Les épreuves de mathématiques et d informatique aux concours

(1)

Les épreuves de mathématiques et d’informatique aux concours

Ce document présente les épreuves de mathématiques et d’informatique aux différents concours accessibles à l’issue de la BCPST. Les épreuves orales évaluant le projet informatique seront décrites succinctement car elles sont l’objet d’un document spécifique.

Ce document n’est pas à apprendre ou à travailler. Il s’agit plutôt de le lire et de l’annoter afin de vous familiariser avec les épreuves que vous passerez en fin d’année et les attentes des jurys de concours.

Sommaire

1 Les concours à l’issue de la BCPST 2

1.1 La banque Agro-Véto . . . 2

1.1.1 Déroulement des épreuves de mathématiques et d’informatique . . . 2

1.1.2 Place des mathématiques et de l’informatique dans les différents concours de la banque 2 1.2 La banque G2E . . . 3

1.2.1 Déroulement des épreuves de mathématiques et d’informatique . . . 3

1.2.2 Place des mathématiques et de l’informatique dans les différents concours de la banque 3 1.3 La banque ENS . . . 4

1.3.1 Déroulement des épreuves de mathématiques . . . 4

1.3.2 Place des mathématiques dans les différents concours de la banque . . . 4

2 La calculatrice 5 3 Ce que disent les jurys des concours 5 3.1 Au sujet des épreuves écrites . . . 5

3.2 Au sujet des épreuves orales. . . 6

3.2.1 Agro-Véto : « Mathématiques-informatique » . . . 6

3.2.2 G2E : « Mathématiques » . . . 7

3.2.3 G2E : « Informatique » . . . 7

Annexe A : Exemples de sujets posés à l’oral Agro-Véto 8 A.1 Un sujet d’analyse : . . . 8

A.2 Un sujet d’algèbre : . . . 9

A.3 Un sujet de probabilités : . . . 10

A.4 Un sujet mélant algèbre et probabilités : . . . 11

Annexe B : Exemples d’autres questions de cours posées à l’oral Agro-Véto 12

(2)

LES EPREUVES DE MATHEMATIQUES ET D’INFORMATIQUE AUX CONCOURS

1 Les concours à l’issue de la BCPST

A l’issue de la BCPST, vous pouvez passer trois banques de concours : Agro-Véto, G2E et ENS.

1.1 La banque Agro-Véto

1.1.1 Déroulement des épreuves de mathématiques et d’informatique Admissibilité : deux épreuves écrites

(i) Méthodes de calcul et raisonnement (2h30, calculatrice interdite¹) : cette épreuve porte sur les ma- thématiques (connaissances, formalisme, calcul symbolique, méthodes de raisonnement).

(ii) Modélisation mathématiques et Informatique(3h30, calculatrice autorisée¹) : cette épreuve porte sur le traitement mathématique d’un problème concret (issu de la biologie, la géologie, la physique, la chimie ou la géographie). La partie « algorithmique » du programme d’informatique y est évaluée.

Admission : une épreuve orale (en deux parties, chacune ayant un poids similaire dans la note)

(i) Le sujet de math/info(30 min de préparation puis 20 min de présentation/dialogue avec l’examinateur) : un énoncé est remis au candidat²; il comporte une question de cours suivie d’un exercice dans lequel figure au moins une question de programmation en Python³.

(ii) La présentation de projet informatique(20 min) : le candidat présente le projet qu’il a préparé pendant l’année (7 minutes maxi), puis échange avec l’examinateur autour de ce projet (13 minutes mini).

Que ce soit pour les épreuves d’admissibilités ou pour celles d’admission, une grande importance est accordée à l’informatique dans les épreuves de cette banque.

1.1.2 Place des mathématiques et de l’informatique dans les différents concours de la banque Chacun des concours de la banque applique des coefficients différents (voir tableau ci-dessous).

Les coefficients des épreuves écrites :

1. Se reporter à la section2pour plus d’informations.

2. Des exemples de sujets sont proposés en annexe à la fin de ce document.

3. Une clef USB est fournie au candidat afin qu’il sauvegarde le(s) programme(s) qu’il aura réalisé(s) durant sa préparation.

(3)

Les coefficients des épreuves orales :

Vous remarquerez que les coefficients attribués aux trois disciplines scientifiques sont généralement assez équilibrés et que, pour le concours Polytech A BIO, une seule épreuve est prise en compte : l’épreuve écrite de « Modélisation mathématique et Informatique »

1.2 La banque G2E

1.2.1 Déroulement des épreuves de mathématiques et d’informatique Admissibilité : une épreuve écrite (4h, calculatrice interdite¹)

L’épreuve de mathématiques comprend un ou plusieurs problèmes indépendants.

Admission : une ou deux épreuves orales (mathématiques et éventuellement informatique)

Tous les candidats admissibles à G2E passent une épreuve orale de mathématiques. Les candidats passent également une épreuve d’informatique s’ils l’ont choisi lors de l’inscription (sinon ils passent une épreuve de chimie).

(i) L’épreuve de mathématiques (20 min de préparation, suivie de 20 min d’échange avec l’examinateur, calculatrice interdite¹) : le sujet comporte deux exercices (dont un sur les probabilités) ; les deux exercices doivent être abordés par le candidat.

(ii) L’épreuve d’informatique(25 min de préparation puis 25 min d’interrogation) : Pendant la préparation, le candidat travaille sur un sujet qu’il a tiré au sort. Durant la première partie de l’entretien avec l’examinateur, il présente son travail sur ce sujet (10 min). Pendant la seconde partie (15 min), le candidat peut, au choix :

— travailler sur un second exercice (non préparé) proposé par l’examinateur ;

— présenter le projet réalisé pendant l’année (8 à 10 min de présentation plus un temps pour des questions).

Les exercices proposés se présentent sous forme de problèmes généraux ne faisant pas nécessairement appel à des notions mathématiques, physiques ou biologique... L’objectif de ces exercices est de vérifier la capacité du candidat à pouvoir transformer un problème élémentaire en un algorithme et à identifier les fonctions et types de structures nécessaires à sa programmation.

1.2.2 Place des mathématiques et de l’informatique dans les différents concours de la banque Dans la banque G2E, toutes les écoles appliquent les mêmes coefficients à l’écrit. Les coefficients varient en revanche à l’oral.

(4)

Les coefficients des épreuves écrites : Epreuves Coef.

Mathématiques 5

Chimie 4

Biologie 3

Composition française 5

Physique 4

Géologie 3

1.3 La banque ENS

L’informatique n’est pas évalué dans cette banque.

1.3.1 Déroulement des épreuves de mathématiques Une épreuve écrite (4h, calculatrice interdite¹)

Le sujet est généralement composé d’un ou deux problèmes (ou exercices) de mathématiques.

Une épreuve orale

Dans cette banque, seul le concours de l’Ecole Nationale des Ponts et Chaussées fait passer un oral de mathématiques.

1.3.2 Place des mathématiques dans les différents concours de la banque Les coefficients des épreuves écrites :

Epreuves ULM Bio. ULM S.T. LYON Bio. LYON S.T. SACLAY ENPC

Biologie 7 4 8 4 8 4

Physique 3 3 4 5 4 5

Chimie 3 3 4 3 5 3

Sciences de la Terre 2 5 4 8 2 3

Français 8 8 2 2 3 6

Mathématiques 20 20 4 4 4 16

LV 3 3 1,5 1,5 2 3

Coeff. 16 pour ENPC. Pas d’épreuve de mathématiques à l’oral des autres concours.

(5)

2 La calculatrice

Les indications présentes dans ce document sur l’autorisation ou l’interdiction de la calculatrice sont données à titre indicatif car le règlement peut évoluer d’une année à l’autre. Il est conseillé d’apporter sa calculatrice avant chaque épreuve et de toujours s’assurer qu’elle est autorisée avant de l’utiliser⁴.

Rappelons quelques éléments de la réglementation concernant l’usage de la calculatrice lorsque celle-ci est autorisée :

— Une seule machine sur la table. Si celle-ci connaît une défaillance (et uniquement dans ce cas) le candidat peut la remplacer par une autre après en avoir fait la demande à un surveillant.

— Chaque calculatrice (celle sur la table et éventuellement celle amenée à la remplacer en cas de dé- faillance) doit porter, de manière indélébile, le nom du candidat.

— Afin de prévenir les risques de fraude, sont interdits les échanges de matériel entre les candidats, la consultation des notices fournies par les constructeurs, les échanges d’informations par l’intermédiaire des fonctions de transmission des calculatrices et le changement de modules mémoires.

3 Ce que disent les jurys des concours

3.1 Au sujet des épreuves écrites

Présentation de la copie :

— De façon générale, la présentation des copies est à améliorer. (Agro-Véto)

— Mettre en valeur ses résultats et rendre une copie soignée sont des compétences grandement appréciées par les correcteurs. (Agro-Véto)

— Les candidats qui n’ont pas suffisamment soigné leur copie se sont vus retirer un nombre significatif de points. (G2E)

— La rédaction doit se faire à l’encre bleue foncée ou noire exclusivement. Les couleurs peuvent être utilisées seulement pour les schémas ou pour améliorer la présentation. (Agro-Véto)

— L’écriture du candidat doit être soignée, les ratures évitées, les questions correctement numérotées et les conclusions mises en valeur. Par ailleurs, l’usage de blanc correcteur est interdit⁵. (G2E)

— Il est indispensable de recopier intégralement le numéro des questions (par exemple II.6.a et pas sim- plement a). (Agro-Véto)

Rédaction :

— Les correcteurs restent attachés à une rédaction rigoureuse (même pour une épreuve de modélisation).

(Agro-Véto)

— Il est important lorsque l’on utilise un théorème (changement de variable, intégration par parties, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, formule des probabilités totales...) d’en vérifier les hypothèses. Par exemple, pour utiliser une intégration par parties, le candidat devra signaler le caractère « de classe C¹» des fonctions intervenant. De même tout calcul d’espérance et plus généralement d’intégrale, de somme de série, de limite... doit être précédé d’une justification de leur existence. (Agro-Véto)

— Les candidats pourraient augmenter sensiblement leurs résultats en justifiant leurs calculs (évènements incompatibles, indépendants,...). (Agro-Véto)

— De manière général, le jury regrette la maîtrise de plus en plus fragile de la langue française (augmen- tation des fautes d’orthographe et de grammaire). C’est désagréable pour celui qui lit les copies mais cela va bien au-delà : les erreurs de syntaxe, et notamment la mauvaise utilisation des connecteurs logiques, peuvent rendre un argument faux et pire encore : il devient de plus en plus manifeste que des candidats comprennent « de travers » certaines questions, ce qui les mènent immanquablement à répondre « à côté ». (Agro-Véto)

4. Pour les écrits, l’information est donnée sur le sujet. Pour l’oral, il suffit de demander au jury ou aux surveillants de la salle de préparation.

5. car les copies sont numérisées afin d’être corrigées.

(6)

Contenu de la copie :

— Il faut maîtriser les questions de cours. (Agro-Véto)

— Ne pas chercher à faire toute l’épreuve⁶. Une partie bien faite, bien rédigée et de bonnes réponses aux questions de cours permettent d’obtenir une bonne note. Il est plus judicieux de faire bien ce que l’on sait faire que d’essayer de tout survoler sans succès. (Agro-Véto)

— Eviter les tentatives d’ « arnaques ». (Agro-Véto)

— Des résultats basés sur des énoncés hors programme ne sont pas acceptés. (Agro-Véto)

3.2 Au sujet des épreuves orales

De manière générale, gardez toujours la remarque suivante en-tête, elle s’applique à toutes les épreuves :

— On exige qu’un futur ingénieur ait le sens du concret, soit précis et rigoureux, sache rédiger, se présenter, communiquer et gérer son temps. (G2E)

3.2.1 Agro-Véto : « Mathématiques-informatique » Sur les mathématiques pratiques

— Généralités :

— Les candidats devront préciser (au plus tard après avoir traité la question de cours et sans attendre que l’examinateur le demande) les questions qu’ils ont abordées sérieusement pendant leur préparation (même si elles n’ont pas abouti). Cela permet à l’examinateur de gérer au mieux le déroulement de l’oral, et d’éviter que certaines questions préparées par le candidat n’aient pas le temps d’être exposées. Pour le jury, « aborder une question » pendant la préparation signifie que le candidat en a traité au moins une partie, et ne s’est pas contenté d’essayer et achopper. La présentation de la liste des questions par le candidat doit néanmoins être brève, voire réfléchie lors de la fin de la préparation avant d’entrer en interrogation. Une durée maximale de 10 secondes semble être suffisante. (2017-2018-2019)

— Certains candidats sortent de leur préparation en ayant traité très peu de questions, et commencent leur oral en étant déstabilisés. Cela peut-être en raison d’un sujet original ou difficile. L’examinateur en tient compte dans sa notation et trouvera toujours le moyen d’évaluer lors de la discussion les connaissances du candidat. (2018-2019)

— Il n’est pas indispensable d’avoir traité tout l’exercice pour obtenir une excellente note. Il est préférable d’avoir mené un raisonnement rigoureux et argumenté, plutôt que d’avoir donné tous les résultats (même justes) sans explication réelle. (2018-2019)

— Le jury rappelle aux candidats que les calculs qui ont pu être réalisés lors de la préparation ne doivent pas forcément être totalement développés au tableau pendant l’interrogation. Les candidats peuvent avoir une part de recul et de synthèse vis-à-vis de leurs brouillons, afin de gagner du temps lors de leur passage dont la durée est limitée. (2018-2019)

— Le jury tient à encourager les candidats à émettre un avis critique sur leurs résultats lorsqu’ils sont clairement incohérents (tableau de variations en désaccord avec les limites, obtention d’une probabilité supérieure à 1, etc.). S’aider d’un graphique ou d’un schéma est fortement valorisé dans certaines situations. (2018)

— Connaissance de la leçon :

— L’énoncé de maths-info débute par une question de cours⁷ éventuellement sans rapport avec l’exercice. Cette question de cours sera une définition, un théorème et pourra être énoncée orale- ment ou écrite au tableau. L’énoncé proposé par le candidat doit être précis et complet. Aucune démonstration n’est demandée. (2017-2018-2019)

6. Lorsque le sujet présente plusieurs problèmes ou exercices indépendants, je vous conseille cependant d’en aborder au moins deux différents afin de ne pas mettre tous vos œufs dans le même panier. Il arrive en effet que l’on passe complètement à côté d’un problème alors que l’on pense l’avoir correctement traité...

7. Vous trouverez en annexe, une liste de questions de cours posées à la session 2018.

(7)

— Le jury se réserve le droit de poser une question de cours à tout moment de l’interrogation s’il le juge nécessaire, pour s’assurer de la bonne compréhension du candidat. L’évaluation du cours n’est pas limitée à la question posée en début de sujet. (2018-2019)

— On peut déplorer que les tracés de courbes qui peuvent être demandés spontanément à l’oral, notamment sur les fonctions usuelles, sont trop souvent erronés. Le jury demandera par consé- quent aux candidats plus souvent dans les années à venir de faire des tracés de représentations graphiques, par exemple dans les questions de cours. (2018)

— Informatique :

— Chaque sujet comporte au moins une question d’informatique et les examinateurs interrogent systématiquement sur au moins une de ces questions, qu’elle ait été préparée ou non par le candidat. (2018-2019)

— Les candidats dispose devant leur ordinateur (dans la salle de préparation et dans la salle d’interrogation) d’une feuille A4 aide-mémoire python (2019).

— Certains candidats arrivent devant l’examinateur avec une clé USB vide. Il vaut toujours mieux pour un candidat avoir un début de programme sur sa clé USB à présenter, quitte à expliquer ensuite à l’examinateur comment il aurait achevé son programme à l’oral. (2018-2019)

Sur le projet informatique

Les remarques du jury sur le projet informatique figureront dans le document qui y est consacré.

3.2.2 G2E : « Mathématiques »

— Généralités :

— Rappelons que la communication n’est pas à sens unique et qu’il faut être capable de prendre en compte les suggestions de l’examinateur et de réagir aux indications proposées. (2015)

— Certains candidats (heureusement peu nombreux) essayent parfois de passer par dessus les difficul- tés. L’examinateur est toujours scrupuleusement attaché à l’honnêteté intellectuelle. (2015)

— On constate de temps en temps des candidats qui contestent ce que leur dit l’interrogateur et cette attitude n’est pas des plus judicieuse. (2018)

— Connaissance de la leçon :

— Il est indispensable de connaître son cours et il faut s’attendre à ce que l’examinateur demande de citer explicitement un théorème ou une définition. (2015-2016-2019)

— Il est souvent difficile d’obtenir un énoncé précis de certains théorèmes (par exemple le théorème des valeurs intermédiaires ou le théorème de la bijection) et beaucoup de candidats ne peuvent pas donner une définition correcte de quelques-unes des notions fondamentales du programme (par exemple : famille génératrice, vecteur propre, endomorphisme diagonalisable). (2015)

— Les hypothèses des théorèmes classiques (Rolle, accroissements finis, de la bijection,. . . ) doivent être connues. (2015)

— Rédaction, rigueur :

— Certains candidats ne se facilitent pas les choses en appelant xun nombre entier etk un réel ! (2015-2019)

— D’une façon générale, les candidats ont tendance à utiliser un langage de plus en plus imprécis : on entend « on faitf », « on remplace », « on passe de l’autre côté »..., « pour montrer qu’une matrice A est inversible, on fait des opérations sur les lignes »... (2015-2019)

3.2.3 G2E : « Informatique »

Rien de particulier à signaler pour cette épreuve, toutes les remarques du rapport de jury relèvent du bon sens ou concernent le projet informatique. Les remarques intéressantes concernant ce dernier sont reprises dans le document consacré au projet informatique.

(8)

Annexe A - Exemples de sujets posés à l’oral Agro-Véto

A.1 Un sujet d’analyse :

Concours Agro-Veto 2018 Date - Horaire

Exemple de sujet 4

Question de cours.

Donner la d´eﬁnition d’une valeur propre ainsi que d’un sous-espace propre pour une matriceA∈ Mn(R).

Exercice.

Dans ce problème, on s’intéresse à l’équation suivante : (En) : ln²(x)

x =1 n,

o`unest un entier strictement positif, etx, l’inconnue, est un nombre r´eel strictement positif.

Soitfla fonction d´eﬁnie sur [1; +∞[ par :

∀x∈[1; +∞[, f(x) =ln²(x) x . 1. (a) Dresser le tableau de variations defsur son ensemble de d´eﬁnition.

(b) En d´eduire que l’´equation (E1) n’admet pas de solution.

(c) D´emontrer que, pourn �2, l’´equation (En) admet deux solutions, que l’on notera αn et βn, telle que :

1�αn�e²�βn.

2. À l’aide de l’outil informatique, représenter sur un même graphe la courbe représentative def ainsi que les droitesDi, 1�i�6, oùDia pour équationy=1

i, pouri∈�1,6�.

3. Quelle conjecture peut-on ´emettre sur le sens de variations et sur les limites des suites (αn)_n�2et (βn)_n�2? 4. On va ´etudier la suite (βn)n�2 dans cette question.

(a) D´emontrer que la suite (βn)_n�2est strictement monotone.

(b) Montrer que la suite (βn)n�2 admet une limite que l’on pr´ecisera.

(c) Soit la suite (un)n�2 d´eﬁnie parun=βn

n. On admet que ln(un) = o

n→+∞

�ln(n)�

. Prouver alors queun ∼

n→+∞ln²n.

(d) En d´eduire un ´equivalent de (βn)n�2.

5. On s’int´eresse dans cette question `a la suite(αn)n�2.

(a) Montrer que la suite (αn)_n�2 admet une limite que l’on pr´ecisera.

(b) Donner un ´equivalent deαn−1 lorsquentend vers +∞.

Comment pourrait-on vérifier ce résultat avec l’outil informatique ?

(9)

A.2 Un sujet d’algèbre :

Exemple de sujet 1

Question de cours.

Qu’appelle-t-onracined’un polynˆome ?

Qu’appelle-t-onordre de multiplicit´ed’une racine d’un polynˆome ?

Exercice.

On consid`ere E l’ensemble des matrices de M3(R) admetttant le vecteur U =



1 1 1



pour vecteur propre et l’ensemble

F=







a b c b d e c e a



,(a, b, c, d, e)∈R⁵



 On poseA=



1 1 0 1 0 1 0 1 1



.

1. À l’aide d’un programme Python, déterminer la plus petite valeur propre parmi les matrices deF dont les coefficients sont égaux à 0 ou 1.

On pourra par exemple utiliser la fonction numpy.linalg.eig, comme le montre l’exemple suivant : import numpy.linalg as la

vap,vep=la.eig([[1,2],[3,4]])

Apr`es cette suite d’instructions, la variablevapcontient la liste des valeurs propres de la matrice

�1 2 3 4

� et la variablevepest une matrice dont les colonnes sont des vecteurs propres de cette matrice.

2. (a) Montrer queEetF sont des sous-espaces vectoriels deM3(R).

(b) Donner une base deE∩F. 3. (a) Montrer queA∈E∩F.

(b) Montrer queAest diagonalisable dans une base orthonormale de vecteurs propres et déterminer une matricePinversible et une matriceDdiagonale vérifiantA=P D^tP où^tP est la matrice transposée deP.

4. Vérifier que ^tP M P est diagonale pour toute matriceM deE∩F. 5. Soit (x, y, z)∈R³. Déterminer le spectre deM=



y+z y x y x+z y x y y+z



.

(10)

A.3 Un sujet de probabilités :

Concours Agro-Veto 2018 Date - Horaire

Exemple de sujet 8

Question de cours.

Enoncer le th´eor`eme de Rolle.´

Exercice.

Une urne contient initialement 2 boules blanches et deux boules noires.

Soitcun entier naturel. On eﬀectue une s´erie de tirages en suivant le protocole suivant :

• On tire au hasard une première boule. Si elle est blanche, on arrête là. Si elle est noire, on remet la boule noire dans l’urne. Puis on rajoute encorecboules noires dans l’urne.

• On recommence ainsi jusqu’à obtenir une boule blanche (si on finit par obtenir une boule blanche), ou indéfiniment si on n’obtient jamais de boule blanche.

Pour tout entier naturelnnon nul, on noteEnl’événement :«Lesnpremiers tirages ont eu lieu et n’ont donné que des boules noires».

SoitX la variable aléatoire égale au rang du tirage auquel on obtenu une boule blanche si on finit par obtenir une boule blanche et égale à 0 sinon.

1. Que dire de la loi deX sic= 0 ? CalculerP(X = 3) en fonction decpourcquelconque.

2. (a) ´Ecrire une fonction en langage Python qui prend en argument la valeur decet un entier naturel s.

Cette fonction doit simuler l’expérience ci-dessus, avec un nombre maximal de tirages égal às. Elle doit renvoyer le rang d’apparition d’une boule blanche si une boule blanche a été obtenue et 0 sinon.

(b) Utiliser la fonction précédente pour simuler un grand nombre de fois l’expérience pour donner une estimation deP(X= 0) pourc= 1,c= 2 etc= 5.

3. D´emontrer que :∀n∈N^∗, P(En) =

n�−1 k=0

2 +kc 4 +kc. 4. On suppose dans cette question quec= 1.

(a) CalculerP(En) pour tout entier natureln. En d´eduire la valeur deP(X= 0).

(b) D´emontrer que :∀n∈N^∗, P(X=n) = 12

(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3).

(c) En utilisant le théorème du transfert, démontrer que la variable aléatoireX+ 3 admet une espérance, et calculer cette espérance. En déduire l’espérance deX.

(d) Utiliser la fonction de la question 2(a) pour vérifier ce résultat à l’aide de simulations.

5. On suppose dans cette question quec= 2.

(a) CalculerP(En) pour tout entier naturelnnon nul. En d´eduire la valeur deP(X= 0).

(b) Donner la loi deX. La variableXadmet-elle une esp´erance ? 6. Dans cette question,cest un entier naturel non nul quelconque.

(a) D´emontrer que :∀n∈N^∗, −ln (P(En)) =

n−1

�

k=0

ln

�

1 + 2

2 +kc

� . (b) D´eterminer alors la valeur deP(X= 0).

On pourra pour cela utiliser sans d´emonstration le r´esultat suivant : Si(un)et(vn)sont deux suites positives et siun ∼

n→+∞vn, alors �

n�0

un et�

n�0

vn ont mˆeme nature.

(11)

A.4 Un sujet mélant algèbre et probabilités :

Exemple de sujet 3

Question de cours.

Densité d’une loi normale centrée réduite.

Exercice.

On pourra utiliser pour les programmes Pythonla fonction linalg.matrix_ rank()du module numpy, qui permet de connaˆıtre le rang d’une matrice, comme le montre l’exemple suivant :

import numpy as np

A = np . array ( [ [1 ,2 ,1] , [2 ,3 ,2] , [3 ,5 ,3] ] ) print( np . linalg . m a t r i x _ r a n k ( A ) )

La derni`ere ligne aﬃche le rang de la matrice



1 2 1 2 3 2 3 5 3



, c’est `a dire : 2.

On pourra aussi utiliser la fonctionrandint()du modulerandom.

Pouraetbdeux entiersrandint(a,b)retourne un entier equiprobablement entreaetb(aetb´etant inclus).

On consid`ere la matrice :A=



3 1 1

1 0 1

−3 0 −1



.

1. (a) Écrire une fonction Python prenant en arguments deux vecteurs de taille 3 et renvoyant un booléen (Trueou False) indiquant s’ils sont colinéaires.(On pourra représenter les vecteurs par des listes).

(b) ´Ecrire une fonction Pythonvecteurs_propres(u)prenant en argument un vecteur de taille 3 et renvoyant un bool´een (TrueouFalse) indiquant s’il est un vecteur propre deA.

2. (a) Vérifier que -1, 1 , 2 sont valeurs propres deAet préciser pour chacune un vecteur propre associé.

(b) La matriceAest-elle diagonalisable ?

3. SoientX₁, . . . , X_n,nvariables aléatoires indépendantes suivant la loi de Bernoulli de paramètrep∈]0,1[.

On note :M_n= 1 n

�n k=1

X_k et M_n^∗= Mn−p

�p(1−p) n

.

(a) Donner, pourα∈R^∗+, l’approximation de la probabilité P([−α < M_n^∗< α]) donnée par le théorème central limite.

(b) En d´eduire que

� M_n− 1

√n ; M_n+ 1

√n

�

est un intervalle de conﬁance de p au seuil de 95%.

On pourra admettre que,∀x∈[0,1], x(1−x)�1

4 et si Φdésigne la fonction de répartition d’une variable suivant une loi normale centrée réduite, alorsΦ(1,96)≈0,975.

4. On noteNV le nombre de vecteurs propres deAdont les coeﬃcients sont des entiers de�−5; 5�. (a) Expliquer comment le programme suivant permet d’estimer la valeur deNV :

def simul ():

u = [ randint ( -5 ,5) for k in range(3) ] return v e c t e u r s _ p r o p r e s ( u )

n = 10000 # Valeur de n a definir .

nb = 0

for k in range( n ):

if simul ():

nb += 1

print(round( nb / n * 1 1* * 3 )) # round ( x ) = l ’ entier le plus proche de x . (b) Comment choisirnpour que l’on soit sûr à 95% de la valeur affichée ?

(c) Commenter le r´esultat obtenu.

(12)

Annexe B - Exemples d’autres questions de cours posées à l’oral

Agro-Véto

(13)

(14)

(15)