Concours ADVANCE ESME–EPITA–IPSA
4 mai 2019 – Calculatrice interdite ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
• L’épreuve de Mathématiques se déroule sur 1h30 et est constituée de 6 questions obligatoires et de 6 questions à choisir parmi les questions numérotées de 7 à 14.
• Chaque question comporte cinq propositions : A, B, C, D, E.
• Pour chaque question :
— Vous cochez la (ou les) case(s) V de la fiche optique correspondant à toute proposition que vous jugez vraie.
— Vous cochez la (ou les) case(s) F de la fiche optique correspondant à toute proposition que vous jugez fausse.
— Les cinq propositions peuvent être toutes vraies ou toutes fausses
• Toute case correctement remplie entraîne une bonification. Toute erreur est pénalisée.
Il est donc préféré une absence de réponse à une réponse inexacte.
Questions obligatoires
1. a. lim
x→+∞
x2−x 2x2+1=1
2. b. lim
x→+∞
x ex. c. lim
x→0ln(x)=0.
d. Si 2ln(a)+1>0 alorsa>p e.
e. Sur ]0 ;+∞[, la dérivée de la fonctionx7−→xln(x) est la fonctionx7−→ln(x).
2. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal d’origine O.
Pour tout pointMdu plan, l’affixe deMest notézM. A, B et C désignent trois points du plan distincts de O.
a. SiZ= 1+i p2−ip
6alors|Z| =1
2et arg(Z)=7π 12[2π].
b. SiZ= −2 µ
cos µ3π
4
¶ +i sin
µ3π 4
¶¶
alors|Z| =2 et arg(Z)= −3π 4 [2π].
c. Si les points A et B sont symétriques par rapport à O alorsZA=ZB. d. Si|ZA| = |ZB| = |ZC|alors ABC est un triangle équilatéral.
e. Si arg(ZA)=π+arg(ZB) [2π] alors O, A et B sont alignés.
3. f est une fonction définie et dérivable sur un ensembleD.
a. SiD=Retf(x)=x2−2
x2+1alorsf′(x)= 4x
¡x2+1¢2. b. SiD=R∗etf(x)=¡
x2−x¢
e1/xalorsf′(x)=e1/x
µ2x2−2x+1 x
¶ . c. SiD=R∗etf(x)=ln¡
x2+1¢
alorsf′(x)= 1 x2+1.
d.
Z1 0
4x
x2+1dx=ln(2).
e.
Zπ2
0 sin(2x+π) dx=0.
4. Soitf la fonction définie surRparf(x)=xe1−xetCf la courbe représentantf dans un repère orthonormal.
Soitdla droite d’équationy=ex+15 etDla droite d’équationy=x.
a. lim
x→+∞f(x)= +∞. b. lim
x→−∞f(x)= −∞.
c. Pour tout réelx, f′(x)=(1−x)e1−x.
d. Il existe une tangenteT àCf qui est parallèle à la droited.
e. Cf est en dessous de la droiteDsur ]− ∞; 0[.
5. Soitgla fonction définie sur ]0 ;+∞[ parg(x)=(ln(x))2
x représentée par la courbeC dans un repère orthonormal.
Soithla fonction définie sur ]0 ;+∞[ parh(x)=1
x, représentée par la courbeC′. a. lim
x→0g(x)=0.
b. Pour tout réel x strictement positif,g′(x)=2ln(x)−(ln(x))2
x2 .
c. Pour tout réelxstrictement positif,g(x)
2 =
µln¡p x¢ px
¶2 . d. C admet une asymptote parallèle à l’axe des abscisses.
e. C est au-dessus deC′sur
¸1 e;+∞
· .
6. Un magasin d’électroménager vend deux modèles de robot au même prix et de marquesM1et M2.
Les deux robots ont les mêmes caractéristiques et sont proposés en deux couleurs : noir et blanc.
D’après une étude sur les ventes de ces deux modèles, 70 % des acheteurs ont choisi le robot M1et, parmi eux, 60 % ont préféré la couleur noire. Par ailleurs 20 % des clients ayant acheté un robotM2l’ont choisi de couleur blanche.
On utilise la liste des clients ayant acheté l’un ou l’autre des robots précédemment cités et on choisit un client au hasard.
SoientAetBdeux évènements indépendants d’un même universΩtels queP(A)=0, 3 et P(A∪B)=0, 65.
a. La probabilité qu’un client choisi au hasard ait acheté un robotM2de couleur noire est égale à 6
25.
b. La probabilité qu’un client choisi au hasard ait acheté un robot de couleur noire est égale à 6
25.
c. Le client a choisi un robot de couleur noire. La probabilité qu’il soit de marqueM2est égale à33
50.
d. La probabilité de l’évènementBest égale à 0, 5.
e. AetBsont indépendants.
Questions à choisir
7. Soitf la fonction définie parf(x)=ln µ³
1−ex´2¶
etC la courbe représentantf dans un repère orthonormal du plan.
a. Pour toutx6=0,f(x)>0.
b. L’axe des abscisses est une asymptote deC en−∞.
c. Pour toutx6=0,f(x)=2ln (1−ex).
d. Pour toutx6=0, (f(x)>0 si et seulement six<0).
e. f est décroissante sur ]− ∞; 0[.
8. Soit (un) la suite définie paru0=1 et pour toutn∈N,un+1=1
3un+n−2.
Soit (vn) la suite définie pour toutn∈Nparvn= −2un+3n−21 2 . On considère l’algorithme ci-dessous.
Nest un entier,Uest un réel U←1;N←0 ;
Tant que (U60 ouN=0) U←U
3 +N−2 N←N+1 Fin Tant que AfficherU a. u3= −14
27.
b. L’algorithme affiche la valeur deu3. c. Pour toutn∈N, (n>5=⇒un>n−3).
d. (vn) est une suite géométrique de raison 3.
e. lim
n→+∞un= +∞.
9. Soit (un) la suite définie paru0=4 et, pour toutn∈N,un+1=f(un) oùf est une fonction définie et dérivable surR.
Soit (vn) la suite définie parv0=1 et, pour toutn∈N, ln (vn+1)=ln (vn)−1.
a. Si pour tout réelx, f′(x)<0 alors (un) est strictement décroissante.
b. (vn) est une suite géométrique.
c. (vn) est convergente.
d. La suite (tn) définie pour toutn∈Npartn=¡
n2−200¢p
nest décroissante.
e. lim
n→+∞
n
X
k=1
1 2k = +∞
10. f est une fonction définie surR.
a. Si pour tout réelx>1, 1+1
x<f(x)<x2+x+100
x2+1 alors lim
x→+∞f(x)=1.
b. Sif(x)=2x+3−sin(2x) alors pour tout réelx, f(x)62x+2.
c. lim
x→+∞2xsin µ 1
2x
¶
=1.
d. lim
n→+∞
3+2n 3+4n =1.
e. Si 0<x<1 alors lim
n→+∞
£(1−x)n(1+x)n¤
= +∞.
11. Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal d’origine 0, on considère les points E et F d’affixes respectives−2+i et 2+4i etEl’ensemble des pointsMd’affixezvérifiant
|z+2−i| = |z−2−4i|.
Pour tout pointMdu plan, l’affixe deMest notéezM. a. Le point G d’affixe 3−3
2i appartient àE. b. Eest le cercle de diamètre [EF].
c. Le triangle OEF est rectangle.
d. SizA=2−3i, zB= −26+18i etzC= −2, alors A, B et C sont alignés.
e. SizA=3e2iπ/3etzB=2e−5iπ/6alors le triangle OAB est rectangle.
12. L’espace est rapporté à un repère orthonormal³ O ;−→
ı,−→
,→− k´
.
On considère les points suivants définis par leurs coordonnées : A(1 ; −1 ; 2), B(3 ; 3 ; 8), C(−3 ; 5 ; 4) et D(1 ; 2 ; 3).
On notedla droite ayant pour représentation paramétrique
x = 1+ t y = −1+2t z = −2+3t
,t∈R.
On noted′la droite ayant pour représentation paramétrique
x = 1+k y = 3+k z = 4−k
,k∈R.
On notePle plan d’équationx+y−z+2=0.
a. Le point C appartient à la droited.
b. Les droitesdetd′sont parallèles.
c. Le planPcontient la droitedet est orthogonal à la droited′. d. Le triangle BCD est rectangle.
e. On noteP′le plan contenant la droited′et le point A.
Un vecteur normal à ce plan est :→−
n(3 ;−1 ; 2).
13. On considère les deux fonctionsf etgdéfinies parf(x)=(x−1)2etg(x)= −x+1 représentées graphiquement par leurs courbes respectivesCf etCg.
−1 1
1 Cg 2
Cf
Pour toutn∈N, on poseun= Z1
0
xn 1+xdx.
a. L’aire du domaine compris entreCf etCg (pourx∈[0 ; 1]) est égale à 1 6. b.
Z1
0 (x−1)2dx=2 3. c.
Z1 0
1
(1+x)2dx=1 2.
d. Pour toutn∈N, un+1+un= 1 n+1. e. ln
µ3 2
¶
<
Z1 0
ex
ex+1dx<ln(2).
14. Le temps d’attente, exprimé en minutes, à un guichet, est une variable aléatoireTqui suit une loi exponentielle de paramètre 0, 7.
Marc se rend à son travail à pied ou en bus. Dans la ville où il habite, il pleut un jour sur quatre.
Lorsqu’il pleut, Marc se rend en bus à son travail dans 80 % des cas.
Lorsqu’il ne pleut pas, il se rend à pied à son travail dans 60 % des cas.
a. La probabilité qu’un client attende moins de 5 minutes à ce guichet est égale àe3,5−1 e3,5 . b. Sachant qu’un client attend depuis 5 minutes, la probabilité qu’il attende au total plus de
10 minutes à ce guichet est égale à e−3,5. c. Marc prend le bus un jour sur deux.
d. Soient AetBdeux évènements liés à une même épreuve aléatoire qui vérifient :P(A)= 0, 4, PA(B)=0, 7 etPA³
B´
=0, 1.
Alors la probabilité de l’évènementAsachant que l’évènementBest réalisé est égale à14 89. e. SoitXune variable aléatoire prenant ses valeurs dans l’intervalle [1 ;+∞[ et dont la loi de
probabilité admet comme densité la fonctionf définie parf(x)= 2 x3. AlorsP(16X64)=15
16.
CORRIGÉ DU SUJET OFFICIEL DE L’ÉPREUVE MATHÉMATIQUES
(V)rai ou (F)aux
No A B C D E
1 V V F F F
2 V F F F V
3 V V F F F
4 F V V V V
5 F V F V F
6 V F F V V
7 F V F F V
8 V F V F V
9 F V V F F
10 V F V F F
11 V F V V V
12 F F F V V
13 V F V V V
14 V V V F V
