Terminale S1 DS3 Le mercredi 23 novembre Exercice 1
(8 points)Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule des quatre propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte deux points. Une réponse inexacte enlève un point. L’absence de réponse n’apporte ni n’enlève aucun point. Si le total est négatif, la note de l’exercice est ramenée à 0.
1. Dans le plan complexe, on donne les pointsA, B etC d’affixes respectives−2 + 3i,−3−iet2,08 + 1,98i.
Le triangleABC est :
a. Isocèle et non rectangle b. rectangle et non isocèle c. rectangle et isocèle d. ni rectangle ni isocèle 2. On donnez1= 2 +i√
3etz2= 4√ 3 + 3i.
Le nombre complexe z1−1
z2+i a pour argument : a. θ= π
3+ 2kπ b. θ=π
6+ 2kπ c. θ= −π
3 + 2kπ d. θ= π
2+ 2kπ 3. A tout nombre comlexez6=−2,on associe le nombre complexez0 défini par : z0= z−4i
z+ 2. L’ensemble des pointsM d’affixeztels que |z0|= 1est :
a. Un cercle de rayon1 b. Une droite
c. Une droite privée d’un point d. Un cercle privé d’un point 4. Les notations sont les mêmes qu’à la question3.
L’ensemble des pointsM d’affixeztels que z0 est un réel contient le point :
a. Ad’affixe : −4−8i b. B d’affixe : 4−6i c. C d’affixe : −6−8i d. D d’affixe : 4 + 6i
Exercice 2
(12 points)On considère la fonction numériquef définie surRpar : f(x) =x2ex−1−x2
Le graphique ci-après est la courbe représentative de cette fonction telle qu’un traceur l’affiche dans un repère orthogonal.2
10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Conjectures :
A l’observation de cette courbe, quelles conjectures pensez-vous pouvoir faire concernant : a. Le sens de variation def sur[−3; 2]?
b. La position de la courbe par rapport à l’axe(x0x)?
Dans la suite de ce problème, on se propose de valider ou non ces conjectures et de les compléter.
Partie A : Contrôle de la première conjecture
1. Calculer f0(x) pour tout réel x, et l’exprimer à l’aide de l’expression g(x) où g est la fonction définie sur R par:
g(x) = (x+ 2)ex−1−1.
2. Etude du signe de g(x)pour xréel.
2.1. Calculer les limites deg quandxtend vers+∞On admettra que sa limite quandxtend vers−∞est −1.
2.2. Calculer g0(x)et étudier son signe suivant les valeurs dex.
2.3. En déduire le sens de variation de la fonctiong puis dresser son tableau de variation.
2.4. Montrer que l’équation g(x) = 0possède une unique solution dansR. On noteαcette solution. Montrer que0,20< α <0,21.
2.5. Déterminer le signe deg suivant les valeurs dex.
3. Sens de variation de la fonction f sur R.
3.1. Etudier suivant les valeurs dexle signe def0(x).
3.2. En déduire le sens de variation de la fonctionf.
3.3. Que pensez-vous de votre première conjecture ?
Partie B : Contrôle de la deuxième conjecture
On note(C)la courbe représentative de la fonctionf dans un repère orthogonal³
O;−→i ,−→j´ . On se propose de contrôler la position de la courbe par rapport à l’axe(x0x).
1. Montrer quef(α) = −α3 2 (α+ 2).
2. On considère la fonctionhdéfinie sur l’intervalle[0; 1]parh(x) = −x3 2 (x+ 2).
2.1. Calculerh0(x)pour x∈[0; 1],puis déterminer le sens de variation dehsur[0; 1]. 2.2. En déduire un encadrement def(α).
3. Montrer la courbe (C)coupe l’axe (x0x)en deux points dont l’un a pour abscisse 0 et l’autre une abscisse β comprise entreαet1.
4. Préciser alors la position de la courbe(c)par rapport à l’axe(x0x). 5. Que pensez-vous de votre deuxième conjecture ?
