussitôt !

On appelle conguration du plateau à un instant donné la position des verres à cet instant.

1. En remarquant que pour le barman, les congurations obtenues par rotation du pla- teau sont équivalentes montrer qu'il y a quatre congurations possibles du plateau et qu'il y a trois actions possibles pour le barman.

2. Représenter les exécutions possibles du jeu par un automate non déterministe. A priori l'état initial peut être n'importe lequel.

3. Déterminiser l'automate.

4. En remarquant qu'obtenir une stratégie gagnante pour le barman revient à trouver une série d'actions qui, quelle que soit la conguration de départ, passe par un état nal, aider le barman à gagner.

Exercice 8. ( ♠ ) Avez-vous ni les exos 7 et 8 du TD2 ? Si oui, vous pouvez rééchir à la généralisation de l'exo 8 à la racine cubique, etc...

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