Actionneur rotatif à air comprimé

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Actionneur rotatif à air comprimé

Présentation :

Le mécanisme représenté à la figure 2 est un actionneur rotatif à air comprimé permettant de réaliser la commande à distance d’une porte d’un sas de trémie (non représenté) en rotation autour de l’axe (t,t’) par l’intermédiaire d’une tringlerie.

Fonctionnement :

L’air comprimé, admis par l’orifice O1, exerce une poussée sur le piston 5 lié complètement à la crémaillère 7 qui s’anime d’un mouvement de translation qui est transformé en mouvement de rotation du pignon arbré 10 par l’intermédiaire de la liaison engrenage Pignon / Crémaillère.

Le retour en position initiale du système est assuré par le poids propre de la porte à actionner et l’action du ressort de rappel 8 alors que l’orifice O₁ est mis à l’atmosphère (échappement).

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But de l’étude :

Étude et analyse cinématique des mouvements de la crémaillère 7 puis du pignon arbré 10.

Étude du mouvement de la crémaillère 7 :

Hypothèses et données:

• On définit un repère R₁(A,x1,y1,z1) lié au corps 1 pris comme solide de référence (voir figure 1).

• Les données sont exprimées en mm pour les longueurs et en secondes pour les durées.

• La position du point B caractéristique de la position horizontale de la crémaillère 7 est définie dans le repère R₁ par l’équation algébrique : ]AB = x(t)

• Le mouvement de la crémaillère 7 peut se décomposer en deux phases distinctes : Phase 1 : Mise mouvement et accélération

pour tε[0 ; 2] la position du point B est donnée par ]ABABABAB = x(t) = 37-8.t². Phase 2 : Freinage et arrêt complet.

pour t ≥ 2s la position du point B est donnée par ]ABABABAB = x(t) = 256/3.t² – 1120/3.t + 1231/3.

1. Étude de la phase de démarrage de la crémaillère 7 (phase 1):

1. Définir la trajectoire TBε7/1.

2. Établir la l’équation algébrique v(t) de la vitesse du point B.

3. Établir la l’équation algébrique a(t) de l’accélération du point B.

4. Dans la 1^ère phase du mouvement, déterminer algébriquement la position, la vitesse et l’accélération du point B aux instants t = 0, t = 1s et t = 2s.

5. Exprimer les caractéristiques géométriques ainsi que les coordonnées du vecteur-vitesse £VVVVBεεεε7/1 du point Bε7 par rapport au bâti 1 aux instants t = 0, t = 1s et t = 2s.

6. Exprimer les caractéristiques géométriques ainsi que les coordonnées du vecteur-accélération

£AAAABεεεε7/1 du point Bε7 par rapport au bâti 1 aux instants t = 0, t = 1s et t = 2s.

2. Étude de la phase du freinage de fin de course de la crémaillère 7 (phase 2) : 1. Établir l’équation algébrique v(t) de la vitesse du point B.

2. Établir l’équation algébrique a(t) de l’accélération du point B.

3. Déterminer l’instant t_f de fin de course.

4. Quelle est alors la position Bf du point B dans R₁?

5. Exprimer les caractéristiques géométriques ainsi que les coordonnées du vecteur-accélération

£AAAABεεεε7/1 du point Bε7 par rapport au bâti 1 pendant la phase de freinage de la crémaillère.

6. Tracer le graphe exprimant la vitesse algébrique v(t) en fonction du temps pendant les deux phases du mouvement de la crémaillère 7 par rapport au bâti 1 (Échelle abscisses : 1cm→0.2s ; ordonnées 1cm→ 4mm/s).

7. Tracer le graphe exprimant la position algébrique x(t) en fonction du temps pendant les deux phases du mouvement de la crémaillère 7 par rapport au bâti 1 (Échelle abscisses : 1cm→0.2s ; ordonnées 1cm^→ 5mm).

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Étude du mouvement du pignon 10.

Hypothèses et données :

• On choisit d’étudier le mouvement d’un point C lié à 10 tel qu’à l’instant t = 0, C0 est situé sur l’axe horizontal (O,x₁).

• La trajectoire du point C est un cercle de centre O et de rayon R = ║_OC║ = 27 mm, qui sera orientée dans le sens direct (trigonométrique).

• L’équation algébrique définissant la position du point C pendant la phase 1 du mouvement sur cette trajectoire est donnée par l’équation horaire de l’abscisse curviligne :

C0C = s(t) = R.θ(t) = – 8.

t

² pour tε[0 ; 2]

Étude :

1. Établir la l’équation algébrique v(t) de la vitesse du point C.

2. Dans la 1^ère phase du mouvement, déterminer algébriquement l’abscisse curviligne s(t), la position angulaire θ(t) (en rad et en °) et la vitesse instantanée v(t) aux instants t = 0, t = 1s et t = 2s des points C0, C1, C2.

3. Tracer sur la figure ci-dessous les point C0, C1 et C2.

4. Exprimer les caractéristiques géométriques du vecteur-vitesse £VVVVCεεεε10/1 du point Cε10 par rapport au bâti 1 aux instants t = 0, t = 1s et t = 2s.

5. Tracer ces vecteurs sur la figure ci-dessous (Échelle : 1cm→ 10mm/s).

6. Exprimer les caractéristiques géométriques des composantes tangentielles aaaa_T et normales aaaa_Ndu vecteur-accélération £AAAACεεεε10/1 du point Cε10 par rapport au bâti 1 aux instants t = 0, t = 1s et t = 2s.

7. Tracer ces vecteurs sur la figure ci-dessous (Échelle : 1cm→ 5 mm/s²).

C₀

Échelle : 2:1

Vitesses : 1cm→ 10 mm/s Accélérations : 1cm→ 5 mm/s²

X₁ Y₁

O

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CORRIGE

Actionneur rotatif à air comprimé corrigé

Actionneur rotatif à air comprimé : Correction 1) Etude de la phase de démarrage de la crémaillère 7 :

a. TB∈7/1 : Segment de droite sur (AB) = (A,x) b. v(t) = dx(t)/dt = -16.t

c. a(t)=dv(t)/dt = -16 mm/s² d. Positions de B∈7/1

t=0 t=1 t=2

x(t) (en mm) 37 29 5

v(t) (en mm/s) 0 -16 -32

a(t) (en mm/s²) -16 -16 -16

e. Vecteur vitesse de B∈7/1 :

Coordonnées cartésiennes dans R₁

£VB∈7/1 t=0 t=1 t=2

vx(t) 0 -16 -32

vy(t) 0 0 0

vz(t) 0 0 0

Caractéristiques géométriques

£VB∈7/1 t=0 t=1 t=2

PA : B₀ B₁ B₂

DA : (AB) (AB) (AB)

S : -_x₁ -_x₁ -_x₁

N :

(en mm/s) 0 16 32

f. Accélération de B∈7/1 :

À tout instant (pour t∈[0,2], le vecteur-accélération est constant : £AB∈7/1 = -16.x

2) Étude de la phase de freinage :

a. v(t) = dx(t)/dt = 512/3.t – 1120/3 b. a(t)=dv(t)/dt = 512/3 mm/s²

c. L'instant fin de course tf = Arrêt de la crémaillère 7/1 ^⇒ v(tf) = 0 ⇒ 512/3.tf – 1120/3 = 0

⇒ tf = 1120/512 = 2.1875 s d. XB(t=tf = 2.1875) = 256/3.tf2

– 1120/3.tf + 1231/3 = 2 mm e. £AB∈7/1 = +512/3.x (pendant toute la phase de freinage)

f. Graphes :

1 1.5 2 2.5 0.5

-8 -16 -24 -32

v(t) (mm/s)

1 1.5 2 2.5 0.5

20 15 10

5

X_B(t) (mm)

25 30 35

2

(5)

CORRIGE

Actionneur rotatif à air comprimé corrigé

Étude du mouvement du pignon 10/1 : v(t) = ds(t)/dt = -16.t

t=0 t=1 t=2

s(t) (en mm) 0 -8 -32

θ(t) (en rad) 0 ^-8/27^≈^-0.296 -32/27=-1.185

θ(t) (en °) 0 17° 68°

v(t) (en mm/s) 0 -16 -32

£VC∈10/1 t=0 t=1 t=2

PA : C₀ C₁ C₂

DA : _⊥(OC₀) ⊥(OC₁) ⊥(OC₂)

S : ^{mvt 10/1} ^{mvt 10/1} ^{mvt 10/1}

N : (mm/s) 0 16 32

aN t=0 t=1 t=2

PA : C₀ C₁ C₂

DA : (OC0) (OC1) (OC2)

S : C0→O C1→O C2→O

N (mm/s²) 0 9.48 37.9

at t=0 t=1 t=2

PA : C0 C1 C2

DA : _⊥(OC0) ⊥(OC1) ⊥(OC2)

S : ^{mvt 10/1} ^{mvt 10/1} ^{mvt 10/1}

N (mm/s²) 16 16 16

C₀

Échelle : 2:1

Vitesses : 1cm→ 10 mm/s Accélérations : 1cm→ 5 mm/s²

X₁ Y₁

O

C₁

C₂

θ₁=17°

θ₂=69°

£VC∈10/1 (32 mm/s)

£VC∈10/1 (16 mm/s) aN

(9.48mm/s²) aN

(37.9 mm/s²)

aT

(16 mm/s²)

£A^C∈10/1 = aT

£A^C∈10/1 ('41.1 mm/s²)

£A^C∈10/1 ('18.6 mm/s²)

aT

(16 mm/s²)